中学几何计算题的有效教学研究
几何教学中如何培养学生基本解题能力的研究
行使用 ， 有 时也 会 根 据 具 体 图 形加 入 一 些 自己急 需 要 的 条件 。
３ ． 不 会变 通
所 谓 不 会 变 通 就 是 指 学 生 在 解 题 时 一 般 都 是 从 正 面 去考
识点进行分析和判断 ， 对 相 交线 和平 行 线 的知 识 点 有 一 个 深 入 的理 解 和 掌 握 。 ３ ． 培 养 学 生 的创 新 思 维 创 新 思 维 是 当代 教 学 强 调 的重 点 ， 教 师 的 一个 教 学 任 务 就 是要 培养 学 生 的创 造 性 思 维 ， 锻 炼 其 创新 能力 。创 新 思 维 的 提 高， 可 以有 帮 助 学 生 提 升 基 本 的 解 题 能 力 。 学 生创 新 思 维 的 培 养 可 以 从 以下 几 个 方 面 加 以展 开 ：适 当 的 营 造 创 新 的教 学 氛 围， 如利用几何的魅力 、 有 关 数 学 家 的研 究 趣 事 等 ， 勾 起 学 生 的
【 中图分类号】 Ｇ６ ３ ３ ． ６
一
【 文献标 识码 】Ａ
【 文章编号 】 １ ６ ７ １ — ８ ４ ３ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ — ０ ０ ４ ８ — ０ １
并 把 自己 的想 象 用 几 何 分 解 图 的形 式 画下 来 ， 之后 再 进 行 展 开 立方体的手动操作 ， 验 证 自 己 的想 象 是 否 正 确 ， 促 使 喧 声 提 升
的 了解 和掌 握 空 间观 念 的特 征 和作 用 ． 并 在 此 基 础 上 对 学 生 进 行 空 间 观 念 的培 训 ， 为培 养 学 生 的创 新 思 维 打下 坚 实 的基 础 。 空 间观 念 主 要 体 现 在 以下 几 个 方 面 ： 能 够 通 过 实 物 的 形 状 想 象 出来 几 何 图 形 ，通 过 观 察 和 分 析 几 何 图形 想 象 得 出实 物 的 形
《初等几何研究》课程教学策略探究
通过 调查 发现 ， 大多数的学生认识不到《 初等几 何研究》
课 程的重 要性 ， 认为此课程相对于数学教育 中的其他专业课
程来说 比较简单 ， 生不 费多大劲 就可 以看懂 教材 ， 学 听不 听
为初等几何的 内容 自己中学已经学 过了 ， 无需再搞什 么复 习
课无所谓 ， “ 等特点 ” 其 初 引发不 了学 习的动机 ； 再有 的认 为
研究 。有了这种错误认 识 ， 习中就糊 里糊 涂地应 付 ， 不 学 弄
清学什么 ， 也不知道怎样学 。从 教后又普 遍感到几何 专业知 识不足 ， 中学几何教材把握的度拿捏 不准。这 门课 的任课 对 教师也深感课难上 、 作业难改 ， 抓不 住学生学 习的心理 ， 提不
一
、
《 初等几何 研究》 教学现状
三、初等几何研 究》 《 教学策略
１ 注重学 生的学习心理 ， ． 激发学习兴趣
《 初等几何研究》 是高师数学教育专业 的一 门重要课 程。 作为“ 培养从教能力 ” 的最直接 的数学 教育专 业主干课 的一 个重要分支 ，初等几何研究》 程一直处于一种十分尴 尬境 《 课
意识问题， 面对《 初等几何研究》 的教学现状 ， 改进教学策略
十分必要。
总之， 兴趣是一种最基本的内在学习动机， 对数学的学
习尤其重 要 ， 由于数学 自 身特点 ， 在漫长的学 习过 程 中， 动机
［ 收稿 日期］ ｏ ８ ０ — ５ ｚｏ — ６ ０ ［ 作者简介］ 赵 春 （９ ３ ， ， １６ 一） 男 江苏徐州人 ， 州工程学院副教授。 徐
改革 。
二、 初等 几何研究》 学目标 《 教 高 师院校数学教育专 业开设 《 初等 几何研 究》 这门课 程
几何解题研究的方法与思考——以一道中考试题为例
几何解题研究的方法与思考——以一道中考试题为例胡坚波收稿日期：2020-09-23作者简介：胡坚波（1981—），男，中学一级教师，主要从事初中数学课堂教学研究.摘要：解题教学是必不可少的一种课堂教学形式，教师解题研究的能力直接影响到学生对问题理解的深度.教师只有掌握了解题研究的一般方法，才能在课堂中引导学生抓住问题的本质，从而优化解法，并进一步带领学生发现问题、提出问题、解决问题，进而得到一般性的结论，最终提高学生的解题能力、培养学生的数学学科核心素养.文章以2020年中考浙江杭州卷第14题的研究为例，谈谈几何解题研究的一般方法．关键词：中考试题；解题研究；一般方法中考试题的命制往往有其意义，一道看似不起眼的试题，其中很可能蕴含着丰富的内容.如果继续探究下去，或许就能发现试题背后隐藏的深意，从而体现解题的育人价值.本文以2020年中考浙江杭州卷第14题为例，谈谈应该怎样进行几何解题的研究.题目（2020年浙江·杭州卷）如图1，已知AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，连接AC ，OC.若sin ∠BAC =13，则tan ∠BOC 的值为.COAB图1作为填空题的第4道题，试题本身不难，主要考查了三角函数的相关知识.不妨设BC =1，则AC =3.解得AB =22，OB =2.则tan ∠BOC作为填空题，此题的求解到这里就结束了，但是作为解题研究，现在才刚刚开始.一、获得研究对象研究图形要抓住图形的本质，为了更容易抓住本质，几何研究要做减法，即去掉非关键因素.此题中，可以隐去圆，那么题目条件等价于“如图2，∠ABM =90°，点C 在射线BM 上，O 是AB 的中点”.观察图形的结构，不难发现，若点C 的位置确定了，则整个图形的形状就随之确定，即∠BOC ，∠BAC ，∠ACO ，∠BCO 的度数也随之确定.原试题就是在确定的条件下进行的定量研究，而研究图形变化过程中的规律性也是几何研究的常见问题.在图2中，当点C 的位置变化时，∠BOC ，∠BAC ，∠ACO ，∠BCO 的大小也随之改变.当点C 从点B 向射线BM 的方向移动时，容易发现∠BOC 和∠BAC 的度数变大，∠OCB 的度数变小，但无法很快确定∠ACO 的变化情况.接下来，我们进一步探究∠ACO 的变化情况.CO ABM 图2··56二、借助技术获得初步猜想几何问题的研究一般要经历画图、测量、计算、猜想、证明的过程.几何画板软件为我们画图、测量、计算提供了很好的辅助.利用几何画板软件对复杂的问题进行初步研究、获得猜想，是常见的研究起点.利用几何画板软件，发现当点C 从点B 向射线BM 的方向移动时，∠ACO 的度数先变大后变小，且∠ACO 取到的最大值约为19.47°（如图3）.进一步计算，发现此时sin ∠ACO ≈0.33.∠OCA =19.47°∠CAO =35.58°sin∠OCA =0.33M ABCO图3猜想：如图3，当∠ABM =90°，点O 是AB 的中点时，射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，此时sin ∠ACO ＝13.三、从“数”的角度验证猜想通过利用几何画板软件进行探究，发现点C 的位置决定了∠ACO 的大小，而点C 的位置可以用BC 的长度来刻画，所以继续探究的思路是用BC 的长度表示sin ∠ACO.为了研究方便，不妨设AB =2，BC =x ，根据勾股定理，得OC 2=1+x 2，AC 2=4+x 2.因为S △ACO =12AC ·OC ·sin ∠ACO =12AO ·BC ，所以sin ∠ACO =x x 4+5x 2+4=14因为x 2＋4x 2≥4，所以当x 2=4x 2，即x =2时，x 2＋4x 2的最小值为4.所以得到sin ∠ACO ≤13，即当BC =2时，sin ∠ACO 取最大值13，猜想得证.四、从“形”的角度验证猜想前面我们从“数”的角度验证了猜想，接下来我们从“形”的角度来思考.抓住变化过程中不变的关系是研究几何问题的常用方法.进一步观察图形，我们发现当点C 的位置发生改变时，∠ACO 所对的边AO 的长度始终没有发生变化.即角度在变，角度所对的边不变.这让我们联想到了圆中同弦所对的角.构造过A ，C ，O 三点的⊙D.如图4，若⊙D 与射线BM 相交，设另一个交点为点E.在线段CE 上任意取一点F （除点C ，E 外），连接AF ，OF ，根据圆内角大于同弧所对的圆周角，可得∠AFO ＞∠ACO.故可知此时∠ACO 的度数并没有取得最大值.图4图5如图5，若⊙D 与射线BM 相切于点C ，在射线BM 上任意取一点G （除点C 外），连接AG ，OG ，根据圆外角小于同弧所对的圆周角，可得∠AGO ＜∠ACO.故此时∠ACO 取到最大值，于是得到第一个有价值的结论.结论1：∠ACO 取到最大值的充要条件是过A ，C ，O 三点的⊙D 与射线BM 相切.接下来，求此时∠ACO 的正弦值及BC 的长.可以沿用前面的解题思路，分别求出线段AO ，OC ，AC ，BC 的长度，再利用△ACO 的面积求解.解法1：如图6，连接DC ，AD ，作DH ⊥AO.H O ABCDM图6不妨设AO =BO =1，则AH =OH =12，BH =32.因为⊙D 与射线BM 相切于点C ，所以DC ⊥BC.因为∠B =90°.··57所以四边形BCDH为矩形.所以AD=DC=BH=32.在Rt△ADH中，由勾股定理，得DH=2.所以BC=DH=2.由勾股定理，得OC=3，AC=6.由S△ACO=12AC·OC·sin∠ACO=12AO·BC，代入解得sin∠ACO=13.显然，求解过程还是有些复杂，不妨进一步思考，此图形还有什么特殊性可以应用？从圆的视角看，⊙D与射线BM相切，∠ACO为圆周角，解法豁然开朗.解法2：利用圆周角定理，可以转化到圆心角进行求解，可得∠ADH=∠ACO.所以sin∠ACO=sin∠ADH=AHAD=13.利用圆幂定理，可得BC2=BO·BA.解得BC=2.解法2抓住了问题的本质，解法也更优化、更简洁.“数”和“形”两种思考方法都能验证猜想，可见这也是我们解决几何问题的一般思路.对比两种思路，从“数”的角度思考，往往需要设未知变量，再利用勾股定理、相似、面积关系、三角函数等，列出未知变量与所求量之间的关系，然后用代数的方法求解；从“形”的角度思考，往往需要根据图形的结构，抓住图形中不变的关系，构建出几何模型，再根据图形性质求解.用“数”的方法容易想到，但计算较复杂；用“形”的方法比较直观，计算也相对简单，但是要弄清楚几何模型结构有一定的难度，需要的知识综合度高，也需要一定的逻辑推理.数形结合的思想方法在教学中有其育人价值，在解题教学中我们应让学生经历基本的活动经验，这样才能培养学生必需的基本数学思想.五、追本溯源其实，本问题在数学史中已经存在，称为“米勒问题”.德国数学家米勒于1471年提出“塑像问题”：有一个高a米的塑像立在一个高b米的底座上，一个人朝它走去（人的高度忽略不计），问此人应站在离塑像底座多远的地方，才能使塑像看上去最大（即视角最大）？根据题意画出图形，如图7，AO为雕像，BO为底座，点C表示人，求∠ACO最大时，BC的长.ABO图7这与我们研究的问题非常相似，只是点O的位置不再是中点，这为我们进一步研究问题提供了思路，即可以改变图形的条件，使之更具一般性，进而获得一般性的结论，这是我们进一步研究几何问题的方向.六、改变条件进一步探究1.改变点O的位置受“米勒问题”的启发，我们可以改变点O的位置，使之一般化，为了研究的连贯性，不妨设AB=2，AO=n（0＜n＜2），这样点O在线段AB上就具有一般性了，本质上与“米勒问题”是等价的.因为结论1与点O在线段AB上的位置无关，所以结论1仍成立.如图8，当⊙D与射线BM相切于点C时，∠ACO取得最大值.此时，易得AH=n2，DC=BH=2－n2.所以AD=DC= 2－n2，sin∠ACO=sin∠ADH=AH AD=n4-n.根据圆幂定理，得BC=BO·BA=4-2n.显然当n=1，即点O是AB的中点时，sin∠ACO的最大值为13，此时BC=2.但是这只是其中的一种特殊情况，于是得到第二个有价值的结论.HOA BCDM图8··58结论2：如图8，设∠ABM =90°，AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），则在射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，且此时sin∠ACO =n 4-n，BC =4-2n.2.改变∠ABM 的大小此题条件里动点C 所在的射线BM 与AB 垂直，显然条件中的位置比较特殊.若从这个角度改变条件，当射线BM 与AB 不垂直，即∠ABM ≠90°时，相当于“米勒问题”中的雕像及底座与地面不垂直时，那么结论2是否仍成立？因为∠ABM ≠90°，所以四边形DCBH 不再是矩形，即DC ≠BH.求半径的解法相应会有所改变，猜想sin ∠ACO 的值与∠ABM 的度数有关.因为结论1与∠ABM 的大小无关，所以结论1仍然成立.∠ACO 取到最大值时，过A ，C ，O 三点的⊙D 与射线BM 相切，故圆幂定理仍然适用，所以BC =BO ·BA =4-2n.所以可得第三个有意义的结论.结论3：设∠ABM =α（0°＜α＜180°），AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），则射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，且此时BC =4-2n ，sin ∠ACO 的值与∠ABM 的度数无关.接下来，求sin ∠ACO.因为∠ABM 有锐角和钝角两种情况，所以要分两种情形分类进行研究.情形1：如图9，当0°＜α＜90°时，⊙D 与射线BM相切于点C.根据前面的猜想sin ∠ACO 会与α有关，为了将α用上，所以考虑作垂线构造直角三角形.作DH ⊥AO 于点H ，BE ⊥AB 交DC 的延长线于点E ，作DF ⊥BE 于点F.M O AB CD EF GH图9易证∠CBE =∠EDF =90°-α，DF =BH =2-n 2.所以DE =DF cos ()90°－α=4-n 2sin α，CE =BC ·tan ()90°－α=4-2n ·tan ()90°－α，AD =DC =DE -CE =4-n 2sin α-4-2n ·tan ()90°－αsin∠ACO =sin∠ADH =AH AD =n sin α4-n -24-2n cos α.情形2：如图10，当90°＜α＜180°时，⊙D 与射线BM 相切于点C.同样作DH ⊥AO 于点H ，作BE ⊥AB 交DC 于点E ，作DF ⊥BE 交BE 的延长线于点F.H A B CDOEF M图10易证∠CBE =∠EDF =α-90°，DF =BH =2-n 2.所以DE =DF cos ()α－90°=4-n 2sin α，CE =BC ·tan ()α-90°=4-2n ·tan ()α-90°，AD =DC =DE +CE =4-n 2sin α＋4-2n ·tan()α-90°sin∠ACO =sin∠ADH =AH AD 发现两种情形最后结果的表达式是一致的，而把α=90°代入，得sin∠ACO =n 4-n.与之前的计算结果一致，可见角度在变，结果的表达式不变，得到了变化过程中不变关系的本质，于是得到了问题的一般性结论.结论4：设∠ABM =α（0°<α<180°），AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），则射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，且此时BC =4-2n ，sin∠ACO =3.当射线BM 改为直线BM 时，相当于“米勒问题”中人可以站到雕像的背面进行观察.如图11，当点C 在直线BM 上移动时，由前面的研究可知，当点C 在射线BM 1和BM 2上时，分别有一个点C 1和点C 2，使得∠AC 1O 和∠AC 2O 在各自的射线上取到最大值，那么∠AC 1O 和∠AC 2O 哪个更大一些呢？显然，当BM ⊥AB 时，BC 1=··59BC 2，由对称性可知∠AC 1O =∠AC 2O.当BM 与AB 不垂直时，不妨设∠ABC 1=α（0°<α<90°），则∠ABC 2=180°-α.根据结论4，可以得到sin ∠AC 1O =sin ∠AC 2O =因为0<cos α<1，所以sin ∠AC 1O ＞sin ∠AC 2O.所以∠AC 1O ＞∠AC 2O.得到结论5.M 2OAB MC 1C 2M 1图11结论5：如图11，当点C 在直线BM 上时，设AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），如果直线BM 与线段AB 所成的较小的夹角为∠ABM 1（0°＜∠ABM 1≤90°），则点C 一定在射线BM 1上，使得∠ACO 取到最大值，且此时BC =4-2n ，sin∠ACO =七、解后思考回顾整个研究过程，通过图形的变化将一个确定的图形变为不确定的图形，从而获得研究对象.而对于变化中规律的研究，入手比较难，这时信息技术为化解难点提供了帮助.借助几何画板软件，不仅能方便地展示图形变化的过程，而且可以通过教师有意识地控制帮助学生观察影响变化的要素及其关系，从而获得初步的猜想.接着，从“数”和“形”两个角度验证了该猜想，进一步体会到几何问题在“数”和“形”上的统一，体会到数形结合思想在解题中的重要作用.在引出“米勒问题”后，通过进一步改变条件——点的位置变化、角度的大小变化、射线变为直线等，发现了在条件变化过程中不变的结论.通过这样的解题教学研究可以让学生进一步体会到研究几何问题的一般方法——从简单到复杂，从特殊到一般.整个研究过程，具备学习素材的真实性，问题的开放性，学习过程的探索性，学习手段的操作性，探索过程的动态化、可视化，学习体验的形象化、可表达，学习结果的创造性.这些都有利于在今后的学习中，提高学生发现问题和解决问题的能力，进而实现几何解题教学的育人价值.参考文献：［1］王红权.“高考真题分析”习题课的教学实践与思考［J ］.中小学数学（高中版），2015（4）：20-23.［2］章建跃.研究三角形的数学思维方式［J ］.数学通报，2019，58（4）：1-10.··60。
初中数学几何变换思想的教学策略的研究
初中数学几何变换思想的教学策略的研究1. 引言1.1 研究背景初中数学几何变换是中学数学学科中的重要内容之一，涉及到平移、旋转、对称和放缩等多种变化方式。
这些数学几何变换的概念和分类对于学生的数学思维能力和几何直觉的培养具有重要意义。
在实际的教学中，许多教师和学生在理解和应用数学几何变换时遇到了困难，教学效果并不理想。
有必要对初中数学几何变换的教学进行深入研究，寻求有效的教学策略，提高学生对几何变换的理解和应用能力。
本研究旨在探讨初中数学几何变换的教学策略，分析常见题型，提供实例分析，以期能够为中学数学教学提供一定的借鉴和参考。
通过对数学几何变换的教学策略进行系统研究，不仅可以促进学生的数学学习兴趣，提高学习效率，还可以培养他们的数学思维能力和解决问题的能力，为其今后的学习和发展奠定良好的基础。
1.2 研究目的研究目的是为了深入探讨初中数学几何变换思想的教学策略，帮助教师更好地掌握如何有效教授这一内容。
通过研究，我们希望能够总结出一套科学可行的教学方法，使学生能够更快更深入地理解数学几何变换的概念，并能够灵活运用于解决实际问题。
我们也希望通过这项研究，进一步提高学生对数学几何变换的学习兴趣，使其对数学学习产生更多的自信和乐趣。
通过本研究，我们也希望能够为未来的教学改革提供一定的借鉴和参考，促进我国数学教育水平的提升。
1.3 研究意义数达到要求了吗，是否还需要继续添加内容等。
【研究意义】部分的内容如下：数学几何变换作为数学的重要分支之一，在教学中扮演着至关重要的角色。
通过对初中数学几何变换的教学策略进行深入研究，不仅可以帮助教师更好地掌握如何有效地传授这一知识点，提高教学效果，也可以帮助学生更好地理解和应用几何变换的概念，提升他们的数学思维能力和解题能力。
通过教学策略的探讨和实例分析，可以为教师提供更多灵活多样的教学方法，丰富教学手段，激发学生学习数学的兴趣，提高教学效率。
对初中数学几何变换的教学策略进行研究，也有助于促进教育教学改革和提高教学质量，推动数学教育的现代化发展。
以简驭繁，_初中数学几何模型教学的探索——以一道广州中考题复习教学设计为例
数学学习与研究㊀２０２３ １３以简驭繁初中数学几何模型教学的探索以简驭繁，初中数学几何模型教学的探索㊀㊀㊀ 以一道广州中考题复习教学设计为例Һ李嘉敏㊀（广州市荔湾区西关广雅实验学校，广东㊀广州㊀５１０１６０）㊀㊀ʌ摘要ɔ几何教学是初中数学教学的重点和难点，在几何教学中逐步归纳出来的几何模型是帮助学生解决几何难题的有效工具．从复杂的图形中抽离出简洁的几何模型，便能直观形象地得到图形性质，从而解决问题．文章中，笔者结合一道广州中考原题，针对其隐含的几何模型进行了分析和梳理，并提出几点反思意见，旨在为广大教育工作者提供教学参考．ʌ关键词ɔ几何模型教学；数学建模；核心素养数学教育的目标可分为显性目标与隐性目标两种，显性目标一般指具体的数学知识内容，‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“中的数学学科核心素养属于隐性目标．数学教学除了传授知识外，还要促使学生的理性思维得到良好发展．教师在教学中要引导学生在复杂的几何图形中抓住解题的关键要素，抓住问题的主要特征，忽略次要因素，找出清晰简洁的解题模型，化繁为简㊁以简驭繁．以下是笔者对一道广州中考原题隐含的几何模型的分析，以及利用该题进行专题复习的教学设计．一㊁对 共顶点㊁等线段 旋转模型的分析共顶点㊁等线段 旋转模型（也称 手拉手模型 ）是指已知条件中出现两条线段有公共端点，且它们的长度相等，此时用图形变换的眼光去看，可以理解为其中一条线段绕着它们的公共端点旋转可以得到另一条线段．那么如果把其中的一条线段放在一个封闭图形（如三角形）中考虑，可看作把该线段所在封闭图形绕着线段的公共端点旋转得到另一个与之全等的封闭图形，通过旋转，既可改变线段之间相对的位置关系，也可得到新的图形性质．二㊁基于 共顶点㊁等线段 旋转模型的教学设计（一）题目呈现如图１所示，☉Ｏ为等边三角形ＡＢＣ的外接圆，半径为２，点Ｄ在ＡＢ(上运动（不与点Ａ，Ｂ重合），连接㊀图１ＤＡ，ＤＢ，ＤＣ．（１）求证：ＤＣ是øＡＤＢ的平分线．（２）四边形ＡＤＢＣ的面积Ｓ是线段ＤＣ的长ｘ的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由．（３）若点Ｍ，Ｎ分别在线段ＣＡ，ＣＢ上运动（不含端点），经过探究发现，点Ｄ运动到每一个确定的位置，әＤＭＮ的周长有最小值ｔ，随着点Ｄ的运动，ｔ的值会发生变化，求所有ｔ值中的最大值．（二）教学分析１．考题来源㊀图２考题的基本图形源于人教版九年级上册教材９０页第１４题，原题如下：如图２，Ａ，Ｐ，Ｂ，Ｃ是☉Ｏ上的四个点，øＡＰＣ＝øＣＰＢ＝６０ʎ，判断әＡＢＣ的形状，并证明你的结论．对比分析可知，中考题的第（１）问把教材中题目的题设和结论调换了位置，把已知 角平分线 得出 等边三角形 ，改成了已知 等边三角形 求证 角平分线 ，考查层次并未明显加深．２．考点和学情分析本题考查了圆周角定理㊁等边三角形性质㊁圆内接四边形性质㊁旋转的应用㊁轴对称的应用㊁解直角三角形等知识，是一道对数学综合能力要求较高的题目．初三的学生已经系统完成了初中阶段所有新课学习，掌握了初中平面几何中常用的图形定义㊁性质和判定知识，也对常见模型有一定了解，但对几何模型的应用还不够灵活，遇到综合题时不能迅速地根据条件联想构建几何模型来解决问题．（三）教学过程１．问题展示，揭示课题课件展示本文 题目呈现 中的题目．设计意图：让学生关注中考考题动向，并认识到数学学习与研究㊀２０２３ １３几何模型在解题中的作用．２．合作探究，解决问题问题１㊀（改编题）如图３所示，☉Ｏ为等边三角形ＡＢＣ的外接圆，半径为２，点Ｄ在ＡＢ(上运动（不与点Ａ，Ｂ重合），连接ＤＡ，ＤＢ，ＤＣ，则ＤＣ是øＡＤＢ的平分线．探究ＤＡ，ＤＢ，ＤＣ三者之间的数量关系，并证明你的结论．图３思维流程图（如图４㊁图５）：图４图５图６㊀图７㊀图８图９㊀图１０解法分析：从题目条件分析，条件中给出等边三角形ＡＢＣ，则有等边三角形的三条边相等，所以有 共顶点㊁等线段 条件出现，例如线段ＣＢ和线段ＣＡ就有公共端点Ｃ，且它们长度相等，可以认为线段ＣＢ能由线段ＣＡ绕点Ｃ逆时针旋转６０ʎ得到，这给解题提供了相对明显的提示，通过构造旋转模型来转换目标线段ＤＡ与ＤＢ的相对位置，从而在新图形中得到更多的几何关系来解决问题．如解法１，将әＡＤＣ绕点Ｃ逆时针旋转６０ʎ，得到әＢＨＣ．由圆内接四边形ＡＤＢＣ可得øＤＡＣ与øＤＢＣ互补，再由旋转前后图形全等可得øＨＢＣ与øＤＢＣ互补，证得Ｄ，Ｂ，Ｈ三点共线，进而得出等边三角形ＤＣＨ，最后通过线段间的等量代换得出结论．解法２ ４的解题思路与解法１大致相同，但值得注意的是，解法３和解法４中图形旋转后点Ｄ的对应点在线段ＤＣ上，需要推理证明．从另一个角度分析，本题还有一个重要条件是 ＤＣ是øＡＤＢ的平分线 ，可联想构造角平分线模型来解决．解法５中，易证得әＤＰＣɸәＤＱＣ和ＲｔәＡＰＣɸＲｔәＢＱＣ，ＤＡ＋ＤＢ＝ＤＰ＋ＤＱ＝２ＤＰ，再通过含３０ʎ角的ＲｔәＤＰＣ可得斜边ＤＣ＝２ＤＰ＝ＤＡ＋ＤＢ．本题还可从结论入手分析．题目要求先猜想线段长度关系再求证结论，通过有目的性地测量可以猜想本题目标是求证 ＤＡ＋ＤＢ＝ＤＣ ，此外显然指向了截长补短模型，解法６的四种构造方法，均是解决线段和差关系的常用方法．设计意图：启发学生突破解题难点，合理猜想，构造几何模型形成解题思路，通过师生合作探究，让学生学会辨析条件与结论．与此同时，利用问题１为解决中考原题做好铺垫．３．回归考题，突破难点问题２㊀问题１中，四边形ＡＤＢＣ的面积Ｓ是线段ＤＣ的长ｘ的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由．数学学习与研究㊀２０２３ １３思维流程图（见图１１）：图１１解法分析：对比问题１和２，题目已知条件一样，只是待求证的结论发生了变化，求解内容层次更深．在解决问题１的基础上，若利用题目条件作为切入点，则可以通过构造 共顶点㊁等线段 的旋转模型得到图６ 图１０不同的辅助线添加方法．若利用线段ＣＢ与线段ＣＡ这对 共顶点㊁等线段 作为切入点，则可像解法１或解法２那样构造辅助线，此时四边形ＡＤＢＣ的面积可转化为等边三角形ＤＨＣ或等边三角形ＤＧＣ的面积，解等边三角形就可以得出边ＤＣ与面积的关系，即Ｓ＝３４ｘ２，再结合 圆中最长弦是直径 这一知识点，可得Ｓ与ｘ对应的函数关系式为Ｓ＝３４ｘ２（２３＜ｘɤ４）．若解题时选取的 共顶点㊁等线段 为ＡＢ和ＡＣ（或ＢＡ和ＢＣ），运用旋转模型构造辅助线后，虽然能得到ＤＡ＋ＤＢ＝ＤＣ，但是并不能实现一般四边形面积的转化，此时需用割补法把四边形ＡＤＢＣ的面积分割成两个三角形的面积．由于题目要求找出面积Ｓ与线段ＤＣ长ｘ之间的函数关系，所以通常会利用ＤＣ把四边形ＡＤＢＣ分割成әＡＤＣ和әＢＤＣ两部分，并以ＤＣ㊀图１２为底构造两个三角形的高线，如图１２，利用含３０ʎ角的ＲｔәＤＡＬ和ＲｔәＤＢＫ可得，ＡＬ＝３２ＤＡ，ＢＫ＝３２ＤＢ，故Ｓ＝１２ＤＣ㊃３２ＤＡ＋１２ＤＣ㊃３２ＤＢ＝３４ＤＣ２．与问题１的分析角度类似，本题也可利用ＤＣ是角平分线作为解题切入点，构造角平分线模型（如图１０），将四边形ＡＤＢＣ的面积转换成两个全等的含３０ʎ角的直角三角形的面积和．设计意图：在问题１的基础上进一步引发思考，回归中考原题，引导学生从不同角度思考条件和结论，利用一题多解让学生明白题目背后隐藏的深层次问题和结论，培养学生从复杂图形中分离不同几何模型的能力，提升学生逻辑推理㊁数学建模㊁直观想象等核心素养．４．变式应用，突破自我结合上述问题解析过程中的几何模型，改变题目条件和结论，引导学生对比分析题目异同，帮助学生灵活应用．㊀图１３问题３㊀如图１３，点Ｃ为әＡＢＤ的外接圆上的一动点（点Ｃ不在ＢＡＤ(上，且不与点Ｂ，Ｄ重合），øＡＣＢ＝øＡＢＤ＝４５ʎ，ＢＤ是该外接圆的直径．若әＡＢＣ关于直线ＡＢ的对称图形为әＡＢＭ，连接ＤＭ，试探究ＤＭ２，ＡＭ２，ＢＭ２三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．思维流程图（见图１４）：图１４数学学习与研究㊀２０２３１３图１５㊀㊀㊀㊀图１６设计意图：紧扣中考热点压轴题，从４５ʎ和直径联想到等腰直角三角形，再联想到旋转模型，进行拓展训练，培养学生的审题能力，让其辨析题目中的条件和结论的特点，从而找出对应的几何模型，解决问题．５．模型总结，能力提高梳理本节课重点应用的模型以及涉及的模型（见表１）：表１模型名称旋转模型角平分线模型特殊直角三角形模型图形关键条件共顶点㊁等线段角平分线特殊角３０ʎ，４５ʎ等作法以等线段为边找三角形，以等线段的夹角为旋转角，把三角形进行旋转得到新的三角形．过角平分线上的点作两边的垂线段．解直角三角形．作用构造全等三角形，构造等腰三角形．构造全等三角形．求得线段长和角的度数．三㊁初中几何模型教学反思（一）要注重基本几何图形的积累，运用几何模型化繁为简图形是最直观的了解知识点之间联系的中介，教师在教学过程中通过画草图㊁逐步分解，可以强化数学视觉意象之间的关联性．学生掌握几何模型越熟练，他们在解决几何问题时就越容易快速筛选关键信息．对于几何难题，教师在教学过程中可把抽离出的模型单独板书呈现，要注意从复杂图形中抽离出基础几何模型，逐个击破．（二）要关注几何模型内在数学逻辑，以简驭繁几何模型可在一定程度上帮助学生便捷地构造出关键图形来解决问题，但教师在教学过程中不能简单地套用模型，必须揭示几何模型中蕴含的图形关系，以及解决数学问题的思维过程．教师可利用几何模型串联起多道难题，实现一 解 多题，统整知识网络，以简驭繁．另外，教师还可以通过变式教学来加强知识之间的渗透和迁移，激发学生的发散性思维，培养学生的思维灵活度．（三）几何教学要开放探究，培养多角度几何模型思维在问题情境不变的条件下，几何模型的思维定式能帮助学生应用已掌握的方法迅速解决问题，但在情境发生变化时，这种定式反而会妨碍学生寻找新的方法解决问题．要想消除思维定式的负面影响，教师在教学中就要注重发散学生思维，放大学生的想象空间，利用不同几何模型对题目进行剖析，培养学生多角度的几何模型思维．（四）提高学生画图㊁用图的能力数形结合 是数学解题中重要的思想之一，图形可以给予人们丰富的信息，对于解题往往可以起到事半功倍的效果．引导学生用图形展示解题思路，能把解题过程中复杂而繁多的条件直观地表示成已知条件和待求解结论，还能加深学生对几何模型的认识，培养学生的直观想象能力．ʌ参考文献ɔ［１］原晓萍．视觉思维理论在高中数学教学中的应用研究［Ｄ］．济南：山东师范大学，２０１２．［２］周伟萍．基于ＡＰＯＳ理论的初中数学几何模型教学的题组设计 以长方形模型为例［Ｊ］．中学数学，２０２１（０６）：１７－１８，２１．［３］马小飞．基于几何模型的初中数学教学设计与反思 以一道中考题复习教学为例［Ｊ］．中学数学研究（华南师范大学版），２０２０（１６）：３１－３４．［４］徐春凌．分析模型教学对于初中几何数学教学的意义［Ｊ］．数理化解题研究，２０２１（０２）：２５－２６．［５］李强．初中几何证明教学要注重 三个关注 ［Ｊ］．数学通报，２０２１，６０（０３）：２９－３２．。
初中几何教学中学生数学思维能力的培养策略与研究
初中几何教学中学生数学思维能力的培养策略与研究随着社会的发展和科技的进步，数学在我们生活中的作用越来越重要。
数学是一门抽象的科学，它不仅仅是研究数字和符号，更是一个完整的思维体系。
在数学的学习过程中，几何是一个非常重要的部分，它不仅可以培养学生的观察力、想象力和空间思维能力，还可以提高学生的逻辑思维和解决问题的能力。
而几何教学中如何培养学生的数学思维能力，是一个值得研究和探讨的问题。
一、培养数学思维能力的重要性数学思维能力是指人在解决数学问题时所需要的思维状态和思维方法。
培养学生的数学思维能力，是当前数学教学的重要目标之一。
数学思维能力是学习数学的基础，只有具备了数学思维能力，学生才能更好地理解和掌握数学知识，提高数学水平。
数学思维能力不仅对学习数学有帮助，还对学生的其他学科学习和日常生活中的问题解决能力有着积极的影响。
培养学生的数学思维能力具有重要的现实意义和教育意义。
1. 引导学生主动探究传统的几何教学方式往往是老师讲解、学生听讲，学生被动接受知识。
这种教学方式对学生的数学思维能力的培养并不利，因为学生没有参与缺乏独立思考和探索的机会。
应该改变教学方式，引导学生主动探究。
在几何教学中，老师可以提出一个问题，然后让学生自己去探索和发现解决问题的方法和过程，培养学生独立思考和解决问题的能力。
老师也要及时给予学生积极的引导和帮助，确保学生的探究活动能够取得成果。
2. 培养学生的直观思维能力几何是一门空间性很强的学科，学习几何需要有良好的空间想象能力和几何直观思维。
在几何教学中，老师应该注重培养学生的直观思维能力。
可以通过展示实物模型、使用多媒体教学等方式，帮助学生更直观地理解抽象的几何概念，培养他们的空间想象能力。
可以利用几何问题解决实际生活中的问题，让学生通过实际运用几何知识去解决问题，从而培养他们的直观思维能力。
3. 强化数学推理能力数学推理是数学思维中的重要部分，也是几何学习的重点内容。
在教学中，老师可以通过引导学生分析几何问题，并提出解决问题的方法和步骤，培养学生的逻辑推理和证明能力。
初中数学教学中学生几何直观能力培养的教学实践与反思——以“直线与圆的位置（1）”为例
教学·现场初中数学教学中学生几何直观能力培养的教学实践与反思———以“直线与圆的位置（1）”为例文|伍秀娟在新课改落实背景下，初中数学教师应重视对学生几何直观能力的培养。
教师应带着前瞻性思维与先进教学理念，围绕学生全方位发展需要，将枯燥知识转换为立体与直观的形式，确保与学生思维发展规律相符合，从而培养学生的几何直观能力。
因此，教师应探索多途径激活数学课堂，拓展渗透几何直观意识的途径，进行恰当的教学实践和积极反思，让学生在传统的数学课堂上碰撞出思维的火花。
基于此，文章以“直线与圆的位置（1）”为例，通过直观教学对学生视觉、听觉与触觉等多感官进行有效刺激，帮助学生快速吃透所学知识并创新运用知识去解决生活中的实际问题。
一、古诗引题，探究位置关系（一）创设意境，引入新知教师利用多媒体等设备播出《使至塞上》的古诗词视频，创设出塞外壮美的意境。
学生看到何为“长河落日圆”，感受太阳与地平线的关系。
教师：（1）这些自然现象和数学有什么关系呢？（2）你能发现数学问题吗？（3）你可以说出诗句中所描绘的几何图形吗？学生观察太阳落山的照片并开始思考位置变化情况，回答：直线与圆。
教师：你发现这个自然现象中直线与圆的关系有哪几种？学生：直线与圆的关系。
教师：现在我们来研究一下直线与圆的位置关系。
（设计意图：借助动态视频直观展现位置关系的变化情况，通过提问实现教师与学生互动，使得数学学习生活化、直观化，成功渗透几何直观意识。
）（二）引导启发，探究关系教师设计简单任务：（1）回顾边陲大漠的雄奇景象，在练习本上画一个圆，将直尺的上边缘视为地平线；（2）上下移动直尺，感受直尺的上边缘与圆之间的位置关系变化。
教师：（1）在移动过程中，直线与圆的位置关系发生了什么变化，可以分为哪几种？（2）你是如何分类的？请大胆说一说。
学生会从直线与圆的位置关系入手，说出直线与圆的公共点个数，开始初步形成直线与圆相离、相切与相交的概念。
教师随之布置下一个任务：绘制出直线与圆的不同位置关系，学生会根据公共点的多少完成绘制。
数学几何研究报告
数学几何研究报告
中学几何数学是一门比较抽象的学科，包括的空间和数量的关系，数形结合能够帮助学生将两者相互转化，使抽象的知识更便于理解学习。
研究中学几何问题的方法主要数形结合、化归思想、变换思想。
1、数形结合法
在中学几何学习中，数形结合的思想具有重要的作用，教师在教学中运用数形结合的思想，能够将几何图形用代数表示，并利用代数解决几何问题。
数形几何将几何图形与代数公式紧密结合，利用代数语言将几何问题简化，使学生容易解决问题，是几何教学中的核心思想。
例如，研究直线与圆的位置关系，跟进直线与圆的方程找到圆心的坐标，通过圆心到直线的距离d与圆半径之间的大小，来确定直线与圆的位置关系。
2、化归思想
化归思想是书序中普遍的一种思想，在中学几何教学中，教师常常运用这一思想。
基本方法就是将几何问题转为代数问题，利用代数只是解决问题后，在返回到几何中。
或者在对空间曲面进行研究时，将复杂的空间几何图像转化为学生熟悉的平面曲线，便于学生理解和解决。
3、变换思想
变换思想是将复杂问题简化的一种思想方法，变换思想运用时，一般仅改变数量关系和相关元素位置，为题的结构和性质没有变化。
在几何教学中，教师利用变换思想进行变换，实现二次方程的化简，能够通过方程运算准确的将方程所表示的图形展现出来，在降低学生学习难度的同时，也为用计算机研究几何图形性质等提供了依据。
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故选C
评注把AD、BP、QC、BC用含 的式子表示是解本题的关键，再利用三角形相似的性质得到线段成比例构造方程是常用的方法。
3.1.3利用面积关系构造方程
例3如图3，梯形ABCD中，AD∥BC,CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB于E,BE=2AE,若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为______.
Keyword
Geometric calculation problems;Geometry;Analysis;AnalyticGeometry
1.引言
几何计算题是中学数学的一个亮点，每一年的中考卷和高考卷上的几何计算题所占的比例都不低于总分的50%。卷子上的这些几何题有难有益，往往难度大的题占的分值也大，不过掌握了知识点及方法，再难的几何题也都迎刃而解了。
∠BAC= ，
∴正确答案应是 或 .
4.中学立体几何计算题
4.1空间向量在立体几何计算与证明的运用
在立体几何的线面关系中，对垂直、平行的论证，距离和角的求解以及面积、体积的计算，其解决的关键是对垂直关系的识别、判断、论证、巧用与挖掘，它需要学生具有较强的空间想象能力和逻辑思维能力，许多学生为此而感到困惑。新教材中空间向量的出现，为立体几何问题的解决提供了强有力的工具，尤其是法向量的引入，在很大程度上避开了思维的高强度转换和各种辅助线添加的难处，代之以空间向量的计算与证明，使思路变得顺畅，充分显示出其独特的优势。本节结合自己的学习经验，谈谈空间向量在立体几何中的运用。
①当AD+AB＜9( +1)时，△ABC是钝角三角形；
②当AD+AB＝9( +1)时，△ABC是直角三角形；
③当AD+AB＞9( +1)时，△ABC是锐角三角形；
∵AD+AB=20＜9( +1)，
∴这题说的三角形应是钝角三角行，正确的图形应是图10，接下来就跟上面的步骤一样，求出AD=8.
3.4.2思维定势的影响
几何计算题主要以以下三个方面为主：
①中学平面几何计算题；
②中学立体几何计算题；
③中学解析几何计算题。
2.几何的概念
几何是一门研究空间结构及性质的学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。
几何是一门逻辑性十分严谨的学科，它的严谨性突出在语言表述之上。对理解几何概念，识别几何图形，学会推理论证有着重要的作用。几何入门教学，首先就遇到几何语言和几何符号，正确掌握几何语言是学好几何的必备条件，也是进行正确的数学思维的关键。比如梯形的概念，它是这样定义的：“一组对边平行且不相等的四边形是梯形。”
3.2.1整体代换应用于角度计算
例1如图4，在△ABC中，O为内心，若∠A= ，求∠BOC的度数?
解：∵O为△ABC的内心
∴∠ABO=∠CBO,∠ACO=∠BCO
∴∠BOC= -(∠OBC+∠OCB)
= - (∠ABC+∠ACB)
= - ( -∠A)
= + ∠A
=
3.2.2整体代换应用于长度计算
例2如图5，AD、AE、CB是⊙O的切线，D、E、F分别是切点，已知AD=8，求△ABC的周长.
分析这题看似简单，只要求得
的值即可，怎么求呢？我们
不防用“整体思想解题”的方法来解。
解：由题意得，AB+BC+CD+DA
=86-2(AC+BD)
=86-4×13=34
∴AB+BC=17，两边平方得 ,又 + = =169,L两式相减得2AB·BC=120.
∴AB·BC=60( ).
∴矩形的面积是60 .
3.4平面几何计算题失根原因
高考和中考的数学卷中，常常有这么一类题，大部分的学生都在这里丢分，丢分的主要原因是解题不全，也就是所谓的“失根”。本节就来例说这类题型，让学生考虑问题更全面、不在这一块上丢分。
3.4.1忽视隐含条件
例1已知半径为9的⊙O内有一内接等腰三角行ABC，底边BC上的高AD与一腰的和是20，试求AD得长.
以上三个例子巧妙的运用等量关系列出方程，解出问题。在教学中，可以以这几个例子对学生进行讲解，在月末检测中适当的加一些类似的题目来加深学生对这一块知识的掌握。
3.2整体代换在几何计算题中的应用
在中学，整体代换是重要的数学代数思想。其特点是：求某一代数式的值时，由于式中各字母的取值不确定，故不Байду номын сангаас分别代值而求之；但这字母之间存在着联系，而又使它在整体上显示出值的确定性，故可将该代数式看作一个有机的整体，实施整体代换求解。这种解题思想在几何计算题中有着广泛的应用。
例1等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角度数为______.
解：如图11，∵CD= AC,
则∠A= .∴∠B= =
失根分析以上解法忽略了△ABC可能为钝角三角形，高在△ABC外部，这是思维定势的消极影响。平时画三角形的高，习惯上总是画锐角三角形的高，故其在三角形内部。
如图2，
∵CD= AC，
∴∠CAD= .∠BAC= = ，
解：∵BD=BF,CE=CF,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC
=AB+AC+(BF+CF)
=AB+AC+(BD+CE)
=(AB+BD)+(AC+CE)
=AD+AE=2AD=16
∴△ABC的周长是16
例3 如图6，在△ABC中，AB=AC,DM是AB的中垂线，△BCD的周长为14cm,BC=5cm,求AB的长.
This article is on the "high school geometry calculations title" research.First, from the geometric problems.A series of analyzes, analogy, induction and in-depth analysis.Concluded.Also studied appropriately illustrated.Make it easier for people to grasp the geometry type of calculation problems Solution and Its Application.
解：建立如图15所示的空间直角坐标系D- ,则D（0,0,0），B（1,1,0），E（ ，1,1），F（0, ，1）.
（1）由 =（1,1,0), =( , ,0)知 =2 ，故E、F、B、D共面.
(2)设 =（ ）是平面BDFE的法向量.由 ⊥ ， ⊥ ， =(1，1，0)， =（0， ，1）得
设点 在平面BDFE上的射影为H，连结 .因 是平面BDFE的斜线段，令y=1,得 = ，则
解此方程组，得
评注：研究三角形的边与边之间的关系，利用勾股定理构建方程组去解是常用的方法。
3.1.2利用三角形相似构造方程
例2如图2，正方形OPQR内接于△ABC,已知△AOR、△BOP和△CRQ的面积分别是 和 ，那么正方形OPQR的边长是（）.
A. B.
C.2 D.3
解：设正方形边长为 ，作
AD⊥BC于D，由 和 ，得QC= ，BP= ，BC= ，
3.中学平面几何计算题
3.1构造方程（组）解平面几何计算题
3.1.1利用勾股定理构造方程组
例1如图1，△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,若AC、BC上的中线BD、AE垂直相交于O，则c可用a、b的代数式表示_______.
解：设OD= , OE= ,
∵BD、AE是中线
∴BO=2 ，AO=2 ，由勾股定理，得
分析由题目所给的已知难以分别求
出PE、PF的长，但我们可以看成
，由此，
只要求出 和OB即可求出PE+PF的长，
这就是整体思想解题。
解：据题意得OB=OC,AC=BD,由勾股定理得AC=BD=10，
∴OB=OC=5， ,
∵
∴ ,即
∴PE+PF=4.8
例2如图8，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，一条对角线长是13cm，那么矩形的面积是多少？
解：∵△BCD的周长=BC+BD+DC=14cm，
而BC=5cm,
∴BD+DC=9cm,即AD+DC=9cm,
∴AB=AC=AD+DC=9cm.
3.3整体思想在几何计算题中的应用
有一类几何计算题，我们往往难以各个突破，而用整体思想来做，却轻轻松松地就解出这类几何计算题。
例1如图7，矩形ABCD中，AB=6AD=8，点O是对角线的交点，点P是BC上一点，PE⊥BD于E,PF⊥AC于F，求PE+PF的长.
,
于是
所以，点 到平面BDFE的距离为1.
（3）由（2）知 , 是直线 与平面BDFE所成的角，且 ,所以 .
4.2求解立体几何问题的算法化表述
在求解立体几何问题时，经常发生某些学生在求解表述中省略关键步骤、跳步、图形与书写相脱离或书写混乱、条理不清等问题.为了使学生在表述求解问题时更加有条理、规范，养成良好的思想品质。我们将证明题的算法化表述可以归结为一系列的三段：大前提--小前提--结论的恰当组合；计算题的算法化表述可以归结为“寻--证--点--算。”“寻”，即由题意寻找或作出正确的图形，根据需要作出辅助直线或平面。
∴∠B= =
∴正确答案应是 或 .
3.4.3考虑不周
例1在⊙O中，弦AC是内接正三角形的一边，弦AC是内接正六边形的一边，则∠BAC______.
解：由题意可作出图13，连接OA、OC,再根据题意得