湘教版八年级数学上册导学案 2.2第1课时 定义与命题
湘教版-数学-八年级上册-2.2.1 定义、命题、证明(1)教案
2.2.1 定义、命题、证明（1）（第6课时）教学目标1、知识与技能：了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解。
会区分命题的条件和结论。
2、情感、态度与价值观：初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。
重点与难点 1、重点：找出命题的条件（题设）和结论。
2、难点：命题概念的理解。
教学过程一、复习引入教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等。
根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确。
1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2、两直线平行，同位角相等；3、同旁内角相等，两直线平行；4、平行四边形的对角线相等；5、直角都相等。
二、探究新知（一）命题、真命题与假命题学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、5是正确的，句子3、4水错误的。
像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题。
教师：在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。
题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果.......，那么.......”的形式。
用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论。
例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论。
有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果.........，那么...........”的形式，就可以分清它的题设和结论了。
例如，命题5可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等。
”（二）实例讲解1、教师提出问题1（例1）：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果.......，那么.......”的形式，并分别指出命题的题设和结论。
学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”。
这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”。
2.2 第2课时 真命题、假命题与定理 南阳2中湘教版八年级上册数学导学案
，能判断给出的语句哪些是命题．知识模块一 掌握定义、命题的相关概念(1)对顶角相等；(2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等；(4)同位角相等，两条直线平行吗？(5)鸟是动物；(6)若x－5＝0，求x的值． 解：(1)(3)(5)是命题，(2)(4)(6)不是命题． 知识模块二 探究命题的条件与结论的结构【合作探究】指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式，写出它们的逆命题．(1)垂直于同一直线的两条直线平行；解：条件是“垂直于同一直线的两条直线”，结论是“这两条直线平行”．可以改写成“如果两条直线垂直于同一直线，那么这两条直线平行．”逆命题是：两条直线平行，这两条直线会垂直于同一直线． (2)对顶角相等．解：条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”．可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．逆命题是：相等的角是对顶角． 【自主学习】1．教材P51做一做．2．写出“两直线平行，同位角相等”的条件和结论，并写出它的逆命题．解：条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．可以改写成“如果两直线平行，那么同位角相等”．逆命题是：同位角相等，两直线平行． 活动1 小组讨论例 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题．(1)两直线平行，内错角相等；解：条件是“两直线平行”，结论是“内错角相等”．可以改写成“如果两直线平行，那么内错角相等．”逆命题是：内错角相等，两直线平行．(2)同角的余角相等．解：条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”可以改写成“如果两个角是同一角的余角，那么这两个角相等”．逆命题是：余角相等的两个角是同一个角．活动2 跟踪训练1．下列语句中，是命题的是(B)A．连接A、B两点B．锐角小于钝角C．作平行线D．取线段AB的中点M2．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式．(1)能被2整除的数必能被4整除；解：如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除． (2)异号两数相加得零．解：如果两个数异号，那么这两个数相加的和为零．3．写出下列命题的逆命题．(1)直角三角形的两个锐角互余；解：两个锐角互余的三角形是直角三角形． (2)若a＝0，则ab＝0.解：若ab＝0，则a＝0. 活动3 课堂小结。
湘教版初中数学八年级上册2.2.1定义、命题、证明第1课时教案(2)
2.2.1 定义、命题、证明
预设目标1、知识与技能：了解真命题和假命题；知道判断一个命题是假命题的方法。
2、过程与方法：结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。
教学重难点重点：命题的有关概念难点：命题真假的判断
教法
学法
讲授、练习
教学过程一、复习引入：什么叫命题？命题由哪两部分构成？
什么叫互逆命题？
二、探究新知
（一）命题、真命题与假命题
学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子正确的，还是错误的。
像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题。
正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题
例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只要举出一个反例：60度角是锐角，100度角是钝角，但它们的和不是180度即可。
三、练习 P55 练习1、2、3
四、总结
1、什么叫命题？什么叫真命题？什么叫假命题？
2、命题都可以写成“如果.....，那么.......”的形式。
3、要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了。
作业P59 习题A组3
教
学
反
思。
新湘教版八年级上册数学课件：2.2 第1课时 定义与命题
总结归纳
命题的组成：
题设
已知事项
命题
结论
由已知事项 推出的事项
两直线平行， 题设（条件）
同位角相等 结论
典例精析
例2：下列命题的条件是什么？结论是什么？ （1）如果两个角相等，那么它们是对顶角； （2）如果a=b,b=c,那么a=c； （3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和； （4）三角形的中线分三角形为面积相等的两部分.
导入新课
观察与思考
小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.
这个黑客终于 被逮住了.
是的,现在的因特网 广泛运用于我们的生 活中,给我们带来了
方便,但…….
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也 在悄悄地议论着.
这个黑客是个 小偷吧？
可能是个喜欢 穿黑衣服的贼.
有一位田径教练向领导汇报训练成绩；
练一练
写出下列命题的逆命题： （1）若两数相等，则它们的绝对值也相等；
绝对值相等的两个数相等； （2）如果m是整数，那么它也是有理数；
如果m是有理数，那么它也是整数； （3）两直线平行，内错角相等；
内错角相等，两直线平行；
（4）两边相等的三角形是等腰三角形. 等腰三角形的两边相等.
当堂练习
1.在下列空格上填写适当的概念： (1) 垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的 垂直平分线 . (2) 在数轴上，表示一个实数的点与原点的距离叫作这个实
注意： 定义必须能清楚地 规定出概念最本质 的特征.
二 命题
做一做：下图表示某地的一个灌溉系统.
1.如果B处水流受到污染,那么C,E,F,G 处水流便受到污染;
2.如果C处水流受到污染,那么 E 处水流便受到污染;
2019秋八年级数学上册第2章三角形2.2命题与证明第1课时定义与命题教案2新版湘教版
2.2命题与证明第1课时定义与命题教学目标：1、了解命题、定义的含义；2、对命题的概念有正确的理解；3、区分命题的条件和结论。
教学重点：找出命题的条件（题设）和结论。
教学难点：命题概念的理解。
教学过程:一、回顾已知引入新课1、填空：（1）三角形的任意两边之和第三边；（2）三角形内角和等于；（3）三角形中，连接一个顶点和它对边中点的连线叫做；（4）三角形三条中线相交于一点，这三条中线的交点叫做。
2、（引入课题）像上（3）（4）这样，对一个概念加以描述说明或作出明确规定的语句叫做这个概念的定义。
二、自主学习探究新知1、师生共同探究第50面的“说一说”和“议一议”。
2、一般地，对某一事情作出判断的语句叫作命题。
我们来看看，下面的语句哪些是命题？（1）如果一个三角形的三个内角都是锐角，那么这个三角形是锐角三角形。
命题通常写成“如果……那么……”的形式，“如果……”就是条件，“那么……”是结论。
（2）在ΔABC中，如果∠A＝∠B，那么这个三角形就是等腰三角形；此命题的条件是，结论是。
3、阅读第51面的“观察”，了解命题的一般表述式。
命题也可以不写“如果”、“那么”。
如：直角三角形的一个内角为22°，另外一个锐角为68°.此命题的条件是，结论是。
A三、精讲点拨精练提升1、完成第51面的“做一做”，了解互逆命题。
2、如上图：（命题一）如果AD是ΔABC的中线，那么BD＝DC.条件，结论；（命题二）如果BD＝DC，那么AD是ΔABC的中线。
条件，结论。
比较命题一和命题二的条件和结论，你发现了什么？3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们就把这样的两个命题称为互逆命题。
其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题。
写一个命题的逆命题，只要将原命题的条件和结论互换就可以得到，所以每个命题都有逆命题。
四、达标检测当堂过关1、说出下列概念的定义：（1）有理数（2）分式方程（3）三角形（4）角平分线2、下列语句哪些是命题：（1）若ab=0，则a=0或b=0；（2）作直线a的平行线b；（3）两直线平行，同位角相等（4）过两点可画几条直线？3、如果ΔABC中∠A＝∠B，那么ΔABC是等腰三角形。
2023年湘教版八年级数学上册：2.2命题与证明(3)导学案
G F E
D C B A
新湘教版八年级数学上册：2.2命题与证明（3）导学案
【学习目标】 1、会运用定义、定理、推论对一个命题进行推理论证；
2、明确证明文字命题的三个步骤。
3、了解反证法的证明思路。
【前置学习】
1.如图，AB//CD ，AB 与D E 相交于点G ，∠B=∠D ，求证：DE//BF 。
2. 用“反证法”证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角不互补，那么这两条直线必相交。
应先假设_____________________。
【经典例题】
例1、证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题。
已知：
求证： （在此画图） 证明：
G F E D C
B A
例2、用反证法证明：一个三角形中不可能有两个钝角。
例3、已知：如图，B D ⊥AC ，EF ⊥AC ，D ，F 是垂足，∠BDG=∠CEF,求证：∠ADG=∠C 。
【课堂小结】。
2019秋八年级数学上册第2章三角形2.2命题与证明第1课时定义与命题教案2(新版)湘教版
2.2命题与证明第1课时定义与命题教学目标：1、了解命题、定义的含义；2、对命题的概念有正确的理解；3、区分命题的条件和结论。
教学重点：找出命题的条件（题设）和结论。
教学难点：命题概念的理解。
教学过程:一、回顾已知引入新课1、填空：（1）三角形的任意两边之和第三边；（2）三角形内角和等于；（3）三角形中，连接一个顶点和它对边中点的连线叫做；（4）三角形三条中线相交于一点，这三条中线的交点叫做。
2、（引入课题）像上（3）（4）这样，对一个概念加以描述说明或作出明确规定的语句叫做这个概念的定义。
二、自主学习探究新知1、师生共同探究第50面的“说一说”和“议一议”。
2、一般地，对某一事情作出判断的语句叫作命题。
我们来看看，下面的语句哪些是命题？（1）如果一个三角形的三个内角都是锐角，那么这个三角形是锐角三角形。
命题通常写成“如果……那么……”的形式，“如果……”就是条件，“那么……”是结论。
（2）在ΔABC中，如果∠A＝∠B，那么这个三角形就是等腰三角形；此命题的条件是，结论是。
3、阅读第51面的“观察”，了解命题的一般表述式。
命题也可以不写“如果”、“那么”。
如：直角三角形的一个内角为22°，另外一个锐角为68°.此命题的条件是，结论是。
A三、精讲点拨精练提升1、完成第51面的“做一做”，了解互逆命题。
2、如上图：（命题一）如果AD是ΔABC的中线，那么BD＝DC.条件，结论；（命题二）如果BD＝DC，那么AD是ΔABC的中线。
条件，结论。
比较命题一和命题二的条件和结论，你发现了什么？3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们就把这样的两个命题称为互逆命题。
其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题。
写一个命题的逆命题，只要将原命题的条件和结论互换就可以得到，所以每个命题都有逆命题。
四、达标检测当堂过关1、说出下列概念的定义：（1）有理数（2）分式方程（3）三角形（4）角平分线2、下列语句哪些是命题：（1）若ab=0，则a=0或b=0；（2）作直线a的平行线b；（3）两直线平行，同位角相等（4）过两点可画几条直线？3、如果ΔABC中∠A＝∠B，那么ΔABC是等腰三角形。
绛县X中学八年级数学上册第2章三角形2.2命题与证明第1课时定义命题教案新版湘教版
2.2命题与证明第1课时定义、命题【知识与技能】了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解.会区分命题的条件和结论. 【过程与方法】【情感态度】通过与学生的交流互动,营造愉快、和谐的课堂氛围,积极鼓励学生参与活动,使学生感受到学习数学的快乐,培养学生主动探索数学知识的积极态度.【教学重点】找出命题的条件（题设）和结论.【教学难点】命题概念的理解.一、情景导入，初步认知父子对话子：爸爸，什么是法律？父：法律就是法国的律师.子：那什么是法盲呢？父：法盲就是法国的盲人.（学生听后，大笑）同学们为什么笑呢？［生］父子俩对概念理解不清.［师］同学们说得都很好，由于父子俩对法律、法盲的定义不理解，因而闹出了笑话，所以对某些特殊名称或术语，我们需要给出它们的定义. 这节课我们就要共同来研究“定义与命题”.【教学说明】巧设现实情境，引入新课.二、思考探究，获取新知1.我们学习了许多有关三角形的概念，你能列举出一些与三角形有关的概念吗？【归纳结论】对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.如“把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式”是代数式的定义.【教学说明】教给学生获取知识的方法和途径,让学生的学习可持续发展.2.说一说“方程”、“三角形的角平分线”的定义.3.下列叙述事情的语句中，哪些对事情作出了判断？（1）三角形的内角和等于180°；（2）如果|a|=3，那么a=3;（3）1月份有31天；（4）作一条线段等于已知线段；（5）一个锐角与钝角互补吗？【归纳结论】一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.4.观察：下列命题的表述形式有什么共同点？（1）如果a=b,且b=c,那么a=c;（2）如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角.在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果……，那么……”的形式.用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论.5.做一做,指出下列命题的条件与结论，并改写成“如果…，那么…”的形式：①能被2整除的数是偶数.②有公共顶点的两个角是对顶角.③两直线平行，同位角相等.④同位角相等，两直线平行.上述命题③与④的条件与结论之间有什么关系？【归纳结论】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.三、运用新知，深化理解1.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？（1）对顶角相等；（2）画一个角等于已知角；（3）两直线平行，同位角相等；（4）a、b两条直线平行吗？（5）高个的李明明;（6）玫瑰花是动物;（7）若a2＝4，求a的值;（8）若a2＝b2，则a＝b.2.下列语句中，哪些是命题?哪些不是命题?(1)若a<b，则-b<-a；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在ΔABC中，若AB>AC，则∠C>∠B吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程x2-2x-3=0；(6)1＋2≠3.3.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：（1）三条边对应相等的两个三角形全等；解：条件是：两个三角形的三条边对应相等；结论是：这两个三角形全等.改写成：如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.（2）在同一个三角形中，等角对等边；解：条件是：同一个三角形中的两个角相等；结论是：这两个角所对的两条边相等.改写成：如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.（3）对顶角相等.解：条件是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等.改写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.(4)同角的余角相等；解：条件是：两个角是同一个角的余角；结论是：这两个角相等.改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.(5)三角形的内角和等于180°；解：条件是：三个角是一个三角形的三个内角；结论是：这三个角的和等于180°.改写成：如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°.(6)角平分线上的点到角的两边的距离相等．解：条件是：一个点在一个角的平分线上；结论是：这个点到这个角的两边距离相等.改写成：如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等.4.写出下列命题的逆命题.（1）直角三角形两个锐角互余.（2）两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.【教学说明】巩固所学知识，培养学生独立思考的习惯.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材P52“练习”.“如果……那么……”的形式.利用疑问句和祈使句的特点,判定二者不是命题的语句.学生的掌握情况还是比较可观的.等腰三角形基础训练1．若一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为(A ) A. 12 B. 9C. 12或9D. 9或72．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是(D )A. 1，2，3B. 1，1， 2C. 1，1， 3D. 1，2， 33．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为(D ) A. 60° B. 120°C. 60°或150°D. 60°或120°4．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有(B )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个(第5题图)5．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ，下列四个结论：①EF ＝BE ＋CF ；②∠BOC ＝90°＋12∠A ；③点O 到△ABC 各边的距离相等；④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝mn . 其中正确的结论是( A )A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④(第6题图)6．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，BD 与CE 交于点O .给出下列三个条件：①∠EBO ＝∠DCO ；②∠BEO ＝∠CDO ；③BE ＝CD .上述三个条件中，哪两个条件组合可判定△ABC 是等腰三角形(用序号写出一种情形)：①③或②③．7．在△ABC AB ＝22，BC ＝1，∠ ABC ＝45°，以AB 为一边作等腰直角三角形ABD ，使∠ABD ＝90°，连结CD ，则线段CD 的长为__5或13__．(第8题图)8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CA 延长线上一点，DE ⊥BC ，交线段AB 于点F .请找出一组相等的线段(AB ＝AC 除外)并加以证明．解：AD ＝AF .证明如下： ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C . ∵DE ⊥BC ，∴∠B ＋∠BFE ＝∠C ＋∠D ＝90°， ∴∠BFE ＝∠D . ∵∠BFE ＝∠DFA ， ∴∠DFA ＝∠D ， ∴AF ＝AD .拓展提高(第9题图)9．如图，△ABC 是等边三角形，点P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为Q .若BF ＝2，则PE 的长为(B )A. 2B. 3C. 2 3D. 310．已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD ＝12BC ，则△ABC 底角的度数为(D )A. 45°B. 75°C. 60°D. 45°或75°11．在平面直角坐标系中，点A (2，2)，B (32，32)，动点C 在x 轴上，若以A ，B ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数为(B )A. 2B. 3C. 4D. 512．如图，等腰△ABC 纸片(AB ＝AC )可按图中所示方法折成一个四边形，点A 与点B 重合，点C 与点D 重合，则在原等腰△ABC 中，∠B ＝72度．(第12题图)(第13题图)13．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC 与∠DCB 的平分线相交于点H ，过H 作AD 的平分线交AB 于E ，交CD 于F .若BE ＝3，CF ＝2，则EF ＝__5__．14．如图，已知∠AOB ＝α，在射线OA ，OB 上分别取点OA ＝OB 1，连结AB 1，在B 1A ，B 1B 上分别取点A 1，B 2，使B 1B 2＝B 1A 1，连结A 1B 2，…，按此规律下去，记∠A 1B 1B 2＝θ1，∠A 2B 2B 3＝θ2，…，∠A n B n B n ＋1＝θn ，则：(1)θ1＝180°＋α2；(2) θn ＝()2n －1·180°＋α2n． ,(第14题图))15．在如图所示的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP 1＝P 1P 2＝P 2P 3＝…＝P 13P 14＝P 14A ，则∠A 的度数是__12°__．,(第15题图))16．如图，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1，按下列要求画图： 以点A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1； 再以点A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2； 再以点A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3； ……这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n ＝__9__．,(第16题图))17．如图，已知点A (3，0)，B (0，4)，C 为x 轴上一点． (1)画出等腰三角形ABC . (2)求出C 点的坐标．,(第17题图))解：(1)如解图．,(第17题图解))(2)①当A 是顶点时，C 1(－2，0)，C 2(8，0)， ②当B 是顶点时，C 3(－3，0)③当C 是顶点时，C 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，0.(第18题图)18．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE ⊥AC ，垂足为E ，M 为AB 边的中点，连结ME ，MD ，ED . (1)求证：△MED 为等腰三角形． (2)求证：∠EMD ＝2∠DAC .解：(1)证明：∵M 为AB 边的中点，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴ME ＝12AB ，MD ＝12AB ，∴ME ＝MD ，∴△MED 为等腰三角形．(2)∵ME ＝12AB ＝MA ，∴∠MAE ＝∠MEA ， ∴∠BME ＝2∠MAE .同理，MD ＝12AB ＝MA ，∴∠MAD ＝∠MDA ， ∴∠BMD ＝2∠MAD ，∴∠EMD ＝∠BME －∠BMD ＝2∠MAE －2∠MAD ＝2∠DAC .(第19题图)19．如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA .(1)求证：DE 平分∠BDC .(2)若点M 在DE 上，且DC ＝DM ，求证：ME ＝BD . 解：(1)证明：∵△ABC 为等腰Rt△， ∴AC ＝BC ，∠CAB ＝∠CBA ＝45°. ∵∠CAD ＝∠CBD ＝15°，∴∠BAD ＝∠ABD ＝45°－15°＝30°，∴BD ＝AD . 又∵CA ＝CB ，∴△BDC ≌△ADC (SAS )． ∴∠DCA ＝∠DCB .又∵∠ACB ＝90°，∴∠DCA ＝∠DCB ＝45°.∵∠BDE ＝∠ABD ＋∠BAD ＝30°＋30°＝60°，∠EDC ＝∠DAC ＋∠DCA ＝15°＋45°＝60°， ∴∠BDM ＝∠EDC .∴DE 平分∠BDC .(第19题图解)(2)如解图，连结MC .∵DC ＝DM ，且∠MDC ＝60°， ∴△MDC 是等边三角形， ∴CM ＝CD .又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC＝∠ADC.又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°.∴△ADC≌△EMC(AAS)．∴ME＝AD＝BD.第19章检测题时间：120分钟满分：120分一、选择题(每题3分，共30分)1．下列说法中，错误的是( D )A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直 D．对角线互相垂直的四边形是菱形2．(2017·上海)已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( C )A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB3．如图，将平行四边形ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是( C )A．AF＝EF B．AB＝EF C．AE＝AF D．AF＝BE,第3题图) ,第4题图),第5题图) ,第6题图) 4．如图，在△ABC中，AB＞BC＞AC，小华依下列方法作图，①作∠C的角平分线交AB 于点D；②作CD的中垂线，分别交AC、BC于点E、F；③连结DE、DF.根据小华所作的图，下列说法中一定正确的是( A )A．四边形CEDF为菱形 B．DE＝DAC．DF⊥CB D．CD＝BD5．如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，若AE ＝4 cm，那么平行四边形AEDF周长为( B )A．12 cm B．16 cm C．20 cm D．22 cm6．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是( A ) A．2 3 B．3 3 C．4 D．4 37．菱形ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴，若点A的坐标为(－1，2)，则点C的坐标为( A )A．(1，－2) B．(2，－1) C．(1，－3) D．(2，－3)8．如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连结AD、BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE.其中正确的个数是( D )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个,第8题图) ,第9题图),第10题图)9．如图，两条笔直的公路l 1、l 2相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A 、B 、D ，已知AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝5公里，村庄C 到公路l 1的距离为4公里，则村庄C 到公路l 2的距离是( B )A ．3公里B ．4公里C ．5公里D ．6公里10．(2017·攀枝花)如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连结AC 交EF 于点G ，过点G 作GH ⊥CE 于点H ，若S △EGH ＝3，则S △ADF ＝( A )A ．6B ．4C ．3D ．2二、 填空题(每小题3分，共24分)11．矩形内有一点P 到各边的距离分别为1、3、5、7，则该矩形的最大面积为__64__． 12．若菱形的一条对角线长为2 cm ，面积为2 3 cm 2，则它的周长为__8_cm __．13．如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转到能与△CBP ′重合，若PB ＝3，则PP ′＝__32__．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 为斜边AB 上一点，以线段CD 、CB 为边作▱CDEB ，当AD ＝__75__时，▱CDEB 为菱形． ,第13题图) ,第14题图) ,第15题图)15．如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线距离之和PE ＋PF ＝__4.8__．16．在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若OE ∶ED ＝1∶3，AE＝3，则BD ＝__4或855__． 17．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且AE ＝EF ＝FA.下列结论：①△ABE ≌△ADF ；②CE ＝CF ；③∠AEB ＝75°；④BE ＋DF ＝EF ；⑤S △ABE ＋S △ADF ＝S △CEF .其中正确的是__①②③⑤__．(只填写序号),第17题图) ,第18题图)18．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝CD ＝AC ＝23，AB ＝6，则BD 的长为__42__．三、 解答题(共66分)19．(10分)如图，四边形ABCD 为菱形，已知A(0，4)，B(－3，0)．(1)求点D 的坐标；(2)求经过点C 的反比例函数表达式．解：(1)∵A (0，4)，B (－3，0)，∴OB ＝3，OA ＝4，∴AB ＝5.∵在菱形ABCD 中，AD ＝AB ＝5，∴OD ＝1，∴D (0，－1)．(2)∵BC ∥AD ，BC ＝AB ＝5，∴C (－3，－5)．设经过点C 的反比例函数表达式为y ＝k x.把(－3，－5)代入表达式，得k ＝15， ∴y ＝15x.20．(10分)已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，连结AD ，取AD 的中点E ，过点A 作BC 的平行线与CE 的延长线交于点F ，连结DF.(1)求证：AF ＝DC ；(2)请问：AD 与CF 满足什么条件时，四边形AFDC 是矩形？并说明理由．解：(1)证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE.又∵∠AEF ＝∠DEC ，∴△AEF ≌△DEC ，∴AF ＝DC.(2)当AD ＝CF 时，四边形AFDC 是矩形，理由如下：由(1)得AF ＝DC 且AF ∥DC ，∴四边形AFDC 是平行四边形．又∵AD ＝CF ，∴四边形AFDC 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．21．(10分)如图，在矩形ABCD 中，F 是BC 上一点，连结AF ，AF ＝BC ，DE ⊥AF ，垂足为E ，连结DF.求证：(1)△ABF ≌△DEA.(2)DF 是∠EDC 的平分线．证明：(1)∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B ＝∠BAD ＝90°，∴∠BAF ＋∠BFA ＝90°，∠BAF ＋∠EAD ＝90°，∴∠BFA ＝∠EAD.∵DE ⊥AF ，∴∠AED ＝∠B ＝90°.又∵AF ＝BC ＝AD ，∴△ABF ≌△DEA.(2)∵△ABF ≌△DEA ，∴DE ＝AB.∵四边形ABCD 为矩形，∴∠C ＝90°，AB ＝CD ，∴DE ＝CD ，∴DF 是∠EDC 的平分线．22．(12分)如图，平行四边形ABCD 中，AC ＝6，BD ＝8，点P 从点A 出发以每秒1 cm 的速度沿射线AC 移动，点Q 从点C 出发以每秒1 cm 的速度沿射线CA 移动．(1)经过几秒，以P 、Q 、B 、D 为顶点的四边形为矩形？(2)若BC ⊥AC 垂足为C ，求(1)中矩形边BQ 的长．解：(1)经过7秒，四边形BPDQ 为矩形．理由如下：经过7秒，PA ＝QC ＝7，∵AC ＝6，∴CP ＝AQ ＝1，∴PQ ＝BD ＝8.∵四边形ABCD 为平行四边形，BD ＝8，AC ＝6，∴AO ＝OC ＝3，∴BO ＝DO ＝4，∴OQ ＝OP ＝4，∴四边形BPDQ 为平行四边形．∵PQ ＝BD ＝8，∴四边形BPDQ 为矩形，(2)由(1)得BO ＝4，CQ ＝7，CO ＝3. ∵BC ⊥AC ，∴∠BCA ＝90°，∴BC ＝OB 2－OC 2＝7.又BC 2＋CQ 2＝BQ 2，∴BQ ＝56＝214.23．(12分)如图①，在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，E 是AB 延长线上的一点，MN ⊥DM 且交∠CBE 的平分线于点N.(1)求证：MD ＝MN.(2)若将上述条件中的“M 是B 的中点”改为“M 是AB 上的任意一点”，其余条件不变(如图②)，则结论“MD ＝MN ”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．解：(1)证明：取AD 的中点F ，连结FM.∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠A ＝∠ABC ＝90°.又∵M 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴AM ＝MB ＝12AB ＝12AD ＝DF ＝AF. ∴AF ＝AM ，DF ＝MB.又∵∠A ＝90°，∴∠AFM ＝45°，∴∠DFM ＝135°.∵BN 平分∠CBE ，∴∠MBN ＝90°＋45°＝135°，∴∠DFM ＝∠MBN.∵MN ⊥DM ，∴∠NMB ＋∠DMA ＝90°.又∵∠FDM ＋∠DMA ＝90°，∴∠FDM ＝∠NMB ，∴△DFM ≌△MBN (ASA )．∴MD ＝MN.(2)成立．证明：在AD 上取一点F ，使得AF ＝AM.同理于(1)的证明过程，可得∠FDM ＝∠NMB ，∠DFM ＝∠MBN ＝135°.∵AD ＝AB ，AF ＝AM ，∴DF ＝MB.∴△DFM ≌△MBN (ASA )．∴MD ＝MN.24．(12分)(1)如图矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点D 作DP ∥OC ，且DP ＝OC ，连结CP ，判断四边形CODP 的形状并说明理由；(2)如果题目中的矩形变为菱形，结论变为什么？说明理由；(3)如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．解：(1)四边形CODP 的形状是菱形．理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，∴OC ＝OD.∵DP ∥OC ，DP ＝OC ，∴四边形CODP 是平行四边形．∵OC ＝OD ，∴平行四边形CODP 是菱形．(2)四边形CODP 的形状是矩形．理由：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠DOC ＝90°. ∵DP ∥OC ，OP ＝OC ，∴四边形CODP 是平行四边形．∵∠DOC ＝90°，∴四边形CODP 是矩形．(3)四边形CODP 的形状是正方形．理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，AC ＝BD ，OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，∴∠DOC ＝90°，OD ＝OC.∵DP ∥OC ，DP ＝OC ，∴四边形CODP 是平行四边形．∵∠DOC ＝90°，OD ＝OC ，∴平行四边形CODP 是正方形．。
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第1课时定义与证明
1.知道“定义”和“命题”,能判断给出的语句哪些是命题.
2.能把简单的命题写成“如果……,那么……”的形式,能找到命题的条件和结论.
3.知道什么是“原命题”、“逆命题”和“互逆命题”,能写出已知命题的逆命题.
知识探究
自学指导：阅读课本P50-52，完成下列问题.
1.结合教材第50页“三角形”和“三角形外角”的定义,说说定义一般都会含有哪些标志性词语?
解：略
2.命题都是什么句式(疑问句、陈述句、判断句)?都表示对一件事情做出了判断,与判断的正确与否有关系吗?解：略
3.命题都可以写成“如果……,那么……”的形式,那什么是条件、什么是结论?请完成教材第51页的“做一做”.解：如果引出的部分是条件，那么引出的部分是结论.略
4.原命题与逆命题有什么关系?是不是所有命题都有逆命题?
解：是互逆的关系，所有的命题都有逆命题.
自学反馈
1.下列语句中哪些是命题,哪些不是命题?
（1）负数都小于零.
（2）当a＞0时,|a|＝a.
（3）平角与周角一定不相等.
2.下列语句中，属于定义的是（）
A．两点确定一条直线
B．平行线的同位角相等
C．两点之间线段最短
D．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
3.把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式.
(1)对顶角相等;
(2)同位角相等.
4.写出下列命题的逆命题.
(1)有两边相等的三角形是等腰三角形;
(2)直角三角形的两个锐角互余.
活动1 小组讨论
例1 说出下列概念的定义
（1）方程；
解：含有未知数的等式叫方程.
(2)角平分线；
解：从角的顶点出发，把这个角分成相等的角的射线，叫作角平分线.
（3）一元一次方程；
解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的方程叫一元一次方程.
例2 判断下列语句哪些是命题？那些不是？
(1)画一个角等于已知角；（2）两直线平行，同位角相等；（3）同位角相等，两条直线平行吗？（4）鸟是动物；（5）若x-5=0,求x的值.
解：（2）（4）是命题；（1）（3）（5）不是命题.
例3指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……,那么……”的形式,并写出它的逆命题.
(1)两直线平行，同位角相等;
解：条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”.
可以改写成“如果两直线平行，那么同位角相等”.
逆命题是：同位角相等，两直线平行.
(2)垂直于同一直线的两条直线平行;
解：条件是“垂直于同一直线的两条直线”，结论是“这两条直线平行”.
可以改写成“如果垂直于同一直线的两条直线，那么这两条直线平行”
逆命题是：两条直线平行，这两条直线会垂直于同一直线.
(3)对顶角相等.
解：条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”.
可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.
逆命题是：相等的角是对顶角.
活动2 跟踪训练
1.下列语句中,是命题的是()
A.在同一平面内的两条直线不平行就相交
B.邻补角的角平分线互相垂直
C.过直线l外一点P,作直线a∥l
D.在同一平面内,若a∥b,a与c相交,则b与c也相交
2.把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式,并写出它的逆命题.
(1)能被2整除的数必能被4整除;
(2)异号两数相加得零.
3.写出下列命题的逆命题.
(1)直角三角形的两个锐角互余;
(2)若a=0,则ab=0.
课堂小结
本课时主要学习了哪些知识与方法?有何收获和感悟?还有哪些疑惑?
教学至此，敬请使用《名校课堂》部分.
【预习导学】
自学反馈
1.（1）（2）（3）都是命题
2.D
3.略
4.略
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1.略
2.略
3.略。