四年级 第4讲 等积变形(上)
人教版小学数学四年级上4《积的变化规律》ppt课件
我发现了
（÷2）
40
第一个因数不变，第二个因 数不断变小，积也变小。
（÷2）
（÷2） 一个因数不变，另一个因数
20
除以2（或缩小2倍），积也
视察：与第一个算式比较，除以2（或缩小2倍）。
第二个算式的因数是怎样变
化的？积是怎样变化的？第
三个算式呢?
探索新知
课件PPT
两数相乘，一个因数不变， 另一个因数乘(或除以）几，积 也要乘（或除以）几。
典题精讲
根据第1题的积,找规律填出 其他题的得数。 15×8=120 15×32= 15×48= 15×64= 15×80=
典题精讲
解题思路：
视察给出的这组算式,第一个因数 都是15,第二个因数分别是8、32、48、 64、 80,根据积的变化规律“一个因 数不变,另一个因数乘几,积也乘几”, 用120分别乘4、6、8、10,可得各算 式的积。
公路上行驶的速度是大货车的2倍，小轿车用同
样的时间可行（ ）3千20米。 方法一： 40×2×4=320（千米）
小轿车的速度
方法二： 40×4×2=320（千米）
大货车4小时 行的路程
学以致用
课件PPT
找出规律再填空。
16×17=272
16×68= 1088
扩大4倍
16×34= 544
扩大2倍
16×51= 816
典题精讲
正确解答：
根据第1题的积,找规律填 出其他题的得数。
15×8=120 15×32=480 15×48=720 15×64=960 15×80=1200
典题精讲
一辆大货车与一辆小轿车同 时从甲地开往乙地,小轿车的速 度是大货车的2倍,大货车从甲 地到乙地用8小时,小轿车从甲 地到乙地需要几小时?
人教版数学四年级上册4.4《积的变化规律》课件(23张ppt)
（18÷2）×（24×2）＝ 432
9
48
（18×2）×（24÷2）＝ 432
36
12
三、新知应用
填一填
105 × 45＝ 4725
（105×3）×（45÷3）＝ 4725
315
15
（105÷5）×（45×5）＝ 4725
21
225
三、新知应用
18 × 24＝ 432 （18÷2）×（24×2）＝ 432 （18×2）×（24÷2）＝ 432
6×2 ＝ 12 6×20 ＝ 120 6×200＝ 1200
5×3＝15 10×3＝30 30×3＝90
……
两数相乘，一个因 数不变，另一个因 数 ，积就 。
二、例题讲授
二、例题讲授
20×4＝ 80
÷2
÷2
÷4 10×4＝ 40
÷4
÷2
÷2
5 ×4＝ 20
二、例题讲授
二、例题讲授
20×4＝ 80 10×4＝ 40 5 ×4＝ 20
二、例题讲授
6×2 ＝ 12 6×20 ＝ 120 6×200＝ 1200
二、例题讲授
6×2 ＝ 12 6×20 ＝ 120 6×200＝ 1200
二、例题讲授
6×2 ＝ 12 6×20 ＝ 120 6×200＝ 1200
这里有一条 重要的数学规律， 你们发现了吗？
二、例题讲授
二、例题讲授
105 × 45＝ 4725 （105×3）×（45÷3）＝ 4725 （105÷5）×（45×5）＝ 4725
两数相乘，一 个因数
，另 一个因数
，它们的 。
三、新知应用 在○中填上运算符号，在□中填上数
24×75＝1800
人教版四年级数学上册第四单元《积的变化规律》教学课件精品PPT小学优秀公开课
12×3＝ 36
48×5＝ 240 8×50＝ 400
120×3＝ 360 48×50＝ 2400 8×25＝ 200
120×30＝ 3600 48×500＝ 24000 4×50＝ 200
2. 扩大后的绿地面积是多少？
200平方米
8米
你能利用今天学的知识 解决这个问题吗？
2. 扩大后的绿地面积是多少？
我是这么举例的： 25×4＝100
250×4＝1000 从上往下观察，第二个因 数没Βιβλιοθήκη ，第一个因数乘10， 积也乘10。
能举例说明你发现的 规律吗？
25×4＝100 250×4＝1000 如果从下往上观察，第二 个因数没变，第一个因数 除以10，积也除以10。
1. 先算出每组题中第1题的积，再写出下面 两题的得数。
谢谢观看
Thank You
人教版小学四年级数学上册
口算。
（1） 6×2＝12 6×20＝ 120
6×200＝ 1200
（2）20×4＝ 80 10×4＝ 40 5×4＝ 20
观察下面两组题，说一说你发现了什么。
（1） 6×2＝12 6×20＝ 120
6×200＝ 1200
（2） 20×4＝ 80 10×4＝ 40 5×4＝20
第（1）组题中，第2题同第1题比，因数 是怎样变化的？积是怎样变化的？
一个因数不变，另一个 因数乘10，积也乘10。
（1） 6×2＝12 6×20＝ 120
6×200＝ 1200
（2） 20×4＝ 80 10×4＝ 40 5×4＝20
第（1）组题中，第3题同第1题比，因数 是怎样变化的？积是怎样变化的？
200平方米
8米
24米
人教版小学四年级数学第4讲：等积变形(教师版)
第4讲 等积变形1、三角形的面积=21底边长 高;所以，两个面积相等的三角形，当底边相等时，高也相等；反之亦然。
2、当两个三角形高相等时，面积之比等于底边长之比。
3、当两个三角形的底边长相等时，面积之比等于高之比。
4、在等底等高的情况下，三角形面积是平行四边形面积的一半；5、底边之和等于平行四边形的一边，且高相等的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半；6、高之和等于平行四边形的高，且分别以这条高的两边为底的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半。
1、灵活运用三角形和四边形的面积公式2、掌握三角形的等积变形技巧例1:如图，三角形ABC 的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE 的面积是多少？A BE C答案：三角形BDE 的面积是4 D 解析：连结CE.此时出现两个“同高”模型因为AE=3AB ，所以AB:BE=1：2，所以三角形ABC 面积：三角形BCE 面积=1：2，三角形ABC 面积为1，所以三角形BCE 的面积为2，又因为BD=2BC ，所以BC:CD=1：1，所以三角形BCE 的面积：CDE 的面积=1：1，所以三角形CDE 的面积是2，所以三角形BDE 的面积是4.例2：正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中三角形BDF 面积为多少平方厘米？ FE C 答案：50平方厘米解析:连接CF.则C F ∥BD 。
则三角形BCD 与三角形BDF 就是这两条平行线之间的等积模型。
因为他们有一条公共的底边BD ，而他们的高的长度正好是这两条平行线之间的距离，两条平行线之间的距离处处相等（这个是平行线之间距离的性质），所以这两个三角形的高相等。
所以面积相等，而三角形BDC 的面积为10×10÷2=50（平方厘米）。
例3：图中三角形AOB 的面积为15平方厘米,线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积。
等积变形(附解答)
三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．它们所对的顶点同为A点，(也就是它们的高相等)那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．例如在图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，(也就是它们的高相等)，那么这两个三角形的面积相等．例如图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，△ABC的高是△DBC 高的2倍(D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE)，则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．例2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．例3、如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．证明：∵△ABC与△DBC等底等高，∴S△ABC=S△DBC又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOCS△DOC=S△DBC—S△BOC∴S△AOB=S△COD．例4、如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A 作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．解：①连结BD；②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．例5、如图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．解法1：连结BD，在△ABD中∵ BE=3AE，∴ S△ABD=4S△ADE=4(平方厘米)．在△ABC中，∵CD=2AD，∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12(平方厘米)．解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，∵ CD=2AD，∴ S△ACE=3S△ADE=3(平方厘米)．在△ABC中，∵BE=3AE∴ S△ABC=4S△ACE=4×3=12(平方厘米)．例6、如下图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=解：连结BG，在△ABG中，∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG例7、如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；∴ S△ADE=S△CDF=4(平方厘米)．例8、如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S △DBC=S1所以S△CGF=S△DFC=2S1．同理 S△AEH=2S2，因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2(S1+S2)=2×1=2．同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5(平方单位)．例9、如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF∴ S△ACE=S△BEF∴S△BEF=S△ADE=1．。
04一半模型和等积变形
技巧总结1.
牙齿模型2.
平行四边形模型
3.等积变形
思维数学第04讲
一半模型和等积变形（一）
如图，正方形ABCD一半的面积是28平方厘米，矩形DEFG的宽DE＝7厘米，求它的长DG＝?
如图，阴影部分的面积是多少？
如图，已知红色三角形的面积是5，绿色三角形的面积是13，问：三角形OBD的面积是多少？
正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为12厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？
如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为16厘米，求阴影部分的面积。
课堂中的例题建议重做一遍，再做课后练习，1-3道不会为正常现象。
一个长方形被分成4个不同颜色的三角形，红色三角形的面积是10，黄色三角形的面积是22，绿色三角形的面积是11，那么蓝色三角形的面积是多
少？
如图，正方形ABCD的边长为8，AE＝2，CF＝3。
长方形EFGH的面积为
_______。
如图，长方形ABCD中，AB长18厘米，BC长10厘米，E、F、G、H
分别在长方形的四条边上，其中EC=4厘米，F、G、H均是中点，请问：阴影部分
的面积是多少？
如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。
①求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？
②求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
如图所示，ABCD和BEFG是两个正方形，EF长6cm，求阴影部分的面积。
如图所示，大正方形的边长是10cm，求阴影部分的面积。
四年级奥数点拨-第4讲-等积变形(上)
你来，或者不来
我都在这里，等你、盼你
等你婉转而至
盼你邂逅而遇
你想，或者不想
我都在这里，忆你、惜你
忆你来时莞尔
惜你别时依依
你忘，或者不忘
我都在这里，念你、羡你
念你袅娜身姿
羡你悠然书气
人生若只如初见
任你方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时来
随你心性而去
却为何，有人
为一眼而愁肠百转
为一见而不远千里
晨起凭栏眺
但见云卷云舒
风月乍起
1.
A:12
B:20
C:24
D:26
2.
A:45
B:60
C:75
D:15
3.
A:4
B:6
C:5
D:8
4.
A:1
B:2
C:3
D:4
5.
A:44
B:31
C:22
D:30
6.
A:4
B:8
C:16
D:20
7.
A:3
B:6
C:9
D:12
---------------------赠予---------------------
春寒已淡忘
如今秋凉甚好
几度眼迷离
感谢喧嚣
把你高高卷起
砸向这一处静逸
惊翻了我的万卷
和其中的一字一句
幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了
被你默诵过，懂了
被你翻开又合起
被你动了奶酪和心思
不舍你的过往
和过往的你
记挂你的现今
和现今的你
遐想你的将来
和将来的你
难了难了
相思可以这一世
---------------------谢谢喜欢--------------------
《等积变形问题》课件
等积变形问题的应用范围广泛，涵盖了建筑设计、地图制作、数学建模等多个领域。
继续探索
等积变形问题只是数学世界的冰山一角，还有更多有趣且挑战性的数学问题等待我们去探索 和解决。
在数学中的应用
1 变量的关系
等积变形问题可以帮助我们理解变量之间的关系，如面积和边长的关系、体积和半径的 关系等。
2 图形的性质
通过等积变形问题的研究，我们可以更好地理解图形的性质和特点，如面积保持不变的 图形变形。
3 应用于积分
等积变形问题的思想也可以应用于积分中，帮助我们求解复杂的积分问题。
解决等积变形建筑设计
等积变形可以帮助建筑设计师在设计过程中保持建筑物的总面积不变，从而灵活 调整建筑形状和尺寸。
2
地图投影
地图投影是通过等积变形的方法将地球的曲面展示在平面上，从而解决地球表面 在平面上的表示问题。
3
轮胎设计
等积变形可以应用于轮胎设计，帮助优化轮胎的形状，提高车辆的性能和操控稳 定性。
《等积变形问题》PPT课 件
欢迎来到《等积变形问题》PPT课件！通过本课件，我们将一起探索等积变 形问题的定义、分类、应用以及解决方法。让我们一起开始吧！
等积变形问题的定义
等积变形问题指的是在几何中，物体的形状或者大小发生变化，但其面积不变。这是一个有趣且挑战性的数学 问题，需要灵活的思维和创造性的解决方法。
等积变形问题的分类
平面等积变形
平面等积变形是指在平面上的变形，如图形的旋转、镜像、扭曲等，同时保持图形的面积不 变。
立体等积变形
立体等积变形是指在三维空间中的变形，如物体的拉伸、压缩、伸缩等，同时保持物体的体 积不变。
其他等积变形
除了平面和立体等积变形，还存在其他形式的等积变形问题，如曲线等积变形等。
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平行线给法（二）：已知平行
【例4】(★★★★)
如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米。 求三角形CDF的面积。
连接AF、CE 因为S△ADE= S△ACE； S△CDF= S△ACF 又因为AC与EF平行，所以S△ACE= S△ACF S△CDF= S△ADE=4（平方厘米）
=7+7 =14(平方厘米)
【例6】(★★★)
正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为20厘米，则图中 阴影面积为多少平方厘米？
连接CF，那么CF平行BD 所以阴影面积=三角形BCD的面积
=20×20 ÷2 =200（平方厘米）
平行线给法（三）：
并排摆放的正方形的同方向对角线
【例7】(★★★)
【例5】(★★★★)
在梯形ABCD中，OE平行于AD。如果三角形AOB的面积是7平方厘米， 则三角形DEC的面积是______平方厘米。
由平行线间的等积变形可知 S△AEO= S△DEO； S△BEO= S△CEO 所以S△DEC= S△CDO+ S△DEO+ S△CEO
=S△CDO+ S△AEO+ S△BEO = S△CDO+ S△ABO 又S△CDO+ S△ABO =7(平方厘米) 所以S△DEO= S△CDO+ S△ABO
等积变形（上）
★【动手试一试】
你有多少种方法可以将任意一个三角形分成4个面积相等的三 角形？
结论（一）：等底等高的两个三角形面积相等。
【例1】(★★)
你有什么方法将任意一个三角形分成6个面积相等的三角形？
如下图所示，答案不唯一
【例2】(★★★)
如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共 有哪几对？
本讲总结
结论（一）拓展：
夹在平行线间的一组同底三角形面积相等
Thank you !
共有3对 分别是：三角形ABD与三角形ACD， 三角形ABC与三角形DBC，三角形 ABO与三角形DCO
平行线给法（一）： 平行四边形（包括长方形，正方形），梯形
【例3】(★★★★)
如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、 BF那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？
如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的 边长为16厘米，求阴影部分的面积。
如图所示，连接FK、GE、BD， 则FK、GE、BD互相平行，可得 S△DGE= S△BGE， S△KGE= S△FGE 所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB的面积 即为：162=256（平方厘米）