第4章-静电场中的导体

（2）由高斯定理得： ）由高斯定理得：
(r < rB ) , E2 = (rA > r > rB ) 2 4πε 0 r E3 = 0 (a > r > rA )
E1 = 0
根据电势的定义, 由于球壳接地有 U A = 0 ，根据电势的定义 点的电势为： 则O点的电势为： 点的电势为
UO = UO −U A = ∫
ห้องสมุดไป่ตู้
另一方面,设球壳 外表面电量为 另一方面 设球壳A外表面电量为 由电势叠加原理 设球壳 外表面电量为q2,由电势叠加原理
UO = Q 4πε 0 R + 4πε 0 rB QB − 4πε 0 rA QB + 4πε 0 a q2
QB 1 1 Q QB QB q2 − = ∴ r r 4πε R + 4πε r − 4πε r + 4πε a 4πε 0 B A 0 0 B 0 A 0
E A = E B = EC = 0
v v UA =UB =UC = ∫R E4 ⋅ dr =
∞
3
2q 4πε0 R3
+ +
2q 2q ED = , UD = 2 4πε 0 rD 4πε 0 rD
o
R3
R2
如图所示，在一接地导体A外有一电量为 外有一电量为Q的点电 如图所示，在一接地导体 外有一电量为 的点电 例2、 、 荷，已知点电荷与球心距离为R，空腔 的外表面 已知点电荷与球心距离为 ，空腔A的外表面 半径为a， 空腔A的外表面电量 的外表面电量。 半径为 ，求：空腔 的外表面电量。
− q_
_
在2)的基础上导体外壳接地,外表 面无电荷.
a b
c
图 导体表面电荷密度 与表面曲率半径有关
1 一般规律: σ ∝ r
对于孤立的带电体，导体表面的电荷分布规律为： 对于孤立的带电体，导体表面的电荷分布规律为： 尖锐处,曲率大处（曲率半径小） 尖锐处 曲率大处（曲率半径小） 曲率大处 面电荷密度大 平缓处,曲率小处（曲率半径大） 平缓处 曲率小处（曲率半径大） 曲率小处 面电荷密度小
解 : 由于球壳接地有 U A = 0 ，球内没有电荷
分布， 分布，因此 U O = 0
而O点的电势可看成是点电荷Q在该点的电势与球面感应电荷 在该点电势的叠加。 点电荷在该点的电势为
4πε 0 R 假设感应电荷量为q，则感应电荷在O点的电势为 q Uq = , Q 4πε 0 a R
根据U o = U Q + U q = 0, 有
§4.2 静电平衡的导体上的电荷分布
在处于静电平衡的导体内， 在处于静电平衡的导体内， r 任取高斯面，如图a， 任取高斯面，如图 ，因 E内 ≡ 0 故，处于静电平衡的导体内部 无静电荷。 无静电荷。电荷只能分布在导 图a 导体内无净电荷 体的表面上，且导体上的电荷总是保持不变。 体的表面上，且导体上的电荷总是保持不变。 在静电平衡时，不仅导体内部 在静电平衡时， 无净电荷， 无净电荷，在空腔内无其他带 S 电体的情况下， 电体的情况下，空腔内表面也 处处没有电荷， 处处没有电荷，电荷只分布在 导体的外表面。 导体的外表面。 图b 导体内包括空腔内 表面均无净电荷
rA a
QB
0
v v rB v v rA v v a v v E ⋅ dr = ∫ E1 ⋅ dr + ∫ E 2 ⋅ dr + ∫ E3 ⋅ dr
0 rB rA
v rA Q QB v B = ∫ E 2 ⋅ dr = ∫ dr = rB rB 4πεr 2 4πε 0
1 1 − r rA B
UQ =
Q
,
o a
a q2 = − Q R
A
例2、 、 如图所示，在一接地导体A内有同心带电 导体 ， 导体B， 如图所示，在一接地导体 内有同心带电 QB
A外有一电量为 的点电荷，已知点电荷与球壳 的球 外有一电量为Q的点电荷 已知点电荷与球壳B的球 外有一电量为 的点电荷， 心距离为R，空腔A的外表面半径为 ，求：（1）空腔 心距离为 ，空腔 的外表面半径为a， ：（ ） 的外表面半径为 A的内表面电量。（ ）空腔 的外表面电量。 的内表面电量。（ 的外表面电量。 的内表面电量。（2）空腔A的外表面电量
§4.3 有导体存在时静电场的分布与计算
S
v v v v E内 = 0 ∫S D ⋅vd S = ∫上底 D ⋅vd S + v v ∫下底 D ⋅ d S + ∫侧面 D ⋅ d S = ∫上底 DdS = D ∆ S = εE ∆ S = σ∆S
v n v n
∆S
∆S
h
P h
σ ∴E = ε
可见： 可见： 曲率大处 曲率小处
任意点: r E = ↓
r E0 + ↓
r E′ ↓
平衡后的场 原场 附加的场
静电平衡状态： 静电平衡状态：导体上的电荷和整个空间的电场都达 到稳定的分布。 到稳定的分布。 静电平衡条件： 静电平衡条件：（1）导体内部场强处处为零。 ）导体内部场强处处为零。
r E内 = 0
（2）导体是一个等势体。 E表面 ⊥ 表 ,即 法 n 方 ）导体是一个等势体。 面 为 线的 向
（a） ） 3、静电屏蔽的应用 、
（b） ）
（c） ）
的实心导体球， 例1、带有电荷 + q ，半径为 R1的实心导体球，同心地 、 罩上一个带电 + q ，内径为 R2 ，外径为 R3 的导体 球壳。试求：（1） 球壳。试求：（ ）静电平衡时内球和球壳的电荷分 ：（ ；（2）如图所示， 、 、 、 处的场强和电势 处的场强和电势； 布；（ ）如图所示，A、B、C、D处的场强和电势； （3）用导线把内球和球壳相连，此时的电荷分布及 、 ）用导线把内球和球壳相连，此时的电荷分布及A、 B、C、D处的场强和电势又如何？ 处的场强和电势又如何？ 、 、 处的场强和电势又如何
r E内 = 0
S
导体空腔 1)腔內 无带电体电荷 ′仅分 , q 布于 腔外 表面 腔內场强 = 0,是一等势体 , E .
q′
-
E
?
+ +
思考:腔內表面是否可带等量异号电荷? 答案:空腔內表面也处处没有电荷!
q′ + q
_ _
_ _ • +q
2)腔內有其它带电体+ q,导体腔內表面 出现− q电荷 此条件下腔內场强不为 . , 0
v v U ab = ∫a E ⋅ dl = 0
b
每一静电平衡状态下的导体，其内部的场强均为零， 每一静电平衡状态下的导体，其内部的场强均为零， 尽管各自都具有不同的电势，当它们彼此接触时， 尽管各自都具有不同的电势，当它们彼此接触时，又会 导致新的电荷分布与新的静电平衡状态， 导致新的电荷分布与新的静电平衡状态，从而具有相同 的电势。 的电势。
第4章 静电场中的导体
§4.1 导体的静电平衡条件 §4.2 静电平衡的导体上的电荷分布 §4.3 有导体存在时静电场的分布与计算 §4.4 静电屏蔽（自学）
§4.1 导体的静电平衡条件
r E0
导体:自由电荷 电场线 在外场的作用下自由运动 介质:束缚电荷 等势面 只能在原子范围内活动
r E0
r E′
解 : （1）通过球壳内任一点 ）
(a > r > rA ) 作半径为 的 作半径为r的
Q R
球形高斯面， 球形高斯面，并设空腔内表 面的感应电荷为 q1 ，应用高斯 v v 定理有： 定理有：
or BB a rA
A
Φ e = ∫S D ⋅ dS = q1 + QB
v v v 由于高斯面在球壳内， 由于高斯面在球壳内，故 D = 0 则 ∫S D ⋅ dS = 0 得 q1 = −QB ∴ q1 + QB = 0
v v R v v R v v ∞ v v U1 = ∫r E1 ⋅ dr + ∫R E2 ⋅ dr + ∫R E3 ⋅ dr + ∫R E4 ⋅ dr q q 2q = − + (r < R1 ) 4πε0 R1 4πε0 R2 4πε0 R3
R1
2 3 1 2 3
v v R v v ∞ v v U2 = ∫r E2 ⋅ dr + ∫R E3 ⋅ dr + ∫R E4 ⋅ dr
R2
3 2 3
2q = − + 4πε0r 4πε0 R2 4πε0 R3
q
q
(R1 < r < R2 )
v v ∞ v v U 3 = ∫r E3 ⋅ dr + ∫R E 4 ⋅ dr =
R3
3
v 2q v U 4 = ∫r E 4 ⋅ dr = ( r > R3 ) 4πε 0 r 所以 q 2q E A = 0, E B = , EC = 0, E D = 2 2 4πε 0 rB 4πε 0 rD q q 2q 2q UA = − + 4πε 0 R1 4πε 0 R2 4πε 0 R3 q q 2q UB = − + 4πε 0 rB 4πε 0 R2 4πε 0 R3 2q 2q UC = , UD = 4πε 0 R3 4πε 0 rD
解:
（1）据静电平衡条件和高斯定理有： ）据静电平衡条件和高斯定理有： 内球： 均匀分布在球面； 内球：电荷 + q 均匀分布在球面； 球壳： 球壳：内表面均匀分布 − q ； 外表面均匀分布 + 2q 。
s1 s2
D C B Ao
+
+
R3
R2
（2）由高斯定理，可算得： ）由高斯定理，可算得： q E1 = 0 (r < R ) E2 = (R1 < r < R2 ) 1 2 4πε0r 2q E3 = 0 ( R2 < r < R3 ) E4 = (r > R3 ) 2 4πε0r