第6章 随机化算法
算法设计的方法
算法设计的方法算法设计是计算机科学和软件工程领域的一项重要任务，它涉及为解决特定问题而创建高效、正确和可行的计算步骤。
算法设计方法是一套策略、技巧和方法，帮助程序员和研究人员开发有效的算法。
以下是一些常用的算法设计方法：1. 暴力法（Brute Force）：尝试所有可能的解决方案，直到找到最优解。
这种方法通常适用于问题规模较小的情况。
2. 贪心法（Greedy Algorithm）：每一步都选择局部最优解，期望最终获得全局最优解。
贪心法容易实现，但并不总是能够得到最优解。
3. 分治法（Divide and Conquer）：将问题分解为若干个较小的子问题，然后递归地解决子问题，并将子问题的解合并为原问题的解。
分治法适用于具有自相似结构的问题。
4. 动态规划（Dynamic Programming）：将问题分解为重叠子问题，并通过自底向上或自顶向下的方式逐一解决子问题，将已解决子问题的解存储起来，避免重复计算。
动态规划适用于具有最优子结构和重叠子问题的问题。
5. 回溯法（Backtracking）：通过递归搜索问题的解空间树，根据约束条件剪枝，回溯到上一层尝试其他解。
回溯法适用于约束满足性问题，如八皇后问题、图的着色问题等。
6. 分支界限法（Branch and Bound）：在搜索解空间树时，通过计算上界和下界来剪枝。
分支界限法适用于求解整数规划和组合优化问题。
7. 随机化算法（Randomized Algorithm）：通过随机选择解空间中的元素来寻找解决方案。
随机化算法的优点是简单、易于实现，但可能需要多次运行才能获得最优解。
8. 近似算法（Approximation Algorithm）：在问题的最优解难以找到或计算代价过高时，提供一个接近最优解的解。
近似算法可以提供一个性能保证，即解的质量与最优解之间的差距不会超过某个阈值。
9. 并行和分布式算法（Parallel and Distributed Algorithm）：将问题的计算分布到多个处理器或计算机上，以提高计算速度和效率。
随机化
常见随机化算法
• 纯随机化算法
• 牛顿爬山法 • 遗传算法
单纯的随机化算法
例题：给出一张有n个节点的图，每个点的 度不小于n/2，要求出图中的一个哈密尔顿 回路。 由于题目中给出的有利条件：每个点的度 都较大，所以哈密尔顿回路的可行方案较 多，采用随机化算法：每次随机的找一个 可以到达且未访问过的节点进行深度优先 遍历。
用随机化判断素数
若n是素数，对于a=1,2...n-1，有a^(n-1)1 (mod n)。所以，若存在整数a[1,n-1]，使得a^(n-1)1 (mod n)，则a必为合数。我们考虑以下算法： ISPRIME_R(n, s:int); i,a:int; { for i=1 to s do { a=random(1,n-1); if a^(n-1) mod n1 then return false; } return true; }
随机化算法介绍
rsΒιβλιοθήκη 什么是随机化？随机化算法是这样一种算法：在算法中使 用了随机函数，且随机函数的返回值直接 或间接地影响了算法的执行流程或执行结 果。
那么随机化算法和“运气”的关系如何呢？ 根据著名的：RP守恒定律！！！ RP不会自己产生，也不会自己消亡，只会 从一种形式转化为另一种形式，从一个个 体转移到另一个个体，从一个个体的一个 部分转移到另一部分。
启发式随机化
很多情况下，单纯的随机化算法会显得比 较盲目，此时，我们需要给算法加入有利 的启发信息。 这于启发式搜索相类似，拿这道例题来说， 随机寻找下一个点时，可以让剩余度较大 的点被选择的概率大一些，这样有利于更 快找到解。
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牛顿爬山法
y T
P x
上图为牛顿爬山法的原理。设爬山者在P 点，为了爬上山 峰，他可以向左或向右移动。爬山法要求每次移动之前计 算新位置与当前位置的差（即改进量），一般选择改进量 大的方向前进。由于有了这样的启发信息，一般很快就可 以找到一个最值。
常用的随机化方法
常用的随机化方法一、随机化的重要性随机化是指每个受试单位以概率均等的原则，随机地分配到实验组与对照组。
例如将30只动物等分为3组，对其中每只动物来说，分到甲组、乙组、丙组的概率都应是三分之一。
如果违背随机的原则，不论是有意或无意的，都会人为地夸大或缩小组与组之间的差别，给实验结果带来偏性。
例如在营养学研究中，有的以实验动物体重增加情况作为饲料营养价值高低的标志。
但体重的增加还同动物健康状况、食量大小等因素有密切关系。
如果在实验研究之前，实验者希望某组获得较理想的结果，于是将那些雄性的、健康状况最佳的、食量最大的动物都分到该组，这就是有意夸大了组间差别，必须造成实验结果虚假和不稳定。
为了避免此类偏性，随机化就是一个重要手段。
如本例，要求分配到各组的动物必须性别相同，体重相近，健康状况相似。
总之要使各处理组非实验因素的条件均衡一致，以抵消这些非实验因素对实验结果的影响。
强调实验设计要遵守随机化原则，还有一个理由，就是只有合乎随机原则的资料才能正确应用数理统计上的各种分析方法，因为数理统计各种理论公式都是建立在随机化原则基础上的。
那些事先加入主观因素，以致不同程度失真的资料，统计方法是不能弥补其先天不足的，得出的结论也必然是错误的。
二、随机分组举例数理统计学家根据概率论的原理编制了随机数字表(附表17)与随机化分组表(附表18)，它们都是科研工作中用于随机化的工具表。
现举例说明其用法，并介绍几种简单而常用的实验设计。
(一)配对设计配对设计是将受试对象按某些特征或条件配成对子，然后分别把每对中的两个受试对象随机分配到实验组与对照组(或不同处理组)。
这种设计的优点是能缩小受试对象间的个体差异，从而减少实验误差，提高实验效率。
受试对象配对的特征或条件，主要是指年龄、性别、体重、环境条件等非实验因素，不要以实验因素作为配对条件。
如在动物实验中，常把窝别或性别相同、原始体重相近的两头动物配成对子；在人群试验中，有时把性别相同、年龄相近、生活或工作条件相似的两人配成对子。
大学_计算机算法设计与分析第4版(王晓东著)课后答案下载
计算机算法设计与分析第4版(王晓东著)课后答
案下载
计算机算法设计与分析第4版内容简介
第1章算法概述
1.1 算法与程序
1.2 算法复杂性分析
1.3 NP完全性理论
算法分析题1
算法实现题1
第2章递归与分治策略
2.1 递归的概念
2.2 分治法的基本思想
2.3 二分搜索技术
2.4 大整数的乘法
2.5 Strassen矩阵乘法
2.6 棋盘覆盖
2.7 合并排序
2.8 快速排序
2.9 线性时间选择
2.10 最接近点对问题
第3章动态规划
第4章贪心算法
第5章回溯法
第6章分支限界法
第7章随机化算法
第8章线性规划与网络流
附录A C++概要
参考文献
计算机算法设计与分析第4版目录
本书是普通高等教育“十一五”__规划教材和国家精品课程教材。
全书以算法设计策略为知识单元，系统介绍计算机算法的设计方法与分析技巧。
主要内容包括：算法概述、递归与分治策略、动态规划、贪心算法、回溯法、分支限界法、__化算法、线性规划与网络流等。
书中既涉及经典与实用算法及实例分析，又包括算法热点领域追踪。
为突出教材的`可读性和可用性，章首增加了学习要点提示，章末配有难易适度的算法分析题和算法实现题;配套出版了《计算机算法设计与分析习题解答(第2版)》;并免费提供电子课件和教学服务。
随机化算法
补充4 随机化算法z理解产生伪随机数的算法z掌握数值随机化算法的设计思想z掌握蒙特卡罗算法的设计思想z掌握拉斯维加斯算法的设计思想z掌握舍伍德算法的设计思想Sch4-1 方法概述Sch4-1Sch4-1Sch4-1 方法概述z定义：是一个概率图灵机。
也就是在算法中引入随机因素，即通过随机数选择算法的下一步操作。
三要素：输入实例z三要素：输入实例、随机源和停止准则。
z特点：简单、快速和易于并行化。
z一种平衡：随机算法可以理解为在时间、空间和随机三大计算资源中的平衡（Lu C.J. 博士论文,1999）z重要文献：Motwani R. and Raghavan P., Randomized Algorithms.Cambridge University Press, New York, 1995g ySch4-1 方法概述Sch4-1z著名的例子—Monte Carlo求定积分法—随机k-选择算法—随机快速排序—素性判定的随机算法—二阶段随机路由算法z重要人物和工作—De Leeuw等人提出了概率图灵机（1955）—John Gill的随机算法复杂性理论（1977）—Rabin的数论和计算几何领域的工作（1976）—Karp的算法概率分析方法（1985）—Shor的素因子分解量子算法（1994）Sch4-1zSch4-1方法概述常见的随机算法分为4类：①数值随机化算法：常用于数值问题的求解，所得到的往往是近似解，解的精度随着计算时间增加而不断提高；②蒙特卡罗算法：用于求问题的准确解。
该方法可以得到的解，但是该解未必是正确的。
求得正确解的概率依赖于算法所用的时间。
比较难以判断解是否正确；③拉斯维加斯算法：不会得到不正确的解，但是有时会找不到解。
找到正确解的概率随着所用的计算时间的增加而提高。
对任一实例，反复调用算法求解足够多次可使求解失效的概率任意小调用算法求解足够多次，可使求解失效的概率任意小；④舍伍德算法：总能求得问题的一个解，且所求得的解总是正确的。
随机化算法
投票
新浪体育最近进行了一次调查，曼联能否在 今年问鼎欧洲冠军。记者一共抽取了n位同学 作为参与者。每个参与者的心里都有一个看 法，比如A认为曼联不可能夺冠，而B认为曼 联一定问鼎。但是因为B是A的好朋友，所以 可能A为了迁就自己的好朋友，会在发言中 支持曼联。也就是说每个参与者发言时阐述 的看法不一定就是心里所想的。现在告诉你 大家心里的想法和参与者的朋友网，希望你 能安排每个人的发言内容，使得违心说话的 人的总数与发言时立场不同的朋友（对）的 总数的和最小。人数<300。
爬山法的原理和应用
然而，爬山法有一个较大的缺陷。如图所示
从上图中我们可以很明显地看出，简单地从斜坡滑 下不一定会产生全局最优解。最后的解会是一个局 部范围内的最小值，它比邻近解的表现都好，但却 不是全局最优的。全局最优解就是全局最小值，它 是优化算法最终应该找到的那个解。解决这一难题 的一种方法被称为随机重复爬山法（random-restart hill climbing），即让爬山法以多个随机生成的初始解 为起点运行若干次，借此希望其中有一个解能够逼 近全局的最小值。
数据范围很小，直接模拟很多次算平均次数。
N皇后问题
在N*N的国际象棋盘上摆放八个皇后，使其不能互相攻击， 即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上， 给出任意一种摆法即可。(N<80)
随机算法原理
随机算法原理
随机算法是一种应用于计算机科学和数学领域的算法，它能够生成随机数或者在一组对象中随机选择。
随机算法的原理基于确定性的计算过程，通过某种方式引入不确定性或者不可预测性，从而实现一个看似无法预测的结果。
随机算法的实现可以采用多种方式，例如使用伪随机数生成器或者物理随机数生成器。
伪随机数生成器是一种确定性算法，它通过一个初始种子或者随机数生成器的状态来生成一个序列，这个序列看起来像是随机的。
物理随机数生成器则是通过测量自然系统中的一些随机过程，如热噪声或者放射性衰变，来生成真正的随机数。
在使用伪随机数生成器的情况下，种子的选择对于生成的随机数序列非常重要。
相同的种子将会生成相同的随机数序列。
一种常见的做法是使用当前时间作为种子，因为时间是时刻在改变的。
但是在某些情况下，种子可能被预测或者重现，从而导致随机性的缺失。
随机算法还可以应用于在一组对象中进行随机选择。
例如，在一个有限集合中选择一个元素，可以通过生成一个随机数来实现。
如果集合中的对象是有权重的，也可以通过随机数的概率分布来决定选择哪个对象。
总之，随机算法通过引入不确定性来实现随机性。
它们可以使用伪随机数生成器或者物理随机数生成器来生成随机数序列，
也可以通过随机数的概率分布来实现选择。
这些算法在计算机科学和数学领域有着广泛的应用。
随机算法原理
随机算法原理随机算法是计算机科学中的一个重要概念，它在各种领域都有着广泛的应用。
随机算法的原理是基于随机性的计算过程，通过引入随机性来解决一些传统算法难以解决的问题。
在本文中，我们将深入探讨随机算法的原理及其应用。
随机算法的核心思想是利用随机性来提高算法的效率和性能。
在传统的确定性算法中，输入相同则输出必定相同，这在某些情况下会导致算法的局限性。
而随机算法则通过引入随机性，使得算法的输出不再是确定的，而是具有一定的概率分布。
这种随机性的引入，使得算法在处理某些复杂问题时可以更加高效和灵活。
随机算法的原理可以通过以下几个方面来进行解释和说明：首先，随机算法利用随机性来进行搜索。
在传统的搜索算法中，通常需要遍历整个搜索空间来寻找解决方案。
而随机算法则可以通过随机选择的方式，跳出局部最优解，从而更快地找到全局最优解。
其次，随机算法可以用来解决一些概率性问题。
比如蒙特卡洛算法就是一种典型的随机算法，它通过随机抽样的方式来估计某个事件发生的概率。
这种方法在很多实际问题中都有着重要的应用，比如金融领域的风险评估、物理领域的模拟实验等。
另外，随机算法还可以用来处理一些NP难题。
在计算复杂性理论中，有一类问题被认为是非多项式时间可解的，即NP难问题。
对于这类问题，传统的确定性算法往往需要指数级的时间复杂度来求解，而随机算法则可以在多项式时间内找到一个近似解，从而在实际应用中具有重要意义。
总的来说，随机算法是一种基于随机性的计算方法，它通过引入随机性来提高算法的效率和性能。
随机算法的原理涉及到搜索、概率和复杂性等多个方面，在实际应用中有着广泛的应用前景。
随机算法的发展将为计算机科学领域带来新的突破，也将为人类解决一些复杂问题提供新的思路和方法。
在随机算法的研究和应用过程中，我们需要深入理解其原理，不断探索和创新，以期发掘出更多潜在的应用领域。
随机算法的发展将推动计算机科学的进步，也将为人类社会的发展带来新的动力和机遇。
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bool majorityMC(Type T[], int n, double p) { // 重复次调用多次算法majority
int k= (int) ceil(log()/log(1-p)); for (int i=1;i<=k;i++) if (majority(T,n)) return true; return false;
舍伍德(Sherwood)算法
（2）线性时间选择算法改造为舍伍德算法 舍伍德型选择算法： 随机的选择一个数组元素作为划分基准。 这样既能保证算法的线性时间平均性能，又能 避免算法的拟中位数的麻烦。
template<class Type> Type select(Type a[ ], int left, int right, int k) { RandomNumber rnd; if(left>=right) return a[left]; int i=left, j=rnd.Random(right-left+1)+left； swap(a[i], a[ j]); j=Partition(a,left,right); int count=j-left+1; if(count<k) select(a[ ],j+1, right, k-count); else select(a[ ],left, j, k); }
数值随机化算法-计算定积分
设f(x)是[0,1]上的连续函数且0≤f(x)≤1，需要 1 计算积分值
I
1
0
f ( x ) dx
y y = f(x ) G x
0
1
图 6 -2 随 机 投 点 实 验 估 算 I 值 示 意 图
假设向单位正方形内随机投入n个点，如果有m个 点落入G内，则I近似等于随机点落入G内的概率， 即I≈m/n
蒙特卡罗(Monte Carlo)算法
蒙特卡罗算法用于求问题的准确解。 用蒙特卡罗算法能求得问题的一个解， 但这个解未必是正确的。求得正确解的 概率依赖于算法所用的时间。 缺点：一般情况下，无法有效地判定所 得到的解是否肯定正确。
设蒙特卡罗算法是一致的p正确的。那 么至少调用多少次蒙特卡罗算法，可 以使得蒙特卡罗算法得到正确解的概 率不低于 ？
n 皇后问题
问题描述
n皇后问题要求将n个皇后放在n×n棋盘的不 同行、不同列、不同斜线的位置，找出相应的 放置方案
随机化措施
对某行放置皇后的有效位置进行随机 对某行所有列位置进行随机
n 皇后问题
Class Queen{ public: friend void nQueen(int); private: bool Place(int k); //测试皇后k置于第x[k]列的合法性 bool QueenLV(void); //随机放置n个皇后拉斯维加斯算法 int n, *x,*y; //n表示皇后个数，x和y表示解向量 }； Bool Queen:Place(int k) { for(int j=1;j<k;j++) if((abs(k-j)==abs(x[ j]-x[k]))||(x[ j]==x[k])) return false; return true; }
随机数发生器
a0 d a n ( ba c ) mod m n 1, 2 ,
n 1
选取该方法中的常数b、c和m直接关系到所产生的 随机序列的随机性能 d为种子； b为系数，满足b≥0； c为增量，满足c≥0； m为模数，满足m>0。 b、c和m越大，且b与m互质，可使随机函数的随机 性能更好
4k n
数值随机化算法-计算PAI
double Darts(int n) { static RandomNumber darts; //定义一个RandomNumber类的对象darts int k=0,i; double x,y; for( i=1;i<=n;i++) { x=darts.fRandom(); //产生一个[0,1)之间的实数，赋给x y=darts.fRandom(); //产生一个[0,1)之间的实数，赋给y if((x*x+y*y)<=1) k++; } return 4*k/double(n); }
数值随机化算法
6.2.1计算π的值
将n个点随机投向一个正方形，设落入此正方形 内切圆（半径为r）中的点的数目为k，如图6-1a） 所示。
y 1
a)
0
b)
1
x
数值随机化算法-计算PAI
假设所投入的点落入正方形的任一点的概率相等， 则所投入的点落入圆内的概率为
r
4r
2 2
4
当n足够大时， k与n之比就逼近这一概率，从而
对某行所有列位置进行随机的拉斯维加斯算法 bool Queen::QueensLV1(void) //棋盘上随机放置n个皇后拉斯维加斯算法 { RandomNumber rnd; //随机数产生器 int k=1; //下一个放置的皇后编号 int count=maxcout;//尝试产生随机位置的最大次数，用户根据需要设置 while(k<=n) { int i=0; for(i=1;i<=count;i++) { x[k]=rnd.Random(n)+1; if(Place(k)) break; //第k个皇后在第k行的有效位置存于y数组 } if(i<=count) k++; else break; } return (k>n); //k>n表示放置成功 }
}
6.4 拉斯维加斯( Las Vegas )算 法
拉斯维加斯算法不会得不到正确的 解。一旦用拉斯维加斯算法找到一个解， 这个解就一定是正确的。但有时用拉斯维 加斯算法会找不到解。它找到解的概率随 着它所用的计算时间的增加而提高。对于 求解问题的任一实例，用同一拉斯维加斯 算法反复对该实例求解足够多次，可使求 解失效的概率任意小。
数值随机化算法常用于数值问题的求解，所得到的解 往往都是近似解，而且近似解的精度随计算时间的增 加不断提高。 它能求得问题的一个解，但这个解未必是正确的。求 得正确解的概率依赖于算法执行时所用的时间，所用 的时间越多得到正确解的概率就越高。一般情况下， 蒙特卡罗算法不能有效地确定求得的解是否正确。 拉斯维加斯算法不会得到不正确的解，一旦找到一个 解，那么这个解肯定是正确的。但是有时候拉斯维加 斯算法可能找不到解。拉斯维加斯算法得到正确解的 概率随着算法执行时间的增加而提高。 舍伍德算法不会改变对应确定性算法的求解结果，每 次运行都能够得到问题的解，并且所得到的解是正确 的
6.5 舍伍德(Sherwood)算法
设A是一个确定性算法，当它的输入实例为x时所需的计算时间 记为tA(x)。设Xn是算法A的输入规模为n的实例的全体，则当问题 的输入规模为n时，算法A所需的平均时间为 t (n) t ( x) / | X |
A A n x X
n
这显然不能排除存在x∈Xn使得t ( x ) t ( n ) 的可能性。希望获 得一个概率算法B，使得对问题的输入规模为n的每一个实例均 有 t ( x) t A (n) s(n)
舍伍德(Sherwood)算法
（1）线性时间选择算法 线性时间选择问题:给定线性序集中n个 元素和一个整数k,1<=k<=n要求找出这n 个元素中第k小的元素。 如果将这n个元素依其线性序排列时， 排在第k个位臵的元素即为我们要找的元素。 当k=1时，找第一个元素，k=n时， 找最后一个元素，k=(n+1)/2找中位数。 该方法的最坏情况下时间复杂性为O(n)。 平均情况下时间复杂性为O(logn)
A A
B
这就是舍伍德算法设计的基本思想。当s(n)与tA(n)相比可忽略 时，舍伍德算法可获得很好的平均性能。
舍伍德(Sherwood)算法
舍伍德算法总能求得问题的一个解, 且所求得的解总是正确的。当一个确定性算 法在最坏情况下的计算复杂性与其在平均情 况下的计算复杂性有较大差别时，可在这个 确定性算法中引入随机性将它改造成一个舍 伍德算法，消除或减少问题的好坏实例间的 这种差别。舍伍德算法精髓不是避免算法的 最坏情况行为，而是设法消除这种最坏情形 行为与特定实例之间的关联性。
(0 1 p )
主元素问题
设T[1:n]是一个含有n个元素的数组。当 |{i|T[i]=x}|>n/2时，称元素x是数组T的主元素
Template<class Type> bool majority(Type T[], int n) // 判定主元素的蒙特卡罗算法 { RandomNumber rnd; int i=rnd.random(n)+1; //产生1~n之间的随机下标 Type x=T[i]; // 随机选择数组元素 int k=0; for (int j=1;j<=n;j++) if (T[j]==x) k++; return (k>n/2); //当 k>n/2 时，T含有主元素 }
第6章 随机化算法
张阳 信息工程学院
第六章 随机化算法
伪随机数 数值随机化算法 蒙特卡罗算法 拉斯维加斯算法 舍伍德算法
随机数发生器
随机数发生器
产生随机数的方法
伪随机数发生器
通过一个固定的、可以重复的计算方法产生随 机数的发生器
a0 d a n ( ba n 1 c ) mod m ， n 1, 2
拉斯维加斯( Las Vegas )算 法
拉斯维加斯算法的一个显著特征是它所作的随 机性决策有可能导致算法找不到所需的解。因此通 常用一个bool型函数表示拉斯维加斯算法。当算法 找到一个解时返回true，否则返回false。拉斯维加 斯算法的典型调用形式为bool success=LV(x,y)； 其中x是输入参数；当success的值为true时，y返 回问题的解。当success为false时，算法未能找到 问题的一个解。此时可对同一实例再次独立地调用 相同的算法。