北京大学2018春数学分析Ⅱ甘少波笔记
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北大数学分析讲义
156
V = π
∫
a
0
2azdz + π ∫
3a
a
(3a 2 − z 2 ) dz =
π a3 ( 6 3 − 5) 。 3
x = a( t − sin t ) 例 ７ 求旋轮线 ( 0 ≤ t ≤ 2π ) 之弧长。 y = a(1 − cos t ) 解 x ′(t ) = a (1 − cos t ) ， y ′(t ) = a sin t ， S = ∫ =
f = a(1 + cos θ ) S = 2 ⋅ 1 = a 2 = a 2 =
π
0
2a
2∫
π
0
a 2 (1 + cosθ ) 2 dθ
155
P = 2π
∫
β
α
r(θ ) sin θ r (θ ) 2 + r ′(θ ) 2 dθ 。
这是因为这时可看成参数方程
x = r (θ ) cos θ ， x ′(θ ) 2 + y ′(θ ) 2 = r (θ ) 2 + r ′(θ ) 2 。 y = r ( θ ) sin θ
f ( x ) ， g ( x ) 连续，且 f ( x ) ≥ g ( x ) 。我们考虑从 x 到 x + dx 这个微元，它的面积可看成一
个矩形，高近似地取 f ( x ) − g ( x) ，其面积 = ( f ( x) − g ( x)) dx = dA( x) 。所以所围图形面 积为
∫ [ f ( x) − g ( x) ]dx 。
4
x
x=
1 (4 − y 2 ) 4
例 ２ 求双纽线 r 2 = a 2 cos 2θ 所围成的图形面积。 解 作图如右上。 S = 4 ⋅ 1 ∫ 4 a 2 cos 2θ dθ = a 2 。 2 0 例３ 求心脏线 r = a(1 + cosθ ) ( a > 0) 围成的面积。
北京大学2018年数学分析试题及解答
在 (0, 0)
点局部
2 阶连续可微,
∇f (x, φ(x)) =
0,
(
)
∂ijf (0, 0) 2×2
为半正定非 0 阵. 证明 f 在 (0, 0) 点取得极小值.
6.
(20
分)
证明:
e−x
+ cos(2x) + x sin x
=
0
在区间
(
)
(2n − 1)π, (2n + 1)π
恰有两个根
x2n−1
+
)) 1
sin(xn) − xn ∑ ∞ (−1)k−1 (xn)2k−2 ∑ ∞ (−1)k (xn)2k
=
=
xn
(2k − 1)!
(2k + 1)!
k=2
k=1
∫ 1 sin(xn) − xn dx = ∑ ∞
(−1)k
0
xn
(2k + 1)!(2nk + 1)
k=1
∑ ∞ ⩽
1
(2k + 1)!(2n + 1)
x4
∈ (0, 1).
证明:
对任意
λ
∈
(α, β),
存在
x5,
x6
∈
(0, 1),
使得
λ
=
f (x6) x6
− −
f (x5) . x5
3. (10 分) 设 γ 是联结 R3 中两点 A, B 且长度为 L 的光滑曲线, U 是 R3 中包含 γ 的开集, f 在 U 上连续可
微, 梯度 ∇f 的长度在 γ 上的上界为 M . 证明:
(−1)k 2k(2k+1)!
北京大学1996-2009历年数学分析_考研真题试题
∫
b
a
f ( x) d x]2 ≤ (b − a ) ∫ f 2 ( x) d x 。
a
b
π −x
2
。
2.证明它的 Fourier 级数在 (0, 2π ) 内每一点上收敛于 f ( x) 。
北京大学 2001 年研究生入学考试试题
考试科目：数学分析 一、 （10 分）求极限： lim
a 2n 。 n →∞ 1 + a 2 n
f ( n ) ( x) 在 [ a, b ] 上一致收敛于 φ ( x)(n → +∞) ，求证： φ ( x) = ce x ， c 为常数。
四、 （15 分）设 xn > 0(= n 1, 2 ⋅⋅⋅) 及 lim xn = a ，用 ε − N 语言证明： lim
n →+∞
n →+∞
xn = a 。
北京大学 2002 年研究生入学考试试题
考试科目：数学分析 一、 （10 分）求极限： lim(
x →0 1 sin x 1−cos ) x。 x
二、 （10 分）设 α ≥ 0 ， = x1 并求极限值。
2 + a ， xn= +1
2 + xn ，= n 1, 2, ⋅⋅⋅ ，证明极限 lim xn 存在
五、 （15 分）求第二型曲面积分
∫∫ ( x d y d z + cos y d z d x + d x d y) ，其中 3; z 2 = 1 的外侧。
六、 （20 分）设 x = f (u , v) ， y = g (u , v) ，w = w( x, y ) 有二阶连续偏导数，满足
x→a + x →b −
2018年数学真题及解析_2018年北京市高考数学试卷(文科)
2018年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5.00分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5.00分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5.00分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．B．C．D．4．（5.00分）设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5.00分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A． f B． f C． f D．f6．（5.00分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5.00分）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A．B．C．D．8．（5.00分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．（5.00分）设向量=（1，0），=（﹣1，m）．若⊥（m ﹣），则m=．10．（5.00分）已知直线l过点（1，0）且垂直于x轴．若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为．11．（5.00分）能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为．12．（5.00分）若双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，则a=．13．（5.00分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是．14．（5.00分）若△ABC 的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B=；的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分。
2018版数学北师大版选修2-2课件：第二章 变化率与导数 章末复习课 精品
题型探究
类型一 求函数的导数 例1 求下列函数的导数.
(1)y＝sin 3x； 解 设y＝sin u，u＝3x，
则y′x＝y′u· u′x
＝(sin u)′· (3x)′
＝cos u· 3＝3cos 3x.
解答
1 (2)y＝ 2； 1－2x
解
设y＝ u ，u＝1－2x2，
1 2
－
1 2
则y′x＝y′u· u′x
＝－2 018sin(2 018x＋8).
解答
(2)y＝21－3x； 解 y′＝21－3x· ln 2· (1－3x)′
＝－3ln 2· 21－3x.
解答
(3)y ＝ ln(8x ＋ 6) ；
解 1 y′＝ · (8x＋6)′ 8x＋6
8 4 ＝ ＝ . 8x＋6 4x＋3
解答
(4)y＝3(2x＋1)2＋xcos x. 解 y′＝3×2×(2x＋1)· (2x＋1)′＋x′cos x＋x(cos x)′
＝( u
－
)′· (1－2x2)′
－ 3 2
1 ＝ u · (－4x) 2 3 － 1 ＝ － (1－2x2) 2 (－4x) 2
＝2x(1－2x2)
－ 3 2
.
解答
(3)y＝lg(2x2＋3x＋1)； 解 设y＝lg u，u＝2x2＋3x＋1，
则y′x＝y′u· u′x＝(lg u)′· (2x2＋3x＋1)′
(2)导函数
fx＋Δx－fx f′(x)＝ lim ， f′(x)为f(x)的导函数，不是一个常数. → Δ x Δx 0
2.导数的几何意义 (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，这是导数的几何意义. (2)求切线方程 常见的类型有两种： 一是函数 y＝ f(x)“ 在点 x＝ x0 处的切线方程 ” ，这种类型中 (x0 ， f(x0)) 是曲 线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点， 可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过 点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得 x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程.
2018版数学北师大版选修2-2课件：第二章 变化率与导数
x＋3 ，－1≤x≤1， 2 由函数 f(x)的图像知，f(x)＝ x＋1，1<x≤3.
3 f2－f0 3－2 3 所以函数 f(x)在区间[0,2] 上的平均变化率为 ＝ 2 ＝4. 2－0 解析
答案
类型二 求瞬时速度 例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)
题型探究
类型一 函数的平均变化率 例1 (1)已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率 Δy； Δx
解答
Δy ②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率 . Δx
解
当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，
Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92.
y(℃)
39
38.7 38.5
38
37.6 37.3 36.9
思考1
观察上表，每10分钟病人的体温变化相同吗？
答案 不相同．
答案
思考2
哪段时间体温变化较快？ 答案 从20分钟到30分钟变化最快．
答案
思考3
如何刻画体温变化的快慢？ 答案 用体温的平均变化率．
答案
梳理 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
Δs ∴当 Δt 趋于 0 时， Δt 趋于 1，
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.
解答
2.若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
Δs st0＋Δt－st0 又 ＝ ＝(2t0＋1)＋Δt. Δt Δt
的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．
2018学年高中数学北师大版选修2-2课件：1.2.2 分析法 精品
法二：(综合法) 因为 a，b，c∈R， 所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0. 又因为 a，b，c 不全相等， 所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0， 所以(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0， 所以 2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)， 所以 a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
∵12－ ＋ttaann
α α＝1，∴1－tan
α＝2＋tan
α，即 2tan
α＝－1.
∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证.
[探究共研型] 综合法与分析法的综合应用 探究 1 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都 是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的 “猜想”.
1.分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明 过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法.
2.分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析， 由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定 要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c， 即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3， 即证a＋c b＋b＋a c＝1， 只需证 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 只需证 c2＋a2＝ac＋b2. ∵A，B，C 成等差数列，
∴2B＝A＋C， 又 A＋B＋C＝180°，∴B＝60°. ∵c2＋a2－b2＝2accos B， ∴c2＋a2－b2＝ac， ∴c2＋a2＝ac＋b2， ∴a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c成立.
2018学年高中数学北师大版选修2-2课件：4.2 微积分基本定理 精品
[再练一题]
1.2x－x2 1dx＝________. 1
【解析】
21x－x2 1dx＝121x－x12dx
＝ln
x＋1x02
＝ln
2＋12－(ln
1＋1)＝ln
2－12.
【答案】 ln 2－12
求分段函数的定积分
计算下列定积分.
sin
x，0≤x<2π，
(1)f(x)＝1，π2≤x≤2，
求4f(x)dx； 0
阶
阶
段
段
一
三
§2 微积分基本定理
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1.了解微积分基本定理的含义.(难点) 2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.(重点)
[基础·初探] 教材整理 微积分基本定理 阅读教材 P82～P84，完成下列问题. 1.微积分基本定理 如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数，即 f(x)＝F′(x)，则有bf(x)dx
x－1，2<x≤4，
(2)2|x2－1|dx. 0
【精彩点拨】 (1)按 f(x)的分段标准，分成0，π2，π2，2，(2，4]三段求定 积分，再求和.
(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分.
【自主解答】 (1)40f(x)dx＝0π2sin xdx＋π221dx＋24(x－1)dx
2.计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数 f(x)、积分上限与 积分下限、积分区间与函数 F(x)等概念.
[再练一题] 3.已知k(2x－3x2)dx＝0，则k等于( )
0
A.0 C.0或1
B.1 D.以上都不对
【导学号：94210072】
【解析】
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8.2 定积分中值定理 (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9 习题课笔记 (3)
24
10 课堂笔记 (7): 定积分中值定理 (2)、定积分的应用 (1)
26
10.1 定积分第二中值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
12 习题课笔记 (4)
31
13 课堂笔记 (9): 定积分的应用 (3)
32
13.1 旋转体的侧面积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
13.2 在物理学上的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7.2 定积分的计算 (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8 课堂笔记 (6): 定积分的计算 (2)、积分中值定理 (1)
22
8.1 定积分的计算 (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
16 习题课笔记 (5)
38
17 课堂笔记 (11): 无穷积分的审敛法 (2)、瑕积分
40
17.1 无穷积分的审敛法 (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
11.2 微元法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
11.3 极坐标表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 课堂笔记 (4): 定积分的性质
14
6 习题课笔记 (2)
17
7 课堂笔记 (5): 变限定积分与定积分的计算 (1)
20
7.1 原函数的存在性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10.2 定积分的应用 (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1
11 课堂笔记 (8): 定积分的应用 (2)
29
11.1 参数方程表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 习题课笔记 (1)
11
4 课堂笔记 (3): 可积的充要条件、可积函数类
12
4.1 可积的充要条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 可积函数类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
14 定积分补充: 不等式
34
15 课堂笔15.1 无穷积分的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
15.2 无穷积分的审敛法 (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 课堂笔记 (2)：微积分基本定理、达布理论
7
2.1 微积分基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 达布理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
11.4 截面面积已知的立体的体积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
11.5 曲线的弧长 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
数学分析 (二) 笔记
目录
1 课堂笔记 (1)：课程介绍、定积分的定义
5
1.1 课程介绍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 定积分的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5