甘肃省兰州市第一中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题文(含解析)
甘肃省兰州第一中学2018-2019学年高二3月月考数学(文)试题(解析版)
兰州一中2018-2019-2学期三月份月考试题高二数学（文科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.极坐标方程（p-1）（）=0（p0）表示的图形是A. 两个圆B. 两条直线C. 一个圆和一条射线D. 一条直线和一条射线【答案】C【解析】【此处有视频，请去附件查看】2.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】试题分析：由题意得，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限．故选B．考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义.【此处有视频，请去附件查看】3.下面几种推理过程是演绎推理的是（）A. 某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人B. 根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质C. 平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分D. 在数列中，，计算由此归纳出的通项公式【答案】C【解析】【分析】根据演绎推理的特点可得正确的选项.【详解】对于A，推理的方法是归纳推理（不完全归纳），对于B，推理的方法是类比推理，对于D，推理的方法是归纳推理（不完全归纳），对于C，推理的方法是演绎推理.【点睛】推理有归纳推理、类比推理和演绎推理，其中归纳推理是从具体的例子得到一般的结果，而演绎推理则是由大前提、小前提和结论三部分构成，其中小前提必要蕴含在大前提中.4.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于”时，反设正确的是（）A. 假设三内角都不大于B. 假设三内角都大于C. 假设三内角至多有一个大于D. 假设三内角至多有两个大于【答案】B【解析】分析：熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．详解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°，∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°．故选：B．点睛：此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．5. 如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“交集”，则应该放在A. “集合的概念”的下位B. “集合的表示”的下位C. “基本关系”的下位D. “基本运算”的下位【答案】C【解析】因为集合的基本关系包含了“子集”这一关系，故选C.考点：知识结构图.6.满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（）A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆【答案】C【解析】因为，所以，因此复数在复平面上对应点的轨迹是圆，选C.7.下表为某班5位同学身高（单位：）与体重（单位）的数据，若两个变量间的回归直线方程为，则的值为（）A. 121.04B. 123.2C. 21D. 45.12【答案】A【解析】【分析】算出后代入方程可得.【详解】，故，故选A.【点睛】一般地，线性回归方程对应的直线必经过点.利用这个性质可求回归方程中的参数.8.直线与曲线有公共点，则的取值范围是（）A. B. C. D. 且【答案】A【解析】【分析】把圆的极坐标方程化成直角坐标方程，利用圆心到直线的距离小于或等于半径可得的取值范围.【详解】曲线即为，它化成直角坐标方程是，该方程对应的曲线为圆：，故，解得，故选A.【点睛】极坐标方程与直角坐标方程的互化，关键是，必要时须在给定方程中构造．极坐标系中直线与曲线的位置关系的讨论可转化为直角坐标系中直线与曲线的位置关系.9.已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为。
甘肃省兰州第一中学2018-2019学年高二3月月考数学(文)试题(解析版)
兰州一中2018-2019-2学期三月份月考试题高二数学（文科）第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1•极坐标方程（p-1）3-于）=0（p z|0）表示的图形是A. 两个圆B.两条直线C. 一个圆和一条射线D. 一条直线和一条射线【答案】C【解析】由巳知可许或所表示茁国形为以原点力圆心、圣为1的回或铀的2!2•设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】试题分析：由题意得，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限.1-t C1-O（1 + 0故选B.考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义3•下面几种推理过程是演绎推理的是（）A. 某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人B. 根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质C. 平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分D. 在数列中，％= =力_应eN\计算临眄由此归纳出gj的通项公式£ 十° II【答案】C【解析】根据演绎推理的特点可得正确的选项•【详解】对于A，推理的方法是归纳推理（不完全归纳），对于B，推理的方法是类比推理，对于D，推理的方法是归纳推理（不完全归纳），对于C,推理的方法是演绎推理.【点睛】推理有归纳推理、类比推理和演绎推理，其中归纳推理是从具体的例子得到一般的结果，而演绎推理则是由大前提、小前提和结论三部分构成，其中小前提必要蕴含在大前提中4•用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于卜门|”时，反设正确的是（）A. 假设三内角都不大于:创;|B. 假设三内角都大于 |C. 假设三内角至多有一个大于D. 假设三内角至多有两个大于【答案】B【解析】分析：熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可.详解：•••用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°•••第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°.故选：B.点睛：此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立.5.如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“交集”，则应该放在一［集合的槪含T集呑的表示A. “集合的概念”的下位B. “集合的表示”的下位C. “基本关系”的下位D. “基本运算”的下位【解析】因为集合的基本关系包含了子集”这一关系，故选C.考点：知识结构图•6•满足条件：■ ，- :「卜的复数在复平面上对应点的轨迹是（）A. 一条直线B.两条直线C.圆D•椭圆【答案】C【解析】因为|；：」|二幺讣处，所以I"L J 申-厅C找因此复数卜』在复平面上对应点的轨迹是圆，选 C. 7•下表为某班5位同学身高（单位：护日）与体重（单位）的数据，若两个变量间的回归直线方程为/ - :' Ij'lT'：-、它，则勺的值为（）A. 121.04B. 123.2C. 21D. | |45.12【答案】A【解析】【分析】算出后代入方程可得I — T二屁.【详解】卜―二故•I :'，故选A.【点睛】一般地，线性回归方程对应的直线必经过点（i,y）.利用这个性质可求回归方程中的参数8•直线巧八—m与曲线；宀二卅圈有公共点，贝U的取值范围是（）A. k 兰一?B. * 王一?C. |fc e flD. & E 舟且4 4【答案】A【解析】【分析】把圆的极坐标方程化成直角坐标方程，利用圆心到直线的距离小于或等于半径可得 的取值范围【详解】曲线p = 即为= 2pcos （h 它化成直角坐标方程是x 2 + y 2—2x = 0，坐标系中直线与曲线的位置关系的讨论可转化为直角坐标系中直线与曲线的位置关系9•已知三角形的三边分别为巴％，内切圆的半径为厂，则三角形的面积为5 = ^（a + b + dr ；四面体的四个面的面积分别为内切球的半径为。
2018-2019学年度第二学期期中考试卷高二数学(文科)(解析版)
兰州大学附属中学2018-2019学年度第二学期期中考试卷高二数学（文科）一．选择题（共12小题，每题5分）1．已知全集U R =，{|1}A x x =>，2{|1}B x x =>，那么()U A B ð等于( )A ．{|11}x x -<…B ．{|11}x x -<<C ．{|1}x x <-D ．{|1}x x -…【解析】{|1B x x =<-，或1}x >，{|1}U A x x =…ð； (){|1}U A B x x ∴=<-ð．故选：C ．2．命题“x R ∀∈，2x x ≠”的否定是( ) A ．x R ∀∉，2x x ≠ B ．x R ∀∈，2x x = C ．x R ∃∉，2x x ≠ D ．x R ∃∈，2x x =【解析】根据全称命题的否定是特称命题，∴命题的否定是：0x R ∃∈，200x x =．故选：D ．3．下列求导运算正确的是( ) A ．211()1x x x'+=+B ．21(log )2x xln '=C ．2((23))2(23)x x +'=+D ．22()x x e e '=【解析】因为2111()()1x x x x x '''+=+=-，所以选项A 不正确；21()2log x xln '=，所以选项B 正确； 2((23))2(23)(23)4(23)x x x x +'=++'=+，所以选项C 不正确； 222()(2)2x x x e e x e '='=，所以选项D 不正确．故选：B ．4．已知函数()sin cos f x x x x =+，则()2f π'的值为( )A ．2π B ．0 C ．1- D ．1【解析】()sin cos f x x x x =+，()sin cos sin cos f x x x x x x x ∴'=+-=，()cos 0222f πππ∴'=⨯=；故选：B ．5．函数2||y x ln x =+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解析】2()||()f x x ln x f x -=+=，()y f x ∴=为偶函数，()y f x ∴=的图象关于y 轴对称，故排除B ，C ， 当0x →时，y →-∞，故排除D ，或者根据，当0x >时，2y x lnx =+为增函数，故排除D ， 故选：A ．6．函数2()2f x x lnx =-的单调减区间是( ) A ．(0，1]B ．[1，)+∞C ．(-∞，1](0-⋃，1]D ．[1-，0)(0⋃，1]【解析】2222()2x f x x x x -'=-=，(0)x >，令()0f x '…，解得：01x <…， 故选：A ．7．在极坐标系中，直线l 的方程为sin()4πρθ+，则点3(2,)4A π到直线l 的距离为( )A B C ．2 D ．2【解析】点3(2,)4A π的直角坐标为(，直线：:sin()4l πρθ+即sin cos 1ρθρθ+=，化为直角坐标方程为10x y +-=．由点到直线的距离公式得d 故选：B ．8．下列直线中，与曲线()12,:24x t C t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数没有公共点的是( )A ．20x y +=B ．240x y +-=C ．20x y -=D ．240x y --=【解析】曲线C 参数方程为：()12,24x t t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数，①2⨯-②得，240x y --=，故曲线C 为斜率为2的直线，选项中斜率为2的直线为C ，D ． 而D 与曲线C 重合，有无数个公共点，排除． 故选：C ．9．函数sin y x x =-，[2x π∈，]2π的最大值是( ) A ．12π- B ．πC ．π-D ．12π-【解析】 cos 10y x '=-≤，所以函数sin y x x =-在[,]22ππ-上单调递减， max ()()sin()12222f x f ππππ=-=-+=-.故选A.10．设P ，Q 分别为直线(152x t t y t =⎧⎨=-⎩为参数）和曲线1:(2x C y θθθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数）上的点，则||PQ 的最小值为( )AB ．C ．D ．【解析】P ，Q 分别为直线(152x t t y t =⎧⎨=-⎩为参数）和曲线1:(2x C y θθθ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩为参数）上的点，∴直线的普通方程为2150x y +-=，曲线C 的普通方程为22(1)(2)5x y -++=，曲线C 是以(1,2)C -为圆心，以r =圆心(1,2)C -到直线的距离d =||PQ ∴的最小值为：d r === 故选：B ．11．已知函数()3cos2sin 2f x x x x =++且(),()4a f f x π=''是()f x 的导函数，则过曲线3y x =上一点(,)P a b 的切线方程为( ) A ．320x y --=B ．4310x y -+=C ．320x y --=或3410x y -+=D ．320x y --=或4310x y -+=【解析】由()3cos2sin 2f x x x x =++得到：()32sin 22cos2f x x x '=-+，且由3y x =得到：23y x '=，则()32sin 2cos 1422a f πππ='=-+=，由于(,)P a b 为曲线3y x =上一点，则1b =，设3y x =的上切点为0(x ，0)y ，则切线的斜率203k x =，则切线方程为20003()y y x x x -=-， 又经过(1,1)P 点，200013(1)y x x ∴-=-，将300y x =带入得到3200013(1)x x x -=-，即2200000(1)(1)3(1)x x x x x -++=-，解得01x =或012x =-． 当01x =时，01y =，则切线方程为13(1)y x -=-，即320x y --=； 当012x =-时，018y =-，则切线方程为1113()842y x +=⨯+，即3410x y -+=综上可得，曲线上过P 的切线方程为：320x y --=或3410x y -+=． 故选：C ．12．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( ) A ．(-∞，1)(0-⋃，1) B ．(1-，0)(1⋃，)+∞ C ．(-∞，1)(1--⋃，0) D ．(0，1)(1⋃，)+∞【解析】设()()f x g x x =，则()g x 的导数为：2()()()xf x f x g x x'-'=， 当0x >时总有()()xf x f x '<成立， 即当0x >时，()g x '恒小于0，∴当0x >时，函数()()f x g x x=为减函数， 又()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--， ∴函数()g x 为定义域上的偶函数又(1)(1)01f g --==-， ∴可以画出函数()g x 的图象：数形结合可得，不等式()0()0f x x g x >⇔> ⇔0()0x g x >⎧⎨>⎩或0()0x g x <⎧⎨<⎩，01x ⇔<<或1x <-．故选：A ．二．填空题（共4小题，每题5分） 13．设:2p x >或23x <；:2q x >或1x <-，则p ⌝是q ⌝的 充分不必要 条件． 【解析】由题意q p ⇒，反之不成立， 故p 是q 的必要不充分条件， 从而p ⌝是q ⌝的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要．14.已知()xf x xe ax =+在(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的值为 . 【解析】()x x f x e xe a '=++.依题意00(0)012f e e a a '=+⨯+=+=，所以1a =.15cos sin 2θρθ+=与圆4sin ρθ=交于A ，B 两点，则||AB = 4 ．【解析】cos sin 2θρθ+=20y +-=， 圆4sin ρθ=转换为直角坐标方程为：224x y y +=， 转换为标准式为：22(2)4x y +-=，则：圆心(0,2)20y +-=的距离0d ==，故直线经过圆心， 则：||4AB =， 故答案为：4 16．已知函数1()11f x x a x =++-+的图象是以点(1,1)--为中心的中心对称图形，2()x g x e ax bx =++，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与曲线()y g x =在点(0，(0))g 处的切线互相垂直，则a b += 43- ． 【解析】由1y x x =+的图象关于(0,0)对称，()y f x =的图象可由1y x x=+平移可得． 函数1()11f x x a x =++-+的图象是以点(1,1)--为中心的中心对称图形， 可得21a -=-，即1a =，则1()1f x x x =++， 21()1(1)f x x '=-+，可得()f x 在1x =处的切线斜率为34， 2()x g x e x bx =++的导数为()2x g x e x b '=++，可得()g x 在0x =处的切线斜率为1b +，由题意可得3(1)14b +=-，可得73b =-， 则74133a b +=-=-．故答案为：43-．三．解答题（共6小题，17题10分，18-22题每题12分）17．已知直线1:(2x tl t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线:2sin C ρθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线Z 的普通方程；（2）求与直线l 平行，且被曲线C 1l 的方程． 【解析】（1）直线1:(2x tl t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），转换为直角坐标方程为：30x y +-=． 曲线:2sin C ρθ=．转换为直角坐标方程为：2220x y y +-=．转换为标准式为22(1)1x y +-=（2）设与直线l 平行的直线方程为：0x y b ++=则：圆心(0,1)到直线的距离d ==，解得：1b =-±直线的方程为：10x y +-=或10x y +-+=． 18．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：2sin 4cos 0ρθθ-=，直线l 的参数方程为：1(2x tt y t =+⎧⎨=⎩为参数）．（Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||AB ． 【解析】（Ⅰ）由曲线C 的极坐标方程为：2sin 4cos 0ρθθ-=， 得22sin 4cos ρθρθ=，即曲线C 的直角坐标方程为：24y x =．直线l 的参数方程为：1(2x tt y t =+⎧⎨=⎩为参数）．∴直线的直角坐标方程为:22l y x =-．（Ⅱ）联立方程2422y xy x ⎧=⎨=-⎩，得2310x x -+=，123x x ∴+=， 12||25AB x x ∴=++=．19．已知直线的极坐标方程为sin()4πρθ+=，圆M 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=-+⎩（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求圆M 上的点到直线的距离的最小值．【解析】（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．sin()4πρθ+∴sin cos )ρθρθ+=，sin cos 1ρθρθ∴+=． ∴该直线的直角坐标方程为：10x y +-=．（Ⅱ）圆M 的普通方程为：22(2)4x y ++=圆心(0,2)M -到直线10x y +-=的距离d ==．所以圆M 2． 20．已知函数2()f x x xlnx =-．（1）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（2）若2()2x f x k ->在(1,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】（1）2()f x x xlnx =-，()21f x x lnx ∴'=--，f '（1）1=，又f （1）1=，即切线，的斜率1k =，切点为(1,1)，∴曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程0x y -=；（2）令22()()22x x g x f x xlnx =-=-，(1,)x ∈+∞，则()1g x x lnx '=--，令()1h x x lnx =--，则11()1x h x x x-'=-=．当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 在(1,)+∞上为增函数，故()h x h >（1）0=； 从而，当(1,)x ∈+∞时，()g x g '>'（1）0=． 即函数()g x 在(1,)+∞上为增函数，故()g x g >（1）12=． 因此，2()2x f x k ->在(1,)+∞上恒成立，必须满足12k …．∴实数k 的取值范围为(-∞，1]2．21．已知()1f x ax xlnx =+-的图象在(1A ，f （1）)处的切线与直线0x y -=平行． （1）求函数()f x 的极值； （2）若1x ∀，2(0,)x ∈+∞，121212()()()f x f x m x x x x ->+-，求实数m 的取值范围．【解析】（1）()1f x ax xlnx =+-的导数为()1f x a lnx '=--， 可得()f x 的图象在(1A ，f （1）)处的切线斜率为1a -， 由切线与直线0x y -=平行，可得11a -=， 即2a =，()21f x x xlnx =+-，()1f x lnx '=-，由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '<，可得x e >， 则()f x 在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减，可得()f x 在x e =处取得极大值，且为1e +，无极小值； （2）可设12x x >，若1x ∀，2(0,)x ∈+∞，121212()()()f x f x m x x x x ->+-，可得221212()()f x f x mx mx ->-，即有221122()()f x mx f x mx ->-，设2()()g x f x mx =-在(0,)+∞为增函数， 即有()120g x lnx mx '=--…对0x >恒成立， 可得12lnxm x-…在0x >恒成立， 由1()lnx h x x -=的导数为22()lnx h x x -'=得： 当()0h x '=，可得2x e =，()h x 在2(0,)e 递减，在2(e ，)+∞递增， 即有()h x 在2x e =处取得极小值，且为最小值21e -， 可得212m e -…， 解得212m e-…， 则实数m 的取值范围是(-∞，21]2e -． 22．已知a R ∈，函数2()()()x f x x ax e x R =-+∈．（1）当2a =时，求函数()f x 在[0，2]上的最值； （2）若函数()f x 在(1,1)-上单调递增，求a 的取值范围． 【解答】解（1）当2a =时，2()(2)x f x x x e =-+，2()(2)x f x x e '=-+．令()0f x '=，则x =x当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()(2max f x f ==-+()(0)0min f x f ==． （2）因为函数()f x 在(1,1)-上单调递增， 所以()0f x '…在(1,1)-上恒成立．又2()[(2)]x f x x a x a e '=-+-+，即2[(2)]0x x a x a e -+-+…，注意到0x e >， 因此2(2)0x a x a -+-+…在(1,1)-上恒成立，也就是221111x x a x x x +=+-++…在(1,1)-上恒成立． 设111y x x =+-+，则110(1)2y x '=+>+， 即111y x x =+-+在(1,1)-上单调递增， 则1311112y <+-=+， 故32a …．。
甘肃兰州一中2018-2019学年度高二(下)期中考试
甘肃兰州一中2018-2019学年度高二(下)期中考试数学试题第Ⅰ卷注意：考试时间100分钟，满分100分，选择答案填入答题卡内，交卷时只交第Ⅱ卷．一、选择题(本大题包括10小题，每小题4分，共40分)1．集合{,1},{,1,2},P x Q y ==其中,{1,2,3,,9}x y ∈⋅⋅⋅，且P Q ⊆，把满足上述条件的一对有序整数对{,}x y 作为点，这样的点的个数是( )A ．9B ．14C ．15D ．212．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，向量(,),(1,2)m a b n ==-，则向量m n ⊥的概率是( )A ．16B ．112C ．19D ．1183．若2622020()n n C C n ++=∈N ，且2012(2)n n n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则01a a -2a +-…(1)n n a +-=( )A ．1-B ．1C ．16D ．814．已知矩形ABCD 的一边CD 在平面α内，AC 与平面α所成角为60，若2AB =，4AD =，则AB 到平面α的距离为( )AB C D 5．设A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件6．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数是( )A ．360B ．300C ．180D ．1507．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加.当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )A ．360B ．520C ．600D ．7208．在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，90ABC ∠=，BA BC =，球心O 到平面ABC的距离是2，则B 、C 两点的球面距离为( )A ．2πB ．πC ．π34D ．3π 9．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙、…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则射击停止时，甲射击了两次的概率是( )A ．380B ．920C ．925D ．1940010．(理)如图，棋盘式街道中，某人从A 地出发到达B 地，若限制行进方向只能向右或向上，那么不经过E 地的概率为( )A ．25B ．35C ．37 D ．1210．(文)教师想从52名学生中抽取10名分析期中考试情况，一孩子在旁边随手拿了两支签，教师没在意，在余下的50个签中抽了10名学生，则其中的“学生甲”被教师抽到的概率为( )A ．526B ．15C ．126D ．326第II 卷二、填空题(本大题包括5小题，每小题4分，共20分)11．在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有__________个.12．某公司有三个顾问，假定每个顾问发表的意见是正确的概率均为0.8，现就某事可行与否征求各顾问的意见，并按顾问中多数人的意见作出决策，那么作出正确的决策的概率_________.13．甲、乙、丙3人站在共有7级的台阶上，其中每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数_________(用数字作答)．14．(理)在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D 中，E 、F 分别为棱AB 和1CC 的中点，则线段EF 被正方体的内切球球面截在球内的线段长为__________.14．(文)若一个正六棱柱的体积为98，底面周长为3，则它的外接球的体积为_______.15．(理)有3张都标着字母R ，5张分别标着数字1，2，3，4，5的卡片，若任取其中4张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于______(用数字作答).15．(文)在5张分别标着数字1，2，3，4，5的卡片中，任取其中3张卡片，和3张都标着字母R 的卡片一同组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于________(用数字作答).三、解答题(本大题包括5小题，共40分)16．(本小题8分)书架上有10本不同的书，其中语文书4本，数学书3本，英语书3本，现从中取出3本书.求：(1)3本书中至少有1本是数学书的概率；(2)3本书不全是同科目书的概率.17．(理)(本小题8分)如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，2AB=，4PA AD==，以BD 的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；(2)求点O到平面ABM的距离.17．(文)(本小题8分)如图，在四棱锥P ABCD-中，PD⊥平面ABCD，1PD DC BC===，2AB=，//AB DC，90.BCD∠=(1)求证：PC BC⊥；(2)求点A到平面PBC的距离.18．(本小题8分)已知2()3)n f x x =展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.19．(本小题8分)如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3，侧棱12AA =，D 是CB 延长线上一点，且.BD BC =(1)求证：直线1//BC 平面1AB D ；(2)求二面角1B AD B --的大小.20．(理)(本题8分)甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概率为35，甲胜丙的概率为45，乙胜丙的概率为35，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束.(1)求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率；(2)求只进行两局比赛，比赛就结束的概率；(3)求甲取得比赛胜利的概率.20．(文)(本小题8分)甲、乙两人做定点投篮，投篮者若投中则继续投篮，否则由对方投篮，第一次甲投篮，已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为12、23，且甲、乙投篮是否命中互不影响.(1)求第三次由乙投篮的概率；(2)求前4次投篮中各投两次的概率.甘肃兰州一中2018-2019学年度高二(下)期中考试数学试题第Ⅰ卷一、选择题(本大题包括10小题，每小题4分，共40分)第II卷二、填空题(本大题包括5小题，每小题4分，共20分) 11．19212．0.89613．33614文)43π15．500 (文)1200三、解答题(本大题包括5小题，共40分)16．解：(1)3本书中至少有1本是数学书的概率为122133737333310101017.24C C C C C P C C C =++=(4分) 或解 37310171.24C P C =-=(4分)(2)事件“3本书不全是同科目书”的对立事件是事件“3本书是同科目书”，而事件“3本书是同科目书”的概率为333334333101010120C C C C C C ++=(7分∴3本书不全是同科目书的概率/1191.2020P =-=(8分) 17．证明：(1)由题意，M 在以BD 为直径的球面上，则.BM PD ⊥PA ⊥平面ABCD ，则,PA AB ⊥ 又AB AD ⊥，AB ∴⊥平面PAD ，∴AB PD ⊥，,BM AB B =PD ∴⊥平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面PCD .(3分)(2)∵O 是BD 的中点，则O 点到平面ABM 的距离等于点D到平面ABM 的距离的一半，由(1)知，PD ⊥平面ABM 于M ，则线段DM 的长就是点D 到平面ABM 的距离.(5分)∵在RT PAD ∆中，4,,PA AD PD AM ==⊥∴M 为PD的中点，DM =(7分)则点O 到平面ABM(8分)(其它方法可参照上述评分标准给分)17．(文)证明：(1)PD ⊥平面ABCD ，,PD BC ∴⊥又,,BC CD PD DC D ⊥=BC ∴⊥平面,.PCD BC PC ∴⊥(4分)(2)设点A 到平面PBC 的距离为d ，A PBC P ABC V V --=，1133PBC ABC S d S PD ∆∆∴⋅=⋅，求得d =即点A 到平面PBC(8分) (其它方法可参照上述评分标准给分)18．解：(1)令1x =，则二项式各项系数的和为 (1)(13)4,n n f =+=又展开式中各项的二项式系数的和为 2n ， ∴42992n n -=，(231)(232)0,n n ∴+-=∴2310n +=(舍)或2320n -=，解得 5.n =(2分) ∵5n =是奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是：2252226335()(3)90,T C x x x -== 222353233345()(3)270.T C x x x -==(5分) (2)展开式的通项为 22(52)5233155()(3)3,r rr r rr r T C x x C x +-+==设1r T +项的系数最大，则有1155115533,33,r r r r r r r r C C C C --++⎧≥⎪⎨≥⎪⎩ 即 115!5!33,(5)!!(6)!(1)!5!5!33,(5)!!(4)!(1)!r r r r r r r r r r r r -+⎧⨯≥⨯⎪---⎪⎨⎪⨯≥⨯⎪--+⎩∴79,, 4.22r r N r ≤≤∈∴= ∴展开式中系数最大的项为226454243355()(3)405.T C x x x -==(8分)19．证明：(1)11//CD C B ，又11BD BC BC ==，∴四边形11BDB C 是平行四边形，∴11//,BC DB又1DB ⊂平面1AB D ，1BC ⊄平面1AB D ，∴直线1//BC 平面1.AB D (3分)(2)过B 作BE AD ⊥于E ，连结1EB ，∵1BB ⊥平面1,.ABD B E AD ∴⊥1B EB ∴∠是二面角1B AD B --的平面角．(5分) ∵,BD BC AB E ==∴是AD 的中点，13,22BE AC == 在1RT B BE ∆中，112tan 32B B B EB BE∠=== ∴1π,3B EB ∠=即二面角1B AD B --的大小为60.(8分) (其它方法参照上述评分标准给分)20．解：(1)只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率为：13412.5525P =⨯=(2分) (2)只进行两局比赛，比赛就结束的概率为：2342318.555525P =⨯+⨯=(4分) (3)甲取得比赛胜利共有三种情形：若甲胜乙、甲胜丙，则概率为 34125525⨯=； 若甲胜乙、甲负丙，则丙负乙，甲胜乙，概率为 3133275555625⨯⨯⨯=； 若甲负乙、乙负丙，则甲胜丙，甲胜乙，概率为 2243485555625⨯⨯⨯=； ∴甲获胜的概率为 1227483.256256255++=(8分)20．(文) 解：(1)第3次由乙投篮分两种情况：甲第一次命中，第二次不中的概率为 1111224P =⨯=； 甲第一次不中，第二次乙中的概率为 2121233P =⨯=； ∴第三次由乙投篮的概率为 127.12P P P =+=(4分) (2)前4次各投两次有以下三种情况：第一次甲不中、第二次乙不中、第三次甲不中、第四次乙投；第一次甲不中、第二次乙中、第三次乙不中、第四次甲投；第一次甲中、第二次甲不中、第三次乙中、第四次乙投 所以所求概率/11112111213.23223322336P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(8分)。
甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文
甘肃省兰州市第一中学2019—2020学年高二数学下学期期中试题文说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案．．．．．．。
）涂在答题卡上．．．．．．1．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0｝,B＝｛x|y＝错误!},则A∩B为( ) A。
（2，3］B。
[2，3］C。
(－1，3) D. ［－2，3]2．设函数f(x）＝错误!－a ln x，若f′(2)＝3，则实数a的值为( ）A。
－4 B。
4 C。
2 D.－23。
下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1）上递减的函数是（）A。
y＝tan x B. y＝x -3C。
y＝cos x D. y＝错误!错误!4．曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1）处的切线方程为（) A. x－y－π－1＝0 B。
2x－y－2π－1＝0C. 2x＋y－2π＋1＝0D. x＋y－π＋1＝05．若a〉0，b〉0且2a＋b＝4，则错误!的最小值为（）A. 2B. 错误!C。
4 D。
错误!6．若函数f（x）＝a x(a〉0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝log a(|x|－1）的图象可以是（)7．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3,a3＋b3＝4,a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…,则a10＋b10等于( ）A。
28 B。
76 C. 123 D. 199 8．如图，函数f（x)的图象为折线ACB,则不等式f （x)≥log2(x＋1)的解集是( )A. {x｜－1<x≤0｝B。
｛x｜－1≤x≤1}C. ｛x|－1〈x≤1}D. ｛x|－1〈x≤2｝9．已知a＝log27,b＝log38,c＝0。
30。
2，则a，b，c的大小关系为( )A。
甘肃省兰州第一中学2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题
兰州一中2018学期高二年级期中考试试题数 学(文科)说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}032<-=x x x A ,{}0log 2>=x x B ，则=B A （ ）A. ()+∞,0B. ()3,1C. ()1,0D. φ2．若函数)(x f 满足1)12(+=-x x f ，则)3(f 等于 （ ）A. 3B. 4C. 5D. 63．曲线x y =在点⎪⎭⎫⎝⎛21,41M 处的切线的倾斜角是( )A ．－45°B ．45°C ．135°D ．45°或135° 4．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( )A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c 5．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．xy 3-= B ．21x y = C ．23log x y = D ．2x x y -=6．用反证法证明命题“ab N b a ,,∈可被5整除，那么b a ,中至少有一个是5的倍数” 时，反设正确的是( )A ．b a ,都是5的倍数B ．b a ,都不是5的倍数C ．a 不是5的倍数D ．b a ,中有一个是5的倍数 7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )A. 26-nB. 28-nC. 26+nD. 28+n8．定义在R 上的奇函数)(x f 满足()x f x f 1)2(-=+，且在()1,0上x x f 3)(=，则 ()3log 54f =（ ）A. 32 B ．23- C. 23 D. 32-9．已知函数)(x f ＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是( )10．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是()A. ⎝⎛⎭⎫23，1B. ⎣⎡⎭⎫34，1C. ⎝⎛⎦⎤23，34 D . ⎝⎛⎭⎫23，＋∞11.设函数()031)(23>-=a x ax x f 在(0,3)内不单调,则实数a 的取值范围是( ) A. 32>a B. 320<<a C. 310<<a D.132<<a 12.已知函数()f x 在R 上满足()()2f x f x x +-=，当()0,x ∈+∞时，()f x x '>.若()()112f a f a a +--≥，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)0,+∞B. [)1,+∞C. (],0-∞D.(],1-∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知幂函数)(x f y =，27)3(=f ，则)(x f 的表达式是________． 14．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递增区间为________．15．在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”,四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 ________． 16．在三角形中，有结论：“任意两边之和大于第三边”，类比到空间，在四面体中，有 ______（用文字叙述）.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)计算：(1) 3244103132286723⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫⎝⎛- (2) 3log 122ln 001.0lg +-++e18. (本小题满分12分) 已知函数)(331)(23R a a x x x x f ∈+++-=, (1)求函数)(x f 的单调增区间；(2)若函数)(x f 在区间[-4,4]上的最大值为26,求a 的值.19．(本小题满分12分)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)，f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数．(1)求a 的值和函数f (x )的定义域； (2)解不等式f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0.21．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b . (1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式；(2)若φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．22. (本小题满分12分)已知函数b ax x x f +-=ln )(（a ,b R ∈）有两个不同的零点1x ，2x ． （1）求)(x f 的最值； （2）证明：1221x x a <．数 学(文科)说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}032<-=x x x A ,{}0log 2>=x x B ，则=B A （ B ）A. ()+∞,0B. ()3,1C. ()1,0D. φ2．若函数)(x f 满足1)12(+=-x x f ，则)3(f 等于 （ A ）A. 3B. 4C. 5D. 63．曲线x y =在点⎪⎭⎫⎝⎛21,41M 处的切线的倾斜角是( B )A ．－45°B ．45°C ．135°D ．45°或135° 4．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( D )A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c 5．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( A )A ．xy 3-= B ．21x y = C ．23log x y = D ．2x x y -=6．用反证法证明命题“ab N b a ,,∈可被5整除，那么b a ,中至少有一个是5的倍数”时，反设正确的是( B )A ．b a ,都是5的倍数B ．b a ,都不是5的倍数C ．a 不是5的倍数D ．b a ,中有一个是5的倍数 7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( C )A. 26-nB. 28-nC. 26+nD. 28+n8．定义在R 上的奇函数)(x f 满足()x f x f 1)2(-=+，且在()1,0上x x f 3)(=，则()3log 54f =（ D ）A. 32 B ．23- C. 23 D. 32-9．已知函数)(x f ＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图像如图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图像是( C )10．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( C)A. ⎝⎛⎭⎫23，1 B . ⎣⎡⎭⎫34，1 C. ⎝⎛⎦⎤23，34 D . ⎝⎛⎭⎫23，＋∞11.设函数()031)(23>-=a x ax x f 在(0,3)内不单调,则实数a 的取值范围是( A ) A. 32>a B. 320<<a C. 310<<a D.132<<a 12.已知函数()f x 在R 上满足()()2f x f x x +-=，当()0,x ∈+∞时，()f x x '>.若()()112f a f a a +--≥，则实数a 的取值范围是（ A ）A ．[)0,+∞B ．[)1,+∞ C.(],0-∞ D ．(],1-∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知幂函数)(x f y =，27)3(=f ，则)(x f 的表达式是________．3)(x x f =14．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递增区间为________．()∞+-，115．在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”,四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．甲16．在三角形中，有结论：“任意两边之和大于第三边”，类比到空间，在四面体中，有 ______ （用文字叙述）任意三面面积之和大于第四面面积三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)计算：(1) 3244103132286723⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-(2) 3log 122ln 001.0lg +-++e 答案：（1）原式＝＝2.（2）原式＝lg 10－3＋ln e 12＋2log 232＝－3＋12＋32＝－1.18. (本小题满分12分) 已知函数)(331)(23R a a x x x x f ∈+++-=, (1)求函数)(x f 的单调增区间.(2)若函数)(x f 在区间[-4,4]上的最大值为26,求a 的值. 解: (1)a x x x x f +++-=331)(23，则32)(2'++-=x x x f ，令0)('>x f ，即 0322>++-x x ，解得31<<-x ，所以函数)(x f 的单调增区间为()3,1-.(2)由函数在区间[-4,4]内的列表可知:函数)(x f 在(-4,-1)和(3,4)上分别是减函数,在(-1,3)上是增函数,又因为376)4(+=-a f ,9)3(+=a f ,所以)3()4(f f >-, 所以)4(-f 是)(x f 在[-4,4]上的最大值,所以26376=+a ,即32=a . 19．(本小题满分12分)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)，f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎨⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数．(1)求a 的值和函数f (x )的定义域； (2)解不等式f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0. 解：(1)因为函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝11－2x－a ，即(1－a )2x ＋a 1－2x ＝a ·2x ＋1－a1－2x，从而有1－a ＝a ，解得a ＝12. 又2x－1≠0，所以x ≠0，故函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)由f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0，得f (－m 2＋2m －1)＜－f (m 2＋3)，因为函数f (x )为奇函数，所以f (－m 2＋2m －1)＜f (－m 2－3)．由(1)可知函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，从而在(－∞，0)上是减函数，又－m 2＋2m －1＜0，－m 2－3＜0，所以－m 2＋2m －1＞－m 2－3，且1≠m 解得m ＞－1，且1≠m ，所以不等式的解集为()()+∞⋃-,11,1 ． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式；(2)若φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得)('x f ＝1x ，∴)1('f ＝1＝12a ，a ＝2. 又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1. (2)∵φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数，∴ )('x ϕ＝－x 2＋(2m －2)x －1x (x ＋1)2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x ，x ∈[1，＋∞).∵x ＋1x ∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值范围是(－∞，2]. 22. (本小题满分12分)已知函数b ax x x f +-=ln )(（a ,b R ∈）有两个不同的零点1x ，2x ． （1）求)(x f 的最值； （2）证明：1221x x a <． 解：（1）()1'f x a x=-， ()f x 有两个不同的零点， ∴()f x 在()0,+∞内必不单调，故0a >，此时()'0f x >，解得1x a<， ∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增， 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减， ∴()max 1ln 1f x f ab a ⎛⎫==--+⎪⎝⎭，无最小值． （2）由题知11220,{ 0,lnx ax b lnx ax b -+=-+=两式相减得()1122ln 0xa x x x --=，即1212lnx x a x x =-， 故要证1221x x a<，即证()21212212ln x x x x x -<，即证()212211221221ln 2x x x x x x x x x x -<=-+， 不妨设12x x <，令()120,1x t x =∈，则只需证21ln 2t t t <-+，设()21ln 2g t t t t =--+，则()212ln 11'2ln 1t t t g t t t tt-+=-+=，设()12ln h t t t t =-+，则()()221'0t h t t-=-<，∴()h t 在()0,1上单减， ∴()()10h t h >=，∴()g t 在()0,1上单增，∴()()10g t g <=，即21ln 2t t t<-+在()0,1t ∈时恒成立，原不等式得证．。
2018-2019甘肃省兰州市高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版
绝密★启用前甘肃省兰州市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文)试题评卷人得分一、单选题1．已知，则复数（）A．B．2 C．D．【答案】A【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，则.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．不等式的解集为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用含有一个绝对值的不等式的解法，求得不等式的解集.【详解】由得，即，即，故选A.【点睛】本小题主要考查含有一个绝对值的不等式的解法，属于基础题.3．在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线方程为（）【答案】C【解析】【分析】将点P（4，的极坐标化成直角坐标为（2，2），p点到x轴的距离为2，从而经过此点到x轴的距离为2的直线的方程是y=2，由此能求出结果．【详解】∵将点P（4，的极坐标化成直角坐标为（2，2），∴此点到x轴的距离为2，∴经过此点到x轴的距离为2的直线的方程是y=2，∴过点P且平行于极轴的直线的方程是ρsinθ=2，故选：C．【点睛】本小题考查直线的极坐标方程的求法，极坐标与直角坐标的互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．观察下列算式：，，,,,,,,……用你所发现的规律可得的末位数字是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】通过观察可知，末尾数字周期为，据此确定的末位数字即可.【详解】通过观察可知，末尾数字周期为，，故的末位数字与末尾数字相同，都是．故选D．【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．到组数据：，由最小二乘法求得回归直线方程:.若已知，则( )A．75 B．155.4 C．375 D．466【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程过样本中心点列方程，解方程求出正确选项.【详解】依题意，设，由于回归直线方程过样本中心点，故，解得，故选C.【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点，考查方程的思想，属于基础题. 6．下列推理不属于合情推理的是( )A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B．由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电C．两条直线平行，同位角相等，若与是两条平行直线的同位角，则D．在数列中，，推断的通项公式为【答案】C【解析】【分析】根据合情推理与演绎推理的区别，选出不属于合情推理的选项.【详解】根据合情推理与演绎推理的区别可知，C选项属于演绎推理，A,B,D三个选项属于合情推理.故本小题选C.【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理的区别，属于基础题.7．利用反证法证明：若，则，假设为( )A．都不为0 B．不都为0【解析】【分析】根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果.【详解】的否定为，即，不都为0，选B.【点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.8．若是任意实数，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】利用特殊值对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】不妨设：对于A选项，故A选项错误.对于C选项，，故C选项错误.对于D选项，，故D选项错误.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查比较大小，考查不等式的性质，属于基础题.9．研究变量得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论:①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好；③线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点；④若变量和之间的相关系数，则变量和之间的负相关很强.以上正确说法的个数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】①残差平方和越小的模型，模拟效果越好，故①对；②用相关指数来刻画回归效果，越大说明模拟效果越好，故②错③回归直线必过样本中心，但数据点不一定在线上，故③错④相关系数为正值，则两变量正相关，相关系数为负值，则两变量负相关，且相关系数绝对值越接近1，相关性越强，，则负相关很强，故④对，故选B【点睛】主要考查回归分析性质及结论的应用，属基础题。
(解析版)甘肃省兰州第一中学2018-2019学年高二9月月考
兰州一中2018-2019-1学期高二年级9月月考试题数学一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.）1. 数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式为A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：数列中正负项（先正后负）间隔出现，必有，1，3,5,7,9，……故2n-1，所以数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式是，故选B。
考点：数列的通项公式。
点评：简单题，利用数列的前几项写出数列的一个通项公式，有时结果不唯一。
2.在△ABC中，a＝2，b＝2，∠B＝45°，则∠A为（）A. 30°或150°B. 60°C. 60°或120°D. 30°【答案】C【解析】【分析】由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinA的值，由a大于b，根据三角形中大边对大角可得A大于B，进而确定出A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【详解】∵a＝2，b＝2，∠B＝45°，∴根据正弦定理得：sinA==，又a＞b，∴A＞B，∴45°＜A＜180°，则A为60°或120°．故选：C．【点睛】此题考查了正弦定理，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.3.等差数列{a n}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】∵a1＋a5＝10，a4＝7，∴⇒d＝24.在△ABC中，若，则A与B的大小关系为（）A. B. C. D. A、B的大小关系不能确定【答案】A【解析】解：因为在中，，利用正弦定理，则可知a>b，那么再利用大边对大角，因此选A5.等差数列中，,，则当取最大值时，的值为（）A. 6B. 7C. 6或7D. 不存在【答案】C【解析】设等差数列的公差为∵∴∴∴∵∴当取最大值时，的值为或 故选C6.在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（ ）A. B. － C. D. － 【答案】D 【解析】 考点：解三角形 由正弦定理可知，即，设，则，，所以.点评：此题考查正弦定理及余弦定理，属中低档题. 7.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若，则为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：在等差数列中构成新的等差数列，设考点：等差数列性质 8.两个等差数列和,其前项和分别为,且则等于A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由已知，根据等差数列的性质，把 转化为求解．【详解】因为：===.故选：D．【点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，以及计算能力．等差数列的常见性质：是等差数列，且，，成等差数列，其实质是成等差数列；③为等差数列为常数.9.在△ABC中，，则△ABC一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形【答案】A【解析】【分析】由正弦定理将边化为正弦，将式子变式，结合两角和差公式、和差化积公式等即可求出与的关系，进而得出结论.【详解】由正弦定理变式：，化简可得，由和差化积公式：，移项因式分解可得：，由于括号内式子不等于0，所以：，所以，即三角形为等腰三角形.故选A.【点睛】本题考查正弦定理、两角和差公式以及和差化积公式，要熟练掌握公式，注意结合三角形的性质对结论进行判断与取舍..10.已知数列中，前项和为，且点在直线上，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：点在一次函数上的图象上，，数列为等差数列，其中首项为，公差为，，数列的前项和，，．故选D．考点：1、等差数列；2、数列求和．11.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求出BC的数值，正弦定理推出∠ACB的余弦值，利用cosθ=cos（∠ACB+30°）展开求出cosθ的值．【详解】如图所示，在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos120°=2800，所以BC=20．由正弦定理得sin∠ACB=•sin∠BAC=．由∠BAC=120°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB=．故cosθ=cos（∠ACB+30°）=cos∠ACBcos30°﹣sin∠ACBsin30°=．故选：B．【点睛】本题是中档题，考查三角函数的化简求值，余弦定理、正弦定理的应用，注意角的变换，方位角的应用，考查计算能力．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.12.设等比数列{a n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S n .若对任意的n∈N*，有S2n＜3S n，则q的取值范围是（）A. (0,1]B. (0,2)C. [1,2)D. (0，)【答案】A【解析】若q=1,则S2n=2na1<3na1=3S n,所以q=1符合要求;当q≠1时,<,若q>1,则可得q2n-3q n+2<0,即(q n-1)(q n-2)<0,即1<q n<2,而q>1不可能对任意n值都有q n<2,所以q>1不符合要求;当0<q<1时,可得(q n-1)(q n-2)>0,即q n<1,由于0<q<1,所以对任意n值都有q n<1,所以q<1符合要求.综合可得q的取值范围是(0,1].二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.）13.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角B的值为________．【答案】【解析】【分析】根据余弦定理得到由特殊角的三角函数值得到角B.【详解】根据余弦定理得到进而得到角B=.故答案为：.【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.14.数列1, 2, 3, 4, 5, …的前n项和等于________ ．【答案】【解析】S n＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＝＋＝＋1－15.在中，内角所对的边分别是.已知，则外接圆的直径为_____________ ．【答案】【解析】【分析】由三角形面积公式得到c=,再由余弦定理得到代入已知量得到b=5,再由正弦定理得到外接圆的直径.【详解】根据三角形面积公式得到再由余弦定理得到，代入已知量得到b=5,根据正弦定理得到故答案为：.【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.16.在数列｛a n｝中，若a1=1,a n+1=2a n+3 (n≥1),则该数列的通项a n=_______ ．【答案】a n=【解析】试题分析：递推公式a n＋1＝2a n＋3转化为为等比数列，首项为4，公比为2考点：求数列通项公式三、解答题（本大题共6 小题，共70分）17.已知数列是等差数列，是等比数列，且,, . （1）求数列的通项公式；（2）求数列的前10项和.【答案】（1）（2）290【解析】【分析】(1)是等比数列，根据得到公比，再由数列的通项公式得到结果；（2）数列是等差数列，，由性质得到，得到公差为6，进而得到，得到结果即可.【详解】（1）是等比数列，且，（2）数列是等差数列，，从而【点睛】这个题目考查了等差等比数列的通项的求法，以及等差数列的前n项和的求法，数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。
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兰州一中2018-2019-2学期期中考试试题高二数学（文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）B. 2【答案】A【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. ( )D.【答案】A【解析】【分析】利用含有一个绝对值的不等式的解法，求得不等式的解集.【详解】由 A.【点睛】本小题主要考查含有一个绝对值的不等式的解法，属于基础题.3.）B. D.【答案】C【解析】【分析】将点P（4，的极坐标化成直角坐标为（，2），p点到x轴的距离为2，从而经过此点到x轴的距离为2的直线的方程是y=2，由此能求出结果．【详解】∵将点P（4的极坐标化成直角坐标为（，2），∴此点到x轴的距离为2，∴经过此点到x轴的距离为2的直线的方程是 y=2，∴过点P且平行于极轴的直线的方程是ρsinθ=2，故选：C．【点睛】本小题考查直线的极坐标方程的求法，极坐标与直角坐标的互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.观察下列算式：，，( )B.【答案】D【解析】【分析】.【详解】通过观察可知，，尾数字相同，都是D．【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．5.数据：由最小二乘法求得回归直线方程若已知，则)A. 75B. 155.4C. 375D. 466 【答案】C【解析】【分析】.，解得，故选C.【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点.6.下列推理不属于合情推理的是( )A. 由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B. 由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电C.D.【答案】C【解析】【分析】根据合情推理与演绎推理的区别，选出不属于合情推理的选项.【详解】根据合情推理与演绎推理的区别可知，C选项属于演绎推理，A,B,D三个选项属于合情推理.故本小题选C.【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理的区别，属于基础题.7.( )0 000【答案】B【解析】【分析】根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果.【详解】的否定为0，选B.【点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.8.）D.【答案】B【解析】【分析】利用特殊值对选项进行排除，由此得出正确选项.A A选项错误.对于C选项，C选项错误.对于D D选项错误.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查比较大小，考查不等式的性质，属于基础题.9.:①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；③线性回归方程对应的直线④若变量.以上正确说法的个数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，对各个命题逐一判断，可得真假。
【详解】①残差平方和越小的模型，模拟效果越好，故①对；③回归直线必过样本中心，但数据点不一定在线上，故③错④相关系数为正值，则两变量正相关，相关系数为负值，则两变量负相关，且相关系数绝对值越接近1B【点睛】主要考查回归分析性质及结论的应用，属基础题。
10.若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）【答案】A 【解析】 【分析】 的值，当.【详解】运行程序，判断是，判断是，判断是，，以此类推，故：，判断是，故选A. 【点睛】本小题考查计算循环结构程序框图输出结果，属于基础题.11.( )【答案】C【解析】12.在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（）A. 丙、丁B. 乙、丙C. 甲、乙D. 甲、丁【答案】A【解析】【分析】假设参与此案的两名嫌疑人是甲、乙或乙、丙或甲、丁或丙、丁，依次分析题设条件，能求出结果．【详解】假设参与此案的两名嫌疑人是丙、丁，符合题意，故A正确；假设参与此案的两名嫌疑人是乙、丙，则由乙参与此案，得丁一定参与，不合题意，故B错误；假设参与此案的两名嫌疑人是甲、乙，则由乙参与此案，得丁一定参与，不合题意，故C错误；假设参与此案的两名嫌疑人是甲、丁，则由甲参与此案，则丙一定没参与，丙没参与此案，则丁也一定没参与，不合题意，故D错误；故选：A．【点睛】本题考查参与此案的两名嫌疑人的判断，考查合情推理的基础知识，是基础题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】-3 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部与虚部相等列式求解．【详解】∵（1+2i ）（a +i ）＝（a ﹣2）+（2a +1）i 的实部与虚部相等， ∴a ﹣2＝2a +1，即a ＝﹣3． 故答案为：﹣3．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，属于简单题．14.__________.【答案】【解析】15.__________【答案】【解析】 试题分析：由,可知，,即转化为直角坐标系下的方程为,极点到直线的距离为考点：1.极坐标方程与直角坐标方程；2.点到直线的距离.16.为参数），，则直截得的弦长为__________. 【答案】3【解析】【分析】先将直线与圆的参数方程化为普通方程，然后求出圆心到直线的距离.【详解】为参数），消去，直线的普通方程：，圆心坐标圆心到直线的距离：根据弦长与弦心距的关系，弦长为故答案为3.【点睛】本题考查直线与圆的参数方程、相交弦问题，参数方程化为普通方程的关键是消参. 圆的弦长计算常用三种方法：（1理，可以通过弦心距（2）代数法，联立直线与圆的方程，整理得一元二次方程，或（3）参数方程法，设交点坐标的参数为三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.年)和所支出的年平均维修费用万元)(即维修费用之和除以使用年限),有如下的统计资料：使用年限维修费用（1（2）估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是多少?参考公式：【答案】（1）；（2）12.38万元. 【解析】 【分析】（1）利用回归直线方程的计算公式，计算出回归直线方程.（21）计算出的回归直线方程，由此求得估计值. 【详解】(1) 由公式可得，即回归方程是.（2）由（1故估计使用年限为10.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，属于基础题.18.国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效.某生物制品硏究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：现从未注射疫苗的小白鼠中任取1（1p，q（2（3）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率.【答案】（1）60,40,100,100；（2（3【解析】【分析】（1）根据“从未注射疫苗的小白鼠中任取1.（2把握认为注射此种疫苗有效.（3）利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】（1）由于“从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率（2）有效.（3）由于在感染病毒的小白鼠中，故抽取的5只小白鼠中32机抽取3只，可能的情况共有以下10其中至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有7种.所以至少抽到2只为未注射疫苗的【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查. 19.选修4-4：坐标系与参数方程的直线的参数方程为，以坐标原点为极点，的极坐标方程为线与曲线.（1（2.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1（2）将直线的参数方程化为，将其代入抛物线方程后整理得，根据点A,B对应的参数的几何意义求解．试题解析：（1代入上式可得．（2，20.选修4-5：不等式选讲已知函数（1（2.【答案】（1（2）3.【解析】分析：（1）利用零点分段讨论法进行求解；（2值问题，再通过解一元二次不等式进行求解．详解：(1)f(x)=|x-1|+|x当x≤1时,得-2x+3≥3,解得x≤0,当1<x<2时,得1≥3,所以x∈⌀,当x≥2时,得2x-3≥3,解得x≥3.综上可知,不等式f(x)≥3的解集为(-∞,0]∪[3,+∞).(2)由|x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|=1,依题意得-a2+a+7≥1,即a2-a-6≤0,解得-2≤a≤3,故a的取值范围是[-2,3].点睛：求①利用零点分段讨论法将其转化为分段函数；②利用绝对值的几何意义进行求解（数形结合思想）；21.在极坐标系中，半轴为极轴，建立极坐标系，直线的参数方程为.（1（2.【答案】【解析】试题分析：（1而得到曲线（2利用余弦型函数的有界性求最值即可.试题解析：(1)；直线的普通方程为：.(2)上任意一点为22.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1) 求出，，并猜测的表达式；(2) 求证：＋＋＋…＋.【答案】(1) f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，f(5)＝25＋4×4＝41.f(n)＝2n2－2n＋1.(2)略【解析】本试题主要是考查了数列的归纳猜想思想的运用，根据前几项。
来猜想并运用数学归纳法加以证明。
（1）结合题目中的递推关系式可知前几项的值，并猜想结论。
（2）分为两步骤进行，先证明n取第一个值时成立，再假设n=k时成立，证明n=k+1时也成立即可。
解：(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n. ∴f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，…f(2)－f(1)＝4×1，∴f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1(n≥2)，又n＝1时，f(1)也适合f(n)．∴f(n)＝2n2－2n＋1. --------6分---------------12分。