第六章 第四节 简单线性规划
第六章--线性规划
第六章 线性规划线性规划是最简单的约束优化问题。
这是因为线性规划的目标函数和约束函数都是线性函数。
1.线性规划的标准形式∑=nj jjx c1min∑===nj i j ij mi b x a t s 1,...,2,1,..)(,...,2,1,0n m n j x j <=≥为简便，标准形式还可写成：xc TminbAx t s =.. 0≥x其中：[]Tn x x x x ,,,21 = []Tn c c c c ,,,21 = []Tn b b b b ,,,21 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=mn m n a a a a A1111 还可以写成：xc Tmin∑==n j j j b a x t s 1..≥x其中Tmj j j ja a a a ],...,,[21=称n c c c ,...,,21为变量n x x x ,...,,21的价格系数，c 为价格系数向量。
2.化为标准形式的方法考虑线性规划的一般形式：∑=tj jjx c1min∑=≤tj pj pj b x a t s 1..，u p ,...,2,1= ∑=≥tj qjqj b x a 1，v u u q ++=,...,1 ∑==tj rjrj b x a 1，m v u r ,...,1++=0≥j x ，tj ,...,2,1=假定所有的mi b i,...,2,1,0=≥。
在线性规划的标准形式中，除要求各变量非负外，只存在等式约束。
为此，采用如下方法来消除不等式约束。
1)松弛变量对于""≤约束，可以引入松弛变量使它变为等式约束。
考虑∑=≤tj pjpj b x a 1，引入新变量0≥+pt x，使之变成等式约束，∑=+≤+tj ppt j pj b x x a 1。
2)剩余变量对于""≥约束，可以引入剩余变量使它变为等式约束。
考虑∑=≥tj qjqj b x a 1，引入新变量0≥+qt x，使∑=+=-tj qq t jqj b x x a 1。
高中数学简单线性规划教案
高中数学简单线性规划教案
目标：学生能够理解和应用简单线性规划概念，解决实际问题
一、引入
1. 引导学生回顾线性规划的基本概念：目标函数、约束条件等。
2. 引导学生思考以下问题：什么是线性规划？线性规划在生活中有哪些应用？
二、知识点讲解
1. 线性规划的定义：将问题转化为目标函数和约束条件的最优化问题。
2. 线性规划的基本步骤：确定目标函数、列出约束条件、求解最优解等。
3. 简单线性规划的例子：例如生产某种产品时的最优生产数量、销售某种商品时的最大利润等。
三、练习与应用
1. 让学生通过实际例子练习简单线性规划的求解过程。
2. 给学生一个生活中的实际问题，让他们尝试用线性规划方法解决。
四、总结与反思
1. 总结本节课所学的内容，强调线性规划的重要性和应用价值。
2. 让学生思考如何将线性规划应用到更复杂的实际问题中，并鼓励他们多做练习。
五、作业
1. 布置相关练习题和应用题作为作业，巩固本节课所学的知识。
2. 提醒学生在做作业时要注意思考问题的建模和求解方法。
六、拓展
1. 可以邀请专业人士或相关领域的学者给学生讲解线性规划在实际中的应用和发展趋势。
2. 可以组织学生参加线性规划竞赛或实践活动，增强他们的动手能力和实际应用能力。
简单线性规划
简单线性规划【学习目标】1.了解线性约束条件、线性目标函数、线性规划概念；2.会在线性约束条件下求线性目标函数的最优解；3.了解线性规划问题的图解法．【学习重点】线性规划问题【学习难点】线性规划在实际中的应用【课前预习案】1. 画出下面不等式表示的区域⎪⎩⎪⎨⎧≥->-<+113y y x y x2.线性规划的有关概念(1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)组．(2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式．(3)线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题．(4)可行解：满足________________的解(x ，y )．(5)可行域：所有________组成的集合．(6)最优解：使______________取得最大值或最小值的可行解．【课堂探究案】探究一：求线性目标函数的最值问题例1. 设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥->-<+113y y x y x（1）求目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值和最小值（2）求目标函数z ＝4x-2y 的最大值和最小值总结：目标函数by ax z +=中，若0>b ，则向上平移时z 增大，向下平移z减小；若0<b ，则向下平移时z 增大，向上平移z 减小。
探究二：求非线性目标函数的最优解例2. 已知满足不等式组 ,求 ①的最大值与最小值; ②的最大值与最小值;③ 的取值范围.总结：两类非线性目标函数最值的求解，关键是弄清目标函数的几何意义，然后用数形结合的方法求解。
【课后检测案】1.已知x 、y 满足以下约束条件 ，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是( )A.13，1B.13，2C.13，54D.13，552 2. 设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－13.已知x 、y 满足以下约束条件 ，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 。
简单线性规划 课件(48张)
(1)解析：如图所示，
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32
2x－y－2≥0， x＋2y－1≥0，所表示的 3x＋y－8≤0，
平面区域为图中的阴影部分．
x＋2y－1＝0，
由
得 A(3，－1)
3x＋y－8＝0，
当 M 点与 A 重合时，OM 的斜率最小，
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33
kOM＝－13. 答案：C
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46
4．求最优解．通过解方程组求出最优解． 5．求最值．求出线性目标函数的最小值或最大值．
知，当直线 y＝－13x＋3z经过 A 点时 z 取最大值．由
2x＋y＝4，
得 A(1，2)，所以 zmax＝1＋2×3＝7. Nhomakorabeax＝1，
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23
类型 2 求非线性目标函数的最值 x－y－2≤0，
[典例 2] 设实数 x，y 满足约束条件x＋2y－4≥0， 2y－3≤0，
求： (1)x2＋y2 的最小值； (2)xy的最大值．
由
解得 C(2，1)，
3x－y－5＝0，
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36
所以当 x＝3，y＝4 时， dmax＝(3＋1)2＋(4＋1)2＝41， 当 x＝2，y＝1 时， dmin＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13， 即(x＋1)2＋(y＋1)2 的最大值为 41，最小值为 13.
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类型 3 已知目标函数的最值求参数问题 y≥x，
当直线 l 经过可行域内点 C 时，v 最大， 由(1)知 C1，32， 所以 vmax＝32，所以xy的最大值为32.
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27
归纳升华 非线性目标函数最值问题的求解方法
简单的线性规划问题 课件
2．对于函数 z＝2x－y，当直线 2x－y－z＝0 经过 A、B、C 三点时，z 的值分别是多少？
【提示】 直线经过 A(3,8)时，z 的值为－2； 直线经过 B(－3,2)时，z 的值为－8， 直线经过 C(3，－4)时，z 的值为 10. 3．当直线 2x－y－z＝0 经过平面区域时，z 的最大值是多 少？最小值呢？ 【提示】 z 的最大值为 10，最小值为－8.
【自主解答】 由约束条件画出可行域(如图所示)为矩形 ABCD(包括边界)．
点 C 的坐标为(3,1)，z 最大，即平移 y＝－ax 时使直线在 y 轴上的截距最大，
∴－a<kCD，即－a<－1. ∴a>1.
【答案】 a>1
1．本题属逆向思维类型，解答时要画出图形，使用数形结 合的方法．
2．解答此类问题首先要熟练线性规划问题的求解程序和确 定最优解的方法，还要明确线性目标函数的最值一般在可行域 的顶点或边界取得，对边界直线的斜率与目标函数对应的直线 的斜率要认真对照分析．
成本(百元)
30
20
300
劳动力
5
10
110
单位利润(百元)
6
8
试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最
大利润是多少？
【思路探究】 提取不等信息→转化为不等式组→作出可 行域→借助线性规划分析→还原实际问题
【自主解答】 设电子琴和洗衣机月供应量分别为 x 架、y 台，总利润为 z 百元，则根据题意，
已知变量 x，y 满足约束条件1－≤2x≤＋xy－≤y4≤，2， 若 目标函数 z＝ax＋y(其中 a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则 a 的 取值范围为________．
简单线性规划
简单线性规划线性规划（Linear Programming，LP）是一种运用数学方法，以规定的约束条件为前提，通过建立数学模型，求解线性目标函数最大或最小值的一种优化方法。
线性规划方法可用于解决许多实际问题，如资源分配、生产计划、物流管理等。
线性规划的基本形式是在一组约束条件下，最大化或最小化一个线性的目标函数。
目标函数和约束条件必须是线性的，即目标函数和约束条件中的变量的系数必须为常数。
例如，假设有两种可供选择的产品A和B，它们的产量分别为x和y。
目标是通过调整x和y的值，使得总利润最大化。
同时，需要考虑的约束条件包括资源的使用限制、产品的产能限制等。
如果将总利润表示为目标函数，资源使用和产能限制等表示为约束条件，那么这个问题可以用线性规划的方法来解决。
线性规划的解法有多种，其中最常见的是单纯形法。
单纯形法基于一个重要的性质，即在一个凸多边形的顶点上，目标函数的最优解一定存在。
单纯形法通过迭代计算，逐步接近最优解，直到找到最优解为止。
此外，还有其他的方法来解决线性规划问题，如对偶理论、内点法等。
线性规划的应用十分广泛。
在资源有限的情况下，如何合理地分配资源是一个重要的问题。
例如，在生产计划中，如何安排生产任务，对产品的产量进行合理分配，以最大化利润；在物流管理中，如何合理地安排货物的运输路线，以最小化运输成本等。
线性规划提供了一种直观且有效的工具，可以帮助我们在有限的资源下得到最优的解决方案。
尽管线性规划方法在许多场景下表现良好，但它也有一些局限性。
首先，线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的，因此对于非线性的问题，线性规划方法并不适用。
其次，线性规划方法在求解大规模问题时可能面临计算复杂度的问题。
不过，有许多方法可以对线性规划的问题进行转化，从而将非线性问题转化为线性问题，或者通过并行计算等方法来加快计算速度。
总的来说，线性规划是一种强大的优化工具，可用于解决各种实际问题。
它的优势在于简单、直观，能够得到全局最优解。
简单线性规划(最新课件ppt)
y 0.
A
作直线l : 2x 4y 0,即x 2y 0并平移， 2移
当l过点A时，取到Zmin；当l过点B时，取到Zmax .
分别解方程组
3求
x x
y 5=0 y=0
,
x y=0
y=0
.
得A2.5, 2.5,B 0,0,
Zmax 2 0+4 0=0;Zmin 2 2.5 4 2.5 = 15.
x 4y 3 0
x
O
3x 5y 25 0
在不等式组表示的平面区域内
问题1:x 有无最大（小）值？ 问题2:y 有无最大（小）值？ 问题3:z=2x+y 有无最大（小）值？
y
y 2x 12
y 2x 3
A(5.00, 2.00)来自Cy 2x 5
B(1.00, 1.00) C(1.00, 4.40)
•B
O
x 4y 3 0
•A
3x 5y 25 0
x
zmax 25 2 12
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域,
和直线 ax by 不0(全a,b为 目标0函，数为
z ax by);
（2）移：平行移动直线 ax by，确0 定使 z
ax 取by得最大值和最小值的点；
y前系数为负 2、 当b 0时,0 ax by c向上平移时, Z随之减小,
向下平移时, Z随之增大.
运用新知解决问题
例2.营养学家指出，成人良
好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白 质，0.06 kg的脂肪。1 kg食物A 含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28 元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳 水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元。 假如你是一个主妇你会如何合理 的购买食用食物A和食物B多少 kg呢？
简单的线性规划问题 课件
【典型例题】 例 1 已知 1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求 2x－3y 的取值范围．
解 作出二元一次不等式组1－≤1x≤＋xy－≤y5≤，3 所表示的平面 区域(如图)即为可行域．
设 z＝2x－3y，变形得 y＝23x－13z，则得到斜率为23，且随 z 变化的一组平行直线． －13z 是直线在 y 轴上的截距，当直线截距最大时，z 的值最 小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标 函数 z＝2x－3y 取得最小值．
3．求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的 问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x，
y)叫做可行解 ，由所有可行解组成的集合叫做可行域 .
分别使目标函数 z＝ax＋by 取得最大值或最小值的可行 解叫做这个问题的最优解．
4．线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 _y＝ ___－__ab_x＋__b_z，在 y 轴上的截距是bz，当 z 变化时，方程表
如图所示，直线 MB 的斜率最大， 直线 MC 的斜率最小，
又∵B(0,2)，C(1,0)， ∴zmax＝kMB＝3；zmin＝kMC＝12. ∴z 的最大值为 3，最小值为12. (2)z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方， 结合图形知，原点到点 A 的距离最大，原点到直线 BC 的距 离最小．
由图可见，当直线 z＝2x－3y 经过可行域上的点 A 时，截距 最大，即 z 最小． 解方程组xx－＋yy＝＝－5 1 得 A 的坐标为(2,3)， ∴zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5.
当直线 z＝2x－3y 经过可行域上的点 B 时，截距最小，即 z 最大． 解方程组xx－ ＋yy＝ ＝31 得 B 的坐标为(2，－1)． ∴zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7. ∴－5≤2x－3y≤7，即 2x－3y 的取值范围是[－5，－7]． 小结 解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确 地理解 z 的几何意义，求最优解时采用“平移直线法”．
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第四节
简单线性规划
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研考向 考点研究
易错警示 系列13
课时 跟踪检测
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考点二
考情分析
求目标函数的最值|
线性规划问题以其独特的表达形式成为不等式部分的重要内容，线性规划
中，通过最优解求参数的值或范围问题是高考命题的亮点与热点，作为不等式的重要 组成部分，高考中常以选择题、填空题的形式出现，解答题偶尔也会考查． 归纳起来常见的命题角度有： (1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标的最值； (3)求线性规划中的参数．
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知识点一
[自测练习]
x－3y＋6＜0， 1．不等式组 表示的 x － y ＋ 2 ≥ 0 ，
解析
x－3y＋6＜0 表示直线 x－ 3y＋6＝0 上方的区域， x－y＋2≥0 表示直线 x－y ＋2＝0 以及该直线下方的 区域，故选 C.
max
C．－2
D．－3
当 a＝2 或 3 时，z＝ax＋y 在 A(2,0)处取得最大值， ∴2a＝4，∴a＝2.
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考点二
(1)求目标函数最值的一般步骤为： 一画、 二移、三求． 其关键是准确作出可行域， 理解目标函数的意义． (2)在约束条件是线性的情况下， 线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取 得最值．在解答选择题或者填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验． (3)对于已知目标函数的最值，求参数问题，把参数当作已知数，找出最优解代入 目标函数．由目标函数的最值求得参数的值． (4)非线性目标函数的最值，解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给 目标函数赋予一定的几何意义．
数 z＝x＋6y 的最大值为( C ) A．3 C．18 B． 4 D．40
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考点二
角度二 求非线性目标函数的最值
解析
约束条件的可行域如图．
2．(2015· 高考全国卷Ⅰ)若 x，y 满足 x－1≥0， y 约束条件x－y≤0， 则x 的最大 x＋y－4≤0，
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知识点二
易误提醒
知识点一
z 在通过求直线的截距b的最值间接求出 z 的最
z 值时，要注意：当 b＞0 时，截距b取最大值时，z 也取最大 z z 值；截距b取最小值时，z 也取最小值；当 b＜0 时，截距b取 z 最大值时，z 取最小值；截距b取最小值时，z 取最大值．
约束条件
知识点一
一次 不等式(或方程)组成的不等式(组) 线性约束条件 由x，y的____
目标函数
知识点二
一次 函数解析式 线性目标函数 关于x，y的_____
可行解 可行域 最优解
最小值 的可行解 最大值 或______ 使目标函数取得______
最大值 或 在线性约束条件下求线性目标函数的______ 线性规划问题 最小值 _______问题
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知识点一
易误提醒 画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次
不等式标准化．
知识点一
必明技法
确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线
定界，特殊点定域”的方法． (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含
题组训练
x＋y－7≤0， 且圆 且圆 C 与 x 轴相 x－y＋3≥0， 若圆心 C∈Ω， y≥0. 切，所以点 C
心 C(a，b)∈Ω，
C 与 x 轴相切， 则 a2＋b2 的最大值为 在如图所示的线段 MN 上， 线段 MN (C ) A．5 C．37 B．29 D．49
的方程为 y＝1(－2≤x≤6)，由图形 得，当点 C 在点 N(6,1)处时，a2＋b2 取得最大值 62＋12＝37.
解析
由题意作出可行域如图中阴影部
x＋y＝4， 分 所 示 ， 由 x－y＝2
⇒
M(3,1)．故 2x＋y 的最大值为 7.
知识点二
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知识点二
解析
3 ． 设 x ， y 满 足 约 束 条 件 作出不等式组表示的区域 ( 如图中阴影 部分所示)，由图可知，当目标函数线 z 3x－y－2≤0， ＝ax＋by(a＞0， b＞0)过点 A(1,1)时，z x－y≥0， 若目标函数 z a＋b2 取最大值，∴a＋b＝4，∴ab≤ x≥0， ＝ 2 y≥0， 4(当且仅当 a＝b＝2 时取等号)，又∵a ＝ax＋by(a＞0， b＞0)的最大值为 ＞0，b＞0，∴ab∈(0,4]，故选 B. 4，则 ab 的取值范围是( B ) A．(0,4) C．[4，＋∞) B．(0,4] D．(4，＋∞)
包含 边界直线． 面)_____
知识点二
2．对于直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，使得 Ax＋ By＋C 的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适 合 Ax＋By＋C＞0 ；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合
Ax＋By＋C＜0 . ______________
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知识点一
平面区域是( C )
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知识点二
线性规划中的基本概念 名 称 意 义
不等式(组) 由变量x，y组成的__________ 解析式 ，如z＝2x＋3y等 关于x，y的函数_______ 线性约束条件 的解(x，y) 满足____________ 可行解组成的集合 所有____
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知识点一
二元一次不等式表示的平面区域
1．二元一次不等式 Ax＋By＋C＞0 在平面直角坐标系中表示直 线 Ax＋By＋C＝0 某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)， 不
知识点一
含 边界直线．不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面区域 (半平 ___
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知识点二
[自测练习]
知识点一
2．(2014· 高考湖北卷)若变量 x，y x＋y≤4， 满 足 约 束 条 件 x－y≤2， x≥0，y≥0， 则 2x＋y 的最大值是( C ) A．2 C．7 B． 4 D．8
题组训练
不等式组，则不等式 (组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那 部分区域；否则就对应于特殊点异侧的平面区域． (2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚 线，特殊点常取原点． (3)求平面区域的面积，要先画出不等式(组)表示的平面区域，然后 根据平面区域的形状求面积，必要时分割区域为特殊图形求解．
题组训练
2－4m 2＋2m 平面区域为三角形，且其面积 C ，D(－2m,0)． ， 3 3 4 等于 ，则 m 的值为( B ) 1 1 3 S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝ |AD|· |yB－yC|＝ (2＋ 2 2 A．－3 B． 1 2＋2m m－ 2 4 ＝ ， 2 m ) ＝ (1 ＋ m ) 1＋ m － 1＋ 4 3 3 3 C. D．3 3 解得 m＝1 或 m＝－3(舍去)．
知识点一
知识点二
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考点一
二元一次不等式(组)表示的平面区域|
解析
(1)(2014· 高考福建卷)已知圆 C：(x－ 平面区域 Ω 为如图所示的阴影部分
因圆 a)2 ＋ (y － b)2 ＝ 1 ， 平 面 区 域 Ω ： 的△ABD，
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考点二
角度一 求线性目标函数的最值
解析
画出约束条件的可行域如图阴影，作直线
1．(2015· 高考天津卷)设变量 x，y 满足 l：x＋6y＝0，平移直线 l 可知，直线 l 过
点 A 时，目标函数 z＝x＋6y 取得最大值， x＋2≥0， 约 束 条 件 x－y＋3≥0， 则 目 标 函 易得 A(0,3)，所以 z ＝0＋6×3＝18. max 2x＋y－3≤0，
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