随机化

常见随机化算法
• 纯随机化算法
• 牛顿爬山法 • 遗传算法
单纯的随机化算法
例题：给出一张有n个节点的图，每个点的 度不小于n/2，要求出图中的一个哈密尔顿 回路。 由于题目中给出的有利条件：每个点的度 都较大，所以哈密尔顿回路的可行方案较 多，采用随机化算法：每次随机的找一个 可以到达且未访问过的节点进行深度优先 遍历。
用随机化判断素数
若n是素数，对于a=1,2...n-1，有a^(n-1)1 (mod n)。所以，若存在整数a[1,n-1]，使得a^(n-1)1 (mod n)，则a必为合数。我们考虑以下算法： ISPRIME_R(n, s:int); i,a:int; { for i=1 to s do { a=random(1,n-1); if a^(n-1) mod n1 then return false; } return true; }
随机化算法介绍
rsΒιβλιοθήκη 什么是随机化？随机化算法是这样一种算法：在算法中使 用了随机函数，且随机函数的返回值直接 或间接地影响了算法的执行流程或执行结 果。
那么随机化算法和“运气”的关系如何呢？ 根据著名的：RP守恒定律！！！ RP不会自己产生，也不会自己消亡，只会 从一种形式转化为另一种形式，从一个个 体转移到另一个个体，从一个个体的一个 部分转移到另一部分。
启发式随机化
很多情况下，单纯的随机化算法会显得比 较盲目，此时，我们需要给算法加入有利 的启发信息。 这于启发式搜索相类似，拿这道例题来说， 随机寻找下一个点时，可以让剩余度较大 的点被选择的概率大一些，这样有利于更 快找到解。
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牛顿爬山法
y T
P x
上图为牛顿爬山法的原理。设爬山者在P 点，为了爬上山 峰，他可以向左或向右移动。爬山法要求每次移动之前计 算新位置与当前位置的差（即改进量），一般选择改进量 大的方向前进。由于有了这样的启发信息，一般很快就可 以找到一个最值。
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创造新物种
有些物种无论如何进化，都无法达到最优 解。面对这种情况，我们选择创造新物种： 重新随机产生一种状态，然后继续进行牛 顿爬山和基因突变。
也许你们会怀疑。。。。。这么弱 的算法真的有效吗？
随机化的光荣战绩： 姜啸，2006年NOI金牌成绩。在day1的比 赛中，面对一道复杂树型dp题：网络收费， 使用随机化算法获得80分的高分。
在快速排序时使用随机化，可以有效避免时 间复杂度的退化！
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随机影响执行结果的正确性
随机影响执行结果的正确性。在这种情况 中，原问题要求我们求出某个可行解，或 者原问题为判定性问题，随机的效应表现 为执行得到正确解的概率。 举例说明：用随机化判断素数。
朴素的判断素数方法
对于较小的n，我们可以用“筛数法”判定 n是否为素数。对于稍大一点的n，我们可 以先求出[2,sqrt(n)]内的所有素数，再用 这些素数试除n。这两种方法都要借助于大 数组，如果n足够大，就不再适用了。这时， 我们只能用2,3,..., sqrt(n)试除n，一旦除 尽，n必然是合数，否则为素数。 当遇到较大的素数n时，朴素算法会显得十 分慢的。其最坏情况时间复杂度为o(n^½)。
随机化的精髓
之前介绍的随机化算法，思路简单，编程 复杂度也很低，因此，算法随机化。 随机化的精髓在于：随机化思想！！！！ 在赛场中想不到标准算法时，需要让思路 敏锐地转向随机化。
不过，随机化并不是万能的，尤 其是在一些级别较高的比赛中， 出题者会对数据进行精心地设计， 防止随机化获得高分。 因此，认真学习算法是永远的真 理！！！！
这个算法会产生一种错误，即选取的s个a 值均满足a^(n-1)1 (mod n)，而n是合数时， 算法会认为n是合数的证据不足，判其为素 数。 但当s＝50时，此算法的正确率就可以到达 99%以上。选取适当的s，此算法的时间效 率远高于朴素的判定方法。
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随机影响执行结果的优劣
随机影响执行结果的优劣。这时，随机的 效应表现为实际执行结果与理论上的最优 解或期望结果的差异。 在此要向大家介绍3种常见的随机化算法。
随机不影响执行结果。 随机影响执行结果的正确性。 随机影响执行结果的优劣。
随机不影响执行结果
随机不影响执行结果。这时，随机必然影 响了执行的流程，其效应多表现为算法的 时间效率的波动。 举例说明：下面大家来看一段快速排序的 代码
Procedure qsort(a:arr;l,r:int); x,I,j:int; { x=a[l];i=l;j=r; repeat while a[i]<x do i=i+1; while a[j]>x do j=j-1; if not(i>j) then { change(a[i],a[j]); i=i+1; j=j-1; } until i>j; if l<j then qsort(a,l,j); if i<r then qsort(a,I,r); }
简单说：运气不是随机化的关键！！！
随机化算法的关键
由于随机化算法的随机种子不同，每次运 行的正确性、时间效率都有可能不同，而 一个好的随机算法应该保证算法的稳定性。 算法的稳定性是评价一个随机化算法的重 要指标。
如果一个算法是随机化算法，则它执行的流程或结 果就会受其中用的随机函数的影响。我们按影响的 性质和程度分三种情况：
谢谢！！
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遗传算法
遗传算法在一定程度上对牛顿爬山法的缺 陷进行了弥补，主要采取两种方法: 基因突变
创造新物种
基因突变
当陷入局部最优解并无法进行更新时，我们需要 用到输入一些新鲜血液。 随机地对状态进行改变，产生的这个新状态虽然 解可能没有祖先优，但继承了祖先大部分的优秀 基因，更中要的是，由于基因的突变，新的状态 拥有祖先所不具备的进化潜力，可以通过牛顿爬 山法继续寻找更优解。 举例来说，可以随机把一个人从原来的组别放到 另一个组，然后。。。。。。继续爬山。
例题：
有n个人，已知每个人的体重，要将此n个 人分成m组，使得方差最小。 随机化算法：将n个人随机分配到m组，然 后随机调整(调整包括交换和转移)，如果调 整后能使解变优，则进行调整，并不断重 复，直到无法找到能使解变优的调整为止。
牛顿爬山法的缺陷
y
T T1
P
x
如上图所示，牛顿爬上法的缺陷就是会陷入局部 最优解，图中，处于P点时，不断向上攀爬，到 达T1后，就无法继续对解进行更新，错误的认为 T1就是最优解，而实际上的顶峰在T。
大家可以发现，当a数组本来就为递增序列时， 快排的时间复杂度可以达到o(n^2)！！！
我们对程序进行如下修改： Procedure qsort(a:arr;l,r:int); x,I,j:int; { x=a[random(l,r)];i=l;j=r; repeat while a[i]<x do i=i+1; while a[j]>x do j=j-1; if not(i>j) then { change(a[i],a[j]); i=i+1; j=j-1; } until i>j; if l<j then qsort(a,l,j); if i<r then qsort(a,I,r); }