2019届福建省永春一中、培元中学、季延中学、石光中学四校高三第二次联合考试数学(理)试题

x ⎨ ⎩ 永春一中 培元中学季延中学
石光中学 2019 届高三年毕业班第二次联合考试试卷（数学理科）
考试时间：120 分钟 试卷总分：150 分本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分 第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请．把．答．案．填．写．在．答．题．卡．相．应．位．置．上．。

1．集合M = {y y = lg (x 2 +1)}
， N = {x 4x < 4} ，则M N 等于( )
A ． [0, +∞)
B ． (1, +∞)
C ． [0,1)
D ． (0,1]
2. 设复数 z 1 , z 2 在复平 面内的对应点关于虚轴对称， z 1 = 2 + i ，则 z 1 ⋅ z 2 =(
)
A ．5
B ．-5
C ． -4 + i
D ． -4 - i
3. 若二项式⎛
2 ⎫n - x
⎪ 展开式中的第5 项是常数，则自然数n 的值为（ ）.
⎝
⎭
A ．10
B ．12 C.13 D ．14
⎧2x + 2 y ≥ 1 4. 若 x , y 满足约束条件⎪
x ≥ y
⎪2x - y ≤ 1 且向量a = (3, 2) ,b = ( x , y
)
则a b 的取值范围是：(
)
A ． ⎡ 5 ,5⎤
B ． ⎡ 5 , 4⎤
C. ⎡ 7 ,5⎤
D ． ⎡ 7 , 4⎤
⎢⎣ 4 ⎥⎦
⎢⎣ 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
⎢⎣ 2 ⎥⎦
5. 如图 1 一个实例，若输入n ，x 的值分别为4 ，2 ，则输出v 的值为（ A ．8 B ．16 C ．33 D ．66
6. 下列命题是假．命．题．
的是 （ ） A .已知随机变量 X ~ N (μ,σ 2 ) ，若 P (X ≥ ξ ) = P (X < ξ ) ，则ξ + ξ = 2μ ；
1
2
1
2
B .在三角形 AB
C 中， A > B 是sin A > sin B 的充要条件；
C .向量a = (-2,2),b = (0,-1) ，则a 在b 的方向上的投影为2 ；
D .命题“ p 或q 为真命题”是命题“ p 为真命题且q 为假命题”的必要不充分
条件。

7. 某几何体的三视图如图示，则此几何体的体积是（ A ． 3π
B ． 10
π
3
C. 6π
D. 20 π
3 正视图
侧视图
8. 已知等差数列{a n } 和等比数列{b n } 各项都是正数，
且a = b a = b ．那么一定有(
)
第 7 题
1
1
11
11
俯视图
A. a 6 ≤ b 6
B. a 6 ≥ b 6
C. a 12 ≤ b 12
D. a 12 ≥ b 12
9. 定义在区间[a , b ] (b > a ) 上的函数 f ( x )
= 1 sin x - 3 cos x 的值域是⎡- 1 ,1⎤
， 2 2 则b - a 的最大值与最小值之和为 ( )
⎣⎢ 2 ⎥⎦ A ． π B ． π C ．
5π D ． 2π
2 3 10. 函数 f ( x ) = (x 2 - 2x )e x 的图象大致是(
)
11. 如图, OC = 2OP , AB = 2AC ,OM = m OB ,ON = n OA , 若 m = 3
,那么n = (
) 8 A.
3 4
B.
2 3
C.
4 5
D.
5 8
12. 设 f ( x ) 的定义域为 D ，若 f(x)满足下面两个条件，则称 f (
x ) 为闭函数，①
f ( x ) 在 D 内是单调函数；②存在[a ,b ] ⊆ D ，使 f ( x ) 在[a , b ]
上的值域为[a , b ] 。

如果 f ( x ) = k 为闭 函数，那么k 的取值范围是( )
A ． -1 < k ≤ - 1 2 B. k > -1 C. k < 1
D ． 1
≤ k < 1 2
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题 ：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请．把．答．案．填．在．答．题．卡． 的．横．线．上．。

13. 已知直线3x + 4 y - 3 = 0 ， 6x + my + 14 = 0 平行，则它们之间的距离是
．
- n 2 2 2 2
14. 已知{a n }为等差数列， a 1 + a 3 + a 5 = 156 ， a 2 + a 4 + a 6 = 147 ，{a n }的前n 项和为
S n ，则使得 S n 达到最大值时n 是 ．
15.
已知 F 为双曲线C ：x y = 1（ a > 0 ，b > 0 ）的左焦点，直线l 经过点 F ，
a b
若点 A (a ,0) ， B (0, b )关于直线l 对称，则双曲线C 的离心率为
．
16.
设函数 f (x ) 、g (x ) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 f (x ) + g (x ) = 2x ,
若对
x ∈[1,2]，不等式af (x ) + g (x ) ≥ 0 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

请．在．答．题．卡．各．自．题．目．的．答．题．区．域．内．作．答．。

17. （本题满分 12 分）在数列{a }中， a = 1, 2a = (1+ 1
)2 a (n ∈ N + ) ．
n 1 n +1 n n
（1） 证明数列⎧ a n ⎫
成等比数列，并求{a }的通项公式；
（2） 令b ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ = a - 1 a n
，求数列{b }的前n 项和 S ．
n n +1 2 n
n n
18.（本题满分 12 分）在∆ABC 中，角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b , c ，且满足
b = a cos C +
3 c sin A .
3
（1） 求角 A 的大小；
（2） 若a = 2 ，求∆ABC 周长的最大值.
2
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
m x 19.（本题满分 12 分）已知如图 1 所示，在边长为 12 的正方形 AA ' A 1 A 1 ,中,
BB 1 / /CC 1 / / AA 1 ,且 AB = 3 , BC = 4，AA '1 分别交 BB 1,CC 1 于点 P 、Q ,将该正
方形沿 BB ,CC ,折叠，使得 A ' A '
1 1 1
与 AA 1 重合，构成如图 2 所示的三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 ,在该三棱柱底边 AC 上有一点M ,满足
AM = k MC ; 请在图 2 中解决下 列问题:
(1) 求证:当k = 3
时， BM //平面 APQ ;
4
(2) 若直线 BM 与平面 APQ ，求k 的值.
2 2 20．（本题满分 12 分）已知m > 1，直线l ：x - my - 2 = 0 ，椭圆C ：，m
2
+ y 2 = 1
F 1、F 2 分别为椭圆C 的左、右焦点．
（1） 当直线l 过右焦点 F 2 时，求直线l 的方程；
（2）
设直线l 与椭圆C 交于 A ，B 两点，∆AF 1F 2 ，∆BF 1F 2 的重心分别为G ，
H ． 若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．
21．（本题满分 12 分）已知函数 f (x ) = e x
- ax -1 （ e 为自然对数的底数）.
（1） 求函数 f (x ) 的单调区间；
（2） 当a > 0 时，若 f (x ) ≥ 0 对任 意的 x ∈ R 恒成立，求实数a 的值；
⎡ 2 ⨯ 3 ⎤ ⎡ 2 ⨯ 32 ⎤ ⎡ 2 ⨯ 3n ⎤
（3）求证： ln ⎢1 + (3 - 1)2 ⎥ + ln ⎢1 + (32 -1)2 ⎥ + ... + ln ⎢1 + (3n -1)2 ⎥ < 2
请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的 第一题记分， 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22.（本题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
⎧ ⎪
x = -1+ 已知直线 l 的参数方程为 ⎨ 2 t
2 （ 其中 t 为参数） ，曲线 C 1 ： ⎪ y = 2 t ⎩ 2
ρ 2 cos 2 θ + 3ρ 2 sin 2 θ - 3 = 0 ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐
标系，两种坐标系中取相同长度单位．
（1） 求直线l 的普通方程及曲线C 1 的直角坐标方程；
（2） 在曲线C 1 上是否存在一点 P ，使点 P 到直线l 的距离最大？若存在，求出距
离的最大值及点 P 的直角坐标；若不存在，请说明理由．
23.（本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x ) = x - a + 2 x -1
当a = 2 时，求关于 x 的不等式 f (x ) > 5 的解集；
若关于 x 的不等式 f (x ) - x -1 ≤ a - 2 有解，求a 的取值范围．
⎪。