导 数 专题训练
高中数学导数压轴选择题专题训练30题
高中数学导数压轴选择题专项训练一．选择题（共30小题）1．如图是f（x）=x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的极值；函数的图象与图象变化．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：先利用图象得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，求出其导函数，利用x1，x2是原函数的极值点，求出x1+x2=，，即可求得结论．解答：解：由图得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，∴f'（x）=3x2﹣2x﹣2∵x1，x2是原函数的极值点所以有x1+x2=，，故x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==．故选D．点评：本题主要考查利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值，是对基础知识的考查，属于基础题．2．定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（）A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．γ＞α＞βD．β＞γ＞α考点：导数的运算．专题：压轴题；新定义．分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可．解答：解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2，由题意得：α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，①∵ln（β+1）=，∴（β+1）β+1=e，当β≥1时，β+1≥2，∴β+1≤＜2，∴β＜1，这与β≥1矛盾，∴0＜β＜1；②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立，∴3γ2＞0∴γ3＞1，∴γ＞1．∴γ＞α＞β．故选C．点评：函数、导数、不等式密不可分，此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是一个难点。
专题15导数与函数的极值最值(基础训练)(原卷版)
专题15 导数与函数的极值、最值[基础题组练]1．(2020·辽宁沈阳一模)设函数f (x )＝x e x ＋1，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点2．函数y ＝x e x 在[0，2]上的最大值是( ) A.1eB ．2e 2C ．0D ．12e 3．(2020·广东惠州4月模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝x ·f ′(x )的图象可能是( )4．(2020·河北石家庄二中期末)若函数f (x )＝(1－x )(x 2＋ax ＋b )的图象关于点(－2，0)对称，x 1，x 2分别是f (x )的极大值点与极小值点，则x 2－x 1＝( )A ．－ 3B ．2 3C ．－2 3D ． 35．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( )A ．[－3，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]6.函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图所示，则x 21＋x 22＝________．7．若函数f (x )＝x 3－3ax 在区间(－1，2)上仅有一个极值点，则实数a 的取值范围为________．8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝13x 3－12(a 2＋a ＋2)x 2＋a 2(a ＋2)x ，a ∈R .(1)当a ＝－1时，求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)求函数y ＝f (x )的极值点．10．已知函数f (x )＝ln x x －1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m >0，求函数f (x )在区间[m ，2m ]上的最大值．[综合题组练]1．(2020·重庆模拟)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e (e 是自然对数的底数)，则f (x )的极大值为() A ．2e －1 B ．－1eC ．1D ．2ln 22．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)3．(2020·河南驻马店模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋2，x ≤0，e ax ，x >0在[－2，2]上的最大值为3，则实数a 的取值范围是( )A ．(ln 3，＋∞)B ．⎣⎡⎦⎤0，12ln 3 C.⎝⎛⎦⎤－∞，12ln 3 D ．(－∞，ln 3]4．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则a ＝________，f (x )的极小值为________．5．(2020·石家庄市质量检测)已知函数f (x )＝a e x －sin x ，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)当a ＝1时，证明：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1；(2)若函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上存在极值，求实数a 的取值范围． 6．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x(a >0)． (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．。
导数大题拔高练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)
导数大题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数()1e ln ax f x x x-=+，a ∈R ．(1)当1a =时，求函数()f x x -的最小值；(2)若函数()f x x 的最小值为a ，求a 的最大值．2．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知函数()(π)sin b f x a x x =--，[π,)x ∈+∞(1)1b =时，若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；(2)12b =，()f x 在3π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有极值点0x ，求证：00()πf x x +>．3．（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知函数1()ln ,0f x x k x k x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭.(1)当3k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若对()()0,1,0x f x ∀∈<恒成立，求k 的取值范围；(3)求证：对(0,1)x ∀∈，不等式22e 11ln x x x x x-<+恒成立.4．（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）已知0a >，函数()e x f x x a =-，()ln g x x x a =-.(1)证明：函数()f x ，()g x 都恰有一个零点；(2)设函数()f x 的零点为1x ，()g x 的零点为2x ，证明12x x a =.5．（2023春·广东·高三统考开学考试）已知函数()()2ln 2R f x a x x a a x=+++∈．(1)证明函数()f x 有唯一极小值点；(2)若e 04a <<，求证：()e 2x f x x x +<+．6．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()sin ()cos f x x x a x =-+（a 为常数），函数3211()32g x x ax =+.(1)证明：（i ）当0x >时，sin x x >；（ii ）当0x <时，sin x x <；(2)证明：当0a ≥时，曲线()y f x =与曲线()y g x =有且只有一个公共点.7．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知函数()ln a f x x x=+．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)令()()()2ln ln g x f x x x x =+--,若0x 是函数()g x 的一个极值点,且()02g x =-,求实数a 的值．8．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数()ln m x n f x x+=在()()1,1f 处的切线方程为1y =.(1)求实数m 和n 的值；(2)已知()(),A a f a ，()(),B b f b 是函数()f x 的图象上两点，且()()f a f b =，求证：()()ln ln 1a b ab +<+.9．（2023秋·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知函数()21e 12ax f x ax x =---．(1)当1a ≥时，证明：对任意的0x ≥，都有()0f x ≥；(2)证明：()()**112ln 1ln 2,nk n n k n k =>+-∈∈∑N N ．10．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第五中学校校考开学考试）已知函数2()ln 2x f x x =-，()(1)g x k x =-+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若存在01x >，当()01,x x ∈时，1()()2f xg x +>，求实数k 的取值范围.11．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）设函数()()()e 2,x f x ax x a =--∈R .(1)若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为2e ，求a 的值；(2)若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，且对任意[]()20,,0x x f x ∈<恒成立，求实数a 的取值范围.12．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知函数()()2e x f x x -=-．(1)求()f x 的单调区间；(2)若a ，b 为两个不相等的实数，且满足()e e 2e e b a b a a b -=-，求证：6a b +>．13．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知函数32()61()f x x ax x a =+-+∈R ，且(1)6f '=-．(1)求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若函数()()g x f x m =-在区间[2,4]-上有三个零点，求实数m 的取值范围．14．（2023·安徽安庆·统考二模）已知函数()21ln e x f x a x bx -=+，a ，b ∈R .e 2.71828≈ .(1)若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程是ln 2y x =+，求a 和b 的值；(2)若e a =，且()f x 的导函数()f x '恰有两个零点，求b 的取值范围.15．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）设21()sin 2f x x x x =-+．（1）当0x ≥时，求证：()0f x ≥；（2）证明：对一切正整数n ，都有2222111111sin1sin sin sin sin 23422(1)n n +++++>-+ ．16．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数21()ln 2f x x kx x =-+(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，证明：212()()22k f x f x -<-17．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠在点()()11,A x f x 处的切线为1l ：11y k x b =+，函数()log (0,1)a g x x a a =>≠在点()()22,B x g x 处的切线为2l ：22y k x b =+.(1)若1l ，2l 均过原点，求这两条切线斜率之间的等量关系.(2)当e a =时，若12l l ∥，此时12b b -的最大值记为m ，证明：53ln 22m -<<.18．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知函数()e 3x f x x =+．(1)求()f x 在()3,-+∞上的极值；(2)若()()213,,32x ax x f x ∀∈-+∞≤-，求a 的最小值．19．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知函数()e 1ln x k f x x x+=+，其中0k ≥．(1)求函数()f x 的最小值；(2)证明：()11ln *,221n n n n ++>-∈≥+N ．20．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知()()()2212ln 212f x x x x a x a x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭，0a >．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求a 的值．21．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知函数2()()2ln f x x a x =++．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()122x f x x <<．22．（2023秋·河北唐山·高三唐山市丰南区第一中学校考期末）已知函数()()2ln 0f x x x a x a =-->.(1)求()f x 的单调区间；(2)①若()0f x ≥，求实数a 的值；②设*n ∈N ，求证：()2111111ln 124n n n ⎛⎫⎛⎫++++++>+ ⎪⎝⎭⎝⎭ .23．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）已知函数()11e ln -=-+kx f x x kx x.(1)求证：()0f x ≥；(2)若()0,x ∀∈+∞，都()211e ≥+f x ，求k 满足的取值范围．24．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）已知函数()2ln f x ax x =-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设函数()2g x x =-，若对于任意31,e x ⎡⎤∈⎣⎦，都有()()f x g x ≥，求a 的取值范围.25．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）已知函数()()2ex f x x x b =--(1)讨论函数()f x 的单调性(2)若()f x 有两个极值点1212,()x x x x >，且()()213,ef x f x ≥，求b 的取值范围26．（2023·山东枣庄·统考二模）已知函数()e sin x f x x x =-．(1)当π2x ≤时，求证：()0f x ≥；(2)当0x >时，函数()f x 的零点从小到大依次排列，记为{}()*n x n ∈N 证明：（i ）1sin sin n n x x +>；（ii ）212π2πn n x n x -+<<.27．（2023秋·湖北十堰·高三统考阶段练习）已知函数()()21e x f x x m x nx m=--+，且曲线()y f x =在0x =处的切线为=2y -.(1)求m ，n 的值和()f x 的单调区间；(2)若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，证明：120x x +>.28．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）已知函数()()ln 3(R)f x x a x x a a =--+-∈．(1)若0a =，求()f x 的极小值．(2)讨论函数()f x '的单调性；(3)当2a =时，证明：()f x 有且只有2个零点．29．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数()()e R x f x ax a =-∈，()πe cos 2x g x x =+.(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)求函数()g x 在()0,∞+上的单调性；(3)求函数()()21e sinπ1x h x g x x -=--⎡⎤⎣⎦在()0,∞+上的零点个数.30．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知函数e 1()e 1x x f x -=+（e 为自然对数的底数）.(1)若不等式e 1()e 1f x ->+恒成立，求实数x 的取值范围；(2)若不等式1()ln 23f x ax a <+-在(ln 2,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.。
导数专题：隐零点问题专题
导数专题：隐零点问题专题导数专题：隐零点问题专题训练一、解答题（本大题共7小题，共84.0分）1.已知函数f（x）=e-ln（x+m）Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0.2.已知函数f（x）=．1）证明：对于任意k∈R，直线y=g（x）都不是曲线y=f （x）的切线；2）若存在x∈[e，e]，使得f（x）≤g（x），求实数k的取值范围．3.设函数f（x）=ex+ax+b在点（，f（））处的切线方程为x+y+1=0．Ⅰ）求a，b的值，并求f（x）的单调区间；Ⅱ）证明：当x≥时，f（x）＞x-4．4.已知函数f（x）=alnx-ex；1）讨论f（x）的极值点的个数；2）若a=2，求证：f（x）＜0．5.已知函数f（x）=+alnx有极值点，其中e为自然对数的底数．1）求a的取值范围；2）若a∈（，]，求证：对于任意x∈（，2]，都有f（x）＜0．6.设函数f（x）=ax2-lnx+1（a∈R）1）求函数f（x）的单调区间；2）若函数g（x）=ax2-ex+3，求证：对于任意x∈（，+∞），都有f（x）＞g（x）恒成立．7.已知函数f（x）=xlnx+ax+b在点（1，f（1））处的切线为3x-y-2=0．1）求函数f（x）的解析式；2）若k∈Z，并且对于任意x＞1，都有k＜f（x），求k的最大值．当m=2时，函数f(x)在(-2,+∞)上为增函数，且f'(-1)0．因此，f'(x)=0在(-2,+∞)上有唯一实数根x，且x∈(-1,0)．当x∈(-2,x)时，f'(x)0，从而当x=x时，f(x)取得最小值．由f'(x)=0，得ln(x+2)=-x．综上，当m≤2时，f(x)>ln(x+2)．解析】Ⅰ）求出原函数的导函数，因为x=0是函数f(x)的极值点，由极值点处的导数等于0得出m的值，代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间；Ⅱ）证明当m≤2时，f(x)>ln(x+2)，转化为证明当m=2时f(x)>ln(x+2)．求出当m=2时函数的导函数，可知导函数在(-2,+∞)上为增函数，并进一步得到导函数在(-1,0)上有唯一零点x，则当x=x时函数取得最小值，借助于x是导函数的零点证出f(x)>ln(x+2)，从而结论得证．本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了不等式的证明，考查了函数与方程思想，分类讨论的数学思想，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力．熟练掌握函数与导数的基础知识是解决该题的关键，是难题．9.已知函数f(x)=ln(x+2)．1）证明：对于任意k∈R，直线y=g(x)都不是曲线y=f(x)的切线；2）若存在x∈[e,e^2]，使得f(x)≤g(x)+k成立，求实数k 的取值范围．答案】解：1）证明：f(x)的定义域为(-2,∞)。
导数训练案-2022届高三数学一轮专题复习
导数训练案一、单选题1.设f (x )存在导函数且满足2)21()1(lim0-=∆∆--→∆xx f f x ,则曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为( )A .-1B .-2C .1D .2 2.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()ln f x xf e x '=+，则()f e '等于（）A ．1B ．1e- C ．1- D ．e - 3.已知函数421)(3++=ax x x f ，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知函数223)(a bx ax x x f +++=在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( )A ．11或18B ．11C ．18D ．17或18 5.已知函数21()cos 4f x x x =+，()'f x 是函数()f x 的导函数，则()'f x 的图象大致是（ ）A. B. C. D.6.()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()0)(<'+x f x x f ，且(4)0f -=，则不等式()0xf x >的解集为（ ）A.),4()0,4(+∞⋃-B.)4,0()0,4(⋃-C.),4()4,(+∞⋃--∞D.)4,0()4,(⋃--∞二、多选题7.已知函数)(x f y =的导函数)('x f 的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A.函数)(x f y =在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，内单调递增 B.当2-=x 时，函数)(x f y =取得最小值C.函数)(x f y =在区间()22，-内单调递增 D.当3=x 时，函数)(x f y =取得极小值8.若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是（ ）A ．cos y x =B ．ln y x =C ．e x y =D ．2y x9.已知函数1)(3+-=ax x x f 的图象在x=2处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（ ） A.a=3 B.1)(-=x x f 在处取得极大值C.当(](]3,1)(1,2-∈-∈x f x 时，D.）的图象关于点（1,0)(x f 中心对称10.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当.1)(0xe x xf x -=>时，则下列结论正确的是（ ） A. 当)1()(0+-=<x e x f x x时， B. 函数)(x f 在R 上有且仅有三个零点C. 若关于x 的方程m x f =)(有解，则实数m 的取值范围是)2()2(f m f ≤≤-D. 2)()(,,1221<-∈∀x f x f R x x三、填空题11.已知()(2019ln ),f x x x =+若'0()2020f x =，则0x 等于.12．写出一个存在极值的奇函数)(x f =.13.若函数)()()(2R a e a x x f x∈+=存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是. 14.若曲线))0(,0()0(2)1ln()(f a x a e x f x 在点>-++=处的切线也是曲线131)(3-++=a x x x g 的切线，则a=.四、解答题15.已知函数()163-+=x x x f . （1）直线l 为曲线)(x f y =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；（2）如果曲线)(x f y =的某一切线与直线341+-=x y 垂直，求切点坐标与切线的方程.16.设函数)(86)1(32)(23R a ax x a x x f ∈+++-=3=x 在处取得极值.（1）求常数a 的值；（2）求)(x f 在[-2,2]上的最值.17.已知函数f (x )＝kx －ln x (k >0)．（1）若k ＝1，求f (x )的单调区间；（2）若函数f (x )有且只有一个零点，求实数k 的值．18.已知函数()f x x a ax x )12(ln 2+++= ．讨论)(x f 的单调性.19.已知函数()xf x e ax =+.讨论函数()()1f x +∞在，上的单调性.20.已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点.。
导数专题训练(含答案)
导数专题训练及答案专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．解题方法:(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．[例1]已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．专题二导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．解题步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．[例2]设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[变式训练]设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．专题三 导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．解题方法：(1)运用导数求可导函数y ＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f(x)的导数f ′(x)；②求方程f ′(x)＝0的根；③检查f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．[例3] 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2，1)内，当x ＝－1时取极小值，当x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f (x )在x ＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．专题四 导数在证明不等式中的应用在用导数方法证明不等式时，常构造函数，利用单调性和最值方法证明不等式．解题方法：一般地，如果证明f(x)＞g(x)，x ∈(a ，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)＞0，若F ′(x)＞0，则函数F(x)在(a ，b)上是增函数，若F(a)≥0，则由增函数的定义知，F(x)＞F(a)≥0，从而f(x)＞g(x)成立，同理可证f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)．[例4] 已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.[变式训练] 已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.专题五 定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．解题方法：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2) 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．[例5] 已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．[变式训练] (1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫20f (x )d x ＝ ____；(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a ＞0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝____．专题六 化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．解题方法：与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等．[例6] 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．[变式训练] 如果函数f(x)＝2x2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案例1 解：(1)因为P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y －13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝x 21＝4，得x 0＝±2.所以切点为(2，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43， 所以切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.变式训练 解：(1)因为f (2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，所以x 0＝－2，y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k ＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．例2 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．变式训练 解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx (k ≠0)， 令f ′(x )＝0得x ＝－1k (k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 若k <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． (2)由(1)知，若k >0时，则当且仅当－1k ≤－1，即k ≤1，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．若k <0时，则当且仅当－1k ≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．综上可知，函数f (x )在(－1，1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．例3 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .又x ＝－1，x ＝23分别对应函数取得极小值、极大值的情况，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x . x ＝－2时，f (x )＝2，即(－2，2)在曲线上． 又切线斜率为k ＝f ′(x )＝－3x 2－x ＋2， f ′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 在变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘则f (x )在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－32.变式训练 解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.例4 (1)解：f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.变式训练 (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x . 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.例5 解：作出y ＝x 2－2x 的图象如图所示．(1)当a ＜0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，所以(a ＋1)(a －2)2＝0， 因为a ＜0，所以a ＝－1. (2)当a ＞0时， ①若0＜a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43， 所以a 3－3a 2＋4＝0， 即(a ＋1)(a －2)2＝0. 因为a ＞0，所以a ＝2. ②当a ＞2时，不合题意． 综上a ＝－1或a ＝2.变式训练 解析：(1)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′ 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(x )， 所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝－3，所以∫20f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫14x 4＋13x 3f ′（1）|20＝－4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝a 可得A (－a ，a )，B (a ，a )，S ＝ (a －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －13x 3|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －13a a ＝4a 323＝823， 解得a ＝2. 答案：(1)－4 (2)2例6 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知： ↗↘↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0， 知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立， 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.变式训练 解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x .由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞； 由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32。
导数—求导的速算(练习及答案)【高考数学强化训练第9练】高考数学二轮重难点复习专题
导数的简单运算1.求下列函数的导数：(1)y＝x3·e x；(2)y＝x－sin x2cosx2；(3)y＝x2＋log3x；(4)y＝e x＋1 e x－1.(5)y＝(2x－1)4；(6)y＝102x＋3；(7)y＝sin4x＋cos4x.2.求函数f(x)＝x在x＝1处的导数．3.求函数y＝4x2在x＝2处的导数．4.利用导数的定义求函数f(x)＝x3＋x－2的导数f′(x)，并利用f′(x)求f′(－1)，f′(1)．5.已知曲线y＝13x3及其上一点P⎝⎛⎭⎪⎫2，83.(1)求点P处切线的斜率；(2)写出点P处的切线方程．6.已知曲线y＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标和实数a的值．7.若曲线y＝x2＋6在点P处的切线垂直于直线2x－y＋5＝0，求点P的坐标及切线方程．8.曲线y＝13x3－2在点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角为________．9.若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.10.已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.11已知函数f(x)＝ax ln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．12.设曲线y＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.习题1.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y＝sin2x B．y＝x e x C．y＝x3－x D．y＝－x＋ln(1＋x)2.求证：函数f(x)＝e x－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．3.求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x2－ln x.4.已知函数f(x)＝x3－ax－1，讨论f(x)的单调区间．5.已知函数f(x)＝ax＋1x＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．6.设函数f(x)＝x(e x－1)－ax2.(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求实数a的取值范围．7.求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 3－12x ； (2)y ＝x 3－22x －12.8.求下列函数的极值：（1）f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5； （2）f (x )＝ln x x .9.已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x ，其中a ≠23，求f (x )的极值．10.设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R)，其中m >0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．11.已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．12.已知函数f(x)＝x3－bx2＋2cx的导函数的图象关于直线x＝2对称．(1)求b的值；(2)若函数f(x)无极值，求c的取值范围．13.设函数f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数（1）求b、c的值．（2）求g（x）的单调区间与极值．14.求下列各函数的最值：(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－3，3]；(2)f(x)＝x2－54x(x＜0)．15.求函数f(x)＝ln(1＋x)－14x2在区间[0,2]上的最值．16.若f(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．17.已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．18.设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．19.已知函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．(1)求a，b的值；(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围．。
高考数学导数及其应用专题训练参考答案
高考数学:导数及其应用专题训练【参考答案】1.A2.A3.D4.A5.C6.C7.A8.A9.C10.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 12<x<2 ； 11. 4 ； 12. 32； 13.—16 ； 14.y ＝3x ＋1 ； 15.3－1【部分习题解析】4．解析：f ′(x)＝6x(x －2)，∵f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x ＝0时，f(x)＝m 最大．∴m ＝3，f(－2)＝－37，f(2)＝－5.答案：A5.解析：因为y ′＝－x2＋81，所以当x ＞9时，y ′＜0；当x ∈(0,9)时，y ′＞0，所以函数y ＝－13x3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值． 答案：C6．解析：∵f(x)＝－12x2＋bln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，∴f ′(x)＝－x ＋bx ＋2<0在(－1，＋∞)上恒成立，即b<x(x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．设g(x)＝x(x ＋2)＝(x ＋1)2－1在(－1，＋∞)上单调递增， ∴g(x)>－1. ∴当b ≤－1时，b<x(x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．即f(x)＝－12x2＋bln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数．答案：C7．解析：由函数f(x)可知f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ＜1，－x x ≥1.①当x ＜1时，原不等式等价于x ＋(x ＋1)x ≤3，解得－3≤x ≤1，又x ＜1，所以－3≤x ＜1；②当x ≥1时，原不等式等价于x ＋(x＋1)(－x)≤3，即x2≥－3恒成立，所以x ≥1，综合①②可知，不等式的解集为{x|x ≥－3}．9．解析：船速度为x(x>0)时，燃料费用为Q 元，则Q ＝kx3，由6＝k ×103可得k ＝3500，∴Q ＝3500x3.∴总费用y ＝⎝⎛⎭⎫3500x3＋96·1x ＝3500x2＋96x ，y ′＝6500x －96x2.令y ′＝0得x ＝20，当x ∈(0,20)时，y ′<0，此时函数单调递减，当x ∈(20，＋∞)时，y ′>0，此时函数单调递增，∴当x ＝20时，y 取得最小值，∴此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．答案：C10．[解析] 由题意可知a>0，且－2,1是方程ax2＋bx ＋c ＝0的两个根，则⎩⎨⎧－ba＝－1，ca ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ，c ＝－2a ，所以不等式cx2＋bx ＋a>c(2x －1)＋b 可化为－2ax2＋ax ＋a>－2a(2x －1)＋a ，整理得2x2－5x ＋2<0，解得12<x<2.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 12<x<2.11．解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f(x)≥0显然成立． 当x ＞0，即x ∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x2－1x3.设g(x)＝3x2－1x3，则g ′(x)＝31－2x x4，所以g(x)在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g(x)max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4. 当x ＜0，即x ∈[－1,0]时， 同理，a ≤3x2－1x3. g(x)在区间[－1,0)上单调递增，∴g(x)min ＝g(－1)＝4，从而a ≤4，综上，可知a ＝4. 答案：412．解析：由题意得f ′(x)＝3x2－12，令f ′(x)＝0得x ＝±2，且f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，M －m ＝32. 答案：3215．解析：f ′(x)＝x2＋a －2x2x2＋a 2＝a －x2x2＋a 2，当x ＞a 时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减，当－a ＜x ＜a 时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，当x ＝a 时，f(x)＝a 2a ＝33，a ＝32＜1，不合题意． ∴f(x)max ＝f(1)＝11＋a ＝33，a ＝3－1. 答案：3－116.解：(1)f ′(x)＝3x2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)，因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x)≥m ， 即3x2－9x ＋(6－m)≥0恒成立．所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.17.解析：(1)∵f(x)＝1－x ax ＋lnx ，∴f ′(x)＝ax －1ax2(a>0)．∵函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f ′(x)＝ax －1ax2≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立．∴ax －1≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立．即a ≥1x 对x ∈[1，＋∞)恒成立． ∴a ≥1.（2）当a ＝1时，f ′(x)＝x －1x2.∴当x ∈⎣⎡⎭⎫12，1时，f ′(x)<0， 故f(x)在x ∈⎣⎡⎭⎫12，1上单调递减；当x ∈(1,2]时，f ′(x)>0，故f(x)在x ∈(1,2]上单调递增． ∴f(x)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上有唯一极小值点，故f(x)min ＝f(x)极小值＝f(1)＝0. 又f ⎝⎛⎭⎫12＝1－ln2，f(2)＝－12＋ln2，f(12)－f(2)＝32－2ln2＝lne3－ln162， ∵e3>16，∴f ⎝⎛⎭⎫12－f(2)>0，即f ⎝⎛⎭⎫12>f(2)． ∴f(x)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值f(x)max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝1－ln2. 综上可知，函数f(x)在⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值是1－ln2，最小值是0.(3)当a ＝1时，f(x)＝1－x x ＋lnx ，f ′(x)＝x －1x2，故f(x)在[1，＋∞)上为增函数．当n>1时，令x ＝nn －1，则x>1，故f(x)>f(1)＝0. ∴f ⎝⎛⎭⎫n n －1＝1－n n －1n n －1＋ln n n －1＝－1n ＋ln n n －1>0， 即ln n n －1>1n . ∴ln 21>12，ln 32>13，ln 43>14，…，ln n n －1>1n .∴ln 21＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n n －1>12＋13＋14＋…＋1n .∴lnn>12＋13＋14＋ (1).即对大于1的任意正整数n ，都有lnn>12＋13＋14＋…＋1n .本题的关键在于f(x)＝1－x x ＋lnx ，f ′(x)＝x －1x2，故f(x)在[1，＋∞)上为增函数．当n>1时，令x ＝n n －1，则x>1，故f(x)>f(1)＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫n n －1＝1－nn －1n n －1＋lnnn －1＝－1n ＋ln n n －1>0，即ln n n －1>1n.怎么想到要这么做，主要受前面两小题的强烈提示．通过本题的学习，我们要掌握此类问题一般规律．本题出错在于同学完全没有想到利用前面的结论，而直接讨论函数f(x)＝ln x x －1－1x 的单调性求解，可以试试看，肯定行不通．18.解：(1)由f(x)＝g(x)，得k ＝lnxx2.令h(x)＝lnx x2，所以方程f(x)＝g(x)在区间⎣⎡⎦⎤1e ，e 内解的个数即为函数h(x)＝lnxx2，x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 的图象与直线y ＝k 交点的个数．h ′(x)＝1－2lnxx3，当h ′(x)＝0时，x ＝ e.当x 在区间⎣⎡⎦⎤1e ，e 内变化时，h ′(x)，h(x)变化如下： x ⎣⎡⎭⎫1e ，ee (e ，e] h ′(x) ＋ 0 － h(x)递增12e递减当x ＝1e 时，y ＝－e2；当x ＝e 时，y ＝12e ；当x ＝e 时，y ＝1e2.所以，①当k>12e 或k<－e2时，该方程无解．②当k ＝12e 或－e2≤k<1e2时，该方程有一个解．③当1e2≤k<12e 时，该方程有两个解．(2)由(1)知lnx x2≤12e ，∴lnx x4≤12e ·1x2.∴ln224＋ln334＋…＋lnn n4≤12e ⎝⎛⎭⎫122＋132＋…＋1n2. ∵122＋132＋…＋1n2<11·2＋12·3＋…＋1n －1·n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1－1n <1.∴ln224＋ln334＋…＋lnn n4<12e. 19．解析：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x)，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x(30－x)＝－8(x －15)2＋1 800，所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a2h ＝22(－x3＋30x2)，V ′＝62x(20－x)． 由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12. 即包装盒的高与底面边长的比值为12.引入恰当的变量、建立适当的模型是解题的关键．第(1)中侧面积 S是关于 x 的二次函数，可以利用抛物线的性质求最值，也可以利用导数求解；而第(2)题中容积 V 是关于 x 的三次函数，因此只能利用导数求最值．20．解析：(1)f ′(x)＝3ax2＋2bx ＋c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧ f ′1＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′－1＝3a －2b ＋c ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，3a ＋c ＝0. 又f ′(0)＝－3，∴c ＝－3，a ＝1. ∴f(x)＝x3－3x.(2)设切点为(x0，x30－3x0)，∵f ′(x)＝3x2－3，∴f ′(x0)＝3x20－3. ∴切线方程为y －(x30－3x0)＝(3x20－3)(x －x0)， 又切线过点A(2，m)，∴m －(x30－3x0)＝(3x20－3)(2－x0)． ∴m ＝－2x30＋6x20－6. 令g(x)＝－2x3＋6x2－6，则g ′(x)＝－6x2＋12x ＝－6x(x －2)． 由g ′(x)＝0得x ＝0或x ＝2.g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2. 画出草图知(如图4－3－3)，当－6＜m ＜2时，m ＝－2x3＋6x2－6有三解， ∴ m 的取值范围是(－6,2)．21．解析：(1)由已知有f ′(x)＝x ＋1x ，当x ∈[1，e]时，f ′(x)＞0，f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)max ＝f(e)＝12e2＋1，f(x)min ＝f(1)＝12.(2)证明：设F(x)＝12x2＋lnx －23x3， 则F ′(x)＝x ＋1x －2x2＝1－x 1＋x ＋2x2x当x ∈[1，＋∞)时，F ′(x)＜0，F(x)在[1，＋∞)上为减函数，且F(1)＝－16＜0故x ∈[1，＋∞)时，F(x)＜0. ∴12x2＋lnx ＜23x3.∴在[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝23x3图像的下方．方法点睛 一般地，在闭区间[a ，b]上的连续函数f(x)必有最大值与最小值，在开区间(a ，b)内的连续函数不一定有最大值与最小值，若函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上单调递增，则f(a)是最小值，f(b)是最大值；反之，则f(a)是最大值，f(b)是最小值．22．解析：(1)f ′(x)＝3x2＋2ax.由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ f 1＝0，f ′1＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1＝0，2a ＋3＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2. (2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2，f ′(x)＝3x2－6x ＝3x(x －2)，f ′(x)与f(x)随x 变化情况如下：x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f ′(x)＋－＋f(x) 2 ↘ －2由f(x)＝f(0)解得x ＝0，或x ＝3.因此根据f(x)的图像当0＜t ≤2时，f(x)的最大值为f(0)＝2，最小值为f(t)＝t3－3t2＋2； 当2＜t ≤3时，f(x)的最大值为f(0)＝2，最小值为f(2)＝－2； 当t ＞3时，f(x)的最大值为f(t)＝t3－3t2＋2，最小值为f(2)＝－2. 23．解析：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，因为f ′(x)＝x ＋ex －(ex ＋xex)＝x(1－ex)， 由f ′(x)＝x(1－ex)＞0得x ＜0，f ′(x)＜0得x ＞0，则f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． (2)由(1)知，f(x)在[0,2]上单调递减，在[－2,0)上单调递增，又f(－2)＝2＋3e2，f(2)＝2－e2，且2＋3e2＞2－e2，所以x ∈[－2,2]时，[f(x)]min ＝2－e2，故m ＜2－e2时，不等式f(x)＞m 恒成立．【方法点睛】 1.不等式恒成立问题一般转化为函数的最值(或值域)来求解．其解题步骤为①分离参数；②构造函数；③求函数的最值(或值域)；④由恒成立得出参数的取值范围．2.在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合，用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．24．规范解题：(1)f ′(x)＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x －lnx x ＋12－bx2.(1分)由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)．故⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1，f ′1＝－12，(3分) 即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1.(4分)(2)证明：由(1)知f(x)＝lnx x ＋1＋1x ，所以f(x)－lnx x －1＝11－x2⎝⎛⎭⎫2lnx －x2－1x .(5分) 考虑函数h(x)＝2lnx －x2－1x(x ＞0)，(6分)则h ′(x)＝2x －2x2－x2－1x2＝－x －12x2.(8分)所以当x ≠1时，h ′(x)＜0.而h(1)＝0，故 当x ∈(0,1)时，h(x)＞0，可得11－x2h(x)＞0；(9分)当x ∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，可得11－x2h(x)＞0.(10分)从而当x ＞0，且x ≠1时，f(x)－lnxx －1＞0，即f(x)＞lnxx －1.(12分)【方法点睛】模板构建：利用导数证明不等式的基本步骤： 第一步 作差f(x)－lnxx －1； 第二步 构造新的函数h(x)； 第三步 对h(x)求导；第四步 利用h ′(x)判断11－x2h(x)的正负；第五步 结论.。
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导 数 专题训练1．定积分ʃ10x (2－x )d x 的值为( )A.π4B.π2C ．πD ．2π 2．已知函数f (x )＝(x 2－2x )e x －a ln x (a ∈R)在区间(0，＋∞)上单调递增，则a 的最大值是( )A ．－eB ．eC ．－e 22 D ．4e 23．已知函数f (x )＝f ′(1)e e x ＋f (0)2x 2－x ，若存在实数m 使得不等式f (m )≤2n 2－n 成立，则实数n 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.(]－∞，0∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[0，＋∞) 4．已知函数f (x )＝x 2＋(ln 3x )2－2a (x ＋3ln 3x )＋10a 2，若存在x 0使得f (x 0)≤110成立，则实数a 的值为( )A.110B.25C.15D.1305．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (x ＋1)，x >0，12x ＋1，x ≤0，若m <n ，且f (m )＝f (n )，则n －m 的取值范围为( )A ．[3－2ln 2,2)B ．[3－2ln 2,2]C ．[e －1,2)D ．[e －1,2]6．已知函数f (x )＝a ln(x ＋2)－x 2，在区间(0,1)内任取两个实数p ，q ，且p >q ，若不等式f (p ＋1)－f (q ＋1)p －q>2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.()12，＋∞B.[)12，＋∞C.()24，＋∞D.[)24，＋∞ 7．y ＝f (x )的导函数满足：当x ≠2时，(x －2)(f (x )＋2f ′(x )－xf ′(x ))>0，则( ) A ．f (4)>(25＋4)f (5)>2f (3) B ．f (4)>2f (3)>(25＋4)f (5) C ．(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4) D ．2f (3)>f (4)>(25＋4)f (5)8．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，e 28 B.⎝⎛⎦⎤0，e 24 C.⎣⎡⎭⎫e 28，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫e24，＋∞ 9．已知函数f (x )＝e 2 018x ＋mx 3－m (m >0)，当x 1＋x 2＝1时，对于任意的实数θ，都有不等式f (x 1)＋f (sin 2θ)>f (x 2)＋f (cos 2θ)成立，则实数x 1的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[1,2] C.(]1，2 D ．(1，＋∞)10．已知函数f (x )＝e x|x |，关于x 的方程f 2(x )－2af (x )＋a －1＝0(a ∈R)有3个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－12e －1，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，e 2－12e －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2－12e －1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫e 2－12e －1 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋1，－2≤x <0，e x ，x ≥0，若函数g (x )＝f (x )－ax ＋a 存在零点，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－13，e 2B.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[e 2，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－13，1e D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[e ，＋∞) 12． 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2＋a )x (a ∈R)，g (x )＝xe x －2，对任意的x 0∈(0,2]，关于x的方程f (x )＝g (x 0)在(]0，e 上有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围(其中e ＝2.718 28…为自然对数的底数)为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－2e ，－3＋2e e 2＋e B.⎝⎛⎦⎤－2e ，－e e 2＋2 C.⎝⎛⎦⎥⎤－e ，－3＋2e e 2＋e D.⎝⎛⎭⎫－e ，－ee 2＋213．若f (x )＝3xf ′(1)－2x 2，则f ′(0)＝________.14．若直线y ＝2x ＋b 是曲线y ＝e x －2的切线，则实数b ＝________.15．若存在两个正实数x ，y 使等式2x ＋m (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立(其中e ＝2.718 28…)，则实数m 的取值范围是_____________．16．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba 的最小值为________． 所以b a 的最小值为－1e.导 数 专题训练答案1．定积分ʃ10x (2－x )d x 的值为( )A.π4B.π2 C ．π D ．2π 答案 A 解析 ∵y ＝x (2－x )，∴(x －1)2＋y 2＝1表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，∴定积分ʃ10x (2－x )d x 等于该圆的面积的四分之一， ∴定积分ʃ1x (2－x )d x ＝π4.2．已知函数f (x )＝(x 2－2x )e x －a ln x (a ∈R)在区间(0，＋∞)上单调递增，则a 的最大值是( ) A ．－e B ．e C ．－e 22 D ．4e 2答案 A解析 因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x －a ln x (a ∈R)， 所以f ′(x )＝e x (x 2－2x )＋e x (2x －2)－ax ＝e x (x 2－2)－ax(x >0)．因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x －a ln x (a ∈R)在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )＝e x (x 2－2)－a x ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即ax ≤e x (x 2－2)在区间(0，＋∞)上恒成立，亦即a ≤e x (x 3－2x )在区间(0，＋∞)上恒成立， 令h (x )＝e x (x 3－2x )，x >0，则 h ′(x )＝e x (x 3－2x )＋e x (3x 2－2)＝e x (x 3－2x ＋3x 2－2)＝e x (x －1)(x 2＋4x ＋2)，x >0， 因为x ∈(0，＋∞)，所以x 2＋4x ＋2>0. 因为e x >0，令h ′(x )>0，可得x >1， 令h ′(x )<0，可得0<x <1.所以函数h (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减． 所以h (x )min ＝h (1)＝e 1(1－2)＝－e. 所以a ≤－e.所以a 的最大值是－e. 3．已知函数f (x )＝f ′(1)e e x ＋f (0)2x 2－x ，若存在实数m 使得不等式f (m )≤2n 2－n 成立，则实数n 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.(]－∞，0∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[0，＋∞) 答案 A解析 对函数求导可得， f ′(x )＝f ′(1)e ·e x ＋f (0)2×2x －1，∴f ′(1)＝f ′(1)＋f (0)－1， ∴f (0)＝f ′(1)e＝1，∴f ′(1)＝e ，f (x )＝e x ＋12x 2－x ，f ′(x )＝e x ＋x －1，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x ＋1>0， ∴函数f ′(x )单调递增，而f ′(0)＝0， ∴当x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 故f (x )min ＝f (0)＝1，由存在性的条件可得关于实数n 的不等式2n 2－n ≥1， 解得n ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞)． 4．已知函数f (x )＝x 2＋(ln 3x )2－2a (x ＋3ln 3x )＋10a 2，若存在x 0使得f (x 0)≤110成立，则实数a 的值为( )A.110B.25C.15D.130 答案 D解析 f (x )＝x 2＋(ln 3x )2－2a (x ＋3ln 3x )＋10a 2＝(x －a )2＋(ln 3x －3a )2表示点M (x ，ln 3x )与点N (a,3a )距离的平方，M 点的轨迹是函数g (x )＝ln 3x 的图象，N 点的轨迹是直线y ＝3x ，则g ′(x )＝1x .作g (x )的平行于直线y ＝3x 的切线，切点为(x 1，y 1)，则1x 1＝3，所以x 1＝13，切点为P ⎝⎛⎭⎫13，0，所以曲线上点P ⎝⎛⎭⎫13，0到直线y ＝3x 的距离最小，最小距离d ＝110，所以f (x )≥110，根据题意，要使f (x 0)≤110，则f (x 0)＝110，此时N 为垂足，点M 与点P 重合，k MN ＝3a －0a －13＝－13，得a ＝130. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (x ＋1)，x >0，12x ＋1，x ≤0，若m <n ，且f (m )＝f (n )，则n －m 的取值范围为( )A ．[3－2ln 2,2)B ．[3－2ln 2,2]C ．[e －1,2)D ．[e －1,2] 答案 A解析 作出函数f (x )的图象，如图所示，若m <n ，且f (m )＝f (n )，则当ln(x ＋1)＝1时，得x ＋1＝e ，即x ＝e －1， 则满足0<n ≤e －1，－2<m ≤0，则ln(n ＋1)＝12m ＋1，即m ＝2ln(n ＋1)－2，则n －m ＝n ＋2－2ln(n ＋1)，设h (n )＝n ＋2－2ln(n ＋1)，0<n ≤e －1， 则h ′(n )＝1－2n ＋1＝n －1n ＋1，0<n ≤e －1，由h ′(n )>0，解得1<n ≤e －1， 由h ′(n )<0，解得0<n <1， 当n ＝1时，函数h (n )取得最小值 h (1)＝1＋2－2ln(1＋1)＝3－2ln 2， 当n ＝0时，h (0)＝2－2ln 1＝2； 当n ＝e －1时，h ()e －1＝e －1＋2－2ln(e －1＋1)＝e －1<2， 所以3－2ln 2≤h (n )<2，即n －m 的取值范围是[3－2ln 2,2)．6．已知函数f (x )＝a ln(x ＋2)－x 2，在区间(0,1)内任取两个实数p ，q ，且p >q ，若不等式f (p ＋1)－f (q ＋1)p －q>2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.()12，＋∞B.[)12，＋∞C.()24，＋∞D.[)24，＋∞ 答案 D解析 由已知p >q ，可得f (p ＋1)－f (q ＋1)>2(p －q )， f (p ＋1)>f (q ＋1)＋2p －2q ， f (p ＋1)－2p >f (q ＋1)－2q ， f (p ＋1)－2p －2>f (q ＋1)－2q －2， f (p ＋1)－2(p ＋1)>f (q ＋1)－2(q ＋1)． 令g (x )＝f (x )－2x ，则有g (p ＋1)>g (q ＋1)． 因为p ，q ∈(0,1)，所以p ＋1∈(1,2)，q ＋1∈(1,2)，又因为p >q ，所以g (x )＝f (x )－2x 在(1,2)上为单调递增函数，则g ′(x )＝f ′(x )－2＝ax ＋2－2x －2≥0在(1,2)上恒成立，即a ≥(x ＋2)(2x ＋2)在x ∈(1,2)时恒成立， 令h (x )＝(x ＋2)(2x ＋2)＝2⎝⎛⎭⎫x ＋322－12， h (x )在(1,2)上为增函数， 所以a ≥h (2)＝24.即a 的取值范围为[)24，＋∞.7．y ＝f (x )的导函数满足：当x ≠2时，(x －2)(f (x )＋2f ′(x )－xf ′(x ))>0，则( ) A ．f (4)>(25＋4)f (5)>2f (3) B ．f (4)>2f (3)>(25＋4)f (5) C ．(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4) D ．2f (3)>f (4)>(25＋4)f (5) 答案 C解析 令g (x )＝f (x )x －2，则g ′(x )＝(x －2)f ′(x )－f (x )(x －2)2，因为当x ≠2时，(x －2)[f (x )＋(2－x )f ′(x )]>0， 所以当x >2时，g ′(x )<0，即函数g (x )在(2，＋∞)上单调递减， 则g (5)>g (3)>g (4)， 即f (5)5－2>f (3)3－2>f (4)4－2， 即(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4)．8．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，e 28 B.⎝⎛⎦⎤0，e 24 C.⎣⎡⎭⎫e 28，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫e24，＋∞ 答案 D解析 设公共切线在曲线C 1，C 2上的切点分别为(m ，am 2)，(t ，e t )，则2am ＝e t ＝am 2－e t m －t，所以m ＝2t －2，a ＝e t 4(t －1)(t >1)，令f (t )＝e t4(t －1)(t >1)，则f ′(t )＝e t (t －2)4(t －1)2，则当t >2时，f ′(t )>0；当1<t <2时，f ′(t )<0，因此f (t )≥f (2)＝e 24，所以a ≥e 24，故选D.9．已知函数f (x )＝e 2 018x ＋mx 3－m (m >0)，当x 1＋x 2＝1时，对于任意的实数θ，都有不等式f (x 1)＋f (sin 2θ)>f (x 2)＋f (cos 2θ)成立，则实数x 1的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[1,2] C.(]1，2 D ．(1，＋∞) 答案 D解析 g (x )＝f (x )－f (1－x )＝(e 2 018x ＋mx 3)－[e 2 018(1－x )＋m (1－x )3]，则g ′(x )＝2 018[e 2 018x ＋e 2 018(1－x )]＋3m [x 2＋(1－x )2]>0， 据此可得函数g (x )单调递增， 又x 1＋x 2＝1，则不等式f (x 1)＋f (sin 2θ)>f (x 2)＋f (cos 2θ)，即 f (x 1)＋f (sin 2θ)>f (1－x 1)＋f (1－sin 2θ)，则f (x 1)－f (1－x 1)>f (1－sin 2θ)－f [1－(1－sin 2θ)]， 即g (x 1)>g (1－sin 2θ)，结合函数g (x )的单调性可得x 1>1－sin 2θ恒成立， 当sin θ＝0时，(1－sin 2θ)max ＝1，结合恒成立的条件可得实数x 1的取值范围是(1，＋∞)．10．已知函数f (x )＝e x|x |，关于x 的方程f 2(x )－2af (x )＋a －1＝0(a ∈R)有3个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－12e －1，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，e 2－12e －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2－12e －1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫e 2－12e －1 答案 D解析f (x )＝⎩⎨⎧e xx ，x >0，－exx ，x <0，当x >0时，f ′(x )＝e x (x －1)x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，函数单调递减， 当x >1时，f ′(x )>0，函数单调递增， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e.当x <0时，f ′(x )＝－e x (x －1)x 2>0，函数单调递增，如图，画出函数的图象，设t ＝f (x )，当t >e 时，t ＝f (x )有3个根，当t ＝e 时，t ＝f (x )有2个实根，当0<t <e 时，t ＝f (x )有1个实根，考虑到原方程的判别式大于零恒成立，所以原方程等价于t 2－2at ＋a －1＝0有2个相异实根，其中t 1＝e ，t 2∈(0，e)或t 1≤0，t 2>e ，当t ＝e 时，e 2－2a e ＋a －1＝0，解得a＝e 2－12e －1，检验满足条件；由t 1≤0，t 2>e 得⎩⎪⎨⎪⎧02－2a ×0＋a －1≤0，e 2－2a e ＋a －1<0，无解．故选D.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋1，－2≤x <0，e x ，x ≥0，若函数g (x )＝f (x )－ax ＋a 存在零点，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－13，e 2B.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[e 2，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－13，1e D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[e ，＋∞) 答案 B解析 函数g (x )＝f (x )－ax ＋a 存在零点， 即方程f (x )＝ax －a 存在实数根，即函数y ＝f (x )与y ＝a (x －1)的图象有交点，如图所示，作出f (x )图象，直线y ＝a (x －1)恒过定点(1,0)，过点(－2,1)与(1,0)的直线的斜率k ＝1－0－2－1＝－13，设直线y ＝a (x －1)与y ＝e x 相切于点(x 0，0e x)， 则切点处的导数值为0e x，则过切点的直线方程为y －0e x ＝0e x(x －x 0)， 又切线过点(1,0)，则－0e x＝0e x(1－x 0)， ∴x 00e x＝20e x，得x 0＝2， 此时切线的斜率为e 2，由图可知，要使函数g (x )＝f (x )－ax ＋a 存在零点， 则实数a 的取值范围是a ≤－13或a ≥e 2.13． 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2＋a )x (a ∈R)，g (x )＝xe x －2，对任意的x 0∈(0,2]，关于x 的方程f (x )＝g (x 0)在(]0，e 上有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围(其中e ＝2.718 28…为自然对数的底数)为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－2e ，－3＋2e e 2＋e B.⎝⎛⎦⎤－2e ，－ee 2＋2C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－e ，－3＋2e e 2＋e D.⎝⎛⎭⎫－e ，－ee 2＋2答案 C解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋2ax ＋(2＋a )＝(2x ＋1)(ax ＋1)x(x >0)， 当a ＝0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增． g (x )＝x e x －2，则g ′(x )＝1－x e x ， 当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，其中g (0)＝－2，g (1)＝1e －2，g (2)＝2e 2－2， 则函数g (x )在区间(0,2]上的值域为⎝⎛⎦⎤－2，1e －2， f (x )＝g (x 0)在(0，e]上有两个不同的实数根，则必有a <0，且由f (x )的解析式有f (0)→－∞，f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－1a －1a－1， f (e)＝1＋a e 2＋(2＋a )e ，则满足题意时应有⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－1a －1a －1>1e －2，f (e )＝1＋a e 2＋(2＋a )e ≤－2，－1a <e ，注意到函数f (x )＝ln x ＋x －1是单调递增函数，且f ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e －2，据此可知方程ln ⎝⎛⎭⎫－1a －1a －1＝1e－2的唯一实数根满足－1a ＝1e ，即a ＝－e ，则不等式ln ⎝⎛⎭⎫－1a －1a －1>1e－2的解集为(－e ，＋∞)， 求解不等式1＋a e 2＋(2＋a )e ≤－2，可得a ≤－3＋2e e 2＋e . 求解不等式－1a <e ，可得a <－1e， 据此可得实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－e ，－3＋2e e 2＋e . 13．若f (x )＝3xf ′(1)－2x 2，则f ′(0)＝________.答案 6解析 由题意得f ′(x )＝3f ′(1)－4x ，∴f ′(1)＝3f ′(1)－4，∴f ′(1)＝2，∴f ′(x )＝6－4x ，∴f ′(0)＝6－4×0＝6.14．若直线y ＝2x ＋b 是曲线y ＝e x －2的切线，则实数b ＝________.答案 －2ln 2解析 由题意可知，设切点为(x 0，y 0)，y ′＝e x ，由y ＝2x ＋b 是曲线y ＝e x －2的切线，得e x 0＝2，x 0＝ln 2，代入曲线得y 0＝0，然后将切点坐标代入切线得b ＝－2ln 2.15．若存在两个正实数x ，y 使等式2x ＋m (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立(其中e ＝2.718 28…)，则实数m 的取值范围是_____________．答案 (－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫2e ，＋∞ 解析 由题意可得m ＝2x (2e x －y )(ln y －ln x )， 则1m ＝(2e x －y )(ln y －ln x )2x＝⎝⎛⎭⎫e －12·y x ·ln y x ， 令t ＝y x ()t >0，构造函数g (t )＝⎝⎛⎭⎫e －t 2ln t (t >0)， 则g ′(t )＝－12ln t ＋⎝⎛⎭⎫e －t 2×1t ＝－12ln t ＋e t －12(t >0)， 设h (t )＝g ′(t )，则h ′(t )＝－12t －e t 2＝－t ＋2e 2t 2<0恒成立， 则g ′(t )在(0，＋∞)上单调递减，当t ＝e 时，g ′(t )＝0，则当t ∈(0，e)时，g ′(t )>0，函数g (t )单调递增，当t ∈(e ，＋∞)时，g ′(t )<0，函数g (t )单调递减，则当t ＝e 时，g (t )取得最大值g (e)＝e 2， 据此有1m ≤e 2，∴m <0或m ≥2e. 综上可得实数m 的取值范围是(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫2e ，＋∞.16．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则b a的最小值为________． 答案 －1e解析 因为函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，所以f ′(x )＝1x＋(e －a )，其中x >0， 当a ≤e 时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )≤0不恒成立；当a >e 时，令f ′(x )＝1x ＋e －a ＝0，得x ＝1a －e， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a －e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －e ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以当x ＝1a －e时，f (x )取得最大值， 因为不等式f (x )≤0恒成立，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －e ＝－ln(a －e)－b －1≤0， 所以ln(a －e)＋b ＋1≥0，所以b ≥－1－ln(a －e)，所以b a ≥－1－ln (a －e )a，a >e ， 设F (x )＝－1－ln (x －e )x，x >e ， 则F ′(x )＝－1x －e x ＋1＋ln (x －e )x 2＝(x －e )ln (x －e )－e (x －e )x 2，x >e ，令H (x )＝(x －e)ln(x －e)－e ，则H ′(x )＝ln(x －e)＋1，由H ′(x )＝0，解得x ＝e ＋1e， 当x ∈⎝⎛⎭⎫e ＋1e ，＋∞时，H ′(x )>0，H (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎫e ，e ＋1e 时，H ′(x )<0，H (x )单调递减， 所以当x ＝e ＋1e时，H (x )取得最小值， 最小值为H ⎝⎛⎭⎫e ＋1e ＝－e －1e， 因为当x →e 时，H (x )→－e ，当x >2e 时，H (x )>0，H (2e)＝0，所以当x ∈(e,2e)时，F ′(x )<0，F (x )单调递减， 当x ∈(2e ，＋∞)时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，所以当x ＝2e 时，F (x )取最小值F (2e)＝－1－12e ＝－1e， 所以b a 的最小值为－1e.。