高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全)
高三数学利用导数求最值和极值试题
高三数学利用导数求最值和极值试题1.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】不等式变形为．当时，，故实数a的取值范围是；当时，，记，，故函数递增，则，故；当时，，记，令，得或（舍去），当时，；当时，，故，则．综上所述，实数a的取值范围是．【考点】利用导数求函数的极值和最值．2.函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为()A．72B．36C．12D．0【答案】D【解析】因为y′＝4x3－4，令y′＝0即4x3－4＝0，解得x＝1.当x<1时，y′<0，当x>1时，y′>0，所以函数的极小值为y|＝1＝0，而在端点处的函数值y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72，所以y min＝0.x3. [2014·长沙模拟]已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件【答案】C【解析】∵y＝－x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81.令y′＝0，得x＝9，x＝－9(舍去)．当0＜x＜9时，y′>0，函数f(x)单调递增；当x>9时，y′＜0，函数f(x)单调递减．故当x＝9时，y取最大值．4.（5分）（2011•福建）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A．2B．3C．6D．9【答案】D【解析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因为在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故选D点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．5.如图，半径为30的圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其中点在圆弧上，点在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设与矩形材料的边的夹角为，圆柱的体积为.（1）求关于的函数关系式？（2）求圆柱形罐子体积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用解直角三角形用将OA，AB表示出来，利用OA是圆柱的底面周长，将圆柱的底面半径用表示出来，圆柱的高就是AB，再利用圆柱的体积公式求出圆柱的体积即为所求关于的函数关系式，注意要标明定义域；（2）设sin=,将圆柱形罐子体积化为关于的函数，注意的范围，求出的导数，利用导数求出单调区间，求出的极值，再求出函数的最大值就是圆柱形罐子体积的最大值.试题解析：（1）（2）令，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，即当时，体积取得最大值.【解法2】：（1）连接，在中，设，则设圆柱底面半径为，则，即，，其中.（2）由，得由解得；由解得．因此在上是增函数，在上是减函数．所以当时，有最大值．【考点】1.圆的参数方程；2.圆柱的体积公式；3.利用导数求函数最值；4.运算求解能力.6.已知曲线.(1)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；(2)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【答案】(1)，，(2)．【解析】(1)根据导数几何意义，所以.因为，所以.因为过点，所以，(2)由题意得：不等式恒成立，恒成立问题一般转化为最值问题.一是分类讨论求函数最小值，二是变量分离为恒成立，求函数最小值.两种方法都是，然后对实数a进行讨论，当时，，所以.当时,由得，不论还是，都是先减后增，即的最小值为，试题解析：解（1）， 2分因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：，所以且. 4分解得， -5分（2）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x,，都有，即∀x,R，恒成立， 6分令， 7分①若a=0，则，所以实数b的取值范围是； 8分②若,，由得， 9分的情况如下：+11分所以的最小值为， 12分所以实数b的取值范围是；综上，实数b的取值范围是． 13分法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x,，都有，即∀x,R，恒成立， 6分令，则等价于∀，恒成立，令，则， 7分由得， 9分的情况如下：+-11分所以的最小值为， 12分实数b的取值范围是． 13分【考点】利用导数求切线、最值.7.已知为自然对数的底数，设函数，则( )A．是的极小值点B．是的极小值点C．是的极大值点D．是的极大值点【解析】根据题意对函数求导可得,令可得,因为,所以当时,,原函数单调递增,当时,,原函数单调递减,所以为函数的极小值点,故选B.【考点】导函数极值8.设函数f(x)的定义域为R，x0(x≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x)B．－x是f(－x)的极小值点C．－x是－f(x)的极小值点D．－x是－f(－x)的极小值点【答案】D【解析】取函数f(x)＝x3－x，则x＝－为f(x)的极大值点，但f(3)>f，排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，但－1不是f(－x)的极小值点，排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，排除C.9.若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．【答案】9【解析】依题意知f′(x)＝12x2－2ax－2b，∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，∴ab的最大值为910.若函数满足：在定义域内存在实数，使(k为常数)，则称“f（x）关于k可线性分解”．（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数关于可线性分解，求的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：．【答案】（Ⅰ）是关于1可线性分解；（Ⅱ）a的取值范围是；（Ⅲ）详见解析．【解析】（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解，关键是看是否存在使得成立，若成立，是关于1可线性分解，否则不是关于1可线性分解，故看是否有解，构造函数，看它是否有零点，而，观察得，，有根的存在性定理可得存在，使；（Ⅱ）先确定定义域为，函数关于可线性分解，即存在，使，即有解，整理得有解，即，从而求出的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：，当时，，对求导，判断最大值为，可得，分别令，叠加可得证结论．试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是R，若是关于1可线性分解，则定义域内存在实数，使得．构造函数．∵，且在上是连续的，∴在上至少存在一个零点．即存在，使． 4分（Ⅱ）的定义域为．由已知，存在，使．即．整理，得，即．∴，所以．由且，得．∴a的取值范围是． 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a =1，，．当时，，所以的单调递增区间是，当时，，所以的单调递减区间是，因此时，的最大值为，所以，即，因此得：，，，，，以上各式相加得：，即，所以，即．１４分【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．11.已知函数（1）若函数在点处的切线与圆相切，求的值；（2）当时，函数的图像恒在坐标轴轴的上方，试求出的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题综合考查函数与导数及运用导数研究函数的单调区间、最值等数学知识和方法，突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力，考查函数思想、分类讨论思想.第一问，先将代入中，得到切点的纵坐标，对求导，将代入得到切线的斜率，所以点斜式写出切线方程，因为它与圆相切，所以圆心到切线的距离等于半径，列出表达式，求出；第二问，对求导，通过分析可转化为当时，恒成立，设，讨论，讨论的正负，通过抛物线的性质，求最小值.试题解析：(1) ，而，故，所以在点处的切线方程为，即，由，配方得，故该圆的圆心为，半径，由题意可知，圆与直线相切，所以，即，解得. （4分）（2）函数的定义域为，，由题意，只需当时，恒成立. （5分）设，，当时，，当时，恒成立，即恒成立，故在上是增函数，∴当时，，（7分）当时，函数的对称轴，则在上是增函数，当时，，∴，∴在上是增函数，∴当时，，（9分）当时，函数的对称轴，在是减函数，，故，∴在是减函数，∴当时，与当时，矛盾，（11分）综上所述，的取值范围是.【考点】1.利用导数求切线的方程；2.点到直线的距离公式；3.利用导数求函数最值.12.函数上有最小值，实数a的取值范围是（）A．(-1,3)B．(-1,2)C．D．【答案】D【解析】由题 f'（x）=3-3x2，令f'（x）＞0解得-1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜-1或x＞1,由此得函数在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数故函数在x=-1处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间（a2-12，a）上的最小值.∴a2-12＜-1＜a，解得-1＜a＜，又当x=2时，f（2）=-2，故有a≤2,综上知a∈（-1，2],故选D.【考点】用导数研究函数的最值13.设.(Ⅰ)若，求的单调区间;(Ⅱ) 若对一切恒成立,求的取值范围.【答案】（Ⅰ)的单调递增区间为,的单调递减区间为；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）将代入得：求的导数，由；便可得的单调区间.（Ⅱ）∴对一切恒成立等价于恒成立.这只要求出函数的最小值即可.试题解析：(Ⅰ)时，,故由得：；由得：；∴的单调递增区间为, 的单调递减区间为(II)令，则由得.所以在上单调递增, 在单调递减.所以由此得：又时，即为此时取任意值都成立综上得：【考点】1、函数的导数及其应用；2、不等关系.14.（本小题满分共12分）已知函数，曲线在点处切线方程为。
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值2.已知a≤＋lnx对任意的x∈[，2]恒成立，则a的最大值为________．【解析】令f(x)＝＋lnx，f′(x)＝，当x∈[，1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，∴f(x)＝f(1)＝0，∴a≤0，故a最大值为0.min3.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O 为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．【答案】(1)；(2)；（3）是.【解析】（1）本题求直四棱柱的体积，关键是求底面面积，我们要用底面半径1和表示出等腰梯形的上底和高，从图形中可知高为，而，因此面积易求，体积也可得出；（2）我们在（1）中求出，这里的最大值可利用导数知识求解，求出，解出方程在上的解，然后考察在解的两边的正负性，确定是最大值点，实质上对应用题来讲，导数值为0的那个唯一点就是要求的极值点）；（3），上（2）我们可能把木梁的表面积用表示出来，，由于在体积中出现，因此我们可求的最大值，这里可不用导数来求，因为，可借助二次函数知识求得最大值，如果这里取最大值时的和取最大值的取值相同，则结论就是肯定的.试题解析：（1）梯形的面积=，． 2分体积． 3分（2）．令，得，或（舍）．∵，∴． 5分当时，，为增函数；当时，，为减函数． 7分∴当时，体积V最大． 8分（3）木梁的侧面积=，．=，． 10分设，．∵，∴当，即时，最大． 12分又由（2）知时，取得最大值，所以时，木梁的表面积S最大． 13分综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． 14分【考点】（1）函数解析式；（2）用导数求最值；（3）四棱柱的表面积及其最值.4.已知常数a，b，c都是实数，f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34的导函数为f′ (x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于－115，则a的值是()A．－B．C．2D．5【答案】C【解析】依题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≤0的解集是[－2,3]，于是有3a＞0，－2＋3＝－，－2×3＝，解得b＝－，c＝－18a，函数f(x)在x＝3处取得极小值，于是有f(3)＝27a＋9b＋3c－34＝－115，－a＝－81，a＝2，故选C.5.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．【答案】(－1,0)【解析】根据函数极大值与导函数的关系，借助二次函数图象求解．因为f(x)在x＝a处取到极大值，所以x＝a为f′(x)的一个零点，且在x＝a的左边f′(x)＞0，右边f′(x)＜0，所以导函数f′(x)的开口向下，且a＞－1，即a的取值范围是(－1,0)．6.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是()．A．(0,2]B．(0,2)C．[，2)D．(，2)【答案】D【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2，故选D.7.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则()．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，∴f(1)不是极值，故A，B错；当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(x e x＋e x－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左侧附近f′(x)<0，x在1的右侧附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.8.设函数，则函数的各极小值之和为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，令，则，令，则，所以当时，取极小值，其极小值为所以函数的各极小值之和，故选D.【考点】1.函数的极值求解；2.数列的求和.9.设函数，其中.（1)若在处取得极值，求常数的值；（2）设集合，，若元素中有唯一的整数，求的取值范围.【答案】（1)；（2）【解析】（1）由在处取得极值，可得从而解得，此问注意结合极值定义检验所求值是否为极值点；（2）分，，和三种情况得出集合A，然后由元素中有唯一的整数，分析端点，从而求出的取值范围.试题解析：（1），又在处取得极值，故，解得.经检验知当时，为的极值点，故.（2）,当时，，则该整数为2，结合数轴可知，当时，，则该整数为0，结合数轴可知当时，,不合条件.综上述，.【考点】1.利用导数处理函数的极值；2.集合元素的分析10.已知函数在处取得极值，则取值的集合为 .【答案】.【解析】，，依题意有，从而有，且有，即，解得或，当时，，此时，此时函数无极值，当时，，此时，此时函数有极值，故.【考点】函数的极值11.函数最小值是___________.【答案】【解析】函数求导得.当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增，因此函数在处取得最小值，即.【考点】利用导数求函数的最值.12.已知函数（，，且）的图象在处的切线与轴平行. （1）确定实数、的正、负号；（2）若函数在区间上有最大值为，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先求导数，因为切线与轴平行，所以导数为0，列出等式，判断出的符号；（2）求导数，令导数为0，解出方程的根，利用导数的正负判断出函数的单调性，通过分类讨论的方法找到最大值，让最大值等于，解出的值.试题解析：（1） 1分由图象在处的切线与轴平行，知，∴. 2分又，故，. 3分(2) 令,得或. 4分∵，令，得或令，得.于是在区间内为增函数，在内为减函数,在内为增函数.∴是的极大值点，是极小值点. 5分令，得或. 6分分类：①当时，，∴ .由解得， 8分②当时，, 9分∴.由得 . 10分记,∵, 11分∴在上是增函数，又，∴, 12分∴在上无实数根. 13分综上，的值为. 14分【考点】1.用导数求切线的斜率；2.用导数求函数最值.13.设函数，（1）求函数的极大值；（2）记的导函数为，若时，恒有成立，试确定实数的取值范围.【答案】(1);(2) .【解析】（1）由导函数或求得函数的单调区间，再找极大值;(2) 的导函数是一元二次函数，转化为一元二次函数在上的最值，再满足条件即可.试题解析：(1)令，且当时，得；当时，得或∴的单调递增区间为；的单调递减区间为和，故当时，有极大值，其极大值为 6分（2）∵ 7分①当时，，∴在区间内单调递减∴，且∵恒有成立∵又，此时， 10分②当时，，得因为恒有成立，所以，即，又得， 14分综上可知，实数的取值范围 . 15分【考点】1.函数的极值；2.一元二次函数的最值.14.已知函数．(Ⅰ)若在上的最大值为，求实数的值；(Ⅱ)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．【解析】（Ⅰ）由，得，令，得或．当变化时，及的变化如下表：由，，，即最大值为，． 4分（Ⅱ）由，得．，且等号不能同时取，，即恒成立，即． 6分令，求导得，，当时，，从而，在上为增函数，，． 8分（Ⅲ）由条件，，假设曲线上存在两点，满足题意，则，只能在轴两侧，不妨设，则，且．是以为直角顶点的直角三角形，，，是否存在，等价于方程在且时是否有解． 10分①若时，方程为，化简得，此方程无解；②若时，方程为，即，设，则，显然，当时，，即在上为增函数，的值域为，即，当时，方程总有解．对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上． 14分【考点】利用导数研究函数的单调性、最值。
(完整版)导数与极值、最值练习题
三、知识新授（一）函数极值的概念（二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f'(x);（2）解方程f'(x)=0，得方程的根x(可能不止一个）（3）如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x)是极大值；反之，那么f(x）是极大值题型一图像问题1、函数()f x的导函数图象如下图所示，则函数()f x在图示区间上（）（第二题图） A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点2、函数()f x的定义域为开区间()a b，，导函数()f x'在()a b，内的图象如图所示，则函数()f x在开区间()a b，内有极小值点（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3、若函数2()f x x bx c=++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x'的图象可能为（）D.C.B.A.4、设()f x'是函数()f x的导函数，()y f x'=的图象如下图所示，则()y f x=的图象可能是（）C.A.5、已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x的图象最有可能的是（ ）-11 f '(x )yxO6、()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（ ）2xO222D.C.B.A.OxOx x Ox y7、如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ）yyyxx xyxDCBA xyy=f(x)8、如图所示是函数()y f x =的导函数()y f x '=图象，则下列哪一个判断可能是正确的（ ）A ．在区间(20)-，内()y f x =为增函数B ．在区间(03)，内()y f x =为减函数C ．在区间(4)+∞，内()y f x =为增函数D ．当2x =时()y f x =有极小值9、如果函数()y f x =的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数()y f x =在区间13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递增；②函数()y f x =在区间1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减； ③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增； ④当2x =时，函数()y f x =有极小值； ⑤当12x =-时，函数()y f x =有极大值； 则上述判断中正确的是___________． 10、函数321()2f x x x =-+的图象大致是 （ ）DCBA11、己知函数()32f x ax bx c=++，其导数()f x '的图象如图所示，则函数()f x 的极小值是（ ）A ．a b c ++B ．84a b c ++C ．32a b +D ．c题型二 极值求法 1 求下列函数的极值（1）f(x)=x 3-3x 2-9x+5; (2)f(x)=ln x x （3）f(x)=1cos ()2x x x ππ+-<<2、设a 为实数，函数y=e x -2x+2a,求y 的单调区间与极值3、设函数f(x)=313x -+x 2+(m 2-1)x,其中m>0。
高二数学利用导数求最值和极值试题
高二数学利用导数求最值和极值试题1.函数在（0,1）内有最小值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】首先对函数进行求导，即，然后根据函数在（0,1）内有最小值，讨论参数与0的大小关系，进而找到符合条件的的取值范围，即（1）若，此时，这表明在（0,1）上单调递增的，所以在处取得最小值，显然不可能；（2）若，令，解得，当时，为增函数，为减函数，所以在处取得最小值，也是最小值，故极小值点在（0,1）内，符合条件要求.综上所述，的取值范围为（0,1）.故答案应选B.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.2.已知函数.（1）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；【答案】（1）（2）【解析】（1）对函数求导，求出极值点，范围在内，得到不等式关系，解不等式即可；（2）要对恒成立问题转化,转化为求最值问题，令，求出在的最小值.试题解析：（1）当x>0时，，有；所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，函数在处取得唯一的极值．由题意，且，解得所求实数的取值范围为.（2）当时，令，由题意，在上恒成立令，则，当且仅当时取等号．所以在上单调递增，．因此，在上单调递增，．所以．【考点】导数运算，化归思想.3.设函数，则的极小值点为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，令得解得，又因为函数的定义域为，当时，，所以时为减函数；当时，，所以时为增函数；所以当时函数取得极小值；【考点】导数在求函数极值中的应用；4.已知函数.（1）求曲线在点（1，0）处的切线方程；（2）设函数，其中，求函数在上的最小值.(其中为自然对数的底数)【答案】（1）（2）当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为．【解析】利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点.（2）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论.试题解析：（1）由，得切线的斜率为．又切线过点，所以直线的方程为 4分（2），则令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增①当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值为②当，即时，在上单调递减，在上单调递增．在上的最小值为③当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值为．综上：当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为． 12分【考点】（1）利用导数求切线方程；（2）利用导数求函数的最值.5.已知函数在与处都取得极值．（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知函数在与处都取得极值，得到，求出得到：关于a,b的两个方程，联立解方程组可得到a,b的值，从而可写出函数的解析式；（2）由（１）已求出的解析式，要求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值，只需先求出函数在区间[-2，2]的极大值与极小值，再求出两个端点的函数值，然后比较这四个数值的大小，得其中的最大者就是该函数的最大值，最小者就是该函数的最小值．试题解析：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b 1分由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0 3分得a＝，b＝－2 5分经检验，a＝，b＝－2符合题意所以，所求的函数解析式为： 6分（2）由（1）得f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）， 7分列表如下：（－2，－）－（－，1）9分11分所以当时， 12分【考点】１．函数导数；２．函数极值；３．函数最值．6.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是( ).A．5，－15B．5，－14C．5，－16D．5，15【答案】A【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.7.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是A．5，15B．5，－14C．5，－15D．5，－16【答案】C【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.8.函数．（1）求函数的极值；（2）设函数，对，都有，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】解题思路：（1）求导，令得，列表即可极值；（2）因为，都有，所以只需即可，即求的最值.规律总结：（1）利用导数求函数的极值的步骤：①求导；②解，得分界点；③列表求极值点及极值；（2）恒成立问题要转化为求函数的最值问题.注意点：因为，都有，所以只需即可.试题解析：（1）因为，所以，令，解得，或，则＋－＋故当时，有极大值，极大值为；当时，有极小值，极小值为．（2）因为，都有，所以只需即可．由（1）知：函数在区间上的最小值，又，则函数在区间上的最大值，由，即，解得，故实数m的取值范围是．【考点】1.函数的极值；2.不等式恒成立问题.9.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】求导得=，当-1＜＜0时，，当时，＜0，所以该函数在（-1,0）上是增函数，在（0,1）是减函数，故当=0时，=，所以=3，所以当=-1时，y=，当=1时，=，所以该函数在[-1,1]上的最小值为.【考点】利用导数求函数在某个闭区间上的最值10.设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上,恒成立,则称函数在上为“凸函数”．已知当时,在上是“凸函数”．则在上 ( )A．既有极大值,也有极小值B．既有极大值,也有最小值C．有极大值,没有极小值D．没有极大值,也没有极小值【答案】C【解析】由题设可知:在(-1,2)上恒成立,由于从而,所以有在(-1,2)上恒成立,故知，又因为，所以；从而，得；且当时，当时，所以在上在处取得极大值，没有极小值．【考点】新定义,函数的极值．11.若函数在（0，1）内有极小值，则 ( )A．＜1B．0＜＜1C．b＞0D．b＜【答案】B【解析】由得：，若函数在（0，1）内有极小值，则必在区间内有解，即关于的方程区间内有解，所以有，故选B.【考点】导数与函数的极值.12.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】由函数得，令0得x=0或x=1，<0得，>0得x>1或x<0，所以函数在（0,1）上是减函数，在上是增函数，故最大值为f(0)=a=3,f(1)=,f(-1)=,故最小值为,【考点】导数与函数的极值.13.已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是。
高一数学利用导数求最值和极值试题
高一数学利用导数求最值和极值试题1.已知函数,函数⑴当时,求函数的表达式;⑵若,函数在上的最小值是2 ,求的值;【答案】（1）（2）.【解析】（1）分情况讨论x的取值化简绝对值，求出f′（x）得到x＞0和x＜0导函数相等，代入到g（x）中得到即可；（2）根据基本不等式得到g（x）的最小值即可求出a.试题解析：解:⑴∵,∴当时,; 当时,∴当时,; 当时,.∴当时,函数 .6分⑵∵由⑴知当时,,∴当时, 当且仅当时取等号 8分∴函数在上的最小值是,∴依题意得∴ ; 12分【考点】1.函数的最值及其几何意义；2.导数的运算.2.某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场.如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成.跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮.已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元（1）设半圆的半径OA=(米),试建立塑胶跑道面积S与的函数关系S() ，并求其定义域；（2）由于条件限制,问当取何值时,运动场造价最低?（取3.14）【答案】(1)塑胶跑道面积∵∴，故定义域为(2)设运动场的造价为元∵函数在[30,40]上为减函数.∴当时,函数有最小值【解析】略3.函数在区间上有最大值10，则函数在区间上有A．最大值-10B．最小值-10C．最小值-26D．最大值-26【答案】C【解析】可以令g（x）=x3+x+，因为函数f（x）=x3+x+-8（a∈R）在区间[m，n]上有最大值10，说明g（x）的最大值为18，再根据奇函数的性质进行求解；解答：解：∵函数f（x）=x3+x+-8（a∈R）在区间[m，n]上有最大值10，∴令g（x）=x3+x+，可得g（x）在区间[m，n]上又最大值为18，因为g（-x）=（-x）3-x-=-（x3+x+）=-g（x），∴g（x）是奇函数，∴g（x）在区间[-n，-m]上有最小值为-18，∴函数f（x）=x3+x+-8（a∈R）的最小值为-18-8=-26，故选C；4.右图是函数的导函数的图象．给出下列命题：①是函数的极值点；②是函数的极值点；③在处切线的斜率小于零；④在区间上单调递增.则正确命题的序号是．（请写出所有正确命题的序号）【答案】①④【解析】略5.已知定义在上的奇函数在处取得极值.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）试证：对于区间上任意两个自变量的值，都有成立；（Ⅲ）若过点可作曲线的三条切线，试求点P对应平面区域的面积.【答案】（I）由题意，∴ ,∴,又，即解得. ∴-（II）∵，,当时，，故在区间[－1，1]上为减函数，∴对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值，∴（III）设切点为，则点M的坐标满足因，故切线的方程为：，∵，∴整理得.∵若过点可作曲线的三条切线，∴关于方程有三个实根.设，则，由，得或.由对称性，先考虑∵在，上单调递增，在上单调递减.∴函数的极值点为,或∴关于方程有三个实根的充要条件是，解得. 故时，点P对应平面区域的面积故时，所求点P对应平面区域的面积为，即8.【解析】略6.（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，作出函数的图象并求函数的最值（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.【答案】（1）图象详见解析，，；（2）.【解析】（1）作一个具体的二次函数的图形一定要特出它的对称轴、顶点、以及与它与两坐标轴的交点，对照图象不难发现函数在区间上的最值；（2）二次函数以对称轴为界，一边增，一边减，如果它在区间上单调，则一定是在对称轴的某一侧，据此可求得实数的取值范围.试题解析：（1）∵∴这个函数的图象是抛物线介于之间的一段弧（如图），； 6分（2）函数图象的对称轴为，因为在区间上是单调函数，则或，即. 12分【考点】二次函数的最值与单调性.7.(本小题满分13分) 已知函数.（1）若，求在区间上的最小值；（2）若在区间上有最大值，求实数的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）利用数形结合的思想作出在区间上的简图，依据图象即可判断在何处取得最小值，最小值为多少；（2）这是定区间，动对称轴问题，需对它们的关系进行讨论，分对称轴在区间的左、中、右三种情形讨论，确定实数的值.试题解析：（1）若，则函数图像开口向下，对称轴为所以函数在区间上是递增的，在区间上是递减的，有又，3分（2）对称轴为当时，函数在在区间上是递减函数，则，即； 6分当时，函数在区间上是递增函数，在区间上是递减函数，则，解得，不符合； 9分当时，函数在区间上是递增函数，则，解得； 12分综上所述，或 13分【考点】含参数的二次函数给定区间求最值.8.某商场经调查得知，一种商品的月销售量（单位：吨）与销售价格（单位：万元/吨）的关系可用下图的一条折线表示．（1）写出月销售量关于销售价格的函数关系式；（2）如果该商品的进价为万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．【答案】（1）；（2）每吨定价为万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为万元.【解析】（1）看函数图象知，函数是分段函数，所以分别求两段区间的函数.（2）根据题意得到利润函数式为，然后把函数展开就又得到利润的分段函数，再分别求两个区间的最大值，然后作比较就可以得到整个函数的最大值，即最大利润.试题解析：（1）由函数图象可知：当时，；当时，；所以得到分段函数. 6分设月利润与商品每吨定价的函数为，则根据题意得，即. 10分所以当时，在，的取值最大，；当时，在，取值最大，.所以，当时，取最大值为.综上：每吨定价为万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为万元.. 16分【考点】分段函数的应用.9.（本小题满分12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：，其中是仪器的月产量，（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润）.【答案】（1）（2）当月产量为300台时，公司获利最大，最大利润为25000元.【解析】（1）根据题意总收益总成本利润，故利润总收益总成本，易得函数关系式；（2）通过（1）知函数关系式为分段函数，故函数的最大值为各段最大值中的最大值．试题解析：（1）当时，=；当时所以所求 6分（2）当时当时，当时，所以当时，答：当月产量为300台时，公司获利最大，最大利润为25000元 12分【考点】函数综合问题.10.（满分14分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：（其中是仪器的月产量）．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（利润=总收益-总成本）【答案】（1）；（2）每月生产台仪器时，利润最大，最大利润为元【解析】（1）总收益是关于月产量的分段函数，而总成本由两部分构成（固定成本与变化成本），根据“利润=总收益-总成本”可求出函数f（x）的解析式；（2）由（1）知f（x）是关于x 的一个分段函数，分别求出在每一个分段上的最大值，再从中选取最大的一个做为问题的解，求解应注意这个实际问题中变量的取值范围是正整数.试题解析：（1）（2）当时，∴当时，有最大值为当时，是减函数，∴当时，的最大值为答：每月生产台仪器时，利润最大，最大利润为元．【考点】函数的应用。
高考数学必考点专项第9练 导数与函数的极值、最值(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)
高考数学必考点专项第9练 导数与函数的极值、最值习题精选一、单选题1. 若2x =-是函数2-1()=(+-1)x f x x ax e 的极值点，则()f x 的极小值为( ) A. 1-B. 32e --C. 35e -D. 12. 正项等比数列中的14031,a a 是函数的极值点，则20166log a = ( ) A. 1 B. 2D. 1-3. 若在上有两个极值点，则a 的取值范围为( )A.B.C.D.4. 已知函数3221()13f x x ax b x =+++，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A.79 B. 13C. 59D.235. 设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则( ) A. a b <B. a b >C. 2ab a <D. 2ab a >二、多选题6. 已知()f x 是定义在(0,3)上的连续可导函数.若()f x 的最大值为(1)f ，则( )321()4633f x x x x =-+-A. (1)0f '=B. ()f x -在1x =-处有最大值C. ()f x -在1x =处有极小值D. ()f x --在1x =-处有最大值7. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是( )A. 2π是的一个周期；B. 在上有3个零点；C.的最大值为334； D. 在上是增函数．8. 已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则“对于任意的(0,1],x ∈不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-恒成立”的充分不必要条件可以是( )A. 10a e-<B.4312ea e <C.3211e a e <D.1a e e< 三、填空题9. 函数()|21|2ln f x x x =--的最小值为__________.10. 函数()ln f x x =的定义域为__________，最大值为__________. 11. 若直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线，且0a >，则实数b 的最小值是__________.()f x ()f x [0,2]π()f x ()f x12. 已知函数在上无极值，则a =__________，()f x 在上的最小值是__________.13. 已知函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，对于任意x R ∈均有()+2()=mx 4f x g x -，若()3lnx 0f x --对任意(0,+)x ∈∞都成立，则实数m 的取值范围是__________. 四、解答题14. 已知函数2()12.f x x =-(1)求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；(2)设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．15. 已知函数232().xf x x a-=+ (1)若0a =，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；(2)若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值.16. 已知函数21()ln (1)(0).2f x a x a x x a =-++->(1)讨论()f x 的单调性； (2)若21()2f x x ax b -++恒成立，求实数ab 的最大值．17. 已知函数2().xf x e ax x =+-(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x 时，31()12f x x +，求a 的取值范围．18. 已知函数()sin ln()f x x a x b =++，()g x 是()f x 的导函数.(1)若0a >，当1b =时，函数()g x 在(,4)π内有唯一的极小值，求a 的取值范围； (2)若1a =-，1e 2b π<<-，试研究()f x 的零点个数.19. 已知函数，(1)若，求的最值；(2)若存在使得，求实数m 的取值范围.20. 已知函数，其中0.m >(1)讨论函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，是否存在实数a 使得恒成立，如果存在请求出实数a 的取值范围，如果不存在请说明理由．()f x ()f x ()f x答案和解析1.【答案】A解： 函数2-1()=(+-1)x f x x ax e ，可得-12-1()=(2+)+(+-1)x x f x x a ex ax e '，又2x =-是函数2-1()=(+-1)x f x x ax e的极值点，可得-3-3(-2)=(-4+)+(4-2-1)=0f a e a e '， 即-4++(3-2)=0a a ，解得 1.a =- 可得2-1()=(+-2)x f x x x e'，令()=0f x '，解得12x =-，2=1.x当2x <-或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(-2,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 可知=1x 时，函数取得极小值， 即21-1(1)=(1-1-1) 1.f e =-故选.A2.【答案】A解：321()4633f x x x x =-+-， 2()860f x x x ∴'=-+=，1a ，4031a 是函数321()4633f x x x x =-+-的极值点， 140316a a ∴⋅=，又0n a >，2016a ∴=20161.∴=故选.A3.【答案】D解：令sin x t =，(0,1],t ∈ 则2120.t t a -+-= 令，(0,1];t ∈当(0,1],a ∈函数()g t 在上与y a =只有一个交点，(1)0,sin g t x ==对应的x 值有两个.故而(0,1].a ∈ 故选.D4.【答案】D解：求导数可得22()2f x x ax b '=++，要满足题意需2220x ax b ++=有两不等实根， 即224()0a b ∆=->，即a b >， 又a ，b 的取法共339⨯=种，其中满足a b >的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共6种， 故所求的概率为6293P == 故选D5.【答案】D解：因为0a ≠，()Ⅰ所以当a b =时，函数在单调，无极值，不合条件；()Ⅱ当a b ≠时，因为，所以，①若0a >并且a b <时，23a ba +<， 由，得：x a <或23a bx +>， 由，得：23a ba x +<<， 所以这时在上单调递增，在上单调递减，x a =是函数的极大值点，符合条件；②若0a >，并且a b >时，23a ba +>， 由，得：23a bx +<或x a >， 由，得：23a bx a +<<， 所以这时在上单调递减，在上单调递增，x a =是函数的极小值点，不符合条件；③若0a <，并且a b <时，23a ba +<， 由，得：23a ba x +<<， 由，得：x a <或23a bx +>， 这时在上单调递减，在上单调递增，x a =是函数的极小值()0f x '>()0f x '<()f x ()f x ()0f x '>()0f x '<()f x (,)a +∞()f x ()0f x '>()0f x '<()f x ()f x点，不符合条件；④若0a <，并且a b >时，23a ba +>， 由，得：23a bx a +<<， 由，得：23a bx +<或x a >， 所以这时在上单调递增，在上单调递减，x a =是函数的极大值点，符合条件；因此，若x a =为函数的极大值点，则a ，b 必须满足条件：0a >并且a b <或0a <并且.a b >由此可见，A ，B 均错误； 又总有成立，所以C 错误，D 正确.故选.D6.【答案】ABC解：()f x 是定义在(0,3)上的连续可导函数.若()f x 的最大值为(1)f ， 则()f x 在1x =处取得极大值，故(1)0f '=，故A 正确；将()y f x =的图象关于y 轴翻折得到()y f x =-，所以()f x -在1x =-处有最大值，故B 正确；将()y f x =的图象关于x 轴翻折得到()y f x =-，所以()f x -在1x =处有极小值，故C 正确；将()y f x =的图象关于y 轴翻折，再关于x 轴翻折得到()y f x =--，此时()y f x =与()y f x =--关于原点对称，()0f x '>()0f x '<()f x (,)a +∞()f x 2()()()f x a x a x b =--所以()f x --在1x =-处有最小值，故D 错误， 故选.ABC7.【答案】ABC解：11(2)sin(2)sin 2(2)sin sin 222f x x x x x πππ+=+++=+，A 正确；由()0f x =得到sin sin cos 0x x x +=，sin 0x ∴=或1cos 0x +=，x k π∴=，或2x k ππ=+，k Z ∈，∴函数()f x 在[0,2]π上有三个零点0，π，2π，B 正确；()cos cos 2f x x x '=+，∴当3x π=时，()0f x '=，且当03x π<<时()0f x '>，当3x ππ<<时，()0f x '<，()f x ∴在3x π=时取得最大值，121()sin sin 33232f πππ=+==，C 正确， 由上述求解知函数在[,]32ππ上一定递减，D 错误.故选.ABC8.【答案】CD解：因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-即为22(2)(ln )(ln )xf ae x f x x x f x x x +--=-对于任意的(0,1]x ∈恒成立，所以22ln xae x x x x +-，也即ln 20xae x x x+-+对于任意的(0,1]x ∈恒成立.令，则，当0a 时，在(0,1]x ∈恒成立，所以在单调递增，又当0x →时，，所以不成立； 令，则在(0,1]x ∈恒成立，所以在单调递增，所以，即1.x x e e所以当1ae时，0xae x -在(0,1]x ∈恒成立，所以在(0,1]x ∈恒成立，所以在单调递减，所以有成立，故1ae时在(0,1]x ∈恒成立；当10a e<<时，存在，使得000xae x -=，所以当00x x <<时，0x ae x ->，所以，所以在单调递减；当01x x <时，0x ae x -<，所以，所以在单调递增.所以，因为000xae x -=，所以00x aex =，且，所以，所以由，可得31ae ，所以311a e e<时在(0,1]x ∈恒成立.综上所述，31ae 时在(0,1]x ∈恒成立.所以“对于任意的(0,1],x ∈不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-恒成立”的充分不必要条件可以是.CD 故选：.CD()g x (0,1]()h x (0,1]()g x (0,1]()g x ()g x9.【答案】1解：函数()|21|2ln f x x x =--的定义域为(0,)+∞， 当102x<时，()|21|2ln 212ln f x x x x x =--=-+-， 此时函数()f x 在1(0,]2上为减函数，所以111()()212ln 2ln 2222f x f =-⨯+-=； 当12x >时，()|21|2ln 212ln f x x x x x =--=--， 则22(1)()2x f x x x-'=-=， 当1(,1)2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，∴当1x =时()f x 取得最小值，为(1)2112ln11f =⨯--=，2ln 2ln 4ln 1e =>=，∴函数()|21|2ln f x x x =--的最小值为1.故答案为：1.10.【答案】(0,1]0 解：由，得0 1.x <∴函数()1ln f x x x =-⋅的定义域为(0,1]；令1x t -=，[0,1),t ∈则21x t =-，函数()1ln f x x x =-⋅化为2()ln(1)g t t t =⋅-，[0,1),t ∈2222()ln(1)01t g t t t-'=-+-， ()g t ∴在[0,1)上为减函数，则max ()(0)0g t g ==，则函数()ln f x x =的最大值为0， 故答案为(0,1]；0.11.【答案】2-解：2ln y a x =的导数为2a y x'=， 由于直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线， 设切点为(,)m n ，则22am=，m a ∴=， 又22ln m b a m +=，2ln 2(0)b a a a a ∴=->，2(ln 1)22ln b a a '=+-=，当1a >时，0b '>，函数b 递增，当01a <<时，0b '<，函数b 递减，1a ∴=为极小值点，也为最小值点， b ∴的最小值为2ln12 2.-=-故答案为： 2.-12.【答案】232π-【解答】 函数()f x 的导数为22()cos 2(2)sin 1(12sin )(2)sin 12sin f x a x a x a a x a x a a x '=++--=-++--=-(2)sin 1(2sin 1)(sin 1).a x x a x ++-=---当1sin 2x =，即[,]622x πππ=∈-时，()0.f x '=所以要使()f x 在[,]22ππ-上无极值，则2a =，此时2()(2sin 1)0f x x '=--恒成立，即()f x 单调递减，故在区间[,]22ππ-上()f x 的最小值为3().22f ππ=- 13.【答案】解：由已知得……①， 所以，又因为为奇函数，为偶函数， 所以……②，①②联立解得，，将代入不等式得3ln 0mx x --，对任意都成立，即3ln xmx x+，对任意都成立， 设，则，令，解得21x e =， 由()0h x '>得2lnx 0-->，得210x e<<， 由()0h x '<得2lnx 0--<，得21e x >， ()f x ()g x (0,)x ∈+∞(0,)x ∈+∞()0h x '=所以在区间上单调递增，在区间21(,)e +∞上单调递减， 所以的最大值为，即2m e ，所以实数m 的取值范围是故答案为14.【答案】解：2(1)()12f x x =-的导函数()2f x x '=-，令切点为(,)m n ，可得切线的斜率为22m -=-，1m ∴=，12111n ∴=-=，∴切线的方程为213y x =-+；(2)曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线的斜率为2k t =-，切线方程为2(12)2()y t t x t --=--， 令0x =，可得212y t =+，令0y =，可得162x t t=+， 2116()||(12)22S t t t t∴=⋅+⋅+，由()()S t S t -=，可知()S t 为偶函数， 不妨设0t >，则2112()()(12)4S t t t t=++， 2222211443(4)(12)()(324)44t t S t t t t-+∴'=+-=⋅， 由()0S t '=，得2t =，当2t >时，()0S t '>，()S t 单调递增； 当02t <<时，()0S t '<，()S t 单调递减， 则()S t 在2t =处取得极小值，且为最小值32，()h x ()h x所以()S t 的最小值为32.15.【答案】解：(1)当0a =时，232()xf x x-=， 24322(32)26()x x x x f x x x ----'==，因此(1)1f =，()4f x '=-，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为14(1)y x -=--， 即为45y x =-+；(2)因为232()xf x x a-=+的导数为2222()2(32)()()x a x x f x x a -+--'=+， 而函数()f x 在1x =-处取得极值， 所以(1)0f '-=，即2820(1)aa -=+，解得4a =，因此232()4xf x x -=+，222(1)(4)().(4)x x f x x +-'=+ 由()0f x '>得4x >或1x <-；由()0f x '<得14x -<<， 因此函数()f x 在和上单调递增，在上单调递减，所以函数()f x 在1x =-处取得极大值1，在4x =处取得极小值1.4-又因为当32x <时，()0f x >；当32x <时，()0f x <， 作函数()y f x =的图象如下图，由图可知：函数()f x 在1x =-处取得最大值1；在4x =处取得最小值1.4- 所以函数()f x 的单调递增区间为和，单调递减区间为；()f x 的最大值为1，最小值为1.4-16.【答案】解：，(0,0)a x >>，①1a =时，，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减；②01a <<时，由()0f x '>，解得：1a x <<，()f x ∴在(,1)a 上单调递增，在(0,)a ，(1,)+∞上单调递减；③1a >时，同理()f x 在(1,)a 上单调递增，在(0,1)，(,)a +∞上单调递减；21(2)()2f x x ax b -++恒成立，ln 0a x x b ∴-+恒成立，令()ln g x a x x b =-+，则()a xg x x-'=， ()g x ∴在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减．max ()()ln 0g x g a a a a b ∴==-+，ln b a a a ∴-，22ln ab a a a ∴-，令22()ln (0)h x x x x x =->，则()(12ln )h x x x '=-，()h x ∴在上单调递增，在)+∞上单调递减，max ()2e h x h e e ∴==-=， .2e ab∴ 即ab 的最大值为.2e17.【答案】解：(1)当1a =时，2()x f x e x x =+-，()21x f x e x '=+-，设()()g x f x ='，因为()20xg x e '=+>，可得()g x 在R 上递增，即()f x '在R 上递增， 因为(0)0f '=，所以当0x >时，()0f x '>；当0x <时，()0f x '<， 所以()f x 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞；(2)当0x 时，31()12f x x +恒成立， ①当0x =时，不等式恒成立，可得a R ∈；②当0x >时，可得32112xx x e a x++-恒成立， 设32112()x x x e h x x++-=，则231(2)(1)2()x x e x x h x x ----'=， 可设21()12x m x e x x =---，可得()1x m x e x '=--，令()()t x m x ='，()1x t x e '=-， 由0x ，可得()0t x '恒成立，可得()m x '在(0,)+∞递增， 所以min ()(0)0m x m '='=，即()0m x '恒成立，即()m x 在(0,)+∞递增，所以min ()(0)0m x m ==， 再令()0h x '=，可得2x =，当02x <<时，()0h x '>，()h x 在(0,2)递增；2x >时，()0h x '<，()h x 在(2,)+∞递减，所以2max7()(2)4e h x h -==，所以274e a -，综上可得a 的取值范围是27[,).4e -+∞18.【答案】解：(1)当1b =时，()sin ln (1)f x x a x =++，()()cos 1ag x f x x x ='=++， 在单调递增，2()0(1)a g ππ'=-<+，(4)sin 425ag '=--， 当(4)sin 4025ag '=--时，()g x 在(,4)π单调递减，无极值； 当(4)sin 4025ag '=-->时，0(,4)x π∃∈，使得0()0g x '=， 从而()g x 在0(,)x π单调递减，在0(,4)x 单调递增，0x 为()g x 唯一的极小值点， 所以；(2)当1a =-时，()sin ln()f x x x b =-+，(1,)2b e π∈-，可知，时，()0f x <，无零点；所以只需研究(,)b π-上()f x 零点情况；()(,)2ii x ππ∈时，1()cos 0f x x x b'=-<+，可知()f x 单调递减，(,4)π()1ln()1ln()02222f b e ππππ=-+>-+-=，()0f π<， 存在唯一的(,)2s ππ∈，使得()0f s =；()iii 当(,)2x b π∈-，令1()()cos h x f x x x b'==-+， 则21()sin ()h x x x b '=-++单调递减， 且21(0)00h b '=+>，21()102()2h b ππ'=-+<+， 则1(0,)2x π∃∈，使得1()0h x '=，则在1(,)b x -单调递增，1(,)2x π单调递减，并且lim ()0x bf x +→-'<，，1()022f b ππ'=-<+， 所以2(,0)x b ∃∈-，2()0f x '=，3(0,)2x π∃∈，3()0f x '=，且知在单调递减，在单调递增，在3(,)2x π单调递减，又因为lim ()0x bf x +→->，，()02f π>，(,0)m b ∃∈-，()0f m =，(0,)2n π∃∈，()0f n =，综上所述，由()()()i ii iii 可知，()f x 有3个零点.19.【答案】的定义域为，，令，得1x =， 当时，，单调递减；()f x '()f x (0,)+∞()0f x '=()0f x '<()f x当时，，单调递增又，所以，； (2)由题意知：只需，由(1)知在单调递减，单调递增，①若01m <，则在单调递减，则只需， 即2ln 210m m m m e--+， 记，01m <， 因为，所以在单调递减，单调递增， 而，，所以在01m <恒成立，又因为2ln 0m m ，所以2ln 210m m m m e--+对任意01m <恒成立. ②若1m >，，只需， 即，解得1ln3m <， 综上，20.【答案】解：，定义域为 所以，(0,)x ∈+∞，令，(0,)x ∈+∞，对于方程，164m ∆=-，①当04m <<时，0∆>，有两个根，为12x =22x =120x x <<()0f x '>()f x ()f x (0,1)(1,)+∞()f x (0,)+∞2()4g x x x m =-+在和上；在上，所以函数的单调增区间为和； 单调减区间为， ②当4m 时，0∆，恒成立，所以函数的单调增区间为，无减区间. (2)由(1)知，若有两个极值点，则04m <<，又1x ，2x 是240x x m -+=的两个根，则124x x +=，12x x m ⋅= 所以214x x =-，，由(1)知，124x m=--，， 恒成立，，令，，只要即可； ，令则，，令，则，所以在上单调递减，在1(,2)e上单调递增． ，所以存在12a e -，使得恒成立． ()0f x '>()0f x '<()f x ()f x (0,)+∞()f x (0,2)t ∈min ()a h t ()h t。
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.已知函数（1）若是的极值点，求的极大值；（2）求实数的范围，使得恒成立.【答案】（1）极大值为;（2）综上所述：时，恒成立．【解析】（1）通过“求导数、求驻点、讨论驻点附近导数值的符号、确定极值”，“表解法”形象直观；（2）应用转化与化归思想.要使得恒成立，即时，恒成立；构造函数，应用导数研究函数的最值，注意分以下情况：（ⅰ）当时，（ii）当时，（iii）当时，（iv）当a>1时，综上所述：时，恒成立．试题解析：（1）是的极值点解得 2分当时，当变化时，+4分的极大值为 6分（2）要使得恒成立，即时，恒成立 8分设，则（ⅰ）当时，由得单减区间为，由得单增区间为，得 10分（ii）当时，由得单减区间为，由得单增区间为，此时，不合题意． 10分（iii）当时，在上单增，不合题意． 12分（iv）当a>1时，由得单减区间为，由得单增区间为，此时不合题意． 13分综上所述：时，恒成立． 14分【考点】1.应用导数研究函数的单调性、极（最）值，2.应用导数证明不等式3.转化与化归思想.2.设函数在处取极值，则= ．【答案】2.【解析】因为，又函数在处取极值，所以，从而．【考点】１．函数导数的求法；２．三角恒等变形公式．3.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值4.已知曲线.(1)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；(2)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【答案】(1)，，(2)．【解析】(1)根据导数几何意义，所以.因为，所以.因为过点，所以，(2)由题意得：不等式恒成立，恒成立问题一般转化为最值问题.一是分类讨论求函数最小值，二是变量分离为恒成立，求函数最小值.两种方法都是，然后对实数a进行讨论，当时，，所以.当时,由得，不论还是，都是先减后增，即的最小值为，所以.试题解析：解（1）， 2分因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：，所以且. 4分解得， -5分（2）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x,，都有，即∀x,R，恒成立， 6分令， 7分①若a=0，则，所以实数b的取值范围是； 8分②若,，由得， 9分的情况如下：+11分所以的最小值为， 12分所以实数b的取值范围是；综上，实数b的取值范围是． 13分法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x,，都有，即∀x,R，恒成立， 6分令，则等价于∀，恒成立，令，则， 7分由得， 9分的情况如下：+-11分所以的最小值为， 12分实数b的取值范围是． 13分【考点】利用导数求切线、最值.5.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像的是()【答案】D【解析】若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则易得a＝c.∵选项A、B的函数为f(x)＝a(x＋1)2，其中a≠0，则[f(x)e x]′＝f′(x)e x＋f(x)(e x)′＝a(x＋1)·(x＋3)e x，∴x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，满足条件；选项C中，对称轴x＝－>0，且开口向下，∴a<0，b>0，∴f(－1)＝2a－b<0，也满足条件；选项D中，对称轴x＝－<－1，且开口向上，∴a>0，b>2a，∴f(－1)＝2a－b<0，与图像矛盾，故选D.6.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则 ()．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是函数f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xe x＋e x－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，x在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．7.若函数满足：在定义域内存在实数，使(k为常数)，则称“f（x）关于k可线性分解”．（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数关于可线性分解，求的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：．【答案】（Ⅰ）是关于1可线性分解；（Ⅱ）a的取值范围是；（Ⅲ）详见解析．【解析】（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解，关键是看是否存在使得成立，若成立，是关于1可线性分解，否则不是关于1可线性分解，故看是否有解，构造函数，看它是否有零点，而，观察得，，有根的存在性定理可得存在，使；（Ⅱ）先确定定义域为，函数关于可线性分解，即存在，使，即有解，整理得有解，即，从而求出的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：，当时，，对求导，判断最大值为，可得，分别令，叠加可得证结论．试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是R，若是关于1可线性分解，则定义域内存在实数，使得．构造函数．∵，且在上是连续的，∴在上至少存在一个零点．即存在，使． 4分（Ⅱ）的定义域为．由已知，存在，使．即．整理，得，即．∴，所以．由且，得．∴a的取值范围是． 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a =1，，．当时，，所以的单调递增区间是，当时，，所以的单调递减区间是，因此时，的最大值为，所以，即，因此得：，，，，，以上各式相加得：，即，所以，即．１４分【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．8.如图，已知点，函数的图象上的动点在轴上的射影为，且点在点的左侧.设，的面积为.（Ⅰ）求函数的解析式及的取值范围；（Ⅱ）求函数的最大值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）当时，函数取得最大值8.【解析】（Ⅰ）确定三角形面积，主要确定底和高.（Ⅱ）应用导数研究函数的最值，遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数正负，比较极值与区间端点函数值”.利用“表解法”形象直观，易以理解.试题解析：（Ⅰ）由已知可得，所以点的横坐标为, 2分因为点在点的左侧，所以，即.由已知，所以， 4分所以所以的面积为. 6分（Ⅱ） 7分由，得（舍）,或. 8分函数与在定义域上的情况如下：2+↘12分所以当时，函数取得最大值8. 13分【考点】三角形面积，应用导数研究函数的最值.9.设.（1）若时，单调递增，求的取值范围；（2）讨论方程的实数根的个数.【答案】(1)；（2）见解析.【解析】(1)求出函数导数，当时，单调递增，说明当时，，即在恒成立，又函数在上递减，所以；（2）将方程化为，令，利用导数求出的单调区间，讨论的取值当时，，当时，，所以当时，方程无解，当时，方程有一个根，当时，方程有两个根.试题解析：（1）∵∴∵当时，单调递增∴当时，∴,，函数在上递减∴（2）∴令当时∵∴即在递增当时∵∴即在递减∵当时当时∴①当时，方程无解②当时，方程有一个根③当时，方程有两个根【考点】利用导数求函数最值、利用导数研究函数取值、函数和方程思想.10.函数上有最小值，实数a的取值范围是（）A．(-1,3)B．(-1,2)C．D．【答案】D【解析】由题 f'（x）=3-3x2，令f'（x）＞0解得-1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜-1或x＞1,由此得函数在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数故函数在x=-1处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间（a2-12，a）上的最小值.∴a2-12＜-1＜a，解得-1＜a＜，又当x=2时，f（2）=-2，故有a≤2,综上知a∈（-1，2],故选D.【考点】用导数研究函数的最值11.设函数，其中.（1)若在处取得极值，求常数的值；（2）设集合，，若元素中有唯一的整数，求的取值范围.【答案】（1)；（2）【解析】（1）由在处取得极值，可得从而解得，此问注意结合极值定义检验所求值是否为极值点；（2）分，，和三种情况得出集合A，然后由元素中有唯一的整数，分析端点，从而求出的取值范围.试题解析：（1），又在处取得极值，故，解得.经检验知当时，为的极值点，故.（2）,当时，，则该整数为2，结合数轴可知，当时，，则该整数为0，结合数轴可知当时，,不合条件.综上述，.【考点】1.利用导数处理函数的极值；2.集合元素的分析12.定义在上的函数满足：①（为正常数）；②当时，.若函数的所有极大值点均在同一条直线上，则_____________.【答案】或.【解析】当时，，故函数在上单调递增，在上单调递增，故函数在处取得极大值，当时，则，此时，此时，函数在处取得极大值，对任意，当时，函数在处取得极大值，故函数的所有极大值点为，由于这些极大值点均在同一直线上，则直线的斜率为定值，即为定值，故或，即或.【考点】1.函数的极值；2.直线的斜率13.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】由得或，即或.又，所以或.因为不等式对恒成立，所以或.(1)令，则.令得，当时，；当时，.所以在上是增函数，在是减函数.所以，所以.(2)令，则，因为，所以，所以易知，所以在上是增函数.易知当时，，故在上无最小值，所以在上不能恒成立.综上所述，，即实数的取值范围是.【考点】利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性求最值、含绝对值不等式的解法14.（本小题满分共12分）已知函数，曲线在点处切线方程为。
高三数学利用导数求最值和极值试题
高三数学利用导数求最值和极值试题1. 函数f(x)＝x 3－x 2－3x －1的图象与x 轴的交点个数是________．【答案】3【解析】f′(x)＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)，函数在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10<0，f(x)极大值＝f(－1)＝>0知函数f(x)的图象与x 轴的交点个数为3.2. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是( )． A ．(0,2] B ．(0,2) C ．[，2) D ．(，2)【答案】D【解析】由题意可知f ′(x )＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，所以根据导函数图象可得又a >0，解得<a <2，故选D.3. 已知且关于的函数在上有极值,则与的夹角范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 ，因为在上有极值，所以【考点】有解，，即，，所以],故选B.【考点】1.函数的导数；2.向量的数量积以及向量的夹角.4. 不等式的解集为，且，则实数的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】①当时，不等式对任意实数恒成立；②当时，不等式可变形为，由不等式的解集为，且设，令，解得． 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．由此可知，当时，函数取得极小值，也即最小值，且．．故选A．【考点】利用导数研究函数的极值5.记函数的最大值为M，最小值为m，则的值为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，，解得，所以函数的定义域是. 已知函数求导得，，时，当时，，当时，，所以在区间上先增后减，最大值是，因为，，所以，所以.【考点】1.利用导数研究函数的最值；2.函数的单调性与导数的关系6.设.(Ⅰ)若对一切恒成立,求的取值范围;(Ⅱ)设,且是曲线上任意两点,若对任意的,直线AB的斜率恒大于常数,求的取值范围;(Ⅲ)求证:.【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析【解析】（Ⅰ）∴对一切恒成立等价于恒成立.这只要求出函数的最小值即可.（Ⅱ）直线的斜率为：由题设有,不妨设则这样问题转化为函数,在上单调递增所以恒成立，即对任意,恒成立这样只需求出的最小值即可.（Ⅲ）不等式可变为由(Ⅰ) 知（时取等号）,在此不等式中取得：变形得：取得：变形得：取得：变形得：取得：变形得：将以上不等式相加即可得证.试题解析：(Ⅰ)令，则由得.所以在上单调递增, 在单调递减.所以由此得：又时，即为此时取任意值都成立综上得：(II)由题设得，直线AB的斜率满足：,不妨设，则即：令函数,则由以上不等式知：在上单调递增,所以恒成立所以，对任意,恒成立又=故(Ⅲ)由(Ⅰ) 知时取等号）,取,得即累加得所以【考点】1、函数的导数及其应用；2、不等关系及重要不等式；3、不等式的证明.7.已知函数只有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．∪C．D．∪【答案】B【解析】求导得：，所以的极大值为，极小值为.因为该函数只有一个零点，所以或，所以，选B.【考点】1、导数的应用；2、函数的零点；3、解不等式.8.已知且，现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号为：（）A．①③B．①④C．②④D．②③【答案】D【解析】,函数在处取得极大值，在处取得极小值，由知函数有3个零点，则有，即解得，即，，所以，.【考点】1.函数的极值；2.函数的零点.9.设函数有三个零点，且则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先求导数，令，解得故+0—0+又因为，，，，综合以上信息可得示意图如右，由图可知，.【考点】考查函数的零点.10.已知函数，且函数在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析:因为函数在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，所以即画出可行域如图所示，为可行域内的点到的距离的平方，由图可知，距离的最小值为距离的最大值为，所以的取值范围为【考点】本小题主要考查导数与极值的关系以及线性规划的应用.点评：对于此类问题，必须牢固掌握导数的运算，利用导数求单调性以及极值和最值.本题导数与线性规划结合，学生必须熟练应用多个知识点，准确分析问题考查的实质，正确答题.11.已知函数既存在极大值又存在极小值，则实数的取值范围是_______________【答案】或；【解析】本试题主要是考查了一元三次函数的极值问题的运用。
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高中数学专题训练导数的应用——极值与最值一、选择题1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和13，则()A．a－2b＝0B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D解析y′＝3ax2＋2bx，据题意，0、13是方程3ax2＋2bx＝0的两根∴－2b3a ＝13，∴a＋2b＝0.2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝()A.1ln2B．－1ln2C．－ln2 D．ln2答案 B解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0∵2x＞0，∴x＝－1ln23．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则() A．0＜b＜1 B．b＜1C．b＞0 D．b＜1 2答案 A解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0，∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1综上，b的范围为0＜b＜14．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是()A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点C．x＝－1不是函数f(x)的极值点D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点答案 B解析x>－1时，f′(x)>0x<－1时，f′(x)<0∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点．5．函数y＝x33＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是()A．－173B．－103C．－4 D．－64 3答案 A解析y′＝x2＋2x－3.令y′＝x2＋2x－3＝0，x＝－3或x＝1为极值点．当x∈[0,1]时，y′<0.当x∈[1,2]时，y′>0，所以当x＝1时，函数取得极小值，也为最小值．∴当x＝1时，y min＝－173.6．函数f(x)的导函数f′(x)的图象，如右图所示，则()A．x＝1是最小值点B．x＝0是极小值点C．x＝2是极小值点D．函数f(x)在(1,2)上单增答案 C解析由导数图象可知，x＝0，x＝2为两极值点，x＝0为极大值点，x＝2为极小值点，选C.7．已知函数f(x)＝12x3－x2－72x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为()A．f(－a2)≤f(－1)B．f(－a2)<f(－1)C．f(－a2)≥f(－1)D．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定答案 A解析 由题意可得f ′(x )＝32x 2－2x －72.由f ′(x )＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73.当x <－1时，f (x )为增函数；当－1<x <73时，f (x )为减函数．所以f (－1)是函数f (x )在(－∞，0]上的最大值，又因为－a 2≤0，故f (－a 2)≤f (－1)．8．函数f (x )＝e －x ·x ，则( )A ．仅有极小值12eB ．仅有极大值12eC ．有极小值0，极大值12eD ．以上皆不正确 答案 B 解析f ′(x )＝－e －x ·x ＋12x·e －x ＝e －x (－x ＋12x)＝e －x ·1－2x2x. 令f ′(x )＝0，得x ＝12. 当x >12时，f ′(x )<0；当x <12时，f ′(x )>0.∴x ＝12时取极大值，f (12)＝1e ·12＝12e.二、填空题9．若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________.答案 －23 －16解析 y ′＝ax ＋2bx ＋1.由已知⎩⎨⎧a ＋2b ＋1＝0a 2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23b ＝－1610．已知函数f (x )＝13x 3－bx 2＋c (b ，c 为常数)．当x ＝2时，函数f (x )取得极值，若函数f (x )只有三个零点，则实数c 的取值范围为________答案 0<c <43解析 ∵f (x )＝13x 3－bx 2＋c ，∴f ′(x )＝x 2－2bx ，∵x ＝2时，f (x )取得极值，∴22－2b ×2＝0，解得b ＝1.∴当x ∈(0,2)时，f (x )单调递减，当x ∈(－∞，0) 或x ∈(2，＋∞)时，f (x )单调递增．若f (x )＝0有3个实根，则⎩⎨⎧f (0)＝c >0f (2)＝13×23－22＋c <0，，解得0<c <4311．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R )有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．答案 m <－12解析 因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R )有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m >1，即m <－12.12．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于(1,0)，则极小值为________．答案 0解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由题知f ′(1)＝3－2p －q ＝0. 又f (1)＝1－p －q ＝0，联立方程组，解得p ＝2，q ＝－1. ∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1. 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，解得x ＝1或x ＝13，经检验知x ＝1是函数的极小值点，∴f (x )极小值＝f (1)＝0. 三、解答题 13．设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，求函数f (x )的单调区间与极值． 解析 由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1，于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4)．令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22，得x ＝π，或x ＝3π2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(3π2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.14．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .(1)若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，求实数a 的值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .(1)由已知有f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9； (2)由于Δ＝36(a ＋2)2－4×18×2a ＝36(a 2＋4)>0，所以不存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数． 15．已知定义在R 上的函数f (x )＝x 2(ax －3)，其中a 为常数． (1)若x ＝1是函数f (x )的一个极值点，求a 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,0)上是增函数，求a 的取值范围． 解析 (1)f (x )＝ax 3－3x 2，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)． ∵x ＝1是f (x )的一个极值点，∴f ′(1)＝0，∴a ＝2.(2)解法一 ①当a ＝0时，f (x )＝－3x 2在区间(－1,0)上是增函数，∴a ＝0符合题意；②当a ≠0时，f ′(x )＝3ax (x －2a )，令f ′(x )＝0得：x 1＝0，x 2＝2a . 当a >0时，对任意x ∈(－1,0)，f ′(x )>0，∴a >0符合题意；当a <0时，当x ∈(2a ，0)时，f ′(x )>0，∴2a ≤－1，∴－2≤a <0符合题意； 综上所述，a ≥－2.解法二 f ′(x )＝3ax 2－6x ≥0在区间(－1,0)上恒成立，∴3ax －6≤0，∴a ≥2x 在区间(－1,0)上恒成立，又2x <2－1＝－2，∴a ≥－2.16．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋1－ln x .(1)若f (x )在(0，12)上是减函数，求a 的取值范围；(2)函数f (x )是否既有极大值又有极小值？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解析 (1)f ′(x )＝－2x ＋a －1x ，∵f (x )在(0，12)上为减函数，∴x ∈(0，12)时－2x ＋a －1x <0恒成立，即a <2x ＋1x 恒成立．设g (x )＝2x ＋1x ，则g ′(x )＝2－1x 2.∵x ∈(0，12)时1x 2>4，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，12)上单调递减，g (x )>g (12)＝3，∴a ≤3.(2)若f (x )既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝0必须有两个不等的正实数根x 1，x 2，即2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根．故a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0a 2>0⇒⎩⎨⎧a 2－8>0a >0⇒a >22，∴当a >22时，f ′(x )＝0有两个不等的实数根，不妨设x 1<x 2， 由f ′(x )＝－1x (2x 2－ax ＋1)＝－2x (x －x 1)(x －x 2)知，0<x <x 1时f ′(x )<0，x 1<x <x 2时f ′(x )>0，x >x 2时f ′(x )<0，∴当a >22时f (x )既有极大值f (x 2)又有极小值f (x 1)．1. 已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为 1，则a 的值等于________．答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1，当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a ，又a >12，∴0<1a <2.令f ′(x )>0，则x <1a ，∴f (x )在(0，1a )上递增；令f ′(x )<0，则x >1a ，∴f (x )在(1a ，2)上递减，∴f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a ＝－1，∴ln1a ＝0，得a ＝1.2．设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值．(1)求a 、b 的值；(2)若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值， 则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0.解得a ＝－3，b ＝4. (2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ， f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0.所以，当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c . 又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c ，则当x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . 因为对于任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立， 所以9＋8c <c 2，解得c <－1或c >9.因此c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围．解析 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1，f ′(x )＝3(x －2＋3)(x －2－3)． 当x ∈(－∞，2－3)时f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－3)上单调增加； 当x ∈(2－3，2＋3)时f ′(x )＜0，f (x )在(2－3，2＋3)上单调减少； 当x ∈(2＋3，＋∞)时f ′(x )＞0，f (x )在(2＋3，＋∞)上单调增加． 综上，f (x )的单调增区间是(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)，f (x )的单调减区间是(2－3，2＋3)．(2)f ′(x )＝3[(x －a )2＋1－a 2]．当1－a 2≥0时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，故f (x )无极值点； 当1－a 2＜0时，f ′(x )＝0有两个根， x 1＝a －a 2－1，x 2＝a ＋a 2－1.由题意知，2＜a －a 2－1＜3，①或2＜a ＋a 2－1＜3.②①式无解．②式的解为54＜a ＜53.因此a的取值范围是(54，5 3)．1．“我们称使f(x)＝0的x为函数y＝f(x)的零点．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是连续的，单调的函数，且满足f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上有唯一的零点”．对于函数f(x)＝6ln(x＋1)－x2＋2x－1，(1)讨论函数f(x)在其定义域内的单调性，并求出函数极值．(2)证明连续函数f(x)在[2，＋∞)内只有一个零点．解析(1)解：f(x)＝6ln(x＋1)－x2＋2x－1定义域为(－1，＋∞)，且f′(x)＝6x＋1－2x＋2＝8－2x2x＋1，f′(x)＝0⇒x＝2(－2舍去).∴当x＝2时，f(x)的极大值为f(2)＝6ln3－1.(2)证明：由(1)知f(2)＝6ln3－1>0，f(x)在[2,7]上单调递减，又f(7)＝6ln8－36＝18(ln2－2)<0，∴f(2)·f(7)<0.∴f(x)在[2,7]上有唯一零点．当x∈[7，＋∞)时，f(x)≤f(7)<0，故x∈[7，＋∞)时，f(x)不为零．∴y＝f(x)在[7，＋∞)上无零点．∴函数f(x)＝6ln(x＋1)－x2＋2x－1在定义域内只有一个零点．2．(2010·江西高考)设函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)＋ax(a>0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为12，求a的值．解析函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝1x－12－x＋a.(1)当a＝1时，f′(x)＝－x2＋2x(2－x)，所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝2－2xx(2－x)＋a>0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝12.3．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．分析本题考查多项式的导数公式及运用导数求函数的单调区间和函数的最值，题目中需注意应先比较f(2)和f(－2)的大小，然后判定哪个是最大值从而求出a.解(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)<0，解得x<－1，或x>3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)>f(－2)．∵在(－1,3)上f′(x)>0，∴f(x)在(－1,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1)上单调递减，∴f(－1)是f(x)的极小值，且f(－1)＝a－5.∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a ＝20，解得a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∴f(－1)＝a－5＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.4．已知函数f(x)＝xe－x(x∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数y＝g(x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．证明当x＞1时，f(x)＞g(x)；(3)如果x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明x1＋x2＞2.解析(1)f′(x)＝(1－x)e－x.令f′(x)＝0，解得x＝1.当x所以f(x)函数f(x)在x＝1处取得极大值f(1)，且f(1)＝1e.(2)由题意可知g(x)＝f(2－x)，得g(x)＝(2－x)e x－2.令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝xe－x＋(x－2)e x－2，于是F′(x)＝(x－1)(e2x－2－1)e－x.当x＞1时，2x－2＞0，从而e2x－2－1＞0，又e－x＞0.所以F′(x)＞0.从而函数F(x)在[1，＋∞)上是增函数．又F(1)＝e－1－e－1＝0，所以x＞1时，有F(x)＞F(1)＝0，即f(x)＞g(x)．(3)①若(x1－1)(x2－1)＝0，由(1)及f(x1)＝f(x2)，得x1＝x2＝1，与x1≠x2矛盾．②若(x1－1)(x2－1)＞0，由(1)及f(x1)＝f(x2)，得x1＝x2，与x1≠x2矛盾．根据①②得(x1－1)(x2－1)＜0，不妨设x1＜1，x2＞1.由(2)可知，f(x2)＞g(x2)，g(x2)＝f(2－x2)，所以f(x2)＞f(2－x2)，从而f(x1)＞f(2－x2)，因为x2＞1，所以2－x2＜1，又由(1)可知函数f(x)在区间(－∞，1)内是增函数，所以x1＞2－x2，即x1＋x2＞2.5．已知函数f(x)＝ax3－32ax2，函数g(x)＝3(x－1)2.(1)当a>0时，求f(x)和g(x)的公共单调区间；(2)当a>2时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的极小值；(3)讨论方程f(x)＝g(x)的解的个数．解(1)f′(x)＝3ax2－3ax＝3ax(x－1)，又a>0，由f′(x)>0得x<0或x>1，由f′(x)<0得0<x<1，即函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)与(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)，而函数g(x)的单调递减区间是(－∞，1)，单调递增区间是(1，＋∞)，故两个函数的公共单调递减区间是(0,1)，公共单调递增区间是(1，＋∞)．(2)h(x)＝ax3－32ax2－3(x－1)2，h′(x)＝3ax2－3(a＋2)x＋6＝3a(x－2a)(x－1)，令h′(x)＝0，得x＝2a 或x＝1，由于2a<1，易知x＝1为函数h(x)的极小值点，∴h(x)的极小值为h(1)＝－a 2.(3)令φ(x)＝f(x)－g(x)＝ax3－32(a＋2)x2＋6x－3，φ′(x )＝3ax 2－3(a ＋2)x ＋6＝3a (x －2a )(x －1)，①若a ＝0，则φ(x )＝－3(x －1)2，∴φ(x )的图象与x 轴只有一个交点，即方程f (x )＝g (x )只有一个解；②若a <0，则φ(x )的极大值为φ(1)＝－a 2>0，φ(x )的极小值为φ(2a )＝－4a 2＋6a －3<0，∴φ(x )的图象与x 轴有三个交点，即方程f (x )＝g (x )有三个解；③若0<a <2，则φ(x )的极大值为φ(1)＝－a 2<0，∴φ(x )的图象与x 轴只有一个交点，即方程f (x )＝g (x )只有一个解；④若a ＝2，则φ′(x )＝6(x －1)2≥0，φ(x )单调递增，∴φ(x )的图象与x 轴只有一个交点，即方程f (x )＝g (x )只有一个解；⑤若a >2，由(2)知φ(x )的极大值为φ(2a )＝－4(1a －34)2－34<0，∴φ(x )的图象与x轴只有一个交点，即方程f (x )＝g (x )只有一个解．综上知，若a ≥0，方程f (x )＝g (x )只有一个解；若a <0，方程f (x )＝g (x )有三个解．。