2020高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 高考中导数问题的六大热点拓展资料素材 北师大版选修1-1

高考中导数问题的六大热点
由于导数其应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷地解决一些实际问题．因此在高考占有较为重要的地位，其考查重点是导数判断或论证单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面，下面例析导数的六大热点问题，供参考．
一、运算问题 例1已知函数2
2()(1)
x b
f x x -=
-，求导函数()f x '． 分析：用商的导数及复合函数导数的运算律即可解决．
解：24
2(1)(2)2(1)
()(1)x x b x f x x ---•-'=-
3222
(1)x b x -+-=
-
3
2[(1)]
(1)x b x --=-
-．
评注：对于导数运算问题关键是记清运算法则．主要是导数的定义、常见函数的导数、函数和差积商的导数法则等．
二、切线问题
例2设曲线ax
y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则
a = ．
分析：由垂直关系可得切线的斜率为－1
2
，又k ＝0()f x '，即可求出a 的值．
解：ax
ae y ='，∴切线的斜率a y k x ===0
'，由垂直关系，有1)2
1(-=-⋅a ，解得2=a ．
评注：是指运用导数的几何意义或物理意义，解决瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等三类问题．特别是求切线的斜率、倾斜角及切线方程问题，其中：
(1) 曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的斜率k ，倾斜角为θ，则tan θ＝
k ＝0()f x '．
(2)其切线l 的方程为：y ＝y 0＋0()f x '(x －x 0)．若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，
f (x 0))的切线平行于y 轴(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为x
＝x 0．
三、单调性问题
例3已知函数3
2
()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
内是减函数，求a 的取值范围． 分析：对于第(1)小题，求导后利用f '(x )＞0或'()f x ＜0，解不等式
即得单调区间；而(2)转化为'()f x ＜0在2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
上恒成立即可． 解：（1）3
2
()1f x x ax x =+++求导：2
()321f x x ax '=++． 当2
3a
≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增．
当2
3a >，()0f x '=求得两根
为x =，
即()f x
在3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭，递增
，33a a ⎛---+ ⎪⎝⎭，递减，
⎫+∞⎪⎪⎝⎭
递增． （2）若函数在区间2
13
3⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
内是减函数，则2
()321f x x ax '=++两根在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，外，即2'()3
1'()3f f ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩
≤0≤0，解得a ≥2，故取值范围是[2，＋∞)．
评注：一般地，设函数y ＝f (x )在某个区间内可导．如果f '(x )＞0，则
f (x )为增函数；如果f '(x )＜0，则f (x )为减函数．单调性是导数应用的重
点内容，主要有四类问题：
①运用导数判断单调区间； ②证明单调性； ③已知单调性求参数；
④先证明其单调性，再运用单调证明不等式等问题． 四、极值问题 例4已知函数1
()ln(1),(1)n
f x a x x =+--其中n ∈N*,a 为常数．当n =2时，
求函数f (x )的极值；
分析：运用导数先确定函数的单调性，再求其极值． 解：由已知得函数f (x )的定义域为{x |x ＞1}， 当n =2时，2
1
()ln(1),(1)f x a x x =
+--
所以2
3
2(1)().(1)
a x f x x --=-
(1)当a ＞0时，由'()f x ＝0，得11x =+
＞1，21x =-＜1， 此时 f ′（x ）=
123
()()(1)a x x x x x ----.
当x ∈（1，x 1）时，f ′（x ）＜0,f (x )单调递减； 当x ∈（x 1+∞）时，f ′（x ）＞0, f (x )单调递增.
（2）当a ≤0时，f ′（x ）＜0恒成立，所以f (x )无极值. 综上所述，n =2时，
当a ＞0时，f (x )在1x =+取得极小值，极小值为2
(1(1ln ).2a f a
+
=+当a ≤0时，f (x )无极值．
评注：运用导数解决极值问题．一般地，当函数f (x )在x 0处连续，判别
f (x 0)为极大(小)值的方法是：
⑴ 若0'()f x ＝0，且在x 0附近的左侧()f x '＞0，右侧()f x '＜0，那么f (x 0)是极大值，
⑵ 如果在x 0附近的左侧()f x '＜0，右侧()f x '＞0，那么f (x 0)是极小值． 五、最值问题
例5 求函数f (x )＝x 4
－2x 2
＋5在[－2，2]上的最大值与最小值． 分析：可先求出导数及极值点，再计算．
解： ()f x '＝4x 3
－4x ，令()f x '＝0，解得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，均在(－2，2)内．
计算f (－1)＝4，f (0)＝5，f (1)＝4，f (－2)＝13，f (2)＝13． 通过比较，可见f (x ) 在[－2，2]上的最大值为13，最小值为4． 评注：运用导数求最大(小)值的一般步骤如下： 若f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，则
⑴ 求()f x '，令()f x '＝0，求出在(a ，b )内使导数为0的点及导数不存在的点．
⑵ 比较三类点：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f (x )在[a ，b ]上的最大值，最小者便是f (x )在[a ，b ]上的最小值．
六、应用问题
例6 用总长14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.
分析：本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．
解：设容器底面短边长为x m ，则另一边长为()0.5x + m ，高为
()
14.8440.5 3.224
x x x --+=-．
由3.220x ->和0x >，得0 1.6x <<， 设容器的容积为3
ym ，则有
()()0.5 3.22y x x x =+- ()0 1.6x <<．
即3
2
2 2.2 1.6y x x x =-++，
令0y '=，有2
6 4.4 1.60x x -++=，
即2
151140x x --=，解得11x =，24
15
x =-
（不合题意，舍去）. 当x ＝1时，y 取得最大值，即max 2 2.2 1.6 1.8y =-++=， 这时，高为3.221 1.2-⨯=.
答：容器的高为1.2m 时容积最大，最大容积为3
1.8m ．。