高中数学典型例题详解和练习- 求函数的导数
利用公式2求函数的导数
例 求下列函数的导数：
1．12x y =；2．41x
y =；3．53x y =． 分析：根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构施行调整．函数41x
y =和53x y =的形式，这样，在形式上它们都满足幂函数的结构特征，可直接应用幂函数的导数公式求导．
解：1．.1212)(1111212x x x y =='='-
2．.44)4()(55144x x x x y -
=-=-='='---- 3．.535353)()(52521535353x
x x x x y ==='='='-- 说明：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，以免求导过程中出现指数或系数的运算失误．运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨，步骤完整的解题习惯，要形成不仅会求，而且求对、求好的解题标准．
根据斜率求对应曲线的切线方程
例 求曲线122-=x y 的斜率等于4的切线方程．
分析：导数反映了函数在某点处的变化率，它的几何意义就是相应曲线在该点处切线的斜率，由于切线的斜率已知，只要确定切点的坐标，先利用导数求出切点的横坐标，再根据切点在曲线上确定切点
的纵坐标，从而可求出切线方程．
解：设切点为),(00y x P ，则
x x y 4)12(2='-='，∴40='=x x y ，即440=x ，∴10=x
当10=x 时，10=y ，故切点P 的坐标为（1，1）．
∴所求切线方程为)1(41-=-x y
即.034=--y x
说明：数学问题的解决，要充分考虑题设条件，捕捉隐含的各种因素，确定条件与结论的相应关系，解答这类问题常见的错误是忽略切点既在曲线上也在切线上这一关键条件，或受思维定势的消极影响，先设出切线方程，再利用直线和抛物线相切的条件，使得解题的运算量变大．
求直线方程
例 求过曲线x y cos =上点??? ??21
,3πP 且与过这点的切线垂直的直线方程．
分析：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P 处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程．
解：x y cos =Θ，∴.sin x y -=' 曲线在点??? ??21,3πP 处的切线斜率是.2
33sin 3-=-='=ππx y
∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为
32， ∴所求的直线方程为??? ?
?-=
-33221πx y ， 即0233232=+--πy x ． 说明：已知曲线上某点的切线这一条件具有双重含义．在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y '是否为零，当0='y 时，切线平行于x 轴，过切点P 垂直于切线的直线斜率不存在．
求曲线方程的交点处切线的夹角
例 设曲线21x y =和曲线x
y 1=在它们的交点处的两切线的夹角为α，求αtan 的值． 分析：要求两切线的夹角，关键是确定在两曲线交点处的切线的斜率．根据导数的几何意义，只需先求出两曲线在交点处的导数，再应用两直线夹角公式求出夹角即可．
解：联立两曲线方程?????==--12x
y x y 解得两曲线交点为（1，1）． 设两曲线在交点处的切线斜率分别为21k k 、，则
.111,221121213121-=-='??
? ??=-=-='??? ??=====x x x x x x k x x k 由两直线夹角公式
.3
1)1()2(1)1(21tan 2121=-?-+---=?+-=k k k k α 说明：探求正确结论的过程需要灵巧的构思和严谨的推理运算．两曲线交点是一个关键条件，函数在交点处是否要导也是一个不能忽视的问题，而准确理解题设要求则是正确作出结论的前提．
求常函数的导数
例 设2π=y ，则y '等于（ ）
A ．π2
B ．2π
C ．0
D ．以上都不是
分析：本题是对函数的求导问题，直接利用公式即可
解：因为π是常数，常数的导数为零，所以选C ．
(完整版)函数图象变换及经典例题练习
函数图象变换 1、平移变换（左加右减上加下减）： y=f(x)h 左移→y=f(x+h); y=f(x)h 右移→y=f(x -h); y=f(x)h 上移→y=f(x)+h; y=f(x)h 下移→y=f(x)-h. 2、对称变换： y=f(x) 轴x →y= -f(x); y=f(x) 轴y →y=f(-x); y=f(x) 原点 →y= -f(-x). y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x); y=f(x) x y =→直线y=f -1(x); 3、翻折变换： （1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方， 去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； （2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左 边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． 4、伸缩变换： y=f(x)ω?→x y=f(ωx ); y=f(x)ω ?→y y=ωf(x). 经典题型：作已知函数的图像、知式选图或知图选式、图像应用 例1．函数1 11--=x y 的图象是（ ） 答案B 例2．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，)]()([2 1)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有（ ） 答案A
例3、利用函数x x f 2)(=的图象，作出下列各函数的图象： （1）)1(-x f ；（2）|)(|x f ；（3）1)(-x f ；（4）)(x f -；（5）.|1)(|-x f 例4已知0>a ，且≠a 1，函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的（ ） 答案B 例5函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右上，则函数)(x f y =·)(x g 的图象是（ ） 答案A 例6 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )． A ．10个 B ．9个 C ．8个 D ．1个 解析：画出两个函数图象可看出交点有10个．答案 A
高中数学导数及微积分练习题
1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，
底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.
高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数
求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常
见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果． 求函数的导数 例 求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。 分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．
综合题：高一数学函数经典习题及答案
函 数 练 习 题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x =+-++-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =
6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数
高中数学导数经典习题
导数经典习题 选择题： 1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时， (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度 B ．9.8/m s 是在1～（1+t ?）s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ?）s 这段时间内的平均速度 D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是（ ） 4．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)( x f y =在这点取极值的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件 5．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（ ） A ．()f x =()g x B ．()f x -()g x 为常数函数 C ．()f x =()0g x = D ．()f x +()g x 为常数函数 6.. 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 7. 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞Y B ．]3,3[- A x D C x B
导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案
导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明：
（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，
高中数学经典例题错题详解
高中数学经典例题、错 题详解
【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M到N的映射是（） M N A M N B M N C M N D 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应） 映射与函数的区别与联系： 函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。 映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射方向性 上题答案应选 C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。 本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。 【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B 中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素 【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（） 【分析】如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A到集合B的映射共有n m 个；集合B到集合A的映射共有m n个，所以答案为23=9；32=8 【例4】若函数f(x)为奇函数，且当x﹥0时，f(x)=x-1,则当x﹤0时，有（） A、f(x) ﹥0 B、f(x) ﹤0 C、f(x)·f(-x)≤0 D、f(x)-f(-x) ﹥0 奇函数性质： 1、图象关于原点对称；? 2、满足f(-x) = - f(x)?； 3、关于原点对称的区间上单调性一致；? 4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0；? 5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）
高中数学函数经典复习题含答案
《函 数》复习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111y x x = +-+ -2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数 1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞U D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数
(完整)高中数学导数典型例题
高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）极值的求法与极值的性质 （2）由导数求最值 （3）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解：（1）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 （2）草图——讨论 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2 g x f x '=． （1）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明：3()2 f x ≥． 解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难 分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人，我也没做出来 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 解：讨论点x=1/e 1/e 高中数学习题库（50道题另附答案） 1.求下列函数的值域： 解法2 令t＝sin x，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵|sin x|≤1, ∴|t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值． 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。 2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4 万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和，求该慧星与地球 的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的 方程为122 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π 时，由椭圆的几何 意义可知，彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得????? ??+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2 万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识 经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 高中数学典型例题分析 第八章 平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。 记作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。 记作a -b 。 7.实数与向量的积： （1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。 另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理： 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 专题8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,2 t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x 新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析 ◆ 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不 可能事件( impossible event ) ? 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 ? 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P ② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件 ()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和 ? 古典概率（Classical probability model ）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n 1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n m A P = ? 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点， 记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ()的侧度 的侧度D d A P = （ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ） 几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。 互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件 § 1.2.1 函数的概念 ¤知识要点： 1. 设 A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y = f (x) ， x A ．其中， x 叫自变量， x 的取值范 围 A 叫作定义域，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合 { f ( x) | x A} 叫值域 . 2. 设 a 、b 是两个实数，且 a 高中数学经典题型50道(另附详细答案)
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