精算数学第二章习题
保险精算年金20题练习
保险精算第二章：年金应数131 刘燕成 1345312220道练习题1．证明()n m m n v v i a a -=- 证： ()11()m nn m m n v v i a a i v v i i---=-=- 2．某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A ，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付10年。
年计息12次的年名义利率为8.7% 。
计算购房首期付款额A 。
解 ：12012011000100079962.96(8.7%/12)16000079962.9680037.04v a i i-===∴-= 3. 已知7 5.153a = , 117.036a =, 189.180a =, 计算 i 。
解：718711110.08299a a a i i ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭∴= 4．某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。
年利率为10%，计算其每年生活费用。
解： 10101015000112968.7123a x a i x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭∴= 5．年金A 的给付情况是：1～10年，每年年末给付1000元；11～20年，每年年末给付2000元；21～30年，每年年末给付1000元。
年金B 在1～10年，每年给付额为K 元；11～20年给付额为0；21～30年，每年年末给付K 元，若A 与B 的现值相等，已知1012v =，计算K 。
解： 10201010102010101110002000100011111800A a a a i iB Ka K a i A B K ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭=∴=6． 化简()1020101a v v ++ ，并解释该式意义。
解：()102010301a v v a ++=7. 某人计划在第5年年末从银行取出17 000元，这5年中他每半年末在银行存入一笔款项，前5次存款每次为1000元，后5次存款每次为2000元，计算每年计息2次的年名义利率。
保险精算《利息理论》年金练习题
中华精算师考试网ww w.1000js s .co m 第二章练习题重点练习题2102028404549576671§2.1 1如果它们前十年每年底存款1000元年利率7计算X651.72价值10,000元的新车每月底还250元月结算名利率18计算首次付款金额1489.36n 年实利率i =1/n4 | n a =X用X 和Y 表示d])(11nXX Y −− 已知| 11a =7.036计算i8.3% 证明7半年结算名利率6计算下面年金的现值共计4年减为每次100元8现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元然后共计15年910. 求证| n a&& = | n a + 1 21 + ni )1(+11. 求证| 2 | 3n n s s &&&& = 112. 从1980年6月7日开始直至1991年12月7日12中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 中华精算师考试网 w w w .1000j s s .co m 13. 现有价值相等的两种期末年金A 和B10年和第21在第11年金B 在第130年中每年Y 元20年中没有10v=1/214. 已知年金满足另外计算i7%| 11 | 7a a =| | | | 3Z Y X s a s a ++Y 和Z]1[3015 | 15v v a ++首次在下一年的4月1日半年结算名利率918. 某递延永久年金的买价为P写出递延时间的表达式δ)ln(iP ) 19. 从现在开始每年初存入1000元从第三十年底开始每年领取一定 的金额X 计算X 1000[30)1(i + 20. 某人将遗产以永久年金的方式留给后代A C前n 年B 和C 三人平分每年的年金如果四人的遗产份额的现值相同21. 永久期末年金有A CA 接受第一个n 年C 接受第三个n 年已知求B 与D 的份额之比30/49的贷款从第五年底开始每年还贷100元如果最后一次的还款大于100元23. 36年的期末年金每次4元两者现值相等计算n9每月底还100元K 个月后一次还6000元25. 已知求i7524−中华精算师考试网ww w.1000js s .c o m 26. 某人得到一万元人寿保险赔付20年的期末年金为每年1072元27. 某人在银行中存入一万元10年定期存款银行将收取余额的5已知5且第十年底的余额为一万元28. 贷款P 从第六个月开始分十年逐年还清前四年半的年利率为i计算首次付款金额X 的表达式1)1(22)1( | 64 | 421−+++=−j i a i i PX 每两年付款2000元已知半年名利率为7824前5年每季度初支付400元已知年利率为1246632. 给出下面年金的现值111933. 750元的永久年金和每10年付款750元的永久年金可以用每次R 元的30年期末年金代替(| 60| 2 | 4040 | 2]1[37500a s a v s R +=计算年利率20%1元永久期初年金的现值为20计算R1.95期初每半年500元000元中华精算师考试网w w w.1000j s s .co m 37. 如果计算i1/30现在开始每四个月1元)4( i t+=11 tδ40. 已知一年内的连续年金函数为常数1使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位41. 已知=.0842. 现有金额为40,000元的基金以4同时每年以2400元的固定速连续地从基金中取钱§2.343. 已知某永久期末年金的金额为3…另外计算该永久年金的现值66用这种表达式给出如下25年递减年金的现值然后每次减少3元半年一次800700350A = .08| 10a 325A的十年储蓄然后每年递增5计算第十年底的余额16,607第5第7第9依此类推vdi v −410048. 十年期年金4月1日200元10月1日400元)4(| 1)4( | 10)(1600a I a &&&& 49. 从现在开始的永久年金然后每半年一次50. 某人为其子女提供如下的大学费用共计4年)12(| 129 | 46000aa &&&&第一个K 年每年底还R第三个K中华精算师考试网ww w.1000j s s .co m 年每年底还3R给出现值表达式2| | )(k k ia a R&&20X 表示首次付款从第三年底开始的永久年金2…计算贴现率1/21首次1元4v=0.7554. 永久连续年金的年金函数为年利率i0<k <i55. 递延一年的13年连续年金的年金函数为利息力为计算现值56. 给出∑nt Ia 1|)(和∑nt Da 1|)(的表达式2| 2 | )1(2;2)1(i a n n n ii nv a i n n nn +−++−+&&AB,2q ,3q ,…的递增期末年金58. 某零件的使用寿命为9年另一种产品单价增加X假定在此期间两种产品的价格均以年增4要使两种产品无差异的X 为多少]1[2| 45 | 9 | 15 | 36−a a a a59. 计算m +n 年的标准期末年金的终值前m 年年利率7后n 年年利率11.07 | m s=3460. 甲持有A 股票100股两种股票都是每股10元共计10年甲以每股2元的价格将所有的股票出售,而且的收益率将红利收入和股票出售的收入进行投资从第11年底开始每年得到红利0.80元进行投资为了使甲乙在乙的股票出售时刻的累积收入相同20和25三种情况计算乙的股票出售价格2.561. 某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动结算利息从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐款5000元中华精算师考试网w w w.1000js s .co m 每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖金62. 已知贷款L 经过N次利率i记每次的还款为1K 63. 已知贷款L 经过N 次利率i比较新的还款次数与N/2的大小年利率6问余额首次超过一万元33共计10年两帐户年利率均为5问66. 已知B =in s | 1+67. 已知A =in a | 2B =in a | 2A =in a| 分别对以上三 种情况给出i 的表达式且L >nL =in a | 在69. 证明i n s | 1+=i n Is i | )(+(n +1)70. 当i > 0证明71. 某雇员在退休前的第37年参加企业养老金计划然后每年以4假定提薪恰好在每年的年中进行分别对以下两种退休金方式计算年退休金占退休前一年年薪的比例再乘以工作年限如果企业和个人分别将年工资的3的养老基金49.8%7.9472. 已知永久期初年金为第二年初1+2=3元依此类推证明该年金的现值为0时刻的年金为0F中华精算师考试网ww w .1000js s .co m 金终值)(t f F dtdF t t+=δ年利率4计划分40次按季度等额偿还B希望立即收回所有借款转卖价格使C 今后几年的年收益率将达到6计算转卖价格4147A第10年底收益100元10年间每年底收益100元计算投资B 的成本505| 5a = 3.982| 15a= 8.50777. 某人有3700元的借款问78. 永久年金A 有如下的年金方式1223…K2K3K…计算K| 3 | 2aa 12114每年底支付80. 在5年中每年初存入100元计算单利率881. 实利率i 满足以下条件1 , n 的现值为A试给出| n a的表达式的帐户一旦帐户余额低于$1000计算正常提取的次数t δ = ln(1+2k)和| 4a 计算K期限20年期限10年两个年金的现值相同中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 。
非寿险精算课后习题答案（中精-主编韩天雄）
⾮寿险精算课后习题答案（中精-主编韩天雄）第⼀章 1T0.09811S ==2T5.6569σ== 3T[]{}()14%,25%, 1.1,()12.5%,20.2%, 2.6%()0.1036()0.456()()0.0051p p p m m F p Fp p Fpp F p m F E R E R R E R R Treynor E R R Sharpe Jensen s alpha E R R E R R σβσβσβ======-= =-=='=-+-=度量值度量值度量值4T[]{}()0.099()0.4091()()()()0m Fm m Fmm F m m F m m E R R Treynor E R R Sharpe Jensen s alpha E R R E R R E R E R βσβ-==-=='=-+-=-=度量值度量值度量值5T[]{}()() 1.2%p F p m F Jensen s alpha E R R E R R β'=-+-=-度量值 6T0.950.90.810,10,0ξξξ===7T0.990.990.990.990.99()0.9933330.99109109330.99109332.326109286.53P X X P ξξξξξ≤=--??≤= -??Φ= -== 8T222()331()109(1)(2)39.65992.2018E X r r Var X r r r θθθ?==?-==?--?=??=? 0.950.950.990.99()110.95114.9510.99 281.48rrrF x x Q Q Q Q θθθθθθ??=- ?+??-= ?+=??-= ?+?=9T()[]011()11pprQ Q p r pE X QF x dx dx x r Q θθθθθ-??∧=-= ?+??=--+111()()111111111p p p r p pr p pCTE Q E X E X Q p Q p r r Q Q p r Q θθθθθθθ--??=+-∧?-=+-- ??---+=+??--+0.950.990.950.9939.66, 2.20,114.95,281.48243.60548.70r Q Q CTE CTE θ====∴==15T()222212112212|111111p p p p p p x Q x x Q Q Q CTE E X X Q dx p dx dx p p pµσµµσσµσµ-??-+∞----+∞+∞ ? ?-??- ? ???=>==+-- 0.950.950.950.950.95()0.95330.9510933 1.645109212.29257.89P X Q Q Q Q CTE ≤=-??Φ= -==∴=第⼆章 2T（1）从表中可以得出索赔额组中值i i f X 和索赔频率1841600121610122101====∑∑=-=i i i i i i f x X f x X由题知)(~2σ，u LN X ，对数正态分布的期望和⽅差如下：()()()122222-==++σσσeeX Var X E u u根据矩估计法可知：()211216222=--=-=++X X n ne e eu u σσσ由此可以求得：47.099.6==∧∧σu（2）()()%27.0748.214000ln 4000ln =-=->-=>φσσu u P P x x3T每份保单赔款次数X 服从泊松分布，X 的概率密度函数为： ())32,10(!，，==-k k ex f kλλ由极⼤似然估计可以得到：X nXni ==∑=∧1iλ⽽且1965.01==∑=ni i i f x X所以1965.0=∧λ 5T韦伯分布的分布函数为：()rcx e X F --=1令7.012.01=-=---rrcx cx ee解得韦伯分布的20%和70%分位数：()()rrc x c x 17.012.03.0ln 8.0ln ?-=?-=根据观测数据可以知道：8.02.07.02.0==x x令()()8.03.0ln 2.08.0ln 11=??-= -rrc c 解得12.135.1==r c7T指数分布的概率密度函数为()xex f λλ-=，由极⼤似然估计得到220011==∧Xλ 2x 分布检验的检验假设：0H ：赔款额分布服从参数22001=λ的指数分布 1H ：赔款额分布不服从参数22001=λ的指数分布显著⽔平005.0=α，查⾃由度为41161=--=--k n 的2x 分布表，得到分位数14.86，所以拒绝域为86.142≥x 赔款额落在0~100的理论概论为：()3653.0220011000022001000==≤≤-?dx e X P x同理可得8.2312=E 2.1473=E 4.934=E 3.595=E 1036=E()86.1489.3316122≥=-=∑=i ii i E E Q x在拒绝域范围内，所以拒绝原假设0H ，不能⽤指数分布模拟个别理赔分布。
保险精算教学大纲和习题及答案
保险精算教学大纲本课程总课时：课程教学周，每周课时第一章：利息理论基础本章课时：一、学习的目的和要求1、要求了解利息的各种度量2、掌握常见利息问题的求解原理二、主要内容第一节：实际利率与实际贴现率一、利息的定义二、实际利率三、单利和复利四、实际贴现率第二节：名义利率和名义贴现率第三节：利息强度第二章年金本章课时：一、学习的目的和要求1、要求了解年金的定义、类别2、掌握年金问题求解的基本原理和常用技巧二、主要内容第一节：期末付年金第二节：期初付年金第三节：任意时刻的年金值一、在首期付款前某时刻的年金值二、在最后一期付款后某时刻的年金积累值三、付款期间某时刻的年金当前值第四节：永续年金第五节：连续年金第三章生命表基础本章课时：一、学习的目的与要求1、理解常用生命表函数的概率意义及彼此之间的函数关系2、了解生存函数与生命表的关系并掌握寿险生命表的特点与构造原理3、掌握各种分数年龄假定下，分数年龄的生命表函数的估计方法二、主要内容第一节生命函数一、分布函数二、生存函数三、剩余寿命四、取整余命五、死亡效力六、生存函数的解析表达式第二节生命表一、生命表的含义二、生命表的内容第四章人寿保险的精算现值本章课时：一、教学目的与要求1、掌握寿险趸缴纯保费的厘定原理2、理解寿险精算现值的意义，掌握寿险精算现值的表达方式及计算技巧3、认识常见的寿险产品并掌握各种产品趸缴纯保费的厘定及寿险精算现值方差的计算4、理解趸缴纯保费的现实意义二、主要内容第一节死亡即付的人寿保险一、精算现值的概念二、n年定期保险的精算现值（趸缴纯保费）三、终身寿险的趸缴纯保费四、延期寿险的趸缴纯保费五、生存保险与两全保险的趸缴纯保费第二节死亡年末给付的人寿保险一、定期寿险的趸缴纯保费二、终身寿险的趸缴纯保费三、两全保险的趸缴纯保费四、延期寿险的趸缴纯保费第三节死亡即刻赔付保险与死亡年末赔付保险的精算现值的关系第四节递增型人寿保险与递减型人寿保险一、递增型寿险二、递减型寿险三、两类精算现值的换算第五章年金的精算现值本章课时：一、学习目的与要求1、理解生存年金的概念2、掌握各种场合计算生存年金现时值的原理和技巧。
保险精算第二版习题及问题详解
保险精算（第二版）第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。
保险精算习题
1．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
2．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。
3．基金A 以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B 以利息强度6t tδ=积累，在时刻t (t=0)，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。
4. 基金X 中的投资以利息强度0.010.1t t δ=+(0≤t ≤20), 基金Y 中的投资以年实际利率i 积累；现分别投资1元，则基金X 和基金Y 在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y 的积累值。
5.某银行推出2年期存单，年利率为9%，存款者若提前支取则面临两种可供选择的惩罚方式：变为活期存款，年利率为7%；损失3个月的利息。
某存款人拥有这种存单但要在第18个月末时支取，试问该人该选择哪种惩罚方式？第二章：年金练习题1．证明()n mm n v v i a a -=-。
√2．某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A ，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付10年。
年计息12次的年名义利率为8.7% 。
计算购房首期付款额A 。
√3. 已知7 5.153a = , 117.036a =, 189.180a =, 计算 i 。
√4．某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。
年利率为10%，计算其每年生活费用。
√5．年金A 的给付情况是：1～10年，每年年末给付1000元；11～20年，每年年末给付2000元；21～30年，每年年末给付1000元。
年金B 在1～10年，每年给付额为K 元；11～20年给付额为0；21～30年，每年年末给付K 元，若A 与B 的现值相等，已知1012v =，计算K 。
中国精算师《数学》过关必做1000题(含历年真题)随机变量与分布函数【圣才出品】
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【解析】指数分布的密度函数为
，X 服从均值为 2 的指数分
布，则 = ,Y 服从均值为 4 的指数分布，则
。X、Y 相互独立，则 f（X）f（Y）=f
（XY）,联合分布 P（X≥Y）=∫∫f（x，y）dydx，X 取值（0，∞），Y 取值（－∞，X），代
8．设随机变量X 在 上服从均匀分布，现对X进行3次独立观测，则至少2次观测值 大于3的概率等于（ ）。[2008年真题]
A．1/2 B．20/27 C．17/21 D．7/11 E．11/13 【答案】B
【解析】设Y为3次观测值中观测大于3的次数，由于
，则
，故所求概率为：
9．设随机变量X 的概率密度为
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第 2 章 随机变量与分布函数
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确 选项的代码填入括号内）
1．两人相约 7 点到 8 点在某地会面，先到者等候另一个人 10 分钟，过时就离去。假 设两人到达的时间服从均匀分布且相互独立，则两人能会面的概率为（ ）。[2011 年真 题]
，得： ，故
13．对二维随机变量（X，Y），
，
，
则
等于（ ）。[2008年真题]
A．3/4
B．5/6
C．5/7
D．6/7
E．9/11
【答案】C
【பைடு நூலகம்析】
14．设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为
，
，
，
，则下列选项中正确的是（ ）。[2008年真题]
A．
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保险精算第二版习题及答案
保险精算（第二版）第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t a tb =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+=2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814ia ia =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d dii δ<<<<。
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精算数学第二章习题
1. 30岁的人购买两年期定期保险，保险金在被保险人死亡的年末给付，保单年度t 的保额为bt ，已知条件为：q30=0.1，b2=10－b1，q31=0.6，i=0，Z 表示给付现值随机变量，求使得V ar(Z)最小的b1的值。
2. 已知：lx=100－x ，0≤x ≤100，i=0.06，则求 的值。
3.
4. 小张为现年60岁的母亲购买了一份终身寿险保单，保单利益为：若被保险人在保险期第一年内死亡，则在年末给付保险金7000元；若在第二年内死亡，则在年末给付保险金7100元，即在以后，死亡时间每推迟一年，保险金额增加100元。
已知i=2%， M60=184.857509，D60=274.336777，R60=3538.387666。
求这种寿险的保费。
5. 现年30岁的王先生购买了保额为1的20年期的连续型定期寿险，已知生存函数为：s(x)=1－x/100(0≤x ≤100)，设年利率为i=0.10。
求此保险给付数额在签单时的现值Z 的方差V ar(Z)。
30:10A 1
10:10:100.240.350.5x x x x A A A A +=== =
已知：，，。
则（）。
6.
7. 有一份按年递增的期初付终生生存年金，第一年金额为100元，第二年为200元，以后每过一年给付金额增加100元，i=0.06，其生存模型为：
求该年金的精算现值。
8. 对于连续型终身生存年金，已知lx=100000(100－x)，0≤x ≤100，
i=6%，则
k 1 2 3 4
k
a 1.00 1.93 2.80 3.62 k -1q x
0.33 0.24 0.16 0.11
()x a = ：4
根据以下条件计算。
x 90 91 92 93 l x
100
72
39
35a =
（ ）。