七年级数学下册 9.1 三角形(第2课时)三角形的角平分线,中线和高线同步跟踪训练 (新版)华东师大版
数学七年级下华东师大版9.1三角形(2)同步练习1初一数学
三角形(2)同步练习◆回首探究1．连接三角形一个极点与对边中点的线段，叫做三角形的一边的_____．2．从三角形的一个极点向对边作垂线，__________叫做三角形的一条高．3．三角形一个内角的角均分线与对边订交于一点，_________ 叫做三角形的一条角均分线．◆讲堂测控测试点三角形的三条重要线段1．锐角三角形的三条高在三角形_________，钝角三角形有______条高在三角形外，直角三角形有两条高恰巧是 _________．2．如图 1， BD=DE=EF=CF，图中共有 _______个三角形， AF 是△ ______的中线， AE是△ _______的中线．(1) (2) (3)3．如图 2，∠ AEB=90°，则 AE是 ______个三角形的高，它们分别是______．4．如图3，△ ABC中 BC 边上的高是 ________，△ ACD中 CD边上的高是 _____，以________．CF 为高的三角形是5．对于三角形的角均分线和中线，以下说法正确的选项是（A ．都是直线B．都是射线 C ．都是线段）D．能够是射线或线段6．假如一个三角形的三条高的交点正是一个三角形的极点，那么这个三角形是（）A ．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不可以确立7．以下说法正确的选项是（）A ．三角形的角均分线、中线、高都在三角形的内部;B ．三角形的角均分线、高都在三角形的内部;C．三角形的高、中线都在三角形的内部;D．三角形的角均分线、中线在三角形的内部8．在图 4 中第一个三角形中作三条中线、在第二个三角形作三条角均分线，在第三个三角形中作三条高线．◆课后测控1．如图 5，AD为△ ABC的中线， AE?是△ ABC?的角均分线， ?若 BD=?2cm，?则 BC=_____cm，若∠ BAC=80°，则∠ CAE=________．(5)(6)(8)2．如图 6，∠ ACB=90°， CD⊥ AB于 D，则 BC边上的高是 ______，AC?边上的高是 ______，AB 边上的高是______，三条高的交点是______．3．如图 7， BD是△ ABC的中线， AB=6cm， BC=4cm，则△ ABD与△ BCD?的周长差为 _______cm．4．如图，画△ABC的 AB 边上的高，正确的选项是（）5．下边的说法：①三角形一边的对角也是此外两边的夹角；②三角形的角均分线就是三角形的内角的平分线；③三角形的中线就是极点和它的对边中点的连线段；④△ABC中，极点 A 就是∠ A，此中正确的说法是（）A ．①②③④B．①②③C．①②D．①③6．下边说法正确的选项是（）A ．三角形的高就是极点到对边垂线段的长B．直角三角形有且仅有一条高C．三角形的高都在三角形的内部D．三角形三条高起码有一条高在三角形内部7．三角形一边上的中线把原三角形分红两个（）A ．形状同样的三角形B．面积相等的三角形C．直角三角形D．周长相等的三角形8．如图，在△ABC中， AD⊥ BC且 AD均分∠ BAC，若∠ 1=30°，则∠ C 为多少度？∠ B 呢？△ ABC是什么三角形？9．如图，已知：D是△ ABC的 BC边延伸线上一点， DF⊥ AB于点 F，交 AC于 E， ?∠ A=40°，∠ D=30°，求∠ ACB的度数．10．如图，△ ABC中，∠ C=90°， AD均分∠ CAB，与∠ ABC的角均分线 BE订交于点D，求∠ ADE的度数．◆拓展创新如图，△ ABC中， AB=AC，作出此三角形的中线 AD，高线 AE，角均分线 AF，你能获得什么结论？多画几个切合要求而不一样的图形考证一下你的结论．答案 :回首探究1．中线 2 ．极点与垂足间的线段2．极点与交点之间的线段讲堂测控1 ．内两两直角边2 ． 10 AEC ADF 和△ ABC3 ．三△ ADE，△ ABE，△ ACE4． AD AD △BCF和△ ACF5．C 6．B 7．D 8 ．绘图略课后测控1．440°2．AC BC CD C3． 2（点拨：由 BD是中线知 AD=CD）4．D5．B6．D7．B8． 60°， 60°，等边三角形9 ． 80°（点拨：依据三角形内角和等于180°先求∠ B=60°，再求∠ ACB=80°）10．45°（点拨：由∠ C=90°， AD、 BE 是∠ CAB、∠ CBA的均分线可得∠BAD+?∠ABD=45°，又∠ ADE=∠ BAD+∠ ABD）拓展创新AD，AE，AF三条线段重合．。
解三角形之三角形的角平分线和中线问题(典型例题+跟踪训练)【解答题抢分专题】备战2023年高考数学
【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题05解三角形之三角形中线和角平分线问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：一、梳理必备知识在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 5.三角形中线问题如图在ABC ∆中，D 为CB 的中点，2AD AC AB =+，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用）6.角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ①等面积法ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A AAB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯（常用）②内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC =③边与面积的比值：ABDADCS AB AC S =【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。
冀教版七年级下册数学第9章 三角形 三角形的角平分线、中线和高
6．如图，已知P是△ABC的重心，连接AP并延长交BC于 点D，若△ABC的面积为20，则△ADC的面积为( ) A
A．10 B．8 C．6 D．5
7．如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM
的周长多3cm，BC＝8cm，则AC的长为
cm.
【点拨】因为CM是△ABC的中线，所以AM＝BM. 又因为(BC＋CM＋BM)－(AC＋CM＋AM)＝3cm， 所以BC－AC＝3cm. 又因为BC＝8cm，所以AC＝8－3＝5(cm)．
【答案】6
14．如图，在方格纸中，有两条线段AB，BC，利用方格 完成如下操作：
(1) 作出△ABD的边BD上的高．
解：如图所示，AM为 △ABD的边BD上的高．
(2)若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长．
解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面 积为6，∴△ABC的面积为12. ∵BD边上的高AM为3， ∴BC＝12×2÷3＝8.
JJ版七年级下
第九章三角形
9．3 三角形的角平分线、中线和高
提示：点击 进入习题
1D
2B
3A
4B
5B
答案显示
6A
75
8 重心
提示：点击 进入习题
9C
10 C 11 D
12 B
13 6
答案显示
14 见习题
15 见习题 16 见习题
提示：点击 进入习题
17 见习题
答案显示
1．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是( D ) A．BD 是△ABC 的角平分线 B．CE 是△BCD 的角平分线 C．∠3＝12∠ACB D．CE 是△ABC 的角平分线
华师大版七年级数学下册 第9章 9.1 三角形 9.1.1 认识三角形 同步练习题
华东师大版数学七年级下册第9章9．1 三角形9．1.1认识三角形同步练习题1．如图所示，图中共有____个三角形，其中以BC为一边的三角形是_________________；以∠A为一个内角的三角形是______________．2．如图，△ABC有________个内角，________个外角，与∠ABC相邻的外角有________个，它们的关系是________，∠ABC的一个外角与∠ABC的关系是________；当AB＝AC＝BC时，△ABC是________三角形，也称________三角形．3．下列说法正确的有()①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③三角形的外角与和它相邻的内角互补；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．A．①②B．①③④C．③④D．①②④4．下列说法正确的是()A．所有的等腰三角形都是锐角三角形B．等边三角形属于等腰三角形C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形D．一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形5．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是()6．三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个()A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形C．直角三角形D．周长相等的三角形7．如图所示，AD是△ABC的角平角线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是()A．20°B．30°C．45°D．60°8．如图所示，D是BC的中点，E是AC的中点，若S△ADE＝1，则S△ABC＝________.9．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分线，则。
冀教版数学七年级下册(同步练习)《9.3三角形的角平分线、中线和高》
《三角形的角平分线、中线和高》同步练习
1.下列说法正确的是(
)
A.三角形的角平分线是射线
B.三角形的高是一条直线
C.三角形的三条中线相交于一点
D.三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线
2.过△ABC的顶点A,作BC边上的高,以下作法正确的是( )
1.如图,AE是△ABC的中线,EC=6,DE=2,则BD的长为___________
2.如图,在△ABC中,∠BAC=68°,∠B=36°,AD是△ABC的一条角平分线,则∠ADB=____________°.
3.如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,线段AC比BC短2 cm,则△BCD和△ACD的周长的差是___________cm.
1.如图,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于E,EF∥AD交BC于F,试问EF是△BED的角平分线吗？为什么？
2.在等腰三角形ABC中,AB=AC,若一腰AC上的中线BD将等腰三角形ABC的周长分成15和6两部分,求三角形ABC的腰长及底边长。
七年级数学下册9_3三角形的角平分线中线和高同步练习新版冀教版
9.3 三角形的角平分线、中线和高基础训练1.以下说法正确的选项是( )A.三角形的角平分线是射线B.三角形的高是一条直线C.三角形的三条中线相交于一点D.三角形的中线是通过极点和对边中点的直线2.过△ABC的极点A,作BC边上的高,以下作法正确的选项是( )3.如图,AE是△ABC的中线,EC=6,DE=2,则BD的长为( )A.2B.3C.4D.64.如图,在△ABC中,∠BAC=68°,∠B=36°,AD是△ABC的一条角平分线,则∠ADB=____________°.5.如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,线段AC比BC短2 cm,则△BCD和△ACD的周长的差是cm.6.如图,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于E,EF∥AD交BC于F,试问EF是△BED的角平分线吗?什么缘故?培优提升1.以下表达中错误的选项是( )A.三角形的中线、角平分线、高都是线段B.三角形的三条高中至少有一条在三角形内部C.只有一条高在三角形内部的三角形必然是钝角三角形D.三角形的三条角平分线都在三角形内部2.如图,在△ABC 中,∠ABC 、∠ACB 的平分线BE 、CD 相交于F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC 等于( )A.118°B.119°C.120°D.121°3.如图,在△ABC 中,D,E 别离为BC,AD 的中点,且△ABC 的面积为4,那么图中阴影部份的面积是( )A.2B.1C.12D.14 4.如图,△ABC 中BC 边上的高是________,△ACD 中CD 边上的高是________,△BCE 中BC 边上的高是________,以CF 为高的三角形是________.5.如图,在△ABC 中,AD ⊥BC,BE ⊥AC,垂足别离为D,E,BC=16,AD=6,BE=8,则AC=________.6.如图,△ABC 中,∠ACB=110°,∠B=30°,作出∠BAC 的平分线AE 和BC 边上的高AD,并求出∠DAE 的度数.7.如图,在△ABC 中,AD 是△ABC 的角平分线,P 为线段AD 上的一个点,PE ⊥AD 交直线BC 于点E.(1)若∠B=30°,∠ACB=70°,则∠ADC= ,∠E= ;(2)若∠B=m°,∠ACB=n°,且n>m,请用含m,n 的式子表示∠ADC,∠E 的度数.8.在等腰三角形ABC 中,AB=AC,假设一腰AC 上的中线BD 将等腰三角形ABC 的周长分成15和6两部份,求三角形ABC 的腰长及底边长.参考答案【基础训练】1.【答案】C解：任何一个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线,它们都是线段,不是射线或直线.2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】110解：依照三角形的角平分线概念求得∠BAD=12∠BAC=34°.∠ADC 是△ABD 的外角,故∠ADC=∠B+∠BAD=36°+34°=70°,因此∠ADB=180°-∠ADC=110°.5.【答案】2解：∵CD 是AB 边上的中线,∴AD=BD.∵AC+2 cm=BC,∴AC+AD+CD+2 cm=BC+BD+CD,即△BCD 与△ACD 的周长的差为2 cm.6.解:EF 是△BED 的角平分线.理由如下:如图,因为AD 是△ABC 的角平分线,因此∠1=∠2.因为EF ∥AD,因此∠1=∠3,∠4=∠ADE.因为DE ∥AC,因此∠2=∠ADE.因此∠2=∠4,因此∠3=∠4,因此EF 是△BED 的角平分线.【培优提升】1.【答案】C解：直角三角形和钝角三角形都是只有一条高在三角形内部,故C 错误.2.【答案】C3.【答案】B解：因为D 是BC 的中点,因此△ABD 与△ACD 是等底同高的三角形,则S △ABD =S △ACD =12S △ABC .同理可得S △AEC =S △DEC =12S △ADC ,因此S △AEC =14S △ABC =14×4=1. 4.【答案】AD;AD;BE;△ABC 、△BCF 和△ACF5.【答案】12解：由三角形面积公式可得S △ABC =12BC ·AD=12AC ·BE,因此16×6=8AC,因此AC=12. 6.解:如图.∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵∠ACB+∠B+∠CAB=180°,∠ACB=110°,∠B=30°,∴∠CAB=180°-110°-30°=40°.∵AE 平分∠CAB,∴∠CAE=12∠CAB=20°. ∵∠ACB 是△ACD 的外角,∴∠DAC=∠ACB-∠ADC=110°-90°=20°.∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=40°.7.解:(1)70°;20°(2)∵∠B=m°,∠ACB=n°,∠B+∠ACB+∠BAC=180°,∴∠BAC=180°-m°-n°.∵AD 是△ABC 的角平分线,∴∠BAD=12∠BAC=90°-12m°-12n°. ∵∠ADC 是△ABD 的外角, ∴∠ADC=∠B+∠BAD=m°+90°-12m°-12n°=90°+12m°-12n°. ∵PE⊥AD,∴∠DPE=90°. ∴∠E=90°-∠ADC=90°-(90°+12m °-12n °)= 12n°-12m°. 8.解:设AB=AC=2x,则AD=CD=x.(1)当AB+AD=15,BC+CD=6时,有2x+x=15,因此x=5,因此AB=AC=2x=10,BC=6-5=1.(2)当BC+CD=15,AB+AD=6时,有2x+x=6,因此x=2,AB=AC=2x=4,BC=13.因4+4<13,故不能组成三角形. 因此三角形ABC 的腰长为10,底边长为1.。
冀教版七年级数学下册同步练习：9.3三角形的角平分线、中线和高(包含答案)
9.3 三角形的角平分线、中线和高1.如图,在△ABC中,∠B=67°,∠C=33°,AD是△ABC的角平分线,则∠CAD的度数为()A.40°B.45°C.50°D.55°2如图,BD=DE=EF=FC,那么△ABE的中线是()A.ADB.AEC.AFD.以上都是3.如图,已知D是△ABC的重心,连接BD并延长,交AC于点E,若AE=4,则AC的长为()A.6B.8C.10D.124.如图过△ABC的顶点A作BC边上的高,以下作法正确的是()5.三角形的三条高所在的直线相交于一点,此点在()A.三角形的内部B.三角形的外部C.三角形的边上D.不能确定6.如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD边上的中点,延长BG交AC于点E,且满足BE⊥AC,F为AB上的一点,CF⊥AD于点H.有下列结论:①线段AG是△ABE的角平分线;②BE是△ABD边AD上的中线;③线段AE是△ABG的边BG上的高;④∠1+∠FBC+∠FCB=90°.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.47.如图,在△ABC中,E是BC上的一点,EC=2BE,D是AC的中点,设△ABC,△ADF,△BEF的面积分别为S△ABC,S△ADF,S△BEF,且S△ABC=12,则S△ADF-S△BEF的值为()A.1B.2C.3D.48.如图,AD是△ABC的角平分线,点O在AD上,且OE⊥BC于点E,∠BAC=60°,∠C=80°,则∠EOD的度数为()A.20°B.30°C.10°D.15°9如图所示,在△ABC中,AD为△ABC的中线, E为AD的中点.若△ABC的面积为4,则△AEC的面积为.10.如图在△ABC中,∠A=60°,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,求∠BPC的度数.11.如图,已知AD为△ABC的中线,AB=5 cm,且△ACD的周长比△ABD的周长少2 cm,求AC 的长.12.已知AD是△ABC的髙,∠BAD=70°,∠CAD=20°,求∠BAC的度数.13.如图,已知△ABC,按下列要求作图:(1)画出∠ABC的平分线,并指出相等的角;(2)画出AC边上的中线,并指出相等的线段;(3)画出BC边上的高,并指出图中所有的直角三角形.14.如图,AD是△ABC中BC边上的高,AE,BF是△ABC的角平分线,AE,BF相交于点O,∠CAB=50°,∠C=60°,求∠DAE和∠BOA的度数.15.在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24 cm和30 cm两部分,求△ABC各边的长.16.有一块三角形土地,为了美化环境,将其分成面积相等的4块,分别种植四种不同的花草,请你设计两种不同的分配方案(在图9-3-13中直接画图,保留作图痕迹,不写画法).答案1.A 2.A 3.B4A 5.D6.C7.B8.A 9.110解:在△ABC中,因为∠A=60°,所以∠ABC+∠ACB=120°.因为BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,所以∠PBC=1∠ABC,∠PCB=1∠ACB,(∠ABC+∠ACB)=60°.所以∠PBC+∠PCB=12因为∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°,所以∠BPC=180°-60°=120°.11.解:因为AD为△ABC的中线,所以BD=CD.因为△ACD的周长比△ABD的周长少2 cm,所以(AB+BD+AD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2 cm,所以AC=AB-2=5-2=3(cm).12.解:分两种情况:(1)当高AD在△ABC的内部时,如图①.因为∠BAD=70°,∠CAD=20°,所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.(2)当高AD在△ABC的外部时,如图②.因为∠BAD=70°,∠CAD=20°,所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°.综上可知,∠BAC的度数为90°或50°.13.解:(1)如图,BD 是∠ABC 的平分线, ∠ABD=∠CBD.(2)如图,BE 是AC 边上的中线,AE=CE.(3)如图,延长CB (或反向延长BC ),过点A 作AF ⊥CB ,垂足为F ,线段AF 为BC 边上的高. 因为AF ⊥BC ,所以∠AFC=90°,所以图中的直角三角形有△AFB 和△AFC ,共2个.14.解:因为∠CAB =50°,∠C=60°, 所以∠ABC=180°-50°-60°=70°. 又因为AD 是BC 边上的高, 所以∠ADC=90°,所以∠DAC=180°-90°-∠C=30°. 因为AE ,BF 是△ABC 的角平分线,所以∠CBF=∠ABF=12∠ABC=12×70°=35°, ∠BAE=∠EAF=1∠CAB =1×50°=25°, 所以∠DAE=∠DAC -∠EAF=30°-25°=5°,∠BOA=180°-∠ABF -∠BAE=180°-35°-25°=120°.即∠DAE=5°,∠BOA=120°.15.解:设AB=AC=x cm,BC=y cm .由题意可知{x +12x =24,y +12x =30或{x +12x =30,y +12x =24,解得{x =16,y =22或{x =20,y =14.这两种情况均能构成三角形,符合题意. 因此△ABC 各边的长有两种情况:①AB=AC=16 cm,BC=22 cm; ②AB=AC=20 cm,BC=14 cm .16.解:答案不唯一,如图所示.。
冀教版七年级下册数学第9章 三角形 三角形的角平分线、中线和高(2)
2
2
1
1
5 24
2 7
2 7
5
2
2
解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°. 又∵∠A＝55°， ∴∠ABD＝180°－∠ADB－∠A＝35°. ∵CE⊥AB，∴∠BEH＝90°. ∴∠BHC＝∠BEH＋∠ABD＝90°＋35°＝125°.
(2)若AC＝6，BD＝4，AB＝5，求CE的长.
解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴S△ABC＝ AC·BD＝ AB·CE.
=
12.【荣德原创】如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，以线段AE为角平分线的
三角形有( )
A.3个
B.2个
B
C.1个
D.0个
13.如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，若∠BAE＝36°， 则∠BED为( )
A.136°B.126°C.124°D.114°
【点拨】∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE＝36°. ∵ED∥AC，∴∠CAE ＋∠DEA＝180°. ∴∠DEA＝180°－36°＝144°. ∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝90°. ∵∠AED＋∠AEB＋∠BED＝360°， ∴∠BED＝360°－144°－90°＝126°. 故选B.
冀教版七年级下
第九章 三角形
9.3三角形的角平分线、中线和高
提示：点击 进入习题
1A 2C 3C 4B 5D
6B 7D 8A 9B 10 C
答案显示
提示：点击 进入习题
11 = 12 B 13 B 14 见习题 15 见习题
16 见习题 17 见习题 18 见习题
答案显示
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 9.1.2三角形的角平分线，中线和高线 一．选择题（共8小题） 1．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ）
A． B． C． D． 2．在△ABC所在的平面内存在一点P，它到A、B、C三点的距离都相等，那么点P一定是（ ） A． △ABC三边中垂线的交点 B． △ABC三边上高线的交点 C． △ABC三内角平分线的交点 D． △ABC一条中位线的中点
3．已知BD是△ABC的中线，AB=4，AC=3，BD=5，则△ABD的周长为（ ） A． 12 B．10.5 C．10 D． 8.5
4．三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ） A． 角平分线 B．中位线 C．高 D． 中线
5．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6 cm，则AB与AC的差为（ ）
A． 2cm B．3cm C．6cm D． 12cm 6．下列说法正确的是（ ） ①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部． A． ①②③ B．①② C．②③ D． ①③
7．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A． 锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D． 不能确定
8．下列说法错误的是（ ） A． 三角形的中线、高、角平分线都是线段 B． 任意三角形内角和都是180° C． 三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形 D． 直角三角形两锐角互余
二．填空题（共6小题） 9．在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为3，AB=8，则AC= _________ ． 2
10．如图，在△ABC中，BE是边AC上的中线，已知AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，则△ABC的周长是 _________ cm．
11．在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B=50°，∠C=70°，∠BAD= _________ °．
12．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，则△ABD与△ACD的周长之差为 _________ cm．
13．如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D．则图中共有 _________ 个直角三角形． 14．AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC的周长为20cm，△ACD的周长为14cm，则AD= _________ ． 三．解答题（共6小题） 15．在△ABC中，BD是AC边上的中线，已知AB=6cm，△ABD的周长与△CBD的周长的差1cm，求边BC的长．
16．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数． 3
17．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长． 18．如图，在△ABC中，∠ B=60°，∠C=20°，AD为△ABC的高，AE为角平分线 （1）求∠EAD的度数； （2）寻找∠DAE与∠B、∠C的关系并说明理由．
19．如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数．
20．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数． 4 5
9.1.2三角形的角平分线，中线和高线 参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题） 1．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ）
A． B． C． D． 考点： 三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积． 分析： 由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 解答： 解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 点评： 本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部．
2.在△ABC所在的平面内存在一点P，它到A、B、C三点的距离都相等，那么点P一定是（ ） A． △ABC三边中垂线的交点 B． △ABC三边上高线的交点 C． △ABC三内角平分线的交点 D． △ABC一条中位线的中点
考点： 三角形的角平分线、中线和高． 分析： 根据已知，作出图形，已知△ABC内一点P，PA=PB=PC，如图所示，作辅助线PM、PN、PK分别垂直三角形的三边AC、BC、AB，可证得点P是三角形的外心．问题可求． 解答： 解：如图所示，PA=PB=PC，作PM⊥AC于点M， 则∠PMA=∠PMC=90°，在两直角三角形中， ∵PM=PM，PA=PC，∴△APM≌△CPM， ∴AM=MC； 同理可证得：AK=BK，BN=CN， ∴点P是△ABC三边中垂线的交点．故选A．
点评： 解答本题的关键是熟练掌握三角形的内心（三边垂直平分线的交点）和外心（三条角平分线的交点）；垂心是三条高的交点． 6
3．已知BD是△ABC的中线，AB=4，AC=3，BD=5，则△ABD的周长为（ ） A． 12 B．10.5 C．10 D． 8.5
考点： 三角形的角平分线、中线和高． 分析： 先由BD是△ABC的中线，得出AD=AC=1.5，再根据三角形周长的定义得出△ABD的周长=AB+BD+AD，将数值代入计算即可求解． 解答： 解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD=AC=1.5， ∴△ABD的周长=AB+BD+AD=4+5+1.5=10.5． 故选B．
点评： 本题考查了三角形的中线与周长，比较简单，根据中线的定义得出AD=AC=1.5是解题的关键．
4．三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ） A． 角平分线 B．中位线 C．高 D． 中线
考点： 三角形的角平分线、中线和高． 分析： 三角形的角平分线与中线重合时才能将三角形分成面积相等的两部分，三角形的中位线将三角形分成面积为1：3，三角形的高只有与中线重合时才能将三角形分成面积相等的两部分，三角形的中线将三角形的一条边平均分成2部分，以这2部分分别为底，分别求新三角形的面积，面积相等． 解答： 解： （1）
三角形的角平分线把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定； （2）
三角形的中位线把三角形分成两部分，这两部分的面积经计算得： 三角形面积为梯形面积的； 7
（3） 三角形的高把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定； （4）
三角形的中线AD把三角形分成两部分，△ABD的面积为•BD•AE，△ACD面积为•CD•AE； 因为AD为中线，所以D为BC中点，所以BD=CD， 所以△ABD的面积等于△ACD的面积． ∴三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 故选D． 点评： 考查中线，高，中位线，角平分线的定义，及中线，高，中位线在实际运算中的应用．
5．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6 cm，则AB与AC的差为（ ）
A． 2cm B．3cm C．6cm D． 12cm 考点： 三角形的角平分线、中线和高． 分析： 根据三角形的周长和中线的定义求AB与AC的差． 解答： 解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD=DC． ∴△ABD比△ACD的周长大6 cm，即AB与AC的差为6cm． 故选C． 点评： 三角形的中线即三角形的一个顶点与对边中点所连接的线段．
6．下列说法正确的是（ ） ①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部． A． ①②③ B．①② C．②③ D． ①③
考点： 三角形的角平分线、中线和高． 分析： 根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上作答． 8
解答： 解：①、②正确； 而对于三角形三条高： 锐角三角形的三条高在三角形的内部； 直角三角形有两条高在边上； 钝角三角形有两条高在外部，故③错误． 故选B． 点评： 考查了三角形的三条中线，三条角平分线，三条高的位置． 三角形的三条中线都在三角形内部； 三角形的三条角平分线都在三角形内部； 三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上．
7．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A． 锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D． 不能确定
考点： 三角形的角平分线、中线和高． 分析： 根据三角形的高的特点对选项进行一一分析，即可得出答案． 解答： 解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误； B、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误； C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确； D、能确定C正确，故错误． 故选：C． 点评： 此题主要考查了三角形的高，用到的知识点是钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点．
8．下列说法错误的是（ ） A． 三角形的中线、高、角平分线都是线段 B． 任意三角形内角和都是180° C． 三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形 D． 直角三角形两锐角互余
考点： 三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；直角三角形的性质． 专题： 推理填空题． 分析： 根据三角形的中线高角平分线定义即可判断A；由三角形内角和定理能判断B；由直角三角形的分类能判断C；根据直角三角形的性质能判断D． 解答： 解：A、三角形的中线高角平分线都是线段，故本选项错误； B、根据三角形的内角和定理，三角形的内角和等于180°，故本选项错误； C、因为三角形按角分为直角三角形和斜三角形（锐角三角形、钝角三角形），故本选项正确； D、直角三角形两锐角互余，故本选项错误； 故选C． 点评： 本题考查了三角形的角平分线、中线、高，三角形的内角和定理，直角三角形的性质等知识点，熟练理解和掌握这些知识是解此题的关键．