高中数学第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质第二课时平面与平面垂直的性质课件
高中数学 必修二-第一章 立体几何初步 知识点整理
底面为三角形、四边形、五边形„„的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥„„，
其中三棱锥又叫四面体。
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必修二
正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质： ①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形； ②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，棱锥的高、侧棱和侧 棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 （4）棱台的结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱 锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的 下底面和上底面；其它各面叫做棱台的侧 面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； 底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点； 当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底 面交点间的线段叫做棱台的高。 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的性质： ①各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形；②两底面以及平行于底面的截面是相似多边 形；③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；④两底面中心连线、侧 棱和两底面外接圆相应半径组成一个直角梯形；⑤正棱台的上下底面中心的连线是棱台的 一条高；⑥正四棱台的对角面是等腰梯形。
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必修二
②在已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′ 轴的线段。
③在已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段， 长度变为原来的一半。
用斜二测法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放 置的平面图形的关键是确定多边形的顶点。因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这 些顶点就可画出多边形。
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。平行投影的投影线是平行的。在 平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。
新人教B版高中数学必修二教学课件 第一章 立体几何初步 1.2.3《(第2课时)平面与平面垂直》
∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC， ∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC， 又AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC．
[点评]
已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直
线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线 与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中， 高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看 到：面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．
求证：平面ABC⊥平面SBC．
[ 解析]
解法一：取 BC 的中点 D，连接 AD、SD.
由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角 形，则 AB＝AC． ∴AD⊥BC，SD⊥BC． 2 令 SA＝a，在△SBC 中，SD＝ 2 a， 2 又∵AD＝ AC －CD ＝ 2 a，
2 2
∴AD2＋SD2＝SA2. 即 AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面 SBC． ∵AD⊂平面 ABC， ∴平面 ABC⊥平面 SBC．
[解析]
∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC． 又∵CC1⊥底面ABC，AD⊂平面ABC， ∴CC1⊥AD. 又BC∩CC1＝C， ∴AD⊥平面BCC1B1. 又AD⊂平面AC1D，
∴平面AC1D⊥平面BCC1B1.
三棱锥 S －ABC 中，∠ BSC ＝ 90°，∠ ASB＝ 60°，∠ ASC ＝60°，SA＝SB＝SC．
当 F 为 PC 的中点时，满
足平面 DEF⊥平面 ABCD. 取 AD 的中点 G，PC 的中点 F，连 接 PG、BG、DE、EF、DF，则 PG⊥ AD，而平面 PAD⊥面 ABCD， 所以 PG⊥平面 ABCD.在△PBC 中， EF∥PB； 在菱形 ABCD 中，GB∥DE，而 EF⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE ＝E，∴平面 DEF∥平面 PGB.又 PG⊥平面 ABCD，PG⊂平面 PGB， ∴平面 PGB⊥平面 ABCD，∴平面 DEF⊥平面 ABCD.
高中数学第1章立体几何初步1.2点、线、面之间的位置关系1.2.4第二课时两平面垂直课时作业苏教版
2018-2019学年高中数学第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.4 第二课时两平面垂直课时作业苏教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.4 第二课时两平面垂直课时作业苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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1。
2.4 第二课时两平面垂直［学业水平训练]1。
已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,如图所示，图中互相垂直的平面有________对．解析：∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，∴平面AC⊥平面PAD，平面AC⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PDC⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，共5对．答案：52.如图，四面体P—ABC中，PA＝PB＝错误!，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8,BC＝6，则PC＝________.解析：取AB的中点E,连结PE，PA＝PB，∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC,∴PE⊥平面ABC，连结CE，所以PE⊥CE.∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝2错误!，PE＝错误!＝错误!，CE＝BE2＋BC2＝错误!，PC＝PE2＋CE2＝7.答案：73．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝错误!，那么二面角P—BC-A的大小为________．解析:取BC的中点O,连结OA,OP（图略），则∠POA为二面角P-BC-A的平面角，OP＝OA＝3，PA＝错误!，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.答案：90°4。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.6.2 垂直关系的性质 第二课时 平面与平面垂直的性质高效测评
二课时平面与平面垂直的性质高效测评北师大版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.6.2 垂直关系的性质第二课时平面与平面垂直的性质高效测评北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二课时平面与平面垂直的性质高效测评北师大版必修2一、选择题(每小题5分，共20分）1．下列推理中错误的是( ）A．如果α⊥β,那么α内所有直线都垂直于平面βB．如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于平面βC．如果α不垂直于β,那么α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ解析: 因为当α⊥β时，α内垂直于α与β的交线的直线垂直于β，不是α内所有直线都垂直于β。
答案：A2．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则( ) A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面都垂直解析：因为直线a垂直于直线b，b不一定是平面β与α的交线,所以a不一定垂直于平面β。
答案：C3．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则（)A．l∥γB．lγC．l与γ斜交D．l⊥γ解析：在γ面内取一点O，作OE⊥m,OF⊥n，由于β⊥γ，γ∩β＝m，所以OE⊥面β，所以OE⊥l,同理OF⊥l，OE∩OF＝O，所以l⊥γ.答案：D4．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( ）A．0条B．1条C．2条D．无数条解析: 若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．答案：A二、填空题（每小题5分,共10分)5．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α,P∉l，则下列结论中正确的为________．(只填序号)①过P垂直于l的平面垂直于β;②过P垂直于l的直线垂直于β；③过P垂直于α的直线平行于β；④过P垂直于β的直线在α内．解析：由面面垂直的性质定理可知，只有②不正确．答案：①③④6．若构成教室墙角的三个墙面记为α,β，γ，交线记为BA，BC，BD，教室内一点P到三墙面α，β,γ的距离分别为3 m，4 m,1 m,则P与墙角B的距离为________m.解析：过点P向各面作垂线,构成以BP为体对角线的长方体．答案: 26三、解答题（每小题10分,共20分）7.如图所示,α⊥β，CDβ，CD⊥AB，ECα，EFα，∠FEC＝90°。
高中数学第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质第一课时直线与平面垂直的性质北师大版必修
1 ∴NB＝ON＝2AN. 又∵AB＝3AQ，∴Q 为 AN 的中点． 在△CAN 中， ∵P，Q 分别为 AC，AN 的中点， ∴CN∥PQ. 由 ON⊥OA，OC⊥OA 知 OA⊥平面 ONC， 又∵NC 平面 ONC，∴OA⊥NC， 由 CN∥PQ 知 PQ⊥OA.
线面垂直性质定理的应用 如图所示，△ABC 是正三角形，AE 和 CD 都垂直于平面 ABC，且 AE＝AB＝2a，CD＝a，F 为 BE 中点． 求证：DF∥平面 ABC.
[思路探究] 要证DF∥平面ABC，关键是在平面ABC内找到一条直线与DF 平行，结合题目条件，可以利用作辅助线构造平行四边形的方法找这条直线．
6.2 垂直关系的性质 第一课时 直线与平面垂直的性质
自主学习·新知突破
1．在平面几何中我们有结论：“垂直于同一条直线的两直线平行”，这个结 论在空间还成立吗？如果不成立，这两条直线的位置关系又有哪些可能呢？
[提示] 不成立，在空间，垂直于同一条直线的两条直线既可能是平行的， 也可能是相交的，也可能是异面直线．
文字语言
图形语言
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两 条直线_平__行___.
符号语言
a⊥α b⊥α⇒ __a_∥_b___
[强化拓展] (1)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同 一个平面垂直)． (2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直” 与“平行”关系相互转化的依据．
A．AC
B．BD
C．A1D1
D．A1A
解析： 可证 BD⊥平面 AA1C1C，而 CE 平面 AA1C1C，故 BD⊥CE. 答案： B
高中数学第一章立体几何初步1.6垂直关系1.6.2垂直关系的性质学案北师大版必修2(2021学年)
2017-２018学年高中数学第一章立体几何初步1．６垂直关系１.6.２垂直关系的性质学案北师大版必修２编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(２017-201８学年高中数学第一章立体几何初步1．6 垂直关系 1.6．2 垂直关系的性质学案北师大版必修２）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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６.2 垂直关系的性质1.理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理。
（重点)2．理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化．(难点、易错点)3．能灵活地应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题。
(难点)[基础·初探］教材整理1 直线与平面垂直的性质定理阅读教材P３９“练习2”以下至P40“例３”以上部分，完成下列问题。
1．文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行．２.符号语言:ｌ⊥α,ｍ⊥α⇒l∥m.3。
图形语言:如图１６。
18所示.图16。
１84。
作用：证明两直线平行．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )A.相交Ｂ。
平行C。
异面Ｄ。
相交或平行【解析】圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确。
【答案】Ｂ教材整理2 平面与平面垂直的性质定理阅读教材P40“例3"以下至P41“例4"以上部分,完成下列问题。
1．文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
2017年高中数学 第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.3.2 平面与平面垂直课件 新人教B版
平面互相垂直.
归纳总结 关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、 面面垂直的相互转化,每一种垂直的判定都是从某一种垂直开始转 向另一种垂直,最终达到目的,其转化关系如下图所示:
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一 对面面垂直关系的理解
A.①②③
B.①②③④
C.②③ D.②③④
答案:C
12345
3.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,则下列命题中错误的是 ( ) A.如果直线a⊂α,那么直线a必垂直于平面β内的无数条直线 B.如果直线a⊂α,那么直线a不可能与平面β平行 C.如果直线a⊂α,a⊥l,那么直线a⊥平面β D.平面α内一定存在无数多条直线都垂直于平面β内的所有直线 答案:B
(1)证明第三个平面与两个相交平面的交线垂直; (2)证明这两个相交平面与第三个平面的交线垂直; (3)根据定义,这两个平面互相垂直.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面 ABC1D1⊥平面A1B1CD.
证明:如图,平面ABC1D1∩平面A1B1CD=MN,
⊂
������,������⋂������ ������ ⊥ ������,������
= ������ ⊥ ������
⇒l⊥α;
③利用推论:a∥b,a⊥α⇒b⊥α; ④利用结论:α∥β,a⊥α⇒a⊥β; ⑤利用面面垂直的性质:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.
(2)证明面面垂直的方法:
证明:连接AC交BD于点O,连接OE. 因为O为AC的中点,E为PA的中点, 所以EO是△PAC的中位线,EO∥PC. 因为PC⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD. 又因为EO⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABCD.
高中数学第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质课件北师大版必修2
∴AM＝a，EM＝MB＝a. ∴AE＝AB＝ 2a. ∴AE2＋AB2＝EB2，∴AE⊥AB. 又∵平面 ABCD⊥平面 ABEF，平面 ABCD∩平面 ABEF＝AB，AE 平面 ABEF， ∴EA⊥平面 ABCD.
• 方向4 证明平面和平面垂直 • 【例3－4】 如图，在四面体ABCD中， • 平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC， • DC⊥BC.求证：平面ABD⊥平面ACD. • 证明 ∵平面ABC⊥平面BCD，平面 • ABC∩平面BCD＝BC，在平面ABC内， • 作AE⊥BC于点E， • 如图，则AE⊥平面BCD. • 又CD 平面BCD，∴AE⊥CD.
•又∵PA⊥平面ABC，BC •∴PA⊥BC， •又∵PA∩AD＝A， •∴BC⊥平面PAB. •又AB 平面PAB， •∴BC⊥AB.
平面ABC，
方向 3 ABCD 所在平面
与四边形 ABEF 所在平面互相垂直，AF∥BE， AF⊥EF，AF＝EF＝12BE.求证：EA⊥平面 ABCD. 证明 设 AF＝EF＝a，则 BE＝2a. 过 A 作 AM⊥BE 于 M， ∵AF∥BE，∴AM⊥AF. 又∵AF⊥EF，∴AM∥EF. ∴四边形 AMEF 是正方形．
6.2 垂直关系的性质
•学习目标 1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂 直的性质定理(重点)；2.能运用性质定理解决一些简
单问题(重点)；3.了解直线与平面、平面与平面垂直
的判定定理和性质定理间的相互联系(重、难点)．
知识点一 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行
AE∥MN. • 证明 因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD， • 所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD. • 因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD. • 又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD. • 因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD. • 又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C， • 所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
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第一章 立体几何初步
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3．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个语句： ①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β 其中正确的有________．(填序号) 解析： 以正方体或教室为模型可以判断出①不正确，②③均正确． 答案： ②③
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又∵平面 ABCD⊥平面 ABEF， 平面 ABCD∩平面 ABEF＝AB， AE 平面 ABEF， ∴EA⊥平面 ABCD.
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平面和平面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么_在___一__个__平__面__内____垂直于它___们__交__线__的直
文字语言 线垂直于另一个平面．
符号语言
α⊥β α∩β＝l a α ⇒a⊥β a⊥l
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[边听边记] 证明：设 AF＝EF＝a，则 BE＝2a. 过 A 作 AM⊥BE 于 M， ∵AF∥BE，∴AM⊥AF. 又∵AF⊥EF，∴AM∥EF， ∴四边形 AMEF 是正方形． ∴AM＝a，EM＝MB＝a， ∴AE＝AB＝ 2a， ∴AE2＋AB2＝EB2，∴AE⊥AB.
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2．拿一个直尺紧贴在墙上转动，要使其与地板垂直，应让直尺与墙和地板的 交线成什么关系？
[提示] 垂直．
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1．了解并掌握平面与平面垂直的性质定理． 2．能够灵活应用平面与平面垂直的性质定理证明相关问题．
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面面垂直的性质定理的应用
如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相 1
垂直，AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝2BE. 求证：EA⊥平面 ABCD.
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4．已知 PA⊥平面 ABC，二面角 A－PB－C 是直二面角． 求证：AB⊥BC.
证明： 二面角 A－PB－C 为直二面角， 即平面 PAB⊥平面 CPB，且 PB 为交线． 在平面 PAB 内，过 A 点作 AD⊥PB，D 为垂足， 则 AD⊥平面 CPB，
A．α⊥β
B．a∥β 或 a β
C．a 与 β 相交
D．a β 或 a∥β 或 a 与 β 相交
解析： a与β三种位置关系都有可能． 答案： D
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2．已知 α⊥β，α∩β＝l，P∈l，则给出下列四个结论：
①过 P 和 l 垂直的直线在 α 内；
②过 P 和 β 垂直的直线在 α 内；
③过 P 和 l 垂直的直线必与 β 垂直；
④过 P 与 β 垂直的平面必与 l 垂直．
其中正确的是( )
A．②
B．③
C．①④
D．②③
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解析： 对于①，只要直线在过 P 与 l 垂直的平面内便与 l 垂直，不一定在 α 内，故①不对；②对；对于③，只有当这样的直线在 α 内时才能保证与 β 垂直， 故③不对；对于④，这样的平面与 l 可能斜交，故④也不对．
面面垂直转化为线面垂直．
(2)面面垂直的另外两个性质：
①若两个平面垂直，则经过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在第一
个平面内．
②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．
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[自主练习]
1．若平面 α⊥β，直线 a∥α，则( )
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图形语言
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(1)应用面面垂直的性质定理时要注意的问题
①四个条件缺一不可“α⊥β，αห้องสมุดไป่ตู้β＝l，a α，a⊥l”．
②一般要作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点，作交线的垂线，把
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第二课时 平面与平面垂直的性质
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1.如图，已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，α 内的两条直线 a、b，则 a 与 β 垂 直吗？b 与 β 垂直吗？a 与 b 相对交线 l 的位置有什么不同？
[提示] a⊥β，b与β不垂直，它们的不同点在于a与l垂直而b与l不垂直．
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[思路探究] 解答本题的关键是证明 EA⊥AB，为此应该在平面四边形 ABEF 1
中，利用 AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝2BE 等条件计算 AB、AE、BE 的长度， 利用勾股定理逆定理证明．
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又 BC⊂平面 CPB， 所以 AD⊥BC. 因为 PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， 所以 PA⊥BC， 又 PA∩AD＝A，因此 BC⊥平面 PAB， 又 AB 平面 PAB， 所以 AB⊥BC.
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