百校联盟2019届高三TOP20十一月联考(全国Ⅰ卷)数学(理)试题(含解析)(高清扫描版)
2019届百校联盟高三TOP20二月联考(全国1卷)数学(理)试题(带答案解析)
绝密★启用前2019届百校联盟高三TOP20二月联考（全国1卷)数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．集合{}2|320A x x x =-+>，则A =R ð（ ） A ．{|2x x >或1}x < B ．{}|12x x << C ．{|2x x ≥或1}x ≤ D ．{|12}x x ≤≤2．已知复数431iz i+=+，则z ＝（ ） A ．2B ．52C D ．3．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，23a =，313S =，则6a =（ ） A ．243或127B ．81或181C ．243D ．1274．已知P 为椭圆22:19x C y +=上一点，()0,4Q ，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ） A ．3B ．5C ．D ．5．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其月用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示，则这100户居民月用电量的中位数大约为（ ）……装…………………订…………○…线…………○……※不※※要※※在※※订※※线※※内※※答※※题※※……装…………………订…………○…线…………○……A ．150B ．177.8C ．183.3D ．2006．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2.4，则输出z 的值为（ ）A ．1.2B ．0.6C ．0.4D ．0.4-7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．13B ．1C ．3D ．328．已知偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，若函数()y f x kx =-()0k >有六个零点，则（ ） A ．15k =B ．11,75k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．11,53k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．17k =9．已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作斜率为k ()0k >的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若22AF BF =，则直线l 的斜率为（ ）A ．4B ．5C ．58D ．3510．函数()sin 221f x x x =++的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，当()0,1a ∈时，方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和为（ ） A ．6πB ．8πC ．10πD ．12π11．在四面体A BCD -中，AC BC AD BD ====，AB CD x ==，则四面体A BCD -体积的最大值为（）A ．12B ．23C ．13D ．3412．函数2()(23)1f x ax a x a =--++与1()1g x x =-的图象有三个交点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()18,0-B ．1415,27⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1418,27⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．14(18,0)0,27⎛⎫- ⎪⎝⎭U第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知向量(2,3)a =，(1,2)b =-r，若()()a b a mb +⊥-rrrr()m R ∈，则m =_____________.14．532x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为____________（用数字作答）.15．已知变量x ，y 满足约束条件10220240x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数1yz x =+的最大值为______.16．如图，ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，b c =，设AOB θ∠=()0θπ<<，24OA OB ==，则四边形OACB 面积的最大值为__________.○…………订……………○……※※订※※线※※内※※○…………订……………○……三、解答题17．已知n S为等差数列{}n a的前n项和，35a=，749=S.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设2nn nab=，nT为数列{}n b的前n项和，求证：3nT<.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，4AC=，3AB=，14AA=，AB AC⊥.（1）证明：1A C⊥平面1ABC；（2）在线段11A B上是否存在点D，使得平面DBC与平面11AAC C所成的锐二面角为45︒，若存在，求出线段1A D的长度；若不存在，说明理由.19．新能源汽车正以迅猛的势头发展，越来越多的企业不断推出纯电动产品，某汽车集团要对过去一年推出的四款纯电动车型中销量较低的A车型进行产品更新换代.为了了解这种车型的外观设计是否需要改进，该集团委托某调查机构对大众做问卷调查，并从参与调查的人群中抽取了400人进行抽样分析，得到如下表格：（单位：人）（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为大众对A型车外观设计的喜欢与年龄有关？（2）现从所抽取的中年人中按是否喜欢A 型车外观设计利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送五折优惠券，求选出的3人中至少有2人喜欢该集团A 型车外观设计的概率；（3）将频率视为概率，从所有参与调查的人群中随机抽取20人赠送礼品，记其中喜欢A 型车外观设计的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20．已知动点Q 在x 轴上方，且到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1. （1）求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,1P 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 分别异于原点O ，在曲线C 的A ，B 两点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 交于点M ，求证：M 在定直线上. 21．已知函数()ln(1)1axf x x x =+-+()a R ∈. （1）若当0x >时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围； （2）比较20172019与20182018的大小.22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，轴与x 轴的正半轴重合.曲线C 的极坐标方程：4cos ρθ=，直线l 的参数方程2112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于不同的两点A ，B ，()2,1-M ，求11||||AM BM +的值.（1）当3a =时，解不等式()0f x <；（2）若存在实数x ，使得()4f x ≥成立，求a 的取值范围.参考答案1．D 【解析】 【分析】求出集合A 的值，可得A R ð的值. 【详解】解：由题意：{}{}2|320| 2 1A x x x x x x =-+>=><或，所以{}|12R C A x x =≤≤，故选：D. 【点睛】本题主要考查补集的概念，属于基础题，求出集合A 是解题的关键. 2．A 【解析】 【分析】根据复数的运算，化简复数7122z i =-，再利用复数模的运算公式，即可求解． 【详解】由题意，复数()()()()43143771111222i i i i z i i i i +-+-====-++-，所以2z ===， 故选A ． 【点睛】本题主要考查复数模长的计算，其中解答中根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】设数列{}n a 的公比为q ,由23a =，313S =，列出关于1a 与q 的方程组，可得1a 与q 的值，可得答案. 【详解】解：设数列{}n a 的公比为q ，则()1213113a q a q q =⎧⎪⎨++=⎪⎩，解之得113a q =⎧⎨=⎩，或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以5613243a =⨯=或56119327a ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算及等比数列的性质，属于基础题，求出1a 与q 的值是解题的关键. 4．D 【解析】 【分析】设点()00,P x y ,可得220019x y +=，且011y -≤≤，可得PQ 的距离用0y 表示，由二次函数的性质可得其最大值. 【详解】解：设点()00,P x y ，可得220019x y +=，且011y -≤≤，则PQ ===≤max ||PQ =故选：D. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属于基础题型，设点()00,P x y 并求出0y 的取值范围代入PQ 的距离公式进行计算是解题的关键.5．C 【解析】 【分析】根据中位数两侧的频率相等且为0.5进行计算可得答案.【详解】解：因有50%的居民用电量小于或等于中位数，居民用电量小于150度的频率为(0.00240.0036)500.30+⨯=，150~200度之间的频率为0.0060500.30⨯=，所以中位数为150~200度之间的23处，即215050183.33+⨯≈. 故选：C. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质及中位数的概念与性质，属于基础而题型. 6．D 【解析】程序运行时，变量值依次为 2.4,1y x ==，满足0x ≥， 1.2x =，1.2,0y x ==，满足0x ≥，0.6x =，0.6,1y x ==-，不满足0x ≥，执行10.60.4z x y =+=-+=-，故选D ．7．A 【解析】 【分析】由三视图可得几何体的直观图，计算可得其体积. 【详解】解：由三视图知该几何体是高为1的四棱锥，其底面是边长为1的正方形，直观图如图，所以体积2111133V =⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查由三视图还原为直观图及空间几何体的体积，其中得出该几何体是底面是边长为1的正方形，高为1的四棱锥是解题的关键. 8．B 【解析】 【分析】由已知可得()f x 为周期函数且2T =，作出函数()y f x =与y kx =的图象，由函数()y f x kx =-()0k >有六个零点，数形结合可求出k 的取值范围.【详解】解：由题意：()f x 为偶函数，故()()f x f x =-，且(1)(1)f x f x +=-， 故可得：(2)[1(1)]()()f x f x f x f x +=-+=-=， ()f x 为周期函数且2T =， 由[]0,1x ∈时，()21xf x =-，作出函数()y f x =与y kx =的图象，如图函数()y f x kx =-()0k >有六个零点， 当两图象在区间()5,7上有一个交点时满足条件，故可得：()()550770f k f k ⎧-⎪⎨-⎪⎩＞＜，可得150170k k -⎧⎨-⎩＞＜，1175k ＜＜，所以11,75k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的周期性与函数零点的性质，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题. 9．B 【解析】 【分析】因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连接2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，由双曲线的性质可得12AF x =-，12BF x =+，2F M ==，求出x 的值，可得12tan MF F ∠的值，可得直线l 的斜率. 【详解】解：如图，因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连接2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，因为212AF AF -=，则12AF x =-，又因为122BF BF -=，则12BF x =+，11||4AB BF AF =-=，则||||2AM BM ==，则2F M ==x =，所以2121tan F M MF F F M∠===l. 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，直线与双曲的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题. 10．C 【解析】 【分析】求出()g x 的解析式，画出函数()y g x =与函数y a =的图象，可得方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和.【详解】解：()sin 2212sin 213f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，向右平移6π个单位长度后得到()2sin 21g x x =+.画出函数()y g x =与函数y a =的图象如图，共有8个交点，其中交点A ，D 和B ，C 关于34x π=对称，交点E ，H 和F ，G 关于74x π=对称，所以32A D B C x x x x π+=+=，72E HFG x x x x π+=+=，故所有交点横坐标之和为10π，则方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和为10π.故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移及正弦函数的图像与性质，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题. 11．B 【解析】 【分析】根据已知条件的对称性，把四面体放入长方体中，可得2222x a b ==，2262x c -=，故可得4163A BCD V abc abc abc -=-=，由不等式的性质可得其最大值. 【详解】解析一：根据已知条件的对称性，把四面体放入长方体中，如图设OA a =，OB b =，OD c =，则222222233a b x a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，所以2222x a b ==，2262x c -=，又4163A BCD V abc abc abc -=-= 所以()()3222222222211112246936236439A BCD x x x V a b c x x x -⎛⎫++-==-≤= ⎪⨯⨯⎝⎭， 所以23A BCD V -≤，当且仅当22122x x =-，即2x =时取等号. 故选：B. 解析二：如图，分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接CE ，DE ，EF ，则有AB CE ^，AB DE ⊥，得AB ⊥平面CDE ，又CE DE =，所以EF CD ⊥，所以222234x DE AD AE =-=-，222232x EF DE DF =-=-，所以1132A BCD V x -=⨯，令t =(t ∈，2262x t =-，()23116263A BCD V t t t t -=-=-+，2()1V t t '=-+，当()0,1t ∈时，()0V t '>，当(t ∈时，()0V t '<，故当1t =，即2x =时，A BCD V -有最大值为12(1)133V =-+=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查空间几何体体积的求法，涉及不等式的性质的相关知识，属于中档题. 12．D 【解析】 【分析】由题意可得()()0f x g x -=得，分离参数可得32143(1)(1)1a x x x =-----，设设11t x =-，则0t ≠，设()3243h t t t t =--，由已知得()y h t =与y a =有三个交点，对()h t 求导，由导数的性质可得()h t 的极大值与极小值，可得实数a 的取值范围. 【详解】解：由题意可得()()0f x g x -=得，32143(1)(1)1a x x x =-----.设11t x =-，则0t ≠，设()3243h t t t t =--，由已知得()y h t =与y a =有三个交点.2()383h t t t '=--，由()0h t '>得3t >或13t <-；由()0h t '<得133t -<<. 所以()h t 的极大值为114327h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，极小值为()318h =-，又()00h =， 所以当180a -<<或14027a <<时，函数2()(23)1f x ax a x a =--++与1()1g x x =-的图象有三个交点， 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性与极值，利用导数求解参数的取值范围，考查学生的综合计算能力，属于中档题. 13．9 【解析】 【分析】先求出a b +rr 与a mb -r r ，然后利用向量垂直的坐标表示列式求解可得m 的值.【详解】解：因为()()a b a mb +⊥-r r r r ，所以()()0a b a mb +⋅-=r r r r，即(3,1)(2,32)0m m ⋅-+=，即63320m m -++=，解得9m =， 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查向量的坐标表示及向量垂直的性质，属于基础题型，注意运算准确. 14．80-【解析】 【分析】求出532x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，可得展开式为3x 时r 的值，代入可得展开式中3x 项的系数. 【详解】解：532x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()531541552C (2)C rrrr r rr T x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由1543r -=得3r =，所以532x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为335(2)80C -=-，故答案为：80-. 【点睛】本题主要考查二项展开式的性质及求二项展开式特定项的系数，属于基础题型. 15．2 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域，可得目标函数1yz x =+，表示平面区域内的点与()1,0D -连线的斜率，可得当取区域内的点取()0,2A 时斜率最大，可得最大值. 【详解】解：作出不等式组表示的平面区域，如图ABC ∆，目标函数1yz x =+，表示平面区域内的点与()1,0D -连线的斜率，由图可知，区域内的点取()0,2A 时斜率最大，所以max 2020(1)z -==--，故答案为：2. 【点睛】本题主要考查线性规划的基本概念及求线性目标函数的最值问题，属于基础题型，作出不等式组表示的平面区域后利用目标函数1yz x =+的几何意义求解是解题的关键.16．8+ 【解析】 【分析】由()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，由正弦定理化简可得sin sin 2sin C B A +=,可得2b c a +=，又b c =，所以ABC ∆为等边三角形，可得21sin 2AOB ABC OACB S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅⋅四边形 ，化简可得8sin 3OACB S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭四边形θ的取值范围，可得四边形OACB 面积的最大值.【详解】解：由()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，以及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin sin cos sin cos B A C A A A B A C +=--， sin cos sin cos sin cos sin cos 2sin B A A B C A A C A +++=，sin()sin()2sin A B A C A +++=，sin sin 2sin C B A +=由正弦定理得：2b c a +=，又b c =，所以ABC ∆为等边三角形，()2221sin 4sin 2cos 244AOB ABC OACB S S S OA OB AB OA OB OA OB θθθ∆∆=+=⋅⋅+=++-⋅⋅四边形4sin 8sin 3πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭()0,θπ∈Q ，2,333πππθ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，当且仅当32ππθ-=，即56πθ=时，OACB S 四边形取最大值8+. 【点睛】本题主要考查三角恒等变化及正弦定理、余弦定理解三角形及三角函数的性质，考查学生的综合计算能力，需牢记并灵活运用各定理解题，属于中档题. 17．（1）21n a n =-；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知列出关于1a 与d 的方程组，解之可得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得2122n n n n a n b -==，由裂项相消法可得n T 的表达式，可证明3n T <. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则由已知得112572149a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得，11a =，2d =，所以1(1)21n a a n d n =+-=-.（2）2122n n n n a n b -==， 所以135212482n nn T -=++++L ， 1113523212481622n n n n n T +--=+++⋯++， 两式相减得11111111212224822n n n n T -+-=+++++-L ，故212123333222n n n nn n T --+=--=-<. 【点睛】本题主要考查等差数列的基本性质及通项公式的求法、裂项相消法求数列的和，属于基础题型.18．（1）证明见解析；（2）存在，13A D = 【解析】 【分析】（1）易得11A C AC ⊥，同时由直三棱柱的性质可得平面ABC ⊥平面11AAC C ，又AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11AAC C ，得1AB A C ⊥，故可得1A C ⊥平面1ABC ；（2）分别以AB u u u r ，AC u u u r，1AA u u u r方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -， 设1A D a =()03a ≤≤，则(),4,4D a ，()03a ≤≤，由空间向量法可得a 的值. 【详解】（1）由已知可得四边形11AAC C 为正方形，所以11A C AC ⊥， 因为几何体111ABC A B C -是直三棱柱， 所以平面ABC ⊥平面11AAC C ，又AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11AAC C ，得1AB A C ⊥， 因为1AC AB A =I ，所以1A C ⊥平面1ABC ，（2）如图，由已知AB ，AC ，1AA 两两垂直，分别以AB u u u r ，AC u u ur ，1AA u u u r 方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()3,0,0B ，()0,4,0C ，设1A D a =()03a ≤≤，则(),4,4D a ，所以(3,0,4)BD a =-u u u r ，(,4,4)CD a =-u u u r，设平面BCD 的一个法向量为(),,n x y z =r，则(3,0,4)(,,)(3)40BD n a x y z a x z ⋅=-⋅=-+=u u u r r，()(,4,4),,440CD n a x y z ax y z ⋅=-⋅=-+=u u u r r，取4x =，得()4,3,3n a =-r，平面11AAC C 的一个法向量为()1,0,0m =r.所以cos,||||2m nm nm n⋅〈〉===r rr rr r解得3a=()0,3a∈，所以3a=-所以线段11A B上存在点D，且13A D=DBC与平面11AAC C所成的锐二面角为45︒.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理及二面角的求法，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.19．（1）能；（2）710；（3）()11E X=，99()20D X=【解析】【分析】（1）计算2K的值，对照临界值表可得答案；（2）由分层抽样的知识可得，其中抽取的5人中，3人喜欢A型车外观设计，2人不喜欢A 型车外观设计，分别计算出从何5人中抽取3人的事件数与3人中至少有2人喜欢该集团A 型车外观设计的事件数，可得其概念；（3）从所有参与调查的人群中随机抽取1人，喜欢A型车外观设计的概率2201140020P==，可得11~20,20X B⎛⎫⎪⎝⎭，可得X的数学期望和方差.【详解】解：（1）22400(10080100120)4004.040 3.84122018020020099K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为大众对A型车外观设计的喜欢与年龄有关.（2）从所抽取的中年人中利用分层抽样的方法再抽取5人，其中3人喜欢A型车外观设计，2人不喜欢A型车外观设计.记事件C表示选出的3人中至少有2人喜欢A型车外观设计，则()21332335710C C CP CC⨯+==.（III ）从所有参与调查的人群中随机抽取1人，喜欢A 型车外观设计的概率2201140020P ==， 则11~20,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以11()201120E X =⨯=，111199()201202020D X ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查独立性检测的相关知识、分层抽样与古典概念计算概率、二项分布的期望与方差，考查学生的综合分析与计算能力，属于中档题.20．（1）24x y =()0y ≠；（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）设(,)Q x y (0)y >，由到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1，可得1y =，化简可得点Q 的轨迹C 的方程；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得12x x +，12x x 的值，又24x y =，所以2x y '=，可得切线1l 的方程，同理可得切线2l 的方程，求出交点坐标，可得其在定直线上. 【详解】解：（1）设(,)Q x y (0)y >，1y =，化简得24x y =()0y ≠， 故轨迹C 的方程为24x y =()0y ≠.（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立得24440x kx k -+-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，1244x x k =-， 又24x y =，所以2x y '=， 所以切线1l 的方程为()1112x y x x y =-+， 即21124x x y x =-， 同理切线2l 的方程为22224x x y x =- 联立得1222x x x k +==，1214x x y k ==-. 两式消去k 得220x y --=，当1k =时，2x =，0y =，所以交点M 的轨迹为直线220x y --=，去掉()2,0点.因而交点M 在定直线上.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的综合计算能力，属于难题.21．（1）1a ≤；（2）2017201820192018<【解析】【分析】（1）求出()f x 的定义域，对其求导，令()0f x '=，得1x a =-，分1a ≤与1a >进行讨论，可得()0f x >恒成立时，a 的取值范围；（2）设ln(1)()x g x x +=(0)x >，对其求导，可得2ln(1)1()x x x g x x -++'=， 由（1）得1a =，0x >时，有()ln(1)01x f x x x =+->+，即ln(1)01x x x -+<+，可得()g x 在()0,∞+上是减函数，故可得ln(20181)ln(20171)20182017++<，可得答案.【详解】解：（1）()f x 的定义域为1x >-，2211()1(1)(1)a x a f x x x x +-'=-=+++， 令()0f x '=，得1x a =-，①当1a ≤时，()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，则()()00f x f >=， 所以1a ≤时满足条件，②当1a >时，()0,1x a ∈-时，()0f x '<，()1,x a ∈-+∞时，()0f x '>，得(1)(0)0f a f -<=，即存在1x a =-使得()0f x >不成立，故1a >不符合题意，所以满足条件的a 的取值范围为1a ≤.（2）设ln(1)()x g x x+=(0)x >， 则2ln(1)1()x x x g x x -++'=， 由（1）得1a =，0x >时，有()ln(1)01x f x x x =+->+，即ln(1)01x x x -+<+， 所以当0x >时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+上是减函数，因为20182017>，所以ln(20181)ln(20171)20182017++< 即2017ln 20192018ln 2018<，即12018207l ln 201918n 20<所以2017201820192018<.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间与极值，导数在恒成立求参问题中的应用，考查学生的综合计算能力，属于难题.22．（1）224x y x +=；（2【解析】【分析】（1）将方程4cos ρθ=两边都乘以ρ得，可得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入可得答案；（2））易知M 点在直线l 上，A ，B 在M 点的两侧，直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，可得12t t +，12t t 的值，可得12121212121111||||t t t t AM BM t t t t t t +-+=+==-， 代入可得答案.【详解】解：（1）方程4cos ρθ=两边都乘以ρ得，可得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入可得：224x y x +=.（2）易知M 点在直线l 上，A ，B 在M 点的两侧，直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立得22121422t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 整理得230t t --=，所以121t t +=，123t t =-， 所以12121212121111||||t t t t AM BM t t t t t t +-+=+==-，123===. 【点睛】本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程及简单曲线的极坐标方程的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.23．（1）{|2}x x >；（2）(,3][1,)-∞-⋃-+∞【解析】【分析】（1）将3a =代入()f x ，分2x -≤，23x -<<，3x ≥进行讨论，可得解不等式的解集； （2）由题意要使得()4f x ≥成立，即|||2|1x a x --+≥，由绝对值不等式的性质可得|||2||()(2)|2x a x x a x a --+≤--+=+，故只需21a +≥，可得a 的取值范围.【详解】解：（1）当3a =时，()3|2|3f x x x =-++-，()0f x <等价于23230x x x ≤-⎧⎨++-+<⎩或233230x x x -<<⎧⎨---+<⎩，或33230x x x ≥⎧⎨--+-<⎩， 解得x ∈∅或23x <<或3x ≥，所以原不等式的解集为{|2}x x >.（2）()4f x ≥成立，即|||2|1x a x --+≥成立. 因为|||2||()(2)|2x a x x a x a --+≤--+=+， 只需21a +≥，即21a +≥或21a +≤-，解得1a ≥-或3a ≤-.所以a 的取值范围是(,3][1,)-∞-⋃-+∞.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法与性质，体现分类讨论与等价转化的思想，考查了运算求解能力，属于中档题.。
2019届高三数学联考试题(含解析)人教版
2019年11月份高三联考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】求解对数不等式可得：，求解一元二次不等式可得：，则：，，.本题选择D选项.2. 已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，结合向量平行的充要条件有：,求解关于实数的方程可得：.本题选择C选项.3. （）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：本题选择A选项.4. 已知，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由向量垂直的充要条件有：，则：，结合向量的夹角公式有：，据此可得：向量与的夹角为.本题选择B选项.5. 已知函数，给出下列两个命题：命题若，则；命题.则下列叙述错误的是（）A. 是假命题B. 的否命题是：若，则C.D. 是真命题【答案】D【解析】由函数的解析式可得函数的定义域为，且导函数：，则函数单调递增，据此可得命题是假命题，命题是真命题，是假命题.结合特称命题与全称命题的关系可得：的否命题是：若，则，：.本题选择D选项.6. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意结合诱导公式可得：，据此可得：，结合同角三角函数基本关系可得：，，利用二倍角公式可得：.本题选择B选项.点睛：三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)7. 设是定义在上的函数，它的图象关于点对称，当时，（为自然对数的底数），则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数图象关于点对称，则对于任意的实数，有：.据此可得：.本题选择D选项.8. 已知函数的零点为，设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】指数函数和一次函数都是定义在上的单调递减函数，则函数是定义在上的单调递减函数，且：，结合函数零点存在定理可得：，据此可得：，则：.本题选择C选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．9. 函数的部分图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】显然函数是偶函数，故A、D错误，当时，，所以，，又，所以，故选C.10. 已知函数（且），则“在上是单调函数”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】很明显函数和函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.函数有意义，则：恒成立，即：.结合复合函数的单调性可得当时，函数在定义域内单调递减；当时，函数在定义域内单调递增，即若在上是单调函数，则或，“在上是单调函数”是“”的必要不充分条件.本题选择B选项.点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．11. 已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：的因数有，则的因数有，则，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由的定义知，且若为奇数则则选D12. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，易得与互为反函数与关于直线对称原命题等价于在上恒成立.记，记，同理可得，综上的最大值为，故选A. 【点睛】本题的关键步骤有：观察发现与互为反函数；将原命题等价转化为在上恒成立；利用导数工具求的最小值，从而求得；第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知各项均为正数的等比数列的公比为，则__________.【答案】【解析】很明显数列的公比为正数，由题意可得：，则：，整理可得：，结合可得：.14. 若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为__________.【答案】【解析】设向量与向量的夹角为，利用向量垂直的充要条件有：,即：，据此可得：向量在方向上的投影为.15. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则__________.【答案】【解析】函数的解析式：据此可得：，则：，结合三角函数的性质可得：，令可得：，故：，.........................16. 在中，，边的中点为，则__________.【答案】【解析】如图所示，作于点，则：，则：.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等比数列的前项和为为等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1)即，.(2).【解析】试题分析：(1)分类讨论和两种情况可得数列的通项公式为，据此计算可得；(2)结合数列的通项公式错位相减可得数列的前项和.试题解析：（1）当时，，当时，，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，即，又，所以.（2）因为，所以，①，②由①-②得，所以.18. 设函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合三角函数的周期可得，结合，则，函数的解析式为.(2)由函数的定义域可得，则函数的值域为.试题解析：（1）由图象知，即.又，所以，因此.又因为点，所以，即，又，所以，即.（2）当时，，所以，从而有.19. 在中，内角的对边分别为.已知.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】(1)；(2)3.【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化简条件，统一为边，再结合余弦定理可求出（2）根据及余弦定理可求出c,根据同角三角函数关系求,利用面积公式求解.试题解析：（1）因为，所以，即.所以.（2）因为，由（1）知，所以.由余弦定理可得，整理得，解得，因为，所以，所以的面积.20. 已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由函数的解析式可得在上单调递增，则的取值范围是；(2)原问题等价于存在，使不等式成立.构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围为.试题解析：（1）由得，在上单调递增，，的取值范围是.（2）存在，使不等式成立，存在，使不等式成立.令，从而，，，在上单调递增，.实数的取值范围为.21. 在中，是边的一个三等分点（靠近点），记.（1）求的大小；（2）当取最大值时，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析; （1）由，可得，整理得.又，所以，即.（2）设，，，则，.由正弦定理得，.又，由，得.因为，所以.因为，所以.所以当，即时，取得最大值，由此可得，.试题解析：（1）因为，所以，即，整理得.又，所以，即.（2）设，，，则，.由正弦定理得，.又，由，得.因为，所以.因为，所以.所以当，即时，取得最大值，此时，所以，.【点睛】本题考查正弦定理、勾股定理，求角转化为求角的某个三角函数值，以及基本不等式求最值问题等，其中着重考查化简、变形能力．22. 已知函数的图象在处的切线过点.（1）若，求函数的极值点；（2）设是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）【答案】(1)或；(2)证明见解析.【解析】试题分析：由题意结合导函数与原函数切线的关系可得.(1)由题意可得，利用导函数研究函数的极值可得的极值点为或.(2)由导函数的性质可得是函数的极大值，是函数的极小值，据此构造函数，据此可知，则函数在上单调递减，据此可得.试题解析：，又，曲线在处的切线过点，，得.（1），令，得，解得或的极值点为或.（2）是方程的两个根，，，是函数的极大值，是函数的极小值，要证，只需，，令，则，设，则，函数在上单调递减，，.点睛：应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0（或f′(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。
2019年高三11月期中联考(数学理)
2019年高三11月期中联考（数学理）本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题目）两部分，共150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准备考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2.每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合}3=n∈-<NnmZmBA，则<},2{|1=3∈-<|{≤A.{0，1}B.{-1，0，1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2}2.下列命题中的假命题是A. B.C. D.3.已知条件，条件，则是成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件4.将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为A. B.C. D.5.已知，若，则=A.1B.-2C.-2或4D.46.设等比数列中，前n项和为,已知，则A. B. C. D.7.设3.0log ,9.0,5.054121===c b a ，则的大小关系是A. B. C. D.8.函数的图象大致是9.在中，角A ，B ，C 所对边分别为a,b,c ，且，面积，则等于A. B.5 C. D.2510.若函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0),(log 0,log )(212x x x x x f ，若,则实数的取值范围是 A. B.C. D.11.已知是的一个零点，，则A. B.C. D.12.已知，把数列的各项排列成如下的三角形状，记表示第行的第个数，则=A. B. C. D.第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。
13.不等式 的解集是 .14.若实数满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,0,0,01x y x y x ，则的值域是 .15.已知奇函数满足，且当时，，则的值为x -1 02 4 5 F(x) 1 2 1.5 21下列关于函数的命题；①函数的值域为［1，2］；②函数在［0，2］上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当时，函数最多有4个零点.其中正确命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分。
2019届百校联盟TOP20十二月联考(全国Ⅰ卷)理科数学试题(带答案解析)
（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间 近似服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 .
（i）求 ；
（ii）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间 的人数为 ，试求 .
A． B．2C．3D．
11．已知奇函数 和其导函数 的定义域均为 ，当 时， ，则不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
12．已知各项均不为0的数列 满足 ， ，若 ，则当数列 的前 项和取得最大值时， 的值是（）
A．24B．25C．32D．33
13．已知 是单位向量，若 ， 则 ， 的夹角为__________.
A． B． C． D．
4．记等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则数列 的公比 （）
A．2B． C． 或 D．2或1
5．已知函数 是定义在 上的偶函数.且在 上单调递减，则 的解析式可能为（）
A． B． C． D．
6．若 是常数， 的展开式中各项系数和为-16，则 的系数为（）
A．60B． 1680C．336D．3360
5．D
【解析】
【分析】
由函数 的性质，即定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，逐个排除即可得解.对A， ，不符；对B， ，不符；对C，在 上不单调，即可得解.
【详解】
函数 Байду номын сангаас奇函数，
的定义域不是 ，
函数 在 上不具有单调性，
函数 在 上单调递减且是偶函数.
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性和单调性，考查了函数基本性质的识记和理解，属于简单题.
2019-2020年高三11月期中联考(数学理)(I)
2019-2020年高三11月期中联考（数学理）(I)本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题目）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准备考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合}31|{},23|{≤<-∈=<<-∈=n N n B m Z m A ，则=⋂B AA.{0，1}B.{-1，0，1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2} 【答案】A【解析】因为{|32}{21,0,1}A m Z m =∈-<<=--，，{0,1,2,3}B =，所以{01}A B ⋂=，，选A.2.下列命题中的假命题是A.02,1>∈∀-x R xB.1lg ,<∈∃x R xC.0,2>∈∀x R xD.2tan ,=∈∃x R x 【答案】C【解析】2,0x R x ∀∈≥,所以C 为假命题. 3.已知条件1:≤x p ，条件11:<xq ，则p 是q ⌝成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】由11x<得，0x <或1x >，所以q ⌝：01x ≤≤，所以p 是q ⌝成立的必要不充分条件，选B.4.将函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为 A.1)42sin(+-=πx y B.x y 2cos 2=C.x y 2sin 2=D.x y 2cos -= 【答案】C【解析】函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位得到sin 2()sin(2)cos 242y x x xππ=-=-=-，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为22cos21(12sin )12sin y x x x =-+=--+=，选C. 5.已知0>t ，若8)22(0=-⎰tdx x ，则t =A.1B.-2C.-2或4D.4【答案】D 【解析】由8)22(0=-⎰tdx x 得，220(2)28t x x t t -=-=，解得4t =或2t =-（舍去），选D.6.设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ,已知7863==S S ，，则=++987a a a A.81 B.81- C.857D.855 【答案】A【解析】因为78996a a a S S ++=-，在等比数列中36396,,S S S S S --也成等比，即968,1,S S -成等比，所以有968()1S S -=，即9618S S -=，选A.7.设3.0log ,9.0,5.054121===cba，则c b a ,,的大小关系是A.b c a >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b >> 【答案】D【解析】1112440.50.25,0.9a b ===，所以根据幂函数的性质知0b a >>，而5l o g0.30c =<，所以c a b >>，选D. 8.函数x xy sin 3+=的图象大致是【答案】C 【解析】函数x xy sin 3+=为奇函数，图象关于原点对称，排除B. 在同一坐标系下做出函数(),()sin 3xf x f x x ==-的图象，由图象可知函数x xy sin 3+=只有一个零点0，所以选C. 9.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a,b,c ，且 4524==B c ，，面积2=S ，则b 等于 A.2113B.5C.41D.25 【答案】B【解析】因为4524==B c ，，又面积11sin 2222S ac B =⨯=⨯=，解得1a =，由余弦定理知2222cos b a c ac B =+-,所以21322252b =+-⨯=，所以5b =，选B.10.若函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0),(log 0,log )(212x x x x x f ，若0)(>-a af ,则实数a 的取值范围是A.）（）（1,00,1⋃-B.），（），（∞+⋃-∞-11C.），（）（∞+⋃-10,1D.）（），（1,01⋃-∞-【答案】A【解析】若0a >，则由0)(>-a af 得， 12log 0a a >，解得01a <<，若0a <，则由0)(>-a af 得， 2log ()0a a ->，即2log ()0a -<解得01a <-<，所以10a -<<，综上01a <<或10a -<<，选A.11.已知0x 是xx f x 1)21()(+=的一个零点，)0,(),,(0201x x x x ∈-∞∈，则A.0)(,0)(21<<x f x fB.0)(,0)(21>>x f x fC.0)(,0)(21<>x f x fD.0)(,0)(21><x f x f【答案】C【解析】在同一坐标系下做出函数11()(),()2xf x f x x==-的图象，由图象可知当0(,)x x ∈-∞时，11()2xx>-，0(,0)x x ∈时，11()2xx <-，所以当)0,(),,(0201x x x x ∈-∞∈，有0)(,0)(21<>x f x f ，选C. 12.已知nn a )31(=，把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状，记),n m A （表示第m 行的第n 个数，则）（12,10A =A.9331）（ B.9231）（ C. 9431）（ D.11231）（ 【答案】A【解析】前9行共有(117)913517812+⨯++++==项，所以）（12,10A 为数列中的第811293+=项，所以93931()3a =，选A.第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 13.不等式 3|1||1|≥++-x x 的解集是 .【答案】33(,][,)22-∞-+∞或⎭⎬⎫≥-≤2323|{x x x 或【解析】2,1|1||1|2,112,1x x x x x x x -≤-⎧⎪-++=-<<⎨⎪≥⎩，当1x ≤-时，由3|1||1|≥++-x x 得23x -≥，得32x ≤-；当1x ≥时，由3|1||1|≥++-x x 得23x ≥，解得32x ≥，所以不等式的解集为33(,][,)22-∞-+∞.14.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,0,0,01x y x y x ，则y x z 23+=的值域是 .【答案】[1,9]【解析】令2t x y =+，则122ty x =-+，做出可行域，平移直线12y x =-，由图象知当直线经过O 点是，t 最小，当经过点(0,1)D 时，t 最大，所以02t ≤≤，所以19z ≤≤，即yx z 23+=的值域是[1,9].15.已知奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，且当)1,0(∈x 时，x x f 2)(=，则)27(f 的值 为 【答案】【解析】由)()2(x f x f -=+得(4)()f x f x +=，所以)(x f 周期是4，所以7711()(4)()()2222f f f f =-=-=-，又当)1,0(∈x 时，xx f2)(=，所以121()22f ==所以7()2f =16.已知函数)(x f 的定义域［-1，5］，部分对应值如表，)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示，下列关于函数)(x f 的命题； ①函数)(x f 的值域为［1，2］； ②函数)(x f 在［0，2］上是减函数；③如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当21<<a 时，函数a x f y -=)(最多有4个零点. 其中正确命题的序号是 . 【答案】①②④【解析】由导数图象可知，当01<<-x 或42<<x 时，0)('>x f ，函数单调递增，当20<<x 或54<<x ，0)('<x f ，函数单调递减，当0=x 和4=x ，函数取得极大值2)0(=f ，2)4(=f ，当2=x 时，函数取得极小值)2(f ,，又(1)(5)1f f -==，所以函数的最大值为2，最小值为1，值域为[1,2]，①正确；②正确；因为在当0=x 和4=x ，函数取得极大值2)0(=f ，2)4(=f ，要使当],1[t x -∈函数)(x f 的最大值是4，当52≤≤t ，所以t 的最大值为5，所以③不正确；由a x f =)(知，因为极小值(2) 1.5f =，极大值为(0)(4)2f f ==，所以当21<<a 时，a x f y -=)(最多有4个零点，所以④正确，所以真命题的序号为①②④.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）ABC ∆中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边c b a ，，满足ac b 322=，求A. 18.（本小题满分12分）函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设x x f x g 2cos )()(-=，求函数)(x g 在区间]2,0[π上的最小值.19.（本小题满分12分）已知集合}032|{)},(0)1(|{2≤--=∈<--=x x x N R a a x x x M ，若N N M =⋃，求实数a 的取值范围. 20.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n n S a ,,21等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n bn a )21(2=，设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 21.（本小题满分12分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件．．，需另投入成本为)(x C ，当年产量不足80千件时，x x x C 1031)(2+=（万元）.当年产量不小于80千件时，14501000051)(-+=xx x C （万元）.每件．．商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（Ⅰ）写出年利润)(x L （万元）关于年产量x （千件．．）的函数解析式； （Ⅱ）年产量为多少千件．．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 22.（本小题满分14分）已知函数.ln )2()(2x x a ax x f ++-=（Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1f （处的切线方程； （Ⅱ）当0>a 时，若)(x f 在区间],1[e 上的最小值为-2，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对任意2121),,0(,x x x x <+∞∈，且22112)(2)(x x f x x f +<+恒成立，求a 的取值范围.注：以下为附加题，附加题满分为5分，附加题得分计入总分，但第Ⅱ卷总分不超过90分，若第Ⅱ卷总分超过90分，只按90分计.附加题：23.已证：在ABC ∆中，c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,的对边. 求证：CcB b A a sin sin sin ==.2012-2013学年度第一学段模块监测高三数学（理科）参考答案 2012.11一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. ACBCD ADCBA CA二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13.⎭⎬⎫≥-≤2323|{x x x 或 14.［1，9］ 15.2- 16.①②④ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）解：由C B A 、、成等差数列可得C A B +=2，而π=++C B A ， 故33ππ=⇒=B B ，且A C -=32π.………………3分 而由ac b 322=与正弦定理可得C A B sin sin 3sin 22= …………5分A A sin )32sin(33sin 22-=⨯⇒ππ所以可得⇒=+⇒-=⨯1sin sin cos 3sin )sin 32cos cos 32(sin 34322A A A A A A ππ 21)62sin(122cos 12sin 23=-⇒=-+πA A A ，………………9分 由67626320ππππ<-<-⇒<<A A ， 故662ππ=-A 或6562ππ=-A ，于是可得到6π=A 或2π=A . ………………12分18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由图可得263221πππ=-==TA ，，所以2.==ωπT . ………………3分 当6π=x 时，1)(=x f ，可得1)62sin(=+⨯ϕπ，)62sin()(.6,2||ππϕπϕ+=∴=∴<x x f .………………6分（Ⅱ）x x x x x x x f x g 2cos 6sin2cos 6cos2sin 2cos )62sin(2cos )()(-+=-+=-=πππ)62sin(2cos 212sin 23π-=-=x x x . ……………………9分 65626,20ππππ≤-≤-∴≤≤x x . 当662ππ-=-x ，即0=x 时，)(x g 有最小值为21-. ……………………12分 19.（本小题满分12分）解：由已知得{}31|≤≤-=x x N ， ………………2分N M N N M ⊆∴=⋃, . ………………3分又{})(0)1(|R a a x x x M ∈<--=①当01<+a 即1-<a 时，集合{}01|<<+=x a x M .要使N M ⊆成立，只需011<+≤-a ，解得12-<≤-a ………………6分 ②当01=+a 即1-=a 时，φ=M ，显然有N M ⊆，所以1-=a 符合……9分 ③当01>+a 即1->a 时，集合{}10|+<<=a x x M .要使N M ⊆成立，只需310≤+<a ，解得21≤<-a ……………………12分 综上所述，所以a 的取值范围是［-2，2］.…………13分 20.（本小题满分12分）解（1）由题意知0,212>+=n n n a S a ………………1分 当1=n 时，21212111=∴+=a a a 当2≥n 时，212,21211-=-=--n n n n a S a S两式相减得1122---=-=n n n n n a a S S a ………………3分 整理得：21=-n na a ……………………4分 ∴数列{}n a 是以21为首项，2为公比的等比数列. 211122212---=⨯=⋅=n n n n a a ……………………5分（2）42222--==n b n na∴n b n 24-=，……………………6分nn n n n nn a b C 28162242-=-==- n n n n n T 28162824282028132-+-⋯+-++=- ① 13228162824202821+-+-+⋯++=n n n n n T ② ①-②得1322816)212121(8421+--+⋯++-=n n n nT ………………9分111122816)211442816211)2112184+-+-----=----⋅-=n n n n nn （（ n n24=.………………………………………………………11分.28n n nT =∴…………………………………………………………………12分21.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为每件．．商品售价为0.05万元，则x 千件．．商品销售额为0.05×1000x 万元，依题意得：当800<<x 时，2501031)100005.0()(2---⨯=x x x x L 25040312-+-=x x .………………………………2分当80≥x 时，25014501000051)100005.0()(-+--⨯=xx x x L =⎪⎭⎫⎝⎛+-x x 100001200.………………………………………………4分 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<<-+-=).80(100001200),800(2504031)(2x x x x x x x L …………6分（Ⅱ）当800<<x 时，.950)60(31)(2+--=x x L此时，当60=x 时，)(x L 取得最大值950)60(=L 万元. ………………8分当80≥x 时，100020012001000021200100001200)(=-=⋅-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x x L 此时，当xx 10000=时，即100=x 时)(x L 取得最大值1000万元.………………11分 1000950< 所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元. ………………………………………………………………………………………………12分22.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当1=a 时，xx x f x x x x f 132)(,ln 3)(2+-=+-=.………………2分 因为2)1(,0)1('-==f f .所以切线方程是.2-=y …………………………4分 （Ⅱ）函数x x a ax x f ln )2(2)(++-=的定义域是），（∞+0. ………………5分当0>a 时，)0(1)2(21)2(2)('2>-+-=++-=x xx a ax x a ax x f 令0)('=x f ，即0)1)(12(1)2(2)('2=--=++-=xax x x x a ax x f ， 所以21=x 或a x 1=. ……………………7分 当110≤<a，即1≥a 时，)(x f 在［1，e]上单调递增， 所以)(x f 在［1，e]上的最小值是2)1(-=f ； 当e a <<11时，)(x f 在［1，e]上的最小值是2)1()1(-=<f a f ，不合题意； 当e a≥1时，)(x f 在（1，e ）上单调递减， 所以)(x f 在［1，e]上的最小值是2)1()(-=<f e f ，不合题意………………9分 （Ⅲ）设x x f x g 2)()(+=，则x ax ax x g ln )(2+-=，只要)(x g 在），（∞+0上单调递增即可.…………………………10分 而xax ax x a ax x g 1212)('2+-=+-=当0=a 时，01)('>=xx g ，此时)(x g 在），（∞+0上单调递增；……………………11分 当0≠a 时，只需0)('≥x g 在），（∞+0上恒成立，因为),0(+∞∈x ，只要0122≥+-ax ax ，则需要0>a ，………………………………12分对于函数122+-=ax ax y ，过定点（0，1），对称轴041>=x ，只需082≤-=∆a a ， 即80≤<a . 综上80≤≤a . ………………………………………………14分23.（本小题满分5分，但Ⅱ卷总分不超过90分）证法一：如图，在ABC ∆中，过点B 作AC BD ⊥，垂足为DBD BD = ，C BC A AB sin sin =∴，…………………………2分 即C c A a C a A c sin sin sin sin =⇒⋅=⋅， ………………4分 同理可证Bb A a sin sin =， Cc B b A a sin sin sin ==∴. ……………………5分 证法二：如图，在ABC ∆中，过点B 作AC BD ⊥，垂足为D)](180sin[sin C A ABC +-=∠C A C A C A sin cos cos sin )sin(+=+=…………………………2分BC A AC BC AB AC A AB BC BD AB AD BC CD AB BD sin sin =⋅⋅=⋅+⋅= aA b sin =， ………………………………4分 A b B a sin sin =，B b A a sin sin =∴同理可证Cc A a sin sin =， C c B b A a sin sin sin ==∴. ……………………5分。
2019届百校联盟高三TOP20二月联考(全国1卷)数学(理)试题(解析版)
2019届百校联盟高三TOP20二月联考（全国1卷）数学（理）试题一、单选题1．集合{}2|320A x x x =-+>，则A =R ð（ ） A ．{|2x x >或1}x < B ．{}|12x x << C ．{|2x x ≥或1}x ≤ D ．{|12}x x ≤≤【答案】D【解析】求出集合A 的值，可得A R ð的值. 【详解】解：由题意：{}{}2|320| 2 1A x x x x x x =-+>=><或，所以{}|12R C A x x =≤≤，故选：D. 【点睛】本题主要考查补集的概念，属于基础题，求出集合A 是解题的关键. 2．已知复数431iz i+=+，则z ＝（ ）A ．2B ．52C D ．【答案】A【解析】根据复数的运算，化简复数7122z i =-，再利用复数模的运算公式，即可求解． 【详解】 由题意，复数()()()()43143771111222i i i i z i i i i +-+-====-++-，所以2z ===， 故选A ． 【点睛】本题主要考查复数模长的计算，其中解答中根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，23a =，313S =，则6a =（ ）A ．243或127B ．81或181C ．243D ．127【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为q ,由23a =，313S =，列出关于1a 与q 的方程组，可得1a 与q 的值，可得答案.【详解】解：设数列{}n a 的公比为q ，则()1213113a q a q q =⎧⎪⎨++=⎪⎩，解之得113a q =⎧⎨=⎩，或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以5613243a =⨯=或56119327a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算及等比数列的性质，属于基础题，求出1a 与q 的值是解题的关键.4．已知P 为椭圆22:19x C y +=上一点，()0,4Q ，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ） A ．3 B ．5 C．D．【答案】D【解析】设点()00,P x y ,可得220019x y +=，且011y -≤≤，可得PQ 的距离用0y 表示，由二次函数的性质可得其最大值. 【详解】解：设点()00,P x y ，可得220019x y +=，且011y -≤≤，则PQ ===≤max ||PQ =故选：D. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属于基础题型，设点()00,P x y 并求出0y 的取值范围代入PQ 的距离公式进行计算是解题的关键.5．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其月用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示，则这100户居民月用电量的中位数大约为（ ）A ．150B ．177.8C ．183.3D ．200【答案】C【解析】根据中位数两侧的频率相等且为0.5进行计算可得答案. 【详解】解：因有50%的居民用电量小于或等于中位数，居民用电量小于150度的频率为(0.00240.0036)500.30+⨯=，150~200度之间的频率为0.0060500.30⨯=，所以中位数为150~200度之间的23处，即215050183.33+⨯≈. 故选：C. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质及中位数的概念与性质，属于基础而题型. 6．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2.4，则输出z 的值为（ ）A ．1.2B ．0.6C ．0.4D ．0.4-【答案】D【解析】程序运行时，变量值依次为 2.4,1y x ==，满足0x ≥， 1.2x =，1.2,0y x ==，满足0x ≥，0.6x =，0.6,1y x ==-，不满足0x ≥，执行10.60.4z x y =+=-+=-，故选D ．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．13B ．1C ．3D ．32【答案】A【解析】由三视图可得几何体的直观图，计算可得其体积. 【详解】解：由三视图知该几何体是高为1的四棱锥，其底面是边长为1的正方形，直观图如图，所以体积2111133V =⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查由三视图还原为直观图及空间几何体的体积，其中得出该几何体是底面是边长为1的正方形，高为1的四棱锥是解题的关键.8．已知偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，若函数()y f x kx =-()0k >有六个零点，则（ ） A ．15k =B ．11,75k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．11,53k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．17k =【答案】B【解析】由已知可得()f x 为周期函数且2T =，作出函数()y f x =与y kx =的图象，由函数()y f x kx =-()0k >有六个零点，数形结合可求出k 的取值范围. 【详解】解：由题意：()f x 为偶函数，故()()f x f x =-，且(1)(1)f x f x +=-， 故可得：(2)[1(1)]()()f x f x f x f x +=-+=-=， ()f x 为周期函数且2T =，由[]0,1x ∈时，()21xf x =-，作出函数()y f x =与y kx =的图象，如图函数()y f x kx =-()0k >有六个零点， 当两图象在区间()5,7上有一个交点时满足条件，故可得：()()550770f k f k ⎧-⎪⎨-⎪⎩＞＜，可得150170k k -⎧⎨-⎩＞＜，1175k ＜＜，所以11,75k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的周期性与函数零点的性质，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.9．已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作斜率为k ()0k >的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若22AF BF =，则直线l 的斜率为（ ） A ．10B 15 C ．58D ．35【答案】B【解析】因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连接2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，由双曲线的性质可得12AF x =-，12BF x =+，222164F M x x =-=-x 的值，可得12tan MF F ∠的值，可得直线l 的斜率.【详解】 解：如图，因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连接2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，因为212AF AF -=，则12AF x =-，又因为122BF BF -=，则12BF x =+，11||4AB BF AF =-=，则||||2AM BM ==，则222164F M x x =-=-10x =，所以2121615tan 510F M MF F F M∠===，即直线l 15. 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，直线与双曲的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.10．函数()sin 2321f x x x =++的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，当()0,1a ∈时，方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和为（ ） A ．6π B ．8πC ．10πD ．12π【答案】C【解析】求出()g x 的解析式，画出函数()y g x =与函数y a =的图象，可得方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和.【详解】解：()sin 23212sin 213f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，向右平移6π个单位长度后得到()2sin 21g x x =+.画出函数()y g x =与函数y a =的图象如图，共有8个交点，其中交点A ，D 和B ，C 关于34x π=对称，交点E ，H 和F ，G 关于74x π=对称，所以32A D B C x x x x π+=+=，72E HFG x x x x π+=+=，故所有交点横坐标之和为10π，则方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和为10π. 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移及正弦函数的图像与性质，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.11．在四面体A BCD -中，3AC BC AD BD ====，AB CD x ==，则四面体A BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．23C ．13D ．34【答案】B【解析】根据已知条件的对称性，把四面体放入长方体中，可得2222x a b ==，2262x c -=，故可得4163A BCD V abc abc abc -=-=，由不等式的性质可得其最大值. 【详解】解析一：根据已知条件的对称性，把四面体放入长方体中，如图设OA a =，OB b =，OD c =，则222222233a b xa cb c⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，所以2222xa b==，2262xc-=，又4163A BCDV abc abc abc-=-=所以()()3222222222211112246936236439A BCDx x x V a b c x x x-⎛⎫++-==-≤=⎪⨯⨯⎝⎭，所以23A BCDV-≤，当且仅当22122x x=-，即2x=时取等号.故选：B.解析二：如图，分别取AB，CD的中点E，F，连接CE，DE，EF，则有AB CE^，AB DE⊥，得AB⊥平面CDE，又CE DE=，所以EF CD⊥，所以222234xDE AD AE=-=-，222232xEF DE DF=-=-，所以2113322A BCDxV x x-=⨯-，令232xt=-(3t∈，2262x t=-，()23116263A BCDV t t t t-=-=-+，2()1V t t'=-+，当()0,1t∈时，()0V t'>，当(3t∈时，()0V t'<，故当1t=，即2x=时，A BCDV-有最大值为12(1)133V=-+=.故选：B.【点睛】本题主要考查空间几何体体积的求法，涉及不等式的性质的相关知识，属于中档题. 12．函数2()(23)1f x ax a x a=--++与1()1g xx=-的图象有三个交点，则实数a的取值范围为（）A．()18,0-B．1415,27⎛⎫- ⎪⎝⎭C．1418,27⎛⎫- ⎪⎝⎭D．14(18,0)0,27⎛⎫- ⎪⎝⎭U【解析】由题意可得()()0f x g x -=得，分离参数可得32143(1)(1)1a x x x =-----，设设11t x =-，则0t ≠，设()3243h t t t t =--，由已知得()y h t =与y a =有三个交点，对()h t 求导，由导数的性质可得()h t 的极大值与极小值，可得实数a 的取值范围. 【详解】解：由题意可得()()0f x g x -=得，32143(1)(1)1a x x x =-----.设11t x =-，则0t ≠，设()3243h t t t t =--，由已知得()y h t =与y a =有三个交点.2()383h t t t '=--，由()0h t '>得3t >或13t <-； 由()0h t '<得133t -<<. 所以()h t 的极大值为114327h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，极小值为()318h =-，又()00h =， 所以当180a -<<或14027a <<时，函数2()(23)1f x ax a x a =--++与1()1g x x =-的图象有三个交点， 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性与极值，利用导数求解参数的取值范围，考查学生的综合计算能力，属于中档题.二、填空题13．已知向量(2,3)a =r ，(1,2)b =-r ，若()()a b a mb +⊥-r r r r()m R ∈，则m =_____________.【答案】9【解析】先求出a b +rr 与a mb -r r ，然后利用向量垂直的坐标表示列式求解可得m 的值.【详解】解：因为()()a b a mb +⊥-r r r r ，所以()()0a b a mb +⋅-=r r r r，即(3,1)(2,32)0m m ⋅-+=，即63320m m -++=，解得9m =，【点睛】本题主要考查向量的坐标表示及向量垂直的性质，属于基础题型，注意运算准确.14．532 xx ⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中3x项的系数为____________（用数字作答）.【答案】80-【解析】求出532xx⎛⎫-⎪⎝⎭展开式的通项公式，可得展开式为3x时r的值，代入可得展开式中3x项的系数.【详解】解：532xx⎛⎫-⎪⎝⎭展开式的通项公式为()531541552C(2)Crrr r r rrT x xx--+⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由1543r-=得3r=，所以532xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中3x项的系数为335(2)80C-=-，故答案为：80-.【点睛】本题主要考查二项展开式的性质及求二项展开式特定项的系数，属于基础题型. 15．已知变量x，y满足约束条件10220240x yx yx y--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数1yzx=+的最大值为______.【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域，可得目标函数1yzx=+，表示平面区域内的点与()1,0D-连线的斜率，可得当取区域内的点取()0,2A时斜率最大，可得最大值. 【详解】解：作出不等式组表示的平面区域，如图ABC∆，目标函数1yz x =+，表示平面区域内的点与()1,0D -连线的斜率，由图可知，区域内的点取()0,2A 时斜率最大，所以max 2020(1)z -==--，故答案为：2. 【点睛】本题主要考查线性规划的基本概念及求线性目标函数的最值问题，属于基础题型，作出不等式组表示的平面区域后利用目标函数1yz x =+的几何意义求解是解题的关键. 16．如图，ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，b c =，设AOB θ∠=()0θπ<<，24OA OB ==，则四边形OACB 面积的最大值为__________.【答案】83+【解析】由()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，由正弦定理化简可得sin sin 2sin C B A +=,可得2b c a +=，又b c =，所以ABC ∆为等边三角形，可得213sin 2AOB ABC OACB S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅⋅四边形 ，化简可得8sin 533OACB S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭四边形θ的取值范围，可得四边形OACB 面积的最大值. 【详解】解：由()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，以及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin sin cos sin cos B A C A A A B A C +=--， sin cos sin cos sin cos sin cos 2sin B A A B C A A C A +++=，sin()sin()2sin A B A C A +++=，sin sin 2sin C B A +=由正弦定理得：2b c a +=，又b c =，所以ABC ∆为等边三角形，()222133sin 4sin 2cos 244AOB ABC OACB S S S OA OB AB OA OB OA OB θθθ∆∆=+=⋅⋅+=++-⋅⋅四边形4sin 8sin 3πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭()0,θπ∈Q ，2,333πππθ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，当且仅当32ππθ-=，即56πθ=时，OACB S 四边形取最大值8+. 【点睛】本题主要考查三角恒等变化及正弦定理、余弦定理解三角形及三角函数的性质，考查学生的综合计算能力，需牢记并灵活运用各定理解题，属于中档题.三、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，35a =，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2nn n a b =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：3n T <. 【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知列出关于1a 与d 的方程组，解之可得数列{}n a 的通项公式； （2）由（1）可得2122n n n n a n b -==，由裂项相消法可得n T 的表达式，可证明3n T <. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则由已知得112572149a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得，11a =，2d =，所以1(1)21n a a n d n =+-=-.（2）2122n n n n a n b -==， 所以135212482n nn T -=++++L ， 1113523212481622n n n n n T +--=+++⋯++， 两式相减得11111111212224822n n n n T -+-=+++++-L ，故212123333222n n n nn n T --+=--=-<. 【点睛】本题主要考查等差数列的基本性质及通项公式的求法、裂项相消法求数列的和，属于基础题型.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC =，3AB =，14AA =，AB AC ⊥.（1）证明：1A C ⊥平面1ABC ；（2）在线段11A B 上是否存在点D ，使得平面DBC 与平面11AAC C 所成的锐二面角为45︒，若存在，求出线段1A D 的长度；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，137A D =【解析】（1）易得11A C AC ⊥，同时由直三棱柱的性质可得平面ABC ⊥平面11AAC C ，又AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11AAC C ，得1AB A C ⊥，故可得1A C ⊥平面1ABC ；（2）分别以AB u u u r ，AC u u ur ，1AA u u u r 方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，设1A D a =()03a ≤≤，则(),4,4D a ，()03a ≤≤，由空间向量法可得a 的值. 【详解】（1）由已知可得四边形11AAC C 为正方形，所以11A C AC ⊥， 因为几何体111ABC A B C -是直三棱柱， 所以平面ABC ⊥平面11AAC C ，又AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11AAC C ，得1AB A C ⊥， 因为1AC AB A =I ，所以1A C ⊥平面1ABC ，（2）如图，由已知AB ，AC ，1AA 两两垂直，分别以AB u u u r ，AC u u ur ，1AA u u u r 方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()3,0,0B ，()0,4,0C ，设1A D a =()03a ≤≤，则(),4,4D a ，所以(3,0,4)BD a =-u u u r ，(,4,4)CD a =-u u u r，设平面BCD 的一个法向量为(),,n x y z =r，则(3,0,4)(,,)(3)40BD n a x y z a x z ⋅=-⋅=-+=u u u r r，()(,4,4),,440CD n a x y z ax y z ⋅=-⋅=-+=u u u r r，取4x =，得()4,3,3n a =-r，平面11AAC C 的一个法向量为()1,0,0m =r. 所以22cos ,||||634m n m n m n a a ⋅〈〉===-+r rr rr r 解得37a =±()0,3a ∈，所以37a =-所以线段11A B 上存在点D ，且137A D =DBC 与平面11AAC C 所成的锐二面角为45︒. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理及二面角的求法，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.19．新能源汽车正以迅猛的势头发展，越来越多的企业不断推出纯电动产品，某汽车集团要对过去一年推出的四款纯电动车型中销量较低的A 车型进行产品更新换代.为了了解这种车型的外观设计是否需要改进，该集团委托某调查机构对大众做问卷调查，并从参与调查的人群中抽取了400人进行抽样分析，得到如下表格：（单位：人）喜欢不喜欢合计（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为大众对A 型车外观设计的喜欢与年龄有关？（2）现从所抽取的中年人中按是否喜欢A 型车外观设计利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送五折优惠券，求选出的3人中至少有2人喜欢该集团A 型车外观设计的概率；（3）将频率视为概率，从所有参与调查的人群中随机抽取20人赠送礼品，记其中喜欢A 型车外观设计的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）能；（2）710；（3）()11E X =，99()20D X =【解析】（1）计算2K 的值，对照临界值表可得答案；（2）由分层抽样的知识可得，其中抽取的5人中，3人喜欢A 型车外观设计，2人不喜欢A 型车外观设计，分别计算出从何5人中抽取3人的事件数与3人中至少有2人喜欢该集团A 型车外观设计的事件数，可得其概念；（3）从所有参与调查的人群中随机抽取1人，喜欢A 型车外观设计的概率2201140020P ==，可得11~20,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得X 的数学期望和方差.【详解】解：（1）22400(10080100120)4004.040 3.84122018020020099K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为大众对A 型车外观设计的喜欢与年龄有关.（2）从所抽取的中年人中利用分层抽样的方法再抽取5人，其中3人喜欢A 型车外观设计，2人不喜欢A 型车外观设计.记事件C 表示选出的3人中至少有2人喜欢A 型车外观设计，则()21332335710C C C P C C ⨯+==. （III ）从所有参与调查的人群中随机抽取1人，喜欢A 型车外观设计的概率2201140020P ==， 则11~20,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以11()201120E X =⨯=，111199()201202020D X ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查独立性检测的相关知识、分层抽样与古典概念计算概率、二项分布的期望与方差，考查学生的综合分析与计算能力，属于中档题.20．已知动点Q 在x 轴上方，且到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1. （1）求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,1P 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 分别异于原点O ，在曲线C 的A ，B 两点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 交于点M ，求证：M 在定直线上.【答案】（1）24x y =()0y ≠；（2）证明见解析【解析】（1）设(,)Q x y (0)y >，由到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1，可得1y =，化简可得点Q 的轨迹C 的方程；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得12x x +，12x x 的值，又24x y =，所以2xy '=，可得切线1l 的方程，同理可得切线2l 的方程，求出交点坐标，可得其在定直线上.【详解】解：（1）设(,)Q x y (0)y >，1y =，化简得24x y =()0y ≠， 故轨迹C 的方程为24x y =()0y ≠.（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立得24440x kx k -+-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则124x x k +=，1244x x k =-，又24x y =，所以2x y '=，所以切线1l 的方程为()1112x y x x y =-+， 即21124x x y x =-，同理切线2l 的方程为22224x x y x =-联立得1222x x x k +==，1214x xy k ==-.两式消去k 得220x y --=， 当1k =时，2x =，0y =，所以交点M 的轨迹为直线220x y --=，去掉()2,0点. 因而交点M 在定直线上. 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的综合计算能力，属于难题.21．已知函数()ln(1)1axf x x x =+-+()a R ∈. （1）若当0x >时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围； （2）比较20172019与20182018的大小.【答案】（1）1a ≤；（2）2017201820192018<【解析】（1）求出()f x 的定义域，对其求导，令()0f x '=，得1x a =-，分1a ≤与1a >进行讨论，可得()0f x >恒成立时，a 的取值范围；（2）设ln(1)()x g x x+=(0)x >，对其求导，可得2ln(1)1()xx x g x x -++'=， 由（1）得1a =，0x >时，有()ln(1)01x f x x x =+->+，即ln(1)01x x x -+<+，可得()g x 在()0,∞+上是减函数，故可得ln(20181)ln(20171)20182017++<，可得答案.【详解】解：（1）()f x 的定义域为1x >-，2211()1(1)(1)a x af x x x x +-'=-=+++， 令()0f x '=，得1x a =-，①当1a ≤时，()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，则()()00f x f >=， 所以1a ≤时满足条件，②当1a >时，()0,1x a ∈-时，()0f x '<，()1,x a ∈-+∞时，()0f x '>， 得(1)(0)0f a f -<=，即存在1x a =-使得()0f x >不成立，故1a >不符合题意， 所以满足条件的a 的取值范围为1a ≤. （2）设ln(1)()x g x x+=(0)x >， 则2ln(1)1()xx x g x x -++'=， 由（1）得1a =，0x >时，有()ln(1)01x f x x x =+->+，即ln(1)01x x x -+<+， 所以当0x >时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+上是减函数， 因为20182017>，所以ln(20181)ln(20171)20182017++<即2017ln 20192018ln 2018<，即12018207l ln 201918n 20< 所以2017201820192018<.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间与极值，导数在恒成立求参问题中的应用，考查学生的综合计算能力，属于难题.22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，轴与x 轴的正半轴重合.曲线C 的极坐标方程：4cos ρθ=，直线l的参数方程22112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于不同的两点A ，B ，()2,1-M ，求11||||AM BM +的值.【答案】（1）224x y x +=；（2）3【解析】（1）将方程4cos ρθ=两边都乘以ρ得，可得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入可得答案；（2））易知M 点在直线l 上，A ，B 在M 点的两侧，直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，可得12t t +，12t t 的值，可得12121212121111||||t t t t AM BM t t t t t t +-+=+==-， 代入可得答案. 【详解】解：（1）方程4cos ρθ=两边都乘以ρ得，可得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入可得：224x y x +=.（2）易知M 点在直线l 上，A ，B 在M 点的两侧，直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立得2212142222t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得230t t --=， 所以121t t +=，123t t =-，所以12121212121111||||t t t t AM BM t t t t t t +-+=+==-，12===.【点睛】本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程及简单曲线的极坐标方程的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.23．已知函数()3|2|||f x x x a =-++-a R ∈. （1）当3a =时，解不等式()0f x <；（2）若存在实数x ，使得()4f x ≥成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|2}x x >；（2）(,3][1,)-∞-⋃-+∞【解析】（1）将3a =代入()f x ，分2x -≤，23x -<<，3x ≥进行讨论，可得解不等式的解集；（2）由题意要使得()4f x ≥成立，即|||2|1x a x --+≥，由绝对值不等式的性质可得|||2||()(2)|2x a x x a x a --+≤--+=+，故只需21a +≥，可得a 的取值范围. 【详解】解：（1）当3a =时，()3|2|3f x x x =-++-，()0f x <等价于23230x x x ≤-⎧⎨++-+<⎩或233230x x x -<<⎧⎨---+<⎩，或33230x x x ≥⎧⎨--+-<⎩， 解得x ∈∅或23x <<或3x ≥， 所以原不等式的解集为{|2}x x >.（2）()4f x ≥成立，即|||2|1x a x --+≥成立. 因为|||2||()(2)|2x a x x a x a --+≤--+=+， 只需21a +≥，即21a +≥或21a +≤-， 解得1a ≥-或3a ≤-.所以a 的取值范围是(,3][1,)-∞-⋃-+∞. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法与性质，体现分类讨论与等价转化的思想，考查了运算求解能力，属于中档题.第 21 页共 21 页。
2019年高三11月联考数学(理科)答案
故 SABC 2SAMC AM MC sin AMC
7 1
21 7
3
SABC 2SABM AM BM sin BAM
7 1
21 7
3
解法二：在△ ABM 中，由正弦定理，得
AM BM sin B sin BAM
12 分
1 2
。遥控车移到第
n（
2
n
19
）格的情况是下列两种，而且
也只有两种。
①遥控车先到第
n
2
格，又掷出反面，其概率为
1 2
Pn2
②遥控车先到第
n
1
格，又掷出正面，其概率为
1 2
Pn1
所以
Pn
1 2
Pn2
1 2
Pn1 ， Pn
Pn1
1 2
( Pn 1
Pn2 )
当1
2
2
2
椭圆C的方程为 x2 y2 1 2
4 分
（2）设直线 PQ 的方程为 y kx 2 ，P，Q 的坐标分别为 P(x1, y1), Q(x2 , y2 )
则直线 BP 的方程为
y
y1 1 x 1，令 x1
a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2 a n1 2n a2na2n1
(3)(7n
n(n 1) 3) 2
9n2 2
33n 2
10 分
18.（1）由 cos BAM 5 7 得 sin BAM 21
BM AM sin BAM 1 sin B