北师大版数学八年级下册《分解因式》课件》
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北师大版数学八年级下册《分解因式》课件》
第四章 §4.1
分解因式
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=_______ am+an (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=_____________ am+an+bm+bn 2.乘法公式有哪些? 2 2 (1)平方差公式: (a+b)(a-b)=_______ a b 2 (2)完全平方公式:
2 2 3 2
（） 5 24a bc 2 a 3bc
1 （） 6 x 1 x(1 ) x
否
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两 种恒等变形. • 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式 的形式，特征是向着积化和差的形式发展； • 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整 式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发 展. • 分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2
探究
993-99能被100整除吗?
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1 =99 ×(992-1) =99 (99+1)(99-1) = 99×100×98 所, 993-99能被100整除.
你知道每一步的根据吗? 想一想: 993-99还能被哪些整数整除? 答： 98， 99
做一做
计算下列个式:
(1) 3x(x-1)= _____ 3x2-3x 3x(x-1) (1) 3x2-3x=_______ (2) (m+4)(m-4)= 2-16=__________ 2 (m+4)(m-4) (2) m m -16 ____ 2 (y-3) 2-6y+9=______ 2-6y+9 2 (3) y y (3) (y-3) = _______ a(a+1)(a-1) (4) a3-a=___________ (4) a(a+1)(a-1)= 3-a a ____ (5)ma+mb+mc ⑸ m(a+b+c) m(a+b+c) ma+mb+mc =___________ =________ 左边式子的变形与右边式子的变形 _ 是互为逆运算变形过程.
分解因式
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=_______ am+an (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=_____________ am+an+bm+bn 2.乘法公式有哪些? 2 2 (1)平方差公式: (a+b)(a-b)=_______ a b 2 (2)完全平方公式:
2 2 3 2
（） 5 24a bc 2 a 3bc
1 （） 6 x 1 x(1 ) x
否
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两 种恒等变形. • 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式 的形式，特征是向着积化和差的形式发展； • 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整 式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发 展. • 分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2
探究
993-99能被100整除吗?
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1 =99 ×(992-1) =99 (99+1)(99-1) = 99×100×98 所, 993-99能被100整除.
你知道每一步的根据吗? 想一想: 993-99还能被哪些整数整除? 答： 98， 99
做一做
计算下列个式:
(1) 3x(x-1)= _____ 3x2-3x 3x(x-1) (1) 3x2-3x=_______ (2) (m+4)(m-4)= 2-16=__________ 2 (m+4)(m-4) (2) m m -16 ____ 2 (y-3) 2-6y+9=______ 2-6y+9 2 (3) y y (3) (y-3) = _______ a(a+1)(a-1) (4) a3-a=___________ (4) a(a+1)(a-1)= 3-a a ____ (5)ma+mb+mc ⑸ m(a+b+c) m(a+b+c) ma+mb+mc =___________ =________ 左边式子的变形与右边式子的变形 _ 是互为逆运算变形过程.
北师大版八年级下册数学《分解因式》精品PPT教学课件
北师大 ·数学 ·八年级(下
数学中的游戏 游戏规则：1.大家说出一个大于1的正整数.
2.写出它的立方减它的式子.
如：53 5
3.不通过计算，说出这个 式子能被那些正整数整除.
2020/11/24
2
想一想 ô 回顾 & 思考☞
1.整式乘法有几种形式?
(1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式 (3)多项式乘以多项式 2.乘法公式有哪些?
(1)平方差公式 (2)完全平方公式
2020/11/24
3
ô 回顾 & 思考☞
2020/11/24
4
想一想
做一做
小明是这样想的: 993 99 99 992 991
99(992 1) 99 9800 98 99100 所以, 993 99能被100整除.
2020/11/24
你知道每一 步的根据吗? 想一想: 99399还能被哪 些整数整除?
11
4. 若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍 数.
5. 某工厂需加工一批零件,由甲、乙、丙 三位工人共同完成，已知甲工人每天
加工23个零件，乙工人每天加工19个
零件，丙工人每天加工18个零件，三
人需共同做12天才能做完，要加工的
零件共有多少？
2020/11/24
12
感谢你的阅览
1.分解的对象必须是多项式. 2.分接的结果一定是几个整式
的乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.
2020/11/24
10
1. 若a=101,b=99,求a2-b2的值. 2. 若x=-3,求20x2-60x的值. 3. 1993-199能被200整除吗?还
能被哪些整数整除?
数学中的游戏 游戏规则：1.大家说出一个大于1的正整数.
2.写出它的立方减它的式子.
如：53 5
3.不通过计算，说出这个 式子能被那些正整数整除.
2020/11/24
2
想一想 ô 回顾 & 思考☞
1.整式乘法有几种形式?
(1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式 (3)多项式乘以多项式 2.乘法公式有哪些?
(1)平方差公式 (2)完全平方公式
2020/11/24
3
ô 回顾 & 思考☞
2020/11/24
4
想一想
做一做
小明是这样想的: 993 99 99 992 991
99(992 1) 99 9800 98 99100 所以, 993 99能被100整除.
2020/11/24
你知道每一 步的根据吗? 想一想: 99399还能被哪 些整数整除?
11
4. 若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍 数.
5. 某工厂需加工一批零件,由甲、乙、丙 三位工人共同完成，已知甲工人每天
加工23个零件，乙工人每天加工19个
零件，丙工人每天加工18个零件，三
人需共同做12天才能做完，要加工的
零件共有多少？
2020/11/24
12
感谢你的阅览
1.分解的对象必须是多项式. 2.分接的结果一定是几个整式
的乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.
2020/11/24
10
1. 若a=101,b=99,求a2-b2的值. 2. 若x=-3,求20x2-60x的值. 3. 1993-199能被200整除吗?还
能被哪些整数整除?
北师大版八年级下册数学《因式分解》因式分解精品PPT教学课件
C．3 a²x－6bx＋3x＝3x（a²－2b）； D． x y²＋ x²y＝ xy（x＋y）
2020/11/23
13
随堂检测
3．（－2）²ºº¹＋（－2）²ºº²等于（ C ） A．－2²ºº¹ B．－2²ºº² C．2²ºº¹ D．－2 4. 已知多项式ax²+bx+c （a、b、c均为常数），分解因式的结果是（3x+1） （x-2） ，求a、b、c的值． 解：（3x+1）（x-2）
2020/11/23
5
合作探究
问题2：你能把a³-a化成几个整式的积的形式吗？ 解：a³-a =a（a²-1） =a（a+1）（a-1）.
2020/11/23
6
合作探究
探究点二 问题1：观察下面饼图写出相应的关系式.
am+bm+cm m（a+b+c）
x²+2x+1 （x+1）²
2020/11/23
A．2，3 B．－2，3 C．2，－3 D．－2，－3
2020/11/23
3
合作探究
探究点一 问题1：99³-99能被100整除吗？你是怎么想的？还能被哪些正整数整除？ 解：99³-99
=99 ²×99 －99 =99 ×980 =98 ×99 ×100 所以， 99³-99能被100整除.
2020/11/23
4.1 因式分解
八
2020/11/23
1
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过程. 2 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的相互关系. 3 感受因式分解在解决相关问题中的作用.
2020/11/23
2
前置学习
北师大版八年级下册数学《因式分解》PPT教学课件
合作探究
探究点三 问题1：因式分解：把一个多项式化成几个 整式 的 积 的形式，这种变形叫 做因式分解.因式分解也可称为 分解因式 . 问题2：你能说明因式分解与整式的乘法有什么关系吗? 多项式的因式分解与整式的乘法互为逆变形过程. 因此可以用整式的乘法来检验分解因式是否正确.
合作探究
探究点四 例1：已知多项式x2－4x＋m因式分解的结果为(x＋a)(x－6)，求2a－m的值 解：(x＋a)(x－6)
课程讲授
1 因式分解的定义
问题1：
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=__x_2-_y_2__ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
根据左空，解决下列问题： x2-2x=( x )( x-2 ) x2-y2=( x+y )( x-y ) x2+2x+1=( x+1 )2
4.1 因式分解
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过程. 2 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的相互关系. 3 感受因式分解在解决相关问题中的作用.
前置学习
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( D )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
整式乘法
(x+1)(x-1)
课程讲授
1 因式分解的定义
归纳：因式分解与整式乘法是互逆运算，二者是一个 式子的两种不同表现形式．因式分解的等号右边是两个 或几个因式积的形式，整式乘法的等号右边是多项式的 形式．
随堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ 1 )
因式分解北师大数学八年级下册PPT课件
B. − + = − +
C. − = −
D. + = + +
）
课堂检测
基础巩固题
2.
如果多项式
+
么另一个因式是（ B
）
A. c−b+5ac
B.c+b−5ac
1
C. ac
5
1
D. ac
5
− 的一个因式是 ,那
= ( + ) − ( − ) −
= ++ +− −+ −−
∵ , , 是△ABC的三边，
∴ + + > ， + − > ， − + > ， − − < ，
∴原式< ，即( + − ) − < .
北师大版 八年级 数学 下册
4.1 因式分解
导入新知
630可以被哪些整数整除？
解决这个问题，需要对630进行分解质因数
= × × ×
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项
式可以分解成几个整式的积吗？
素养目标
2. 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区
别.
1. 理解掌握因式分解的意义，会判断一个变
.
探究新知
3.观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
（2）
x
x
x
x+1
1
x
1
1
1
x+1
+ +
＝
C. − = −
D. + = + +
）
课堂检测
基础巩固题
2.
如果多项式
+
么另一个因式是（ B
）
A. c−b+5ac
B.c+b−5ac
1
C. ac
5
1
D. ac
5
− 的一个因式是 ,那
= ( + ) − ( − ) −
= ++ +− −+ −−
∵ , , 是△ABC的三边，
∴ + + > ， + − > ， − + > ， − − < ，
∴原式< ，即( + − ) − < .
北师大版 八年级 数学 下册
4.1 因式分解
导入新知
630可以被哪些整数整除？
解决这个问题，需要对630进行分解质因数
= × × ×
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项
式可以分解成几个整式的积吗？
素养目标
2. 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区
别.
1. 理解掌握因式分解的意义，会判断一个变
.
探究新知
3.观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
（2）
x
x
x
x+1
1
x
1
1
1
x+1
+ +
＝
北师大版八年级数学下册《因式分解》ppt
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？
左边式子的变形为整式乘法，右边式子的变形为因式 分解，两种变形互为逆运算变形过程.
巩固练习
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
因式分解
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy
整式乘法
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1
=99 ×(992-1) =99×9800 = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除.
你是怎么想的？ 与同伴交流
在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。 你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流。
范例讲解
观察下列拼图过程，写出相应的关系式。
am+bm+cm
m(a+b+c)
x2+x+x+1
(x+1)2
am+bm+cm=m(a+b+c) x2+x+x+1= x2+2x+1 =(x+1)2
问：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？
联系：等式的左右两边是同一个多项式的不同表现形式. 区别：等号的左边是多项式的乘法，等号的右边是把多项 式化成了几个整式的积。二者的过程恰好相反。
整式乘法
(4).x2+4x+4=(x+2)2
因式分解
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
因式分解
(6).m2-4=(m+2)(m-2)
整式乘法
4.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99正确的是 ( B )
北师大版八年级数学下册_第1课时_公因式为单项式的因式分解课件
解：原式=7x(4x3-3x2-y).
（2）-10m4n2+8m4n-2m3n. 解：原式 = -m3n(10mn-8m+2)
随堂练习
4.利用因式分解进行计算：
（1）202X2-202X×202X; 解：202X2-202X×202X =（202X-202X）×202X =202X.
（2）31×3.14+27×3.14+42×3.14. 解：31×3.14+27×3.14+42×3.14 =（31+27+42）×3.14 =100×3.14
A.x2 B.2x C.2x3 D.2x2
课程讲授
2 公因式为单项式的因式分解
提公因式法分解因式： 一般地，如果多项式的各项有 公__因__式_，可以把这个 公__因__式_ 提取出来，将多项式化成两个因式_乘__积__的情势， 这种分解因式的方法叫做提公因式法.
课程讲授
2 公因式为单项式的因式分解
课程讲授
2 公因式为单项式的因式分解
例2 把下列各式因式分解： (1) 3 x x3 (2) 7 x3 21x2 (3) 8a3b2 12ab3c ab (4) 24 x3 12 x2 28 x 解：(1)3x+ x3=x ·3+x·x2=x(3+x2)； (2)7x3－ 21x2=7x2·x －7x2·3=7x2(x－3)；
课程讲授
2 公因式为单项式的因式分解
(3)8a3b2 －12ab3c+ab=ab·8a2b－ ab·12b2c +ab·1= ab(8a2b －12b2c+1)； (4)－24x3+ 12x2－28x =－(24x3 －12x2+28x)=－(4x·6x2 － 4x·3x+4x·7)=－4x(6x2 －3x+7).
（2）-10m4n2+8m4n-2m3n. 解：原式 = -m3n(10mn-8m+2)
随堂练习
4.利用因式分解进行计算：
（1）202X2-202X×202X; 解：202X2-202X×202X =（202X-202X）×202X =202X.
（2）31×3.14+27×3.14+42×3.14. 解：31×3.14+27×3.14+42×3.14 =（31+27+42）×3.14 =100×3.14
A.x2 B.2x C.2x3 D.2x2
课程讲授
2 公因式为单项式的因式分解
提公因式法分解因式： 一般地，如果多项式的各项有 公__因__式_，可以把这个 公__因__式_ 提取出来，将多项式化成两个因式_乘__积__的情势， 这种分解因式的方法叫做提公因式法.
课程讲授
2 公因式为单项式的因式分解
课程讲授
2 公因式为单项式的因式分解
例2 把下列各式因式分解： (1) 3 x x3 (2) 7 x3 21x2 (3) 8a3b2 12ab3c ab (4) 24 x3 12 x2 28 x 解：(1)3x+ x3=x ·3+x·x2=x(3+x2)； (2)7x3－ 21x2=7x2·x －7x2·3=7x2(x－3)；
课程讲授
2 公因式为单项式的因式分解
(3)8a3b2 －12ab3c+ab=ab·8a2b－ ab·12b2c +ab·1= ab(8a2b －12b2c+1)； (4)－24x3+ 12x2－28x =－(24x3 －12x2+28x)=－(4x·6x2 － 4x·3x+4x·7)=－4x(6x2 －3x+7).
《分解因式》PPT课件3-北师大版八年级数学下册
6、分解因式
4a4-a2 =诊断分析:
如果多项式的各项含有公因 式, 那么先提取这个公因式, 再进一步分解因式。
7、x2+kx+9是完全 平方式，则k=6．
诊断分析:
完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2 ，
a2-2ab+b2=(a-b)2, x2+kx+9可是其 中任何一个，则k应该考虑两个值．
解：(y-3)(y+5)+ (y-3)2 - (y-3)(2y+5) =15
(y-3)[(y+5)+( y-3) –( 2y-5)]=15 (y-3)(y+5+y-3–2y+5)=15 -3(y-3 ) =15 y-3 =-5 y=-2
3．利用分解因式计算:
(1) 32005-32004 (2) 6．42-3．62 (3) 992+198+1
4． 对于任意自然数n，(n+7)2(n-5)2 是否能被24整除?
解:(n+7)2-(n-5)2 =[(n+7)+(n-5)][(n+7)-(n-5)] =12(2n+2) =24(n+1) 故能被24整除
从前有个牧民, 辛苦一辈子所得的 全部财产是17匹马。临终前, 他把三 个儿子叫到身边留下遗嘱:“孩子们啊！ 我把17匹马留给你们, 老大得1/2, 老 二得1/3, 老三得1/9, 把马分完, 但 不许把马宰了在分。”事后, 三兄弟 在一起商量了很久, 始终无法按老人 的意图把马分开。
把x4+4分解因式
“借马还马”的思想给我们 的启示: x4+4 = x4+4x2+4-4x2
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动脑筋 2 n n是奇数还是偶数？
25 5 能被120整除吗 ?
7 12
若n是整数,证明 2 2 (2n+1) -(2n-1) 是8的倍 数.
1下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，为什么？
1 (5) x 1 x(1 ) (6) x2+1=(x-1)(x+1) x 2 2. 2008 +2008能被2008整除吗?能被2009整除 吗?
①x2+1=x(x+ 1 ) ② a 2-4=( a +2)( a -2) ③ a 2-b2+1=( a +b)( a -b)+1 ④ 9a2b3=3a.3ab2
3x(x-1) (1) 3x2-3x=_______ (m+4)(m-4) (2) m2-16=__________
(y-3)2 (3) y2-6y+9=______
(4) a3-a=___________ a(a+1)(a-1)
(5)ma+mb+mc
m(a+b+c) =___________ 因式分解与整式乘法正好互为逆运算。
做一做
计算下列各式: 根据左面的算式填空:
3x2-3x (1) 3x(x-1)= _____ 2-16 m (2) (m+4)(m-4)= ____ y2-6y+9 (3) (y-3)2= _______ 3-a (4) a(a+1)(a-1)= a ____ ⑸ m(a+b+c) ma+mb+mc =_________
3 . (x-2)(x+7)是多项式x2-mx-14因式分解的 结果,求m
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
挑战自我
• （1）．（结论开放题）多项式x2+px+12可 分解为两个一次因式的积，整数p• 的值可以 是_______．[提示：可设x2+px+12=（x+a） （x+b），只写出一个即可] • （2）．（规律探究题）试探究817－279－ 913能否被45整除ຫໍສະໝຸດ a (a 1)2
a (a 1)(a 1) (a 1) a (a 1)
所以, 993-99能被100 整除. 关键是把一个数式化 成几个整数的积的形式
因式分解定义
几个整式的积 把一个多项式化成____________ 的形式,这种变形叫做把这个多项 式 分解因式
第三章 §3.1
分解因式
993-99能被99整除吗? 能被100整除吗? 小明是这样想的:
993-99=99×992-99 ×1 =99 ×(992-1) =99 (99+1)(99-1) = 99×100×98
你能尝试把 化成几个整式的积 的形式吗?
a3 a
a a aa a
3 2