高考数学三角函数公式测试解析课时5教师版
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析 第四章 §4.5 三角函数的图象与性质
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析§4.5三角函数的图象与性质课标要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]－π2，知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π，0)，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π，－1)，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)|π方程常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．(2)若y＝A cos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)．(3)若y＝A tan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝sin x，x∈[0,2π]，y＝cos x，x∈[0,2π]的五个关键点是零点和极值点．(×)(2)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋π2(k∈Z)．(×)(3)若f(2x＋T)＝f(2x)，则T是函数f(2x)的周期．(×)(4)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．(×)2．(多选)已知函数f(x)＝x∈R)，下列结论正确的是()A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间0，π2上单调递增C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数答案ABC解析由题意得f(x)＝－cos x，对于A，T＝2π1＝2π，故A正确；对于B，因为y＝cos x在0，π2上单调递减，所以函数f(x)在0，π2上单调递增，故B正确；对于C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，故C 正确，D 错误．3．函数f (x )＝2tan x ()π＋π6，k ∈Z＋π6，k ∈Z＋π6，k ∈Z 答案D解析令2x －π3＝k π2，k ∈Z ，解得x ＝k π4＋π6，k ∈Z ，所以函数f (x )＝2tanx ＋π6，k ∈Z .4．(必修第一册P213T4改编)函数y ＝3－2cos ______，此时x ＝________.答案53π4＋2k π(k ∈Z )解析函数y ＝3－2cos 3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z ).题型一三角函数的定义域和值域例1(1)函数y ＝cos x －32的定义域为()A.－π6，π6B.k π－π6，k π＋π6(k ∈Z )C.2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z )D ．R 答案C解析由cos x －320，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．(2)如果函数f (x )＝＋32＋a 在区间－π3，5π6上的最小值为3，则a 的值为()A.3＋12B.32C.2＋32D.3－12答案A解析因为当x ∈－π3，5π6时，x ＋π3∈0，7π6，所以－12，1，当x ＝5π6时，sin 有最小值－12.可得f (x )＝＋32＋a 的最小值为－12＋32＋a ＝3，解得a ＝3＋12.思维升华三角函数值域的不同求法(1)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域．(2)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域．(3)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练1(1)函数y ＝tan ()|x ≠π4|x ≠3π4|x ≠π4＋k π，k ∈Z|x ≠3π4＋k π，k ∈Z 答案D解析函数y ＝令x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，解得x ≠3π4＋k π，k ∈Z ，∴函数y |x ≠3π4＋k π，k ∈Z(2)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ()A ．4B ．5C ．6D ．7答案B解析因为f (x )＝cos 2x ＋＝cos 2x ＋6sin x ＝1－2sin 2x ＋6sin x＝－x ＋112，又sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.题型二三角函数的周期性、对称性与奇偶性例2(1)(多选)(2023·合肥模拟)已知函数f (x )＝sin x (sin x －cos x )，则下列说法正确的是()A ．函数f (x )的最小正周期为πB －π8，y ＝f (x )图象的对称中心C y ＝f (x )图象的对称中心D ．直线x ＝5π8是y ＝f (x )图象的对称轴答案AD解析f (x )＝sin x (sin x －cos x )＝sin 2x －sin x cos x ＝1－cos 2x 2－12sin 2x ＝－22sin x ＋12，T ＝2π2＝π，故A 正确；当x ＝－π8时，2x ＋π4＝0，此时x 0，－π8，B 错误；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，此时x 1，则函数关于直线x ＝π8对称，故C 错误；当x ＝5π8时，2x ＋π4＝3π2，此时x 1，则函数关于直线x ＝5π8对称，故D 正确．(2)已知函数f (x )＝2cos ＋π4＋φ∈－π2，π2，则φ的值为________．答案π4解析由已知，得π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又因为φ∈－π2，π2，所以当k ＝0时，φ＝π4符合题意．思维升华(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．(3)对称轴、对称中心的求法：对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )(或令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z ))，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z x 即可．对于可化为f (x )＝A tan(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )，求x 即可．跟踪训练2(1)(多选)下列函数中，最小正周期为π的是()A ．y ＝cos|2x |B ．y ＝|cos x |C ．y ＝xD ．y ＝x答案ABC解析A中，y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；B中，由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；C中，y＝cosxT＝2π2＝π；D中，y＝tanxT＝π2.(2)(2023·日照模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ>0，|φπ，其图象关于直线x＝π6对称，则f________.答案3解析函数f(x)＝2sin(ωx＋φ>0，|φπ，其图象关于直线x＝π6对称，π，φ＝π2＋kπ，k∈Z，∵|φ|<π2，∴ω＝2，φ＝π6，故f(x)＝x则f×π4＋＝3.题型三三角函数的单调性命题点1求三角函数的单调区间例3(1)(2022·北京)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则()A．f (x)－π2，－B．f (x)－π4，C．f(x)D．f(x)答案C解析依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x.对于A 选项，因为x －π2，－2x πf (x )＝cos 2x －π2，－单调递增，所以A 选项不正确；对于B 选项，因为x －π4，2x －π2，f (x )＝cos 2x －π4，调，所以B 选项不正确；对于C 选项，因为x 2x f (x )＝cos 2x 以C 选项正确；对于D 选项，因为x 2x f (x )＝cos 2x 以D 选项不正确．(2)函数f (x )＝sin 2________．答案k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z解析f (x )＝sin 2g (x )＝sin x 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的单调递减区间为k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .延伸探究若例3(2)中的函数不变，求其在[0，π]上的单调递减区间．解令A ＝k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，B ＝[0，π]，∴A ∩B ＝0，5π12∪11π12，π，∴f (x )在[0，π]上的单调递减区间为0，5π12和11π12，π.命题点2根据单调性求参数例4已知f (x )＝sin(2x －φφ在0，π3上单调递增，且f (x )φ的取值范围是()A.π6，B.π6，C.π3，D.π4，答案B解析由x ∈0，π3，可得2x －φ∈－φ，2π3－φ，又由0<φ<π2，且f (x )在0，π3上单调递增，可得2π3－φ≤π2，所以π6≤φ＜π2.当x 2x －φφ，7π4－由f (x )上有最小值，可得7π4－φ>3π2，所以φ<π4.综上，π6≤φ<π4.思维升华(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3(1)设函数f (x )＝2f (x )在0，π2上的单调递减区间是()A.0，π8B.0，π4C.π4，π2 D.π8，π2答案D解析由已知f (x )＝x 得2k π≤2x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ，则k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，又x ∈0，π2，∴f (x )在0，π2上的单调递减区间为π8，π2.(2)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上单调递减，则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D ．π答案A解析f(x)＝cos x－sin x＝2cos由题意得a>0，因为f(x)＝2cos[－a，a]上单调递减，a＋π4≥0，＋π4≤π，>0，解得0<a≤π4，所以a的最大值是π4.课时精练一、单项选择题1．若函数y＝3cosωxω>0)两对称中心间的最小距离为π2，则ω等于() A．1B．2C．3D．4答案A解析因为函数y＝3cosωxω>0)两对称中心间的最小距离为π2，所以T2＝π2，则T＝π，所以T＝2π2ω＝π，解得ω＝1.2．(2023·焦作模拟)已知函数f(x)＝xf(x)在[－2,0]上()A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增答案D解析∵x∈[－2,0]，∴2x－π6∈－4－π6，－π6，∵－3π2<－4－π6<－π<－π6<0，∴函数f (x )＝cos x [－2,0]上先减后增．3．已知函数f (x )＝a ＝f b ＝f c ＝f a ，b ，c 的大小关系是()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >a >c 答案A解析a ＝f 2cos 13π42，b ＝f 2cos π3，c ＝f 2cos 5π12，因为y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，又0<13π42<π3<5π12<π，所以a >b >c .4．(2023·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)x ＝π6和x ＝2π3为函数y ＝f (x )的图象的两条相邻对称轴，则f ()A ．－32B ．－12 C.12 D.32答案D 解析因为直线x ＝π6和x ＝2π3为函数y ＝f (x )的图象的两条相邻对称轴，所以T 2＝2π3－π6＝π2，不妨取ω>0，则T ＝π，ω＝2πT＝2，由题意知，当x ＝π6时，f (x )取得最小值，则2×π6＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，则φ＝2k π－5π6，k ∈Z ，不妨取k ＝0，则f (x )＝x则f ＝32.5．(2023·抚州模拟)已知函数f (x )＝sin|x |－cos 2x ，则下列结论错误的是()A ．f (x )为偶函数B ．f (x )的最小正周期为πC ．f (x )的最小值为－98D ．f (x )的最大值为2答案B 解析因为f (－x )＝sin|－x |－cos(－2x )＝sin|x |－cos 2x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数，则A 正确；若f (x )的最小正周期为π，则f (x ＋π)＝f (x )恒成立，即sin|x ＋π|－cos 2(x ＋π)＝sin|x |－cos 2x ，即sin|x ＋π|＝sin|x |恒成立，而当x ＝π2时，sin 3π2≠sin π2，所以“f (x )的最小正周期为π”是错误的，则B 错误；由f (x )是偶函数，只需考虑x ≥0时的最值即可，当x ≥0时，f (x )＝sin x －cos 2x ＝2sin 2x ＋sin x－1＝x －98，因为sin x ∈[－1,1]，所以x －98∈－98，2，即f (x )的值域为－98，2，则C 和D 正确．6．(2023·安康模拟)记函数f (x )＝b (ω∈N *)的最小正周期为T ，若π2<T <π，且y ＝f (x )的最小值为1.则y ＝f (x )图象的一个对称中心为()－π12，答案C 解析由函数的最小正周期T 满足π2<T <π，得π2<2πω<π，解得2<ω<4，又因为ω∈N *，所以ω＝3，所以f (x )＝x b ，又函数y ＝f (x )的最小值为1，所以b ＝2，所以f (x )＝x 2，令3x ＋π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π3－π12，k ∈Z ，－π12，k ∈Z )，只有C 符合题意(k ＝2)．二、多项选择题7．(2024·株洲模拟)下列关于函数f (x )＝cos x ＋a sin x (a ≠0)的说法正确的是()A ．存在a ，使f (x )是偶函数B ．存在a ，使f (x )是奇函数C ．存在a ，使f (x ＋π)＝f (x )D ．若f (x )的图象关于直线x ＝π4a ＝1答案AD 解析函数f (x )＝cos x ＋a sin x ＝1＋a 2sin(x ＋θ)，其中sin θ＝11＋a 2，cos θ＝a1＋a 2，θ∈(0，π)，当a ＝0时，f (x )＝cos x 为偶函数，故A 正确；对于B ，无论a 取何值，函数f (x )＝1＋a 2sin(x ＋θ)都不可能为奇函数，故B 错误；对于C ，f (x ＋π)＝1＋a 2sin(x ＋π＋θ)＝－1＋a 2sin(x ＋θ)≠f (x )，故C 错误；对于D ，当x ＝π4时，函数f (x )取得最大值或最小值，故22＋22a ＝±1＋a 2，解得a ＝1，故D 正确．8．(2023·西安模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，0<|φ且f－f 1，则()A ．ω＝3B ．φ＝－π6C ．ω＝2D ．φ＝π6答案CD解析因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，0<|φ所以T 2＝12·2πω≥2π3－π6＝π2，所以0<ω≤2，因为f f 1，所以＋＋1，所以π6ω＋φ＝π2＋2k 1π，2π3ω＋φ＝3π2＋2k 2π，k 1，k 2∈Z ，故π2ω＝π＋2(k 2－k 1)π，所以ω＝2＋4(k 2－k 1)，k 2，k 1∈Z ，因为0<ω≤2，k 2－k 1∈Z ，所以ω＝2，则φ＝π6＋2k 1π，k 1∈Z ，又0<|φ|<π2，所以φ＝π6.三、填空题9．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．答案2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )解析方法一要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.在同一直角坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．方法二要使函数y ＝sin x －cos x 有意义，即使sin x －cos x ≥0，即2sin 0，即2k π≤x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，即原函数的定义域为2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．10．写出一个同时满足下列两个条件的函数f (x )＝________.①∀x ∈R ，f f (x )；②∀x ∈R ，f (x )≤f 答案－cos 4x (答案不唯一)解析由∀x ∈R ，f f (x )可知，函数的周期为π2，由∀x ∈R ，f (x )≤f x ＝π4处取到最大值，则f (x )＝－cos 4x 满足题意，一方面根据余弦函数的周期公式，T ＝2π4＝π2，满足∀x ∈R ，f f (x )，另一方面，f cos π＝1＝f (x )max ，满足∀x ∈R ，f (x )≤f11．若函数f (x )＝7sin在区间π2，a 上单调，则实数a 的最大值为________．答案7π5解析因为x ∈π2，a ，所以x ＋π10∈3π5，a ＋π10，又3π5在y ＝sin x 的单调递减区间π2，3π2内，所以a ＋π10≤3π2，解得a ≤7π5，所以a 的最大值为7π5.12．已知sin x ＋cos y ＝14，则sin x －sin 2y 的最大值为________．答案916解析∵sin x ＋cos y ＝14，sin x ∈[－1,1]，∴sin x ＝14－cos y ∈[－1,1]，∴cos y ∈－34，54，即cos y ∈－34，1，∵sin x －sin 2y ＝14－cos y －(1－cos 2y )＝cos 2y －cos y －34＝y －1，又cos y ∈－34，1，利用二次函数的性质知，当cos y ＝－34时，sin x －sin 2y 取最大值，(sin x －sin 2y )max －34－－1＝916.四、解答题13．设函数f (x )＝ωx m 的图象关于直线x ＝π对称，其中0<ω<12.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象过点(π，0)，求函数f (x )在0，3π2上的值域．解(1)由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得ωπ±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又0<ω<12，所以ω＝13，所以函数f (x )的最小正周期为3π.(2)由(1)知f (x )＝m ，因为f (π)＝0，所以m ＝0，解得m ＝－2，所以f (x )＝2，当0≤x ≤3π2时，－π6≤23x －π6≤5π6，可得－12≤ 1.所以－3≤f (x )≤0，故函数f (x )在0，3π2上的值域为[－3,0]．14．(2023·新乡模拟)已知函数f (x )＝a x 2cos a >0)，且满足________．从①f (x )的最大值为1；②f (x )的图象与直线y ＝－3的两个相邻交点的距离等于π；③f (x )的图(1)求函数f (x )的解析式及最小正周期；(2)若关于x 的方程f (x )＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，求实数m 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解(1)函数f (x )＝a x 2cos＝a x x 1＝a x x ＋π2－1＝a x x 1＝(a ＋x 1，若选择条件①f (x )的最大值为1，则a ＋1＝2，解得a ＝1，所以f (x )＝x 1，则函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.若选择条件②f (x )的图象与直线y ＝－3的两个相邻交点的距离等于π，且f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，所以－(a ＋1)－1＝－3，解得a ＝1，所以f (x )＝x 1.若选择条件③f (x )则f (a ＋1)sin π6－1＝0，解得a ＝1.所以f (x )＝x 1，则函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令f (x )＝1，得x 1，解得2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π3＋k π，k ∈Z .若关于x 的方程f (x )＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，则x ＝π3或x ＝4π3，所以实数m 的取值范围是4π3，15．(2024·抚顺模拟)已知函数f (x )＝|，则下列说法正确的是()A ．f (x )的周期是π2B ．f (x )的值域是{y |y ≠0，y ∈R }C ．直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴D ．f (x )k π－2π3，2k πk ∈Z答案D 解析函数f (x )的周期是2π，故A 错误；f (x )的值域是[0，＋∞)，故B 错误；当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，∴直线x ＝5π3不是函数f (x )图象的一条对称轴，故C 错误；令k π－π2<12x －π6<k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3<x <2k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )k π－2π3，2k πk ∈Z ，故D 正确．16．(2023·无锡模拟)设函数f (x )＝sinx α，α＋π3上的值域为[M ，N ]，则N －M 的取值范围是______．答案12，3解析函数f (x )＝sin x T ＝π，α＝π3<T 2，当函数f (x )在α，α＋π3上单调时，N －M ＝|f (α)－f＝|αα＝3|cos 2α|≤3，当函数f (x )在α，α＋π3上不单调时，由正弦函数的图象性质知，当f (x )在α，α＋π3上的图象关于直线x ＝α＋π6对称时，N －M 最小，此时－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即α＝k π2＋π4，k ∈Z ，因此(N －M )min ＝|f (α)－f＝|αsin 2α|＝|ππ＝|12cos k π－cos k π|＝12，所以N －M 的取值范围是12，3.。
人教A版高考数学一轮总复习课后习题 第五章三角函数 课时规范练19 同角三角函数基本关系式与诱导公式
课时规范练19 同角三角函数基本关系式与诱导公式基础巩固组1.(湖南岳阳高三月考)已知tan α=-2,α∈(0,π),则cos(π-α)的值为( )A.-√55B.2√55C.√55D.-2√552.(广东深圳高三月考)已知A为三角形的内角,且sin A+cos A=713,则tan A=( )A.-125B.-512C.512D.1253.已知sinα-π3=13,则cosα+π6的值是( )A.-13B.13C.2√23D.-2√234.(湖北高三开学考试)已知α2+β=π4,sin α=13,则cos 2β=()A.-13B.2√23C.13D.-2√235.若tan2x-sin2x=4,则tan2xsin2x的值等于( )A.-4B.4C.-14D.146.已知sin θcos θ=12,π2<θ<2π,则( ) A.角θ的终边在第三象限 B.sin θ+cos θ=√2 C.sin θ-cos θ≠0 D.tan θ=-17.已知α∈R,sin α+2cos α=√102,那么当tan α>0时,tan α=( )A.-3B.-13C.13D.38.(河北邢台高三期中)(1+tan 2375°)·cos 2735°= . 9.(河南新乡高三月考)已知sin(θ+π)=45,且θ为第四象限角,则tan(θ-π)的值等于 . 10.若sin 2α-cos 2α=12,则1-tan 2α1+tan 2α= .综合提升组11.(山东威海高三期中)已知2tan α·sin α=3,且-π2<α<0,则sin α的值等于( ) A.√32B.-√32C.12D.-1212.若sin θ+sin 2θ=1,则cos 2θ+cos 6θ+cos 8θ的值等于 ( )A.0B.1C.-1D.√5-1213.已知角α是锐角,若sin α,cos α是关于和n的关系式中一定成立的是( )A.m2-4n=0B.m2=2n+1C.mn>0D.m+n+1<014.(山东寿光高三月考)已知α∈(π,2π),且sin α+cos α=√24,则cos2α-cos4α的值等于.创新应用组15.(福建宁德高三月考)已知cos(α-π)1+sin(π-α)=√3,则sin(α-3π2)1+sin(α+π)的值等于( )A.√33B.-√33C.√3D.-√316.(北京西城高三模拟)若sin3θ+cos3θ=1,则sin θ+cos θ的值为.课时规范练19 同角三角函数基本关系式与诱导公式1.C 解析:∵tanα=sinαcosα=-2,α∈(0,π),故α为钝角.又sin 2α+cos 2α=1,∴cosα=-√55,∴cos(π-α)=-cosα=√55,故选C. 2.A 解析:∵sinA+cosA=713,∴(sinA+cosA)2=7132,得2sinAcosA=-120169<0,∴sinA>0,cosA<0.又(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA=289169,∴sinA-cosA=1713,∴sinA=1213,cosA=-513,∴tanA=sinA cosA =-125,故选A.3.A 解析:因为sin α-π3=13,所以cos α+π6=cosπ2+α-π3=-sinα-π3=-13,故选A.4.C 解析:因为2β=2α2+β-α,所以cos2β=cos 2α2+β-α=cosπ2-α=sinα=13,故选C.5.B 解析:由于tan 2x-sin 2x=4,所以tan 2xsin 2x=tan 2x(1-cos 2x)=tan 2x-tan 2xcos 2x=tan 2x-sin 2x=4.6.A 解析:因为sinθcosθ=12,π2<θ<2π,则θ为第三象限角,故A 正确;由题意得sinθ<0,cosθ<0,故B 错误;因为(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=0,故sinθ-cosθ=0,故C 错误;结合选项C 可知tanθ=1,故D 错误.故选A.7.D 解析:因为sinα+2cosα=√102,sin 2α+cos 2α=1,可得{cosα=3√1010,sinα=-√1010或{cosα=√1010,sinα=3√1010.因为tanα>0,所以tanα=sinαcosα=3.故选D.8.1 解析:(1+tan 2375°)·cos 2735°=(1+tan 215°)·cos 215°=1+sin 215°cos 215°·cos 215°=cos 215°+sin 215°=1.9.-43 解析:由sin(θ+π)=45,得-sinθ=45,所以sinθ=-45.又θ为第四象限角,所以cosθ=35,故tan(θ-π)=tanθ=sinθcosθ=-43.10.-12 解析:因为sin 2α-cos 2α=sin 2α-cos 2αsin 2α+cos 2α=tan 2α-1tan 2α+1=12,所以1-tan 2α1+tan 2α=-12.11.B 解析:由题知,2sin 2αcosα=3,所以2sin 2α=3cosα,即2-2cos 2α=3cosα,解得cosα=12或cosα=-2(舍去).又因为-π2<α<0,所以sinα=-√1-cos 2α=-√32.12.B 解析:因为sinθ+sin 2θ=1,sin 2θ+cos 2θ=1,所以sinθ=cos 2θ,所以原式=sinθ+sin 3θ+sin 4θ=sinθ+sin 2θ(sinθ+sin 2θ)=sinθ+sin 2θ=1. 13.B 解析:由题得sinα+cosα=-m,sinαcosα=n,则m 2-4n=(sinα+cosα)2-4sinαcosα=(sinα-cosα)2.因为sinα,cosα不一定相等,如α=π3时,sinα≠cosα,故A 错误;因为1=sin 2α+cos 2α=(sinα+cosα)2-2sinαcosα=m 2-2n,所以m 2=2n+1,故B 正确;由于α为锐角,所以sinα+cosα=-m>0,则m<0;sinαcosα=n>0,mn<0,所以C 错误;因为角α是锐角,即α∈0,π2,α+π4∈π4,3π4,所以m=-(sinα+cosα)=-√2sin α+π4∈[-√2,-1),所以m+n+1=m+m 2-12+1=(m+1)22>0,故D 错误.故选B.14.49256解析:因为sinα+cosα=√24,所以(sinα+cosα)2=18,即1+2sinαcosα=18,则sinαcosα=-716,故cos 2α-cos 4α=cos 2α(1-cos 2α)=(sinαcosα)2=-7162=49256.15.B 解析:由cos (α-π)1+sin (π-α)=√3,可得cosα1+sinα=-√3.而sin(α-3π2)1+sin (α+π)=cosα1-sinα.由于cosα1+sinα·cosα1-sinα=cos 2α1-sin 2α=cos 2αcos 2α=1,又cosα1+sinα=-√3,所以cosα1-sinα=-√33. 16.1 解析:由于sin 3θ+cos 3θ=(sinθ+cosθ)(sin 2θ-sinθcosθ+cos 2θ),所以(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)=1.设sinθ+cosθ=x,则x 1-x 2-12=1,整理得x 3-3x+2=0,即(x-1)2(x+2)=0.由于sinθ+cosθ=x∈[-√2,√2],所以x+2≠0,故x=1,即sinθ+cosθ=1.。
高考总复习数学精品课件 第5章 三角函数、解三角形 课时规范练33 两角和与差的三角函数、二倍角公式
=cos 82°sin 52°-sin 82°cos 52°=sin(52°-82°)=-sin 30°=- ,故 A 正确;
sin 15°·
sin 30°sin
故 B 正确;
2
2
1
75°= sin
2
cos 15°-sin 15°=cos 30°=
故C
1
15°sin(90°-15°)= sin
2
2
15°cos
1
15°= sin
4
3
,
2
tan48 °+tan72 °
正确;1-tan48 °tan72 °=tan(48°+72°)=tan
120°=- 3,故 D 错误.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1
30°= ,
8
1
2x=- ,则
3
7.(2024·广东深圳中学模拟)已知 cos
1
=1+ cos
2
2
1
2x=1+
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 5
×(- )= .
3 6
8.(多选题)(2024·海南高三学业水平诊断)已知
( AC )
1
4
A.tan α=-2
B.sin 2α=5
C.cos
3
2α=5
D.tan
π
α∈(2 ,π),且
因为
所以
2 5
D.- 5
14.(2024·浙江杭州、宁波联考)已知 tan(α+β),tan(α-β)是关于 x 的方程
2020版高考数学一轮复习第五章三角函数、解三角形5.4简单的三角恒等变换(第1课时)学案解析版
§5.4 简单的三角恒等变换1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C (α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C (α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S (α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))2．二倍角公式 sin2α＝2sin αcos α；cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan2α＝2tan α1－tan 2α. 概念方法微思考1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示 诱导公式可以看成和差公式中β＝k ·π2(k ∈Z )时的特殊情形．2．怎样研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 函数的性质？提示 先根据辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)，将f (x )化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再结合图象研究函数的性质．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )(2)对任意角α都有1＋sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22.( √ )(3)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( × ) (4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × ) 题组二 教材改编2．[P127T2]若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．－210B.210C ．－7210D.7210答案 C解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210. 3．[P131T5]sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝. 答案22解析 sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58° ＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58° ＝sin58°cos77°＋cos58°sin77° ＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝22. 4．[P146A 组T4(2)]tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝. 答案3解析 ∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10°＋tan50°1－tan10°tan50°，∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°) ＝3－3tan10°tan50°，∴原式＝3－3tan10°tan50°＋3tan10°tan50°＝ 3.题组三 易错自纠 5.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝.答案 12解析 原式＝sin (30°＋17°)－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.6．化简：cos40°cos25°·1－sin40°＝.答案2解析 原式＝cos40°cos25°1－cos50°＝cos40°cos25°·2sin25°＝cos40°22sin50°＝ 2.7．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan2θ＝.答案 －247解析 方法一 sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，得sin θ－cos θ＝15，① θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，①平方得2sin θcos θ＝2425，可求得sin θ＋cos θ＝75，∴sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝43，tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247. 方法二 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝7210，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝17＝tan θ－11＋tan θ，∴tan θ＝43. 故tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247.8．化简：2sin (π－α)＋sin2αcos 2 α2＝.答案 4sin α 解析2sin (π－α)＋sin2αcos 2 α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α)＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α.第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一 和差公式的直接应用1．(2018·嘉兴检测)sin 215°－cos 215°的值为( ) A.32B.12C ．－32D ．－12答案 C解析 sin 215°－cos 215°＝－(cos 215°－sin 215°) ＝－cos30°＝－32，故选C. 2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( )A.2941B.129C.141D ．1 答案 D解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，∴tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1.3．已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112答案 A解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45，tan α＝－34， 又tan β＝－12，∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β＝－34＋121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－211.4．计算sin110°sin20°cos 2155°－sin 2155°的值为． 答案 12解析sin110°sin20°cos 2155°－sin 2155°＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值． 题型二 和差公式的灵活应用 命题点1 角的变换例1(1)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝. 答案2525解析 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， 因为sin(α＋β)＝35<sin α且α＋β>α，所以α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)(2018·浙江名校联盟联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋3π5等于( )A ．－18B.18C ．－78D.78答案 C解析 设θ＝π5－α，则2θ＝2π5－2α，∴2α＋3π5＝π－2θ，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋3π5＝cos(π－2θ)＝－cos2θ＝2sin 2θ－1＝18－1＝－78. 命题点2 三角函数式的变换例2(1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)；(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°.解 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0，∴2＋2cos θ＝4cos2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ， 故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)原式＝2cos 210°2×2sin10°cos10°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos 25°－sin 25°sin5°cos5° ＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10°＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin (30°－10°)2sin10°＝cos10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.引申探究化简：(1＋sin θ－cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22－2cos θ(0<θ<π)．解 ∵0<θ<π，∴0<θ2<π2，∴2－2cos θ＝2sin θ2，又1＋sin θ－cos θ＝2sin θ2cos θ2＋2sin 2θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2，∴原式＝2sin θ2⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22sinθ2＝－cos θ.命题点3 公式的逆用与变形例3(1)已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝.答案 －5972解析 ∵sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，∴(sin α＋cos β)2＝19，(sin β－cos α)2＝14，即sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＝19，①sin 2β－2sin βcos α＋cos 2α＝14.②①＋②得sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＋sin 2β－2sin βcos α＋cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋(cos 2β＋sin 2β)＋2(sin αcos β－sin βcos α)＝1＋1＋2sin(α－β)＝2＋2sin(α－β)＝1336，则sin(α－β)＝－5972.(2)已知α－β＝π3，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为．答案33－12解析 ∵tan α－tan β＝sin αcos α－sin βcos β＝sin (α－β)cos αcos β＝3，且α－β＝π3，∴cos αcos β＝36，又cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝12，∴sin αsin β＝12－36，那么cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝33－12. 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． (2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．跟踪训练 (1)计算：cos10°－3cos (－100°)1－sin10°＝.(用数字作答)答案 2解析cos10°－3cos (－100°)1－sin10°＝cos10°＋3cos80°1－cos80°＝cos10°＋3sin10°2·sin40°＝2sin (10°＋30°)2·sin40°＝ 2.(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin β＝.答案32解析 由已知可得sin α＝437，sin(α＋β)＝5314， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×437＝32. (3)若3sin x ＋cos x ＝23，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋7π6＝.答案 ±24解析 由3sin x ＋cos x ＝23，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝23，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝±223，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝±24，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π6＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝±24.用联系的观点进行三角变换三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．例(1)(2018·绍兴一中期中)(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 B解析 (1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)＝[1＋tan(45°－24°)]·(1＋tan24°)[1＋tan(45°－25°)](1＋tan25°)＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1－tan24°1＋tan24°·(1＋tan24°)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－tan25°1＋tan25°·(1＋tan25°)＝21＋tan24°·(1＋tan24°)·21＋tan25°·(1＋tan25°)＝4，故选B.(2)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为． 答案17250解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45>0， ∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250.(3)已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝.答案 －75解析cos2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45，∴原式＝－75.1．(2018·台州模拟)已知cos α＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6等于( )A.12B.32C ．－12D ．－32 答案 C解析 因为cos α＝1，所以sin α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin αcos π6－cos αsin π6＝－sin π6＝－12，故选C.2．(2018·温州检测)已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin2α等于( )A ．－31010B.31010C ．－35D.35答案 C解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－13，所以sin α＝1010，cos α＝－31010， 所以sin2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－35， 故选C.3．(2018·衢州模拟)设a ＝cos50°cos127°＋cos40°sin127°，b ＝22(sin56°－cos56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >c >b答案 D解析 a ＝sin40°cos127°＋cos40°sin127° ＝sin(40°＋127°)＝sin167°＝sin13°，b ＝22(sin56°－cos56°)＝22sin56°－22cos56° ＝sin(56°－45°)＝sin11°，c ＝cos 239°－sin 239°cos 239°sin 239°＋cos 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos78° ＝sin12°，∵sin13°>sin12°>sin11°，∴a >c >b .4．已知α为锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3等于( ) A.26＋16 B.3－28 C.3＋28D.23－16答案 A解析 由于α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13， 则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝223，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝223×32＋13×12＝26＋16，故选A. 5．(2018·绍兴一中期中)已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为( )A ．－142B ．－144 C.142 D.144答案 A解析 由sin α＝12＋cos α可得sin α－cos α＝12，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝24>0， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， 可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝144，则cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－142，故选A. 6．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值为( )A ．－12B.12C ．－13D.2327答案 D解析 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，因为cos α＝13，所以cos2α＝2cos 2α－1＝－79，所以sin2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327. 7．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( )A ．α<π4<βB ．β<π4<αC.π4<α<β D.π4<β<α 答案 B解析 ∵α为锐角，sin α－cos α＝16>0，∴π4<α<π2.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.8．(2018·杭州二中期中)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2等于( )A.33B ．－33C.539D ．－69答案 C解析 因为0<α<π2，－π2<β<0，所以π4<π4＋α<3π4，π4<π4－β2<π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539，故选C. 9.2cos10°－sin20°sin70°的值是．答案 3解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°cos20°＋sin30°sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3.10.sin10°1－3tan10°＝. 答案 14解析sin10°1－3tan10°＝sin10°cos10°cos10°－3sin10°2sin10°cos10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°＝sin20°4sin (30°－10°)＝14.11．(2018·浙江第二次联盟校联考)已知cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝16，则sin2α的值为．答案 23解析 因为cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin2α2＝16，所以sin2α＝23.12．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4的值．解 依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.又β是第三象限角，所以cos β＝－45.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4 ＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝35×22＋45×22＝7210. 13．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为( )A ．－118B.118 C ．－1718D.1718答案 C解析 由3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α可得 3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)， 又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π可知，cos α－sin α≠0， 于是3(cos α＋sin α)＝22， 所以1＋2sin αcos α＝118，故sin2α＝－1718.故选C.14．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，求sin 4θ＋cos 4θ的值．解 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ ＝⎝⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos2θ＝14. 所以cos2θ＝12.故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos2θ22＝116＋916＝58. 15．化简：⎝⎛⎭⎪⎫3cos10°－1sin170°·cos15°＋sin15°cos15°－sin15°＝. 答案 －4 3 解析原式＝3sin10°－cos10°cos10°sin10°·1＋tan15°1－tan15°＝2sin (10°－30°)12sin20°·tan45°＋tan15°1－tan45°·tan15°＝－4·tan(45°＋15°)＝－4 3.16．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，求sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围．解 由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1， 又α，β∈[0，π]，∴α－β＝π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π) ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.∵π2≤α≤π， ∴3π4≤α＋π4≤5π4， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即取值范围为[－1,1]．。
人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知0>ω，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．15,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．17,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．15,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．17,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象如图所示，则ω=（ ）A ．14B ．2π C ．4π D ．123．已知α为第二象限角，且π3cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）． A ．34-B ．43-C ．53-D ．45-4．已知函数()31cos 22f x x x ωω=-（0>ω）的图象与直线1y =的相邻两个交点距离等于π，则()f x 的图象的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=5．已知()tan f x x =，x ∈Z ，则下列说法中正确的是（ ） A ．函数()f x 不为奇函数 B ．函数()f x 存在反函数 C ．函数()f x 具有周期性D ．函数()f x 的值域为R6．将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移12π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．12x π=C ．3x π=D ．24x π=7．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<8．下面函数中最小正周期为π的是（ ）．A ．cos y x =B ．π3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．tan2xy = D ．22cos sin 2y x x =+9．若角α，β均为锐角，sin 5α=，()4cos 5αβ+=-，则cos β=（ ）A B C D ． 10．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且1sin 23πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则()tan απ+=（ ）A ．-B ．C ．4-D ．411．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=（ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．312．已知函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin 2α的值等于（ ）A ．2425-B ．35C ．2425D ．35二、填空题13．已知()3sin 23cos sin 1f x x x x =-⋅+，若()32f a =，则()f a -=______.14．已知函数()22sin cos f x x x x ωωω=-，且()f x 图象的相邻对称轴之间的距离为π4，则当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为______． 15．已知函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点；②()f x 在(0,2)π上有且仅有2个极小值点：③()f x 在(0,2)π上单调递增；④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭．其中结论正确的是______．（填写所有正确结论的序号）．16．已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，则()cos αβ-=________. 17．已知tan 2α=，则cos2=α__．18．已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin sin 2αα+=______. 19．已知函数()3sin cos f x x x =+.若关于x 的方程()f x m =在[0,2)π上有两个不同的解α和β（其中m <<cos()αβ-=_____（结果用m 表示）.20．已知7sin cos 5αα+=-，22sin cos 5αα-=-，则cos2=α_______.三、解答题21．已知函数)(cos cos 2f x x x x =+.（1）求)(f x 的最小正周期和值域.（2）求)(f x 的单调区间.22．若函数2cos 2cos y x x x =+. （1）求这个函数的单调递增区间.（2）求这个函数的最值及取得最值时的x 集合. 23．已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭只能同时．．．．满足下列三个条件中的两个：①图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭；②函数()f x 的图象可由4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象平移得到；③若对任意x ∈R ，()()()12f x f x f x ≤≤恒成立，且12x x -的最小值为2π. （1）请写出这两个条件序号，并求出()f x 的解析式； （2）求方程()10f x -=在区间[],ππ-上所有解的和.24．已知sin cos αβ==，α、(0)2πβ∈，． （1）求cos(2)3πα-的值；（2）求αβ+的值．25．已知()cos2cos 23f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若2f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求12f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 26．已知函数3()sin(2)4f x x π=- （1）求()8f π的值；（2）求该函数的单调递增区间；（3）用“五点法”作出该函数一个周期的图像.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 由322232k x k ππππωπ+++求得22766k k x ππππωωωω++，k z ∈．可得函数()f x 的一个减区间为[6πω，7]6πω．再由6276ππωππω⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求得ω的范围．【详解】函数()sin()3f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减， 设函数的周期22T T πππω⇒=-，2ω∴． 再由函数()sin()3f x x πω=+满足322232k x k ππππωπ+++，k z ∈， 求得22766k k x ππππωωωω++，k z ∈． 取0k =，可得766x ππωω， 故函数()f x 的一个减区间为[6πω，7]6πω． 再由6276ππωππω⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求得1736ω，故选：B ． 【点睛】函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，由2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间2．B解析：B 【分析】根据函数的图象，求得函数的最小正周期，结合三角函数周期的公式，即可求解. 【详解】由题意，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象， 可得2114T=-=，所以4T =，又由24w π=，解得2w π=. 故选：B.3．A解析：A 【分析】 由已知求出3sin 5α=，即可得cos α，进而求出所求. 【详解】∵π3cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴3sin 5α=，∵α为第二象限角，∴4cos 5α==-， ∴sin 3tan cos 4ααα==-． 故选：A ．4．D解析：D 【分析】首先化简函数，根据条件确定函数的周期，求ω，再求函数的对称轴. 【详解】()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，max 1y =，由题意可知T π=，22ππωω∴=⇒=，()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ-=+∈，解得：32k x ππ=+，k Z ∈ 当0k =时，3x π=.故选：D5．B解析：B 【分析】根据()tan f x x =，x ∈Z 图象与性质，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A ：()f x 的定义域关于原点对称，且()tan()tan ()f x x x f x -=-=-=-，x ∈Z ，故()f x 为奇函数，故A 错误；对于B ：()tan y f x x ==，x ∈Z 在定义域内一一对应，所以arctan =x y ，即()f x 的反函数为arctan y x =，故B 正确；对于C ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，故()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 不具有周期性，故C 错误；对于D ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，所以()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 的值域为一些点构成的集合，不是R ，故D 错误.故选：B6．D解析：D 【分析】由()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移12π个单位长度得到()5212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再令52122x k πππ+=+求解. 【详解】因为函数()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由题意得()5212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以52122x k πππ+=+， 解得1,224x k k Z ππ=+∈， 故选：D7．C解析：C 【分析】3sin07a π=>,4cos 07b π=<，a b >且均属于()1,1-，而1c <-，大小关系即可确定. 【详解】 解：3sin7a π=>；427πππ<<， 4cos coscos 72πππ∴<<，即10b -<<. 又正切函数在(0,)2π上单调递增，347ππ<； 3tantan 174ππ∴>=； 33tan()tan 177c ππ∴=-=-<-， 01a b c ∴>>>->，故选：C. 8．D解析：D 【分析】根据三角函数的周期公式结合图象对选项进行逐一判断，可得答案. 【详解】()cos cos x x -=，cos cos y x x ∴==，周期为2π，故A 不符合题意；π3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为2π，故B 不符合题意；画出函数tan2x y =的图象，易得函数tan 2xy =的周期为2π，故C 不符合题意；2π2cos sin 2cos 21sin 2214x x x x x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，周期为π，故D 符合题意．故选：D9．B解析：B 【分析】由平方关系求得cos α，sin()αβ+，然后由两角差的余弦公式计算． 【详解】α，β均为锐角，25sin α=()4cos 5αβ+=-，2255cos 15α⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭，()243sin 155αβ⎛⎫+=--= ⎪⎝⎭， cos cos[()]βαβα∴=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++45355555=-⨯+⨯25=． 故选：B ．10．A解析：A 【分析】由条件可得1cos 3α=-，然后可得22sin α=，然后()sin tan tan cos ααπαα+==，即可算出答案. 【详解】 因为1sin cos 23παα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2sin 3α=所以()sin tan tan 22cos ααπαα+===-故选：A11．A解析：A 【分析】运用α-、2πα-的诱导公式，计算即可得到.【详解】解：1sin()43πα-=，即为1sin()43πα-=-， 即有1sin[()]243ππα-+=-， 即1cos()43πα+=-. 故选：A.12．C解析：C 【分析】由已知求出点P 的坐标，再利用三角函数的定义求出sin ,cos αα的值，进而可得到sin 2α的值【详解】解：因为函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过(4,3)， 所以点P 的坐标为(4,3) 因为角α的终边经过点P ， 所以34sin ,cos 55αα====， 所以3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=， 故选：C二、填空题13．【分析】令求出再由奇函数的性质求解【详解】令易证为奇函数所以所以故答案为： 解析：12【分析】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，求出()12g a =，再由奇函数的性质求解()f a -. 【详解】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，易证()g x 为奇函数.()()312f a g a =+=，所以()12g a =，所以()()()1112f ag a g a -=-+=-+=.故答案为：1214．【分析】先将函数化简整理根据相邻对称轴之间距离求出周期确定再根据正弦函数的性质结合给定区间即可求出最值【详解】因为由题意知的最小正周期为所以即所以当时所以因此所以函数的最小值为故答案为：解析：-【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定2ω=，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x ωωωωω+=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为ππ242⨯=，所以2ππ22ω=，即2ω=，所以()π2sin 43f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π4,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2sin 423x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，因此()π2sin 423f x x ⎛⎫⎡=-- ⎪⎣⎝⎭，所以函数()f x 的最小值为-．故答案为：-15．①④【分析】作出函数的图象根据在有且仅有5个零点再逐项判断【详解】如图所示：由图象可知在上有且仅有3个极大值点故①正确;在上可能有3个极小值点故②错误；因为函数在有且仅有5个零点所以解得故④正确；因解析：①④ 【分析】作出函数的图象，根据()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，再逐项判断. 【详解】 如图所示：由图象可知()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点，故①正确; ()f x 在(0,2)π上可能有3个极小值点，故②错误；因为函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故④正确；因为()0,2x π∈，所以,2555x πππωπω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，若()f x 在(0,2)π上单调递增，则252πππω+<，解得320ω<，不符合1229510ω≤<，故③错误；故答案为：①④ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出函数的图象，根据零点的个数确定ω的范围.16．【分析】将和两边同时平方然后两式相加再由两角差的余弦公式即可求解【详解】由两边同时平方可得由两边同时平方可得两式相加可得即所以故答案为：【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系以及两角差余弦公式解题 解析：5972-【分析】 将1cos cos 2αβ+=和1sin sin 3αβ+=两边同时平方，然后两式相加，再由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】 由1cos cos 2αβ+=两边同时平方可得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=，由1sin sin 3αβ+=两边同时平方可得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=，两式相加可得22221113cos cos 2cos cos +sin sin 2sin sin 946=3+αβαβαβαβ++++=即cos cos sin si 5972n αβαβ+=-，所以()cos cos cos sin s 9n 7i 52αβαβαβ-=+=-. 故答案为：5972- 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系以及两角差余弦公式，解题的关键是熟练掌握公式()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+，,22cos sin 1αα+=并应用，属于中档题. 17．【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式即可求解【详解】由又由故答案为： 解析：35【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由tan 2α=，又由22222222cos sin cos 2cos sin cos sin 1tan 1431tan 145ααααααααα--===-++-=-==+. 故答案为：35． 18．1【分析】首先根据已知条件求得再结合齐次方程求得【详解】由已知得解得所以故答案为：1解析：1 【分析】首先根据已知条件求得tan α，再结合齐次方程求得2sin sin 2αα+. 【详解】 由已知得1tan 31tan αα+=-，解得1tan 2α=.所以22222211sin 2sin cos tan 2tan 4sin sin 211sin cos tan 114αααααααααα++++====+++. 故答案为：119．【分析】先利用辅助角公式化简再利用同角三角函数关系计算出与最后利用化简计算即可【详解】解：其中为锐角且又在上有两个不同的解和即由题意知：与异号不妨设则故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利解析：215m -【分析】先利用辅助角公式化简()f x ，再利用同角三角函数关系计算出()cos αϕ+与()cos βϕ+，最后利用()()cos()cos αβαϕβϕ-=+-+⎡⎤⎣⎦化简计算即可.【详解】解：()()3sin cos f x x x x ϕ=+=+，其中ϕ为锐角且1tan 3ϕ=， 又()f x m =在[0,2)π上有两个不同的解α和β，()()m mαϕβϕ+=∴+=， 即()sin 10m αϕ+=，()sin 10βϕ+=， ()cos αϕ∴+== ()cos βϕ∴+== 由题意知：()cos αϕ+与()cos βϕ+异号，不妨设()cos αϕ+=，则()cos βϕ+=， cos()αβ-()()cos αϕβϕ=+-+⎡⎤⎣⎦()()()()cos cos sin sin αϕβϕαϕβϕ=+++++(1010m m =-⨯ 215m =-. 故答案为：215m -.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用辅助角公式对()f x 进行化简.20．【分析】联立方程组求得的值结合余弦的倍角公式即可求解【详解】由题意知：联立方程组求得所以故答案为： 解析：725【分析】联立方程组，求得sin ,cos αα的值，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由题意知：7sin cos 5αα+=-，22sin cos 5αα-=-，联立方程组，求得34sin ,cos 55αα=-=-，所以2247cos 22cos 12()1525αα=-=⨯--=. 故答案为：725. 三、解答题21．（1）周期为π，值域为]2,2⎡-⎣；（2）单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣. 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得)(2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪ ⎭⎝，则可求出周期和值域；（2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可得单调递增区间，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得单调递减区间. 【详解】（1）∵)(cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫==+⎪ ⎭⎝，所以，函数)(y f x =的周期为22T ππ==，值域为]2,2⎡-⎣. （2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得)(36k k k Z ππππ-≤+∈， 所以，函数)(y f x =的单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得)(263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因比，函数)(y f x =的单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣. 22．（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）函数的最大值为max 3y =，取得最大值时的x 集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；函数的最小值为min 1y =-，取得最小值时的x 集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据整体代换法求函数的单调递增区间即可；（2）根据三角函数的性质求解即可. 【详解】解：（1）2cos 2cos 2cos 212sin 216y x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭， 因为函数sin y x =在区间2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数2cos 2cos y x x x =+的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （2）由（1）得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以函数的最大值为max 3y =，当且仅当22,62x k k Z πππ+=+∈，即：,6x k k Z ππ=+∈时取得；函数的最小值为min 1y =-，当且仅当22,62x k k Z πππ+=-+∈，即：,3x k k Z ππ=-+∈时取得；所以函数的最大值为max 3y =，取得最大值时的x 集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；函数的最小值为min 1y =-，取得最小值时的x 集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据题意，结合二倍角公式和辅助角公式将已知三角函数表达式化简整理得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，考查运算求解能力，是中档题. 23．（1）①③，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）3π-. 【分析】（1）由题意分析出①②矛盾，可知③满足题意，由③可得出函数()f x 的最小正周期为π，可求得2ω=，可说明②不符合条件，进而可知符号题意的条件序号为①③，可得出2A =，由此可得出函数()f x 的解析式； （2）由()10f x -=可得1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得()x k k Z π=∈或()3x k k Z ππ=+∈，再由[],x ππ∈-可求得结果.【详解】（1）函数()sin 6f x A x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件为①③； 理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾， 故③为函数()sin 6f x A x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件之一， 由③可知，函数()f x 的最小正周期为T π=，所以2ω=，故②不合题意， 所以函数()sin 6f x A x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件为①③； 由①可知2A =，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）因为()10f x -=，所以1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以()2266x k k Z πππ+=+∈或()52266x k k Z πππ+=+∈， 所以()x k k Z π=∈或()3x k k Z ππ=+∈又因为[],x ππ∈-，所以x 的取值为π-、23π-、0、3π、π，所以方程()10f x -=在区间[],ππ-上所有的解的和为3π-. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的基本性质求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.24．（1；（2）34αβπ+=. 【分析】（1）先求出cos2α的值,再计算sin 2α的值,将cos(2)3πα-展开即可求解；（2）求出cos α和sin β的值，再计算()cos αβ+的值，结合α、(0)2πβ∈，，即可求出αβ+的值．【详解】（1）因为02πα<<，sin 5α=，所以cos α===，所以223cos 212sin 125αα=-=-⨯=-⎝⎭，4sin 22sin cos 2555ααα==⨯⨯=，314cos 2cos 2cos sin 2sin 333525πππααα⎛⎫-=+=-⨯+=⎪⎝⎭（2）因为02πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，cos 10β=，所以sin β==，()cos cos sin sin cos αβαβαβ+=-===， 因为02πα<<，02πβ<<，所以0αβ<+<π，所以34παβ+=. 【点睛】方法点睛：解给值求角问题的一般步骤（1）求角的某一个三角函数值； （2）确定角的范围；（3）根据角的范围写出角的大小.25．（1）5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）. 【分析】（1）利用三角恒等变换化简()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再整体代入求单调递增区间；（2）由已知得23f απα⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求出sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用倍角公式求12f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； 【详解】（1）1()cos2cos 2cos2cos22322f x x x x x x π⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭3cos222223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 当22,2,322x k k k Z πππππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 单调递增， 所以()f x 的单调递增区间5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）由已知得233f απα⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而2221263f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭212sin 39πα⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎥⎝⎭⎦．【点睛】求正弦型三角函数的单调区间，常用整体代入法，但要注意保证x 的系数为正，才比较不容易出错；求三角函数值时，要注意整体观察角. 26．（1）()18f π=-；（2）5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）作图见解析. 【分析】（1）直接代入求值；（2）解不等式3222242k x k πππππ-≤-≤+得单调增区间；（3）先列表描点再画图即可 【详解】解：（1）()sin()182f ππ=-=-（2）当3222242k x k πππππ-≤-≤+时，()f x 单调递增解得：5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 故()f x 的单调递增区间为：5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3）先列表x8π38π 58π 78π π324x π--34π -2π 02π π54π ()f x22- -1 0 122-。
2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形微专题五三角函数问题的多解探究教案(含解析)
微专题五 三角函数问题的多解探究[解题技法]三角函数是高中数学的重要内容，是每年高考的必考知识点，也是与其它知识交汇频率较高的知识点，它与数列、向量、方程、不等式、解析几何等知识紧密联系，历来倍受各级各类命题者的青睐．题目 已知3cos x ＋4sin x ＝5，求tan x 的值．解 方法一 构造方程由3cos x ＋4sin x ＝5两边平方，得9cos 2x ＋24sin x cos x ＋16sin 2x ＝25.而25＝25(sin 2x ＋cos 2x )，所以上式可整理为9sin 2x －24sin x cos x ＋16cos 2x ＝0.即(3sin x －4cos x )2＝0.所以3sin x －4cos x ＝0，解得tan x ＝43. 方法二 构造方程组由⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2x ＋cos 2x ＝1，3cos x ＋4sin x ＝5，消去cos x ， 整理得(5sin x －4)2＝0.解得sin x ＝45，cos x ＝35. 故tan x ＝sin x cos x ＝43. 方法三 构造辅助角由3cos x ＋4sin x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫45sin x ＋35 cos x ＝5sin(x ＋φ)＝5，其中cos φ＝45，sin φ＝35.所以tan φ＝34. 所以x ＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， 于是tan x ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－φ＝cot φ＝43. 方法四 代数换元令tan x ＝t ，即t cos x ＝sin x ，代入3cos x ＋4sin x ＝5，得3cos x ＋4t cos x ＝5，cos x ＝54t ＋3，sin x ＝5t 4t ＋3. 再代入sin 2x ＋cos 2x ＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫54t ＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5t 4t ＋32＝1. 解得t ＝43，即tan x ＝43. 方法五 运用三角函数定义设P (m ，n )为角x 终边上任意一点，P 点到原点O 的距离为r ，则r ＝m 2＋n 2.把sin x ＝n r ，cos x ＝m r 代入已知等式得3·m r ＋4·n r＝5.即(3m ＋4n )2＝(5r )2＝25(m 2＋n 2)．整理得(4m －3n )2＝0.所以4m ＝3n ，显然m ≠0. 故tan x ＝n m ＝43. 方法六 构造直线斜率由3cos x ＋4sin x ＝5可知点A (cos x ，sin x )在直线3x ＋4y ＝5上，同时也在单位圆x 2＋y 2＝1上，所以点A 为直线与单位圆的切点．由于直线的斜率为－34，所以OA 的斜率为43， 即tan x ＝43. 方法七 构造单位圆因为3cos x ＋4sin x ＝5，即35cos x ＋45sin x ＝1. 设A (cos x ，sin x )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45， 则点A ，B 均在单位圆x 2＋y 2＝1上．所以过B 点的切线方程为35x ＋45y ＝1. 可知点A (cos x ，sin x )也在切线35x ＋45y ＝1上， 从而点A 也是切点，由切点的唯一性也可知A ，B 两点重合，所以cos x ＝35，sin x ＝45，即tan x ＝43. 方法八 构造平面向量因为35cos x ＋45sin x ＝1，不妨令m ＝(cos x ，sin x )，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，可知|m |＝1，|n |＝1. 所以m ，n 均为单位向量，且m ·n ＝1.由|m ||n |≥|m ·n |，等号成立的条件为：m ∥n ，则有45cos x ＝35sin x ，即tan x ＝43.。
2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.3.1诱导公式一课时作业含解析新人教A版必修第一册20191023250
5.3.1 诱导公式（一）一、选择题1．sin 480°的值为( )A.12B.32C ．－12D ．－32解析：sin 480°＝sin(360°＋120°)＝sin 120° ＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝32. 答案：B2．已知sin(π＋θ)＝45，则角θ的终边在( ) A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限C ．第一或第四象限D ．第三或第四象限解析：∵sin(π＋θ)＝45＝－sin θ，∴sin θ<0，结合三角函数的定义，可知角θ的终边在第三或四象限，故选D.答案：D3．下列各式不正确的是( )A ．sin(α＋180°)＝－sin αB ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)C ．sin(－α－360°)＝－sin αD ．cos(－α－β)＝cos(α＋β)解析：由诱导公式知cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B 不正确． 答案：B4．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( ) A.12 B ．±32C.32 D ．－32 解析：由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－32(α为第四象限角)． 答案：D二、填空题5．求值：(1)cos 29π6＝________；(2)tan(－225°)＝________. 解析：(1)cos 29π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋5π6＝cos 5π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (2)tan(－225°)＝tan(360°－225°)＝tan 135°＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1.答案：(1)－32(2)－1 6．若sin(－α)＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则cos(π＋α)＝________. 解析：∵sin(－α)＝13，∴sin α＝－13.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝223，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－223. 答案：－223 7．若f (n )＝sin n π3(n ∈Z )，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝________.解析：f (1)＝sin π3＝32，f (2)＝sin 2π3＝32，f (3)＝sin π＝0，f (4)＝sin 4π3＝－32，f (5)＝sin 5π3＝－32，f (6)＝sin 2π＝0，f (7)＝sin 7π3＝sin π3＝f (1)，f (8)＝f (2)，……，∵f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6)＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＋336×0＝ 3. 答案： 3三、解答题8．求下列各三角函数值：(1)sin 1 200°；(2)cos 476π；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3； (4)tan(－855°)．解析：(1)sin 1 200°＝sin[120°＋3×360°]＝sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝32. (2)cos 476π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋6π＝cos 116π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π6＝cos π6＝32.(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝－sin 7π3＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π3 ＝－sin π3＝－32. (4)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝－tan(－45°)＝tan 45°＝1.9．若cos α＝23，α是第四象限角，求 sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值． 解析：由已知cos α＝23，α是第四象限角得sin α＝－53， 故sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π) ＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)cos α(－1＋cos α)＝－sin αcos α＝52. [尖子生题库]10．求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋2π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫n π＋4π3(n ∈Z )的值． 解析：方法一 ①当n 为奇数时，原式＝sin 2π3·(－cos 4π3)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34. ②当n 为偶数时，原式＝sin 2π3·cos 4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34. 综上可知，原式＝(－1)n ＋134. 方法二 原式＝sin 2π3·(－1)n cos 4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·(－1)n cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·(－1)n ·(－cos π3)＝(－1)n ×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(－1)n ＋134.。
高考理科数学复习专题09三角函数(教师版)
2.专题09三角函数【2021年高考全国I卷理数】函数sinxf(x)=一cosxx—在［,］的图像大致为xA.-ITC.门Tsin( x) ( x)【斛析】由 f ( x) 2cos( x) ( x)称,排除A.又fsin x x2cosx x- 1,f(力f(x),得f(x)是奇函数,其图象关于原点对立.........——2 0 ,排除B, C,应选D.1冗【名师点睛】此题考查函数的性质与图象,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养,采取性质法或赋值法,利用数形结合思想解题.解答此题时,A,再注意到选项的区别,利用特殊值得正确答案.【2021年高考全国I卷理数】关于函数f(x)先判断函数的奇偶性,得f(x)是奇函数,排除sin |x| |sin x|有下述四个结论:①f(x)是偶函数③f(x)在［,］有4个零点②f(x)在区间(一,)单调递增2④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A.①②④B.②④C.①④D.①③冗当一x2/时,fx九时,fsin sin x sin2sinx,它在区间一22sinx ,它有两个零点:sin x f x , f x为偶函数,故①正确.单调递减,故②错误.0 ；当兀x 0时,f x sin x sinx当 x 2k ,2k k N 时,f x 2sin x ；当 x 2k , 2k 2 k N 时,f x sinx sinx 0,又f x 为偶函数,f x 的最大值为2,故④正确.综上所述,①④正确,应选 C. 【名师点睛】此题也可画出函数f x sin x sinx 的图象(如以下图),由图象可得①④正确.3.【2021年高考全国n 卷理数】以下函数中,以3为周期且在区间(7, 3)单调递增的是A . f(x)=|cos2x|B . f(x)=|sin2x| C. f(x)=cos|x| D . f(x)=sin|x|【答案】A【解析】作出由于 y sin |x|的图象如以下图1,知其不是周期函数,排除 D ；由于y cos|x| cosx,周期为2兀,排除C ； 作出ycos2x|图象如图2,由图象知,其周期为 -,在区间(一,一)单调递增,A 正确；24 2....一 一 一一一,一___ __________ 兀 •一、一作出y sin2x 的图象如图3,由图象知,其周期为 一,在区间(一,一)单调递减,排除 B,2 4 2应选A.2sin x ,它有一个零点:冗,故f x 在有3个零点:,故③错误.图3【名师点睛】此题主要考查三角函数的图象与性质,渗透直观想象、逻辑推理等数学素养,画出各 函数图象,即可作出选择.此题也可利用二级结论：①函数 y f (x)的周期是函数y f(x)周期 的一半；②y sin x 不是周期函数2222I2sin a cos a,又sin cos 1, 5sin a 1,sin a 一,又 sin 0, sin 5B.【名师点睛】此题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数根本关系式的考查,中等难度,判断 正余弦的正负,运算准确性是关键,题目不难,需细心,解决三角函数问题,研究角的范围后得出 三角函数值的正负很关键,切记不能凭感觉.解答此题时,先利用二倍角公式得到正余弦关系,再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案.5.【2021年高考全国 出卷理数】设函数f x =sin ( x —)( >0),f X 在0,2有且仅有5个零点,下述四个结论:①f x 在(0,2 )有且仅有3个极大值点 ②f x 在(0,2 )有且仅有2个极小值点4. 2021年高考全国n 卷理数】(0, —),2sin2 a=cos2 o+1,贝U sin OF2B.Q2sin2 a cos2 a 1,4sin c cos 2 2cos a.Q 瓜cos 0 0 , sin0,图2③f x在(0, —)单调递增10④的取值范围是［但,29) 5 10其中所有正确结论的编号是A.①④B.②③C.①②③D.①③④【解析】①假设f(x)在［0,2句上有5个零点,可画出大致图象,由图1可知,f(x)在(0,2时有且仅有3个极大值点.故①正确;②由图1、2可知,f (x)在(0,2时有且仅有2个或3个极小值点.故②错误;④当f x =sin ( x -)=0 时, x —=k Tt (kC Z)5 5,所以x由于f(x)在［0,2 句上有5个零点,所以当k=5时,* 2/当k=6时,12,解得—529w —,10故④正确.③函数f x =sin x 一)5 的增区间为:2k z 九10 130 2k7t取k=0,7,12 ,〜71当 一时,单调递增区间为 一冗x 一冗, 5 24 829 ....................... 7 3当 —时,单倜递增区间为 —x x —%,10 29 29一. 一 _.冗 ........... .. .综上可得,f X 在0,— 单调递增.故③正确.所以结论正确的有①③④.故此题正确答案为 D.【名师点睛】此题为三角函数与零点结合问题,难度大,可数形结合,分析得出答案,要求高,理 解深度高,考查数形结合思想.注意此题中极小值点个数是动态的, 易错,正确性考查需认真计算,易出错.6.【2021年高考天津卷理数】函数 f(x) Asin( x )(A 0,0,| | )是奇函数,将f X 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为C.x .假设g x 的最小正周期为2私且g"那么f,2【解析】••• f(x)为奇函数,,f (0) Asin 0, Z, k 0, 0;g(x)八. 1-I- 2冗Asin - x, T -- 2 区22,f(x)32sin2x, f (一)V 2.应选 C.8【名师点睛】此题主要考查函数的性质和函数的求值问题,解题关键是求出函数 g x ,再根据函数性质逐步得出A,,的值即可.17 .【2021年局考全国 出卷理数】假设sin -,那么cos27 - 98 - 9 819 7-9♦ ♦B D1 9 7【解析】cos2 1 2sin 2 1 2 (―)2 —3 9应选B.【名师点睛】此题主要考查三角函数的求值,考查考生的运算求解水平,考查的核心素养是数学运 算.8.【2021年高考全国卷II 理数】假设f x cosx sinx 在 a,a 是减函数,那么a 的最大值是 花A . 一43冗 C.—— 4【答案】A(2)周期T求对称轴.⑶由 2k 冗 2ku k Z花求增区间；由一 2k ：t23冗—2ku k Z 求 2减区间 9.【2021年高考天津理数】将函数 y sin(2x一)的图象向右平移 一个单位长度,所得图象对应的函5 103 5 ............A,在区间［3—,5—］上单调递增4 4,一一 .3 一B .在区间［,］上单调递减4【解析】由于fcosxsinx A /2cos x —,4所以由0 2k/花2kXk Z)得一43冗——2kXk Z), 4因此 a,a兀 ................ TT 一,从而a 的取大值为一, 4应选A.【名师点睛】 解答此题时,先确定三角函数单调减区间, 再根据集合包含关系确定a 的最大值 .函数y Asin B(A 0,.)的性质:⑴ y max =A+B, y min AB .令k 1可得一个单调递增区间为令k 1可得一个单调递减区间为:应选A.【名师点睛】此题主要考查三角函数的平移变换,三角函数的单调区间的判断等知识,意在考查学 生的转化水平和计算求解水平10.【2021年高考浙江卷】函数 y=2"sin2x 的图象可能是C.在区间［3 ......... ,3-］上单调递增D.在区间3 -［斗［万,2 ］上单调递减【解析】由函数图象平移变换的性质可知:sin 2x的图象向右平移二个单位长度之后10的解析式为y sin 2 x7t 10 7t5sin2x .那么函数的单调递增区间满足 2k%2x 2ku花,即 k ：t — x4.......................... 冗函数的单调递减区间满足： 2 k 冗22x 3冗2k 冗—k Z , IP k u — x243冗 k k ——k4A . 【答案】DB.D.f x2忸sin2x 为奇函数,排除选项 A, B ；...兀. 一_ 一一 ... . . .由于x —,冗时,f x 0,所以排除选项C, 2应选D.............. ....................... ............ 冗 ................................ 【名师点睛】解答此题时,先研究函数的奇偶性,再研究函数在 一,冗上的符号,即可作出判断2有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置; (2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)由函数的周期性,判断图象的循环往复.C1: y=cos x, C2： y=sin (2x+ 2^),那么下面结论正确的选项是3得到曲线C 2得到曲线C 2得到曲线C 2得到曲线C 2【解析】由于 C I ,C 2函数名不同,所以先将 C 2利用诱导公式转化成与 C I 相同的函数名,那么_ _ 2 7t _ 27t 冗 _ 冗 . .一 .................................. 1 C 2: y sin(2x ——)cos(2x —— 一)cos(2x —),那么由C 1上各点的横坐标缩短到原来的 一3 3 2 6 2,、、. _ . ....... .. 兀. .............. 4 倍变为y cos2x,再将曲线向左平移 一个单位长度得到c 2,应选D.12【名师点睛】对于三角函数图象变换问题,首先要将不同名函数转换成同名函数,利用诱导公式,【解析】令f x 2l x sin2x ,由于x R, f x2 x sin2 x2〞sin2 x11.【2021年高考全国 出理数】曲线 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移 」个单位长度,6B. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移—个单位长度,12C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1 ............. ....... 一倍,纵坐标不变, 2再把得到的曲线向右平移 」个单位长度, 6 D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1 ............. .......一倍,纵坐标不变, 2再把得到的曲线向左平移—个单位长度,12y Asin x 或 y Acos x b 的形式...,、一...、_ ____________________________ _ 冗(2)求f x Asin( x ) 0的对称轴,只需令 x ku - k Z,求x ；求f(x)的2对称中央的横坐标,只需令 xkXk Z)即可.5.一.一 —兀 兀 . ..需要重点记住sin cos( -),cos sin( -)；另外,在进行图象变换时,提倡先平移后伸 2 2缩,而先伸缩后平移在测试中也经常出现,无论哪种变换,记住每一个变换总是对变量x 而言.12.【2021年高考全国出理数】设函数 f x cos(x1,那么以下结论错误的选项是A. f(x)的一个周期为 2几8B. y f(x)的图象关于直线x 8^对称 3C. f (x 花)的一个零点为x -6D. f(x)在(/)单调递减【答案】D____ _ _ _…… 2兀 _ _ 【解析】函数f (x)的最小正周期为T —— 2/,那么函数f(x)的周期为T 2k ：tk Z ,取k 1,1可得函数f x 的一个周期为 2任,选项A 正确;一…,―......TT函数f (x)图象的对称轴为 x — k u k Z,即x 38关于直线x —对称,选项B 正确；3冗一 一 .一 ..一,ku — k Z ,取k 3,可得y=f(x)的图象 37tcos x37tcos x —,函数f(x)的零点满足x — ku k Z ,即332, 冗. _ 「I x k 冗—k Z,取 k 60,可得f (x-- -一TT ... .冗)的一个零点为x -,选项C 正确;6-,冗时,x -52,4』,函数f (x)在该区间内不单调,选项 D 错误.23 6 3应选D. 【名师点睛】1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y Asin( x )或 y Acos( x)的形式,那么最小正周期为T奇偶性的判断关键是解析式是否为13.【2021年高考天津卷理数】设函数f(x) 2sin( x ) , x R ,其中0, | | •假设f (一)2,8【解析】由题意得11 8又T 2- 2 ,所以0 1,所以 2,2k 1—,3 12由 得 —,应选A. 12【名师点睛】关于 y Asin( x )的问题有以下两种题型： ①提供函数图象求解析式或参数的取值范围, 一般先根据图象的最高点或最低点确定A,再根据最小正周期求,最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式,求出满足条件的的值；②题目用文字表达函数图象的特点,如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等,根据题意自己 画出大致图象,然后寻求待定的参变量,题型很活,一般是求 或 的值、函数最值、取值范围等.【2021年高考北京卷理数】函数 f (x) =sin 22x 的最小正周期是 . , 冗 【答案】- 2【解析】函数f x sin 22x 1 co s4x ,周期为-.2 2【名师点睛】此题主要考查二倍角的三角函数公式 ？三角函数的最小正周期公式,属于根底题 .将所 给的函数利用降哥公式进行恒等变形,然后求解其最小正周期即可f( .) 0,且f(x)的最小正周期大于 2 ,那么12B.12C.24D.2414.2k l 一12............ _,其中k 1,k 2 Z ,所以k215. 【2021年高考江苏卷】tan tan —4一,那么sin 2 一 的值是 ▲3 410tan 21类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan 的值,然后利用两角和的正弦公式和二倍角公 式将原问题转化为齐次式求值的问题,最后切化弦求得三角函数式的值即可 16.【2021年高考全国I 理数】 函数f x 2sinx sin2x,那么f x 的最小值是21【斛析】f x 2cos x 2cos 2x 4cos x 2cos x 2 4 cosx 1 cosx 一 ,21 (1)所以当cosx -时函数单调递减,当 cosx 一时函数单调递增,从而得到函数的递减区间为 2 2 2k ：t 55,2kTt - k Z ,函数的递增区间为 2ku -, 2k u - k Z , 33 33tantan tan 1 tan2 「 九 tan 1 tan 13'tan 一—41 tan2 ,或 tan1 .3【解析】由解得tan得 3tan 2 5tan 2 0,sin 2 sin 2花cos- 4 cos2 冗 sin 一4工~2~sin 2 cos2 2sin 2cos cos_■ 2sin2tan1 tan2 2 sin 2 cos当tan2时,上式=立 2 2 2 22 1 221W ；当tan1 ,,, 一时,上式= 32 [—〔3〕2〔J 〕213一10综上,sin、210【名师点睛】 此题考查三角函数的化简求值,渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法,利用分_冗 _ . __ ... .x 2k u — ,k Z 时,函数f x 取得最小值,此时 sinx3【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题,在求解的过程中,需要明确相关 的函数的求导公式, 需要明白导数的符号与函数的单调性的关系,确定出函数的单调增区间和单调减区间,进而求得函数的最小值点,从而求得相应的三角函数值,代入求得函数的最小值_........................................ .... ................ 7t..7t ........................................... ..17.【2021年高考北京卷理数】设函数 f (x) =cos( x -)(0),假设f(x)f(-)对任意白^实数x 都成64立,那么3的最小值为【名师点睛】此题主要考查三角函数的图象和性质,考查考生的逻辑推理水平以及运算求解水平, 考查的核心素养是逻辑推理、数学运算查的核心素养是数学运算所以当 所以f x .2min二垓",故答案是空3sin2 x 2由于f对任意白^实数x 都成立,所以f -取最大值,4所以-42ku6由于0,所以当 0时,..... ............. 2 w 取取小值为一318.【2021年高考全国出理数】函数cos兀的零点个数为Q0 x花3x619 7t由题可知3x解得xx4」,或7J ,故有3个零点.【名师点睛】 此题主要考查三角函数的图象与性质, 考查数形结合思想和考生的运算求解水平,考19.【2021年高考江苏卷】 函数y sin 2x一〕的图象关于直线x —对称, 23值是减区间.【解析】化简三角函数的解析式:【名师点睛】此题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题,二次函数、二次 方程与二次不等式统称 三个二次〞,它们常结合在一起,有关二次函数的问题,数形结合,密切联 系图象是探求解题思路的有效方法 .一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值 符号四个方面分析.21.【2021年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy 中,角〞与角3均以Ox 为始边,它们的终边关1于y 轴对称.右sin-,贝U cos( ) =.【解析】由题意可得 sin kXk Z),由于花所以20,【名师点睛】 由对称轴得kXk Z),再根据限制范围求结果.函数y Asin(A>0,3>0)的性质:(1) ymaxAB, y min(2)最小正周期 ⑶由 x-ku k Z~. 一冗 ~2k u k Z 求增区间；由一2k/2 3冗—2k 冗 k 220.【2021年高考全国n 理数】函数x sin 2 x \ 3 cosx3 4(x花0,一2)的最大值是 f x 1 cos 2 x \ 3 cosx cos 2 x _ 3 cosxcosx由自变量的范围:0 -可得: ’2cosx 0,1 ,当cosx 立时, 2函数f x 取得最大值1.1,cos 2是数学运算.23.【2021年高考江苏卷】假设tan(」) 4【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(2)给值求值：关键是找出式与待求式之间的联系及函数的差异.一般有如下两种思路: ①适当变换式,进而求得待求式的值；②变换待求式,便于将式的值代入,从而到达解题的目的. (3)给值求角：实质是转化为“给值求值〞,先求角的某一函数值, 再求角的范围,进而确定角.24.【2021年高考浙江卷】设函数 f(x) sinx,x R .【解析】 由于和 关于y 轴对称,所sinsincoscos2.2 3(或 cos cos2J ) 3 所以coscos cos sin sin2. 2c • 2/cossin2sin 1【名师点睛】此题考查了角的对称关系,以及诱导公式,常用的一些对称关系包含：假设 边关于y 轴对称,那么冗2ku,k Z ,假设 与 的终边关于x 轴对称,那么2kRk Z ,假设 与 的终边关于原点对称,那么22.【2021年高考全国n 理数】 sin a cos 3 1, cos a sin 3 0 ,那么sin( a3)【解析】由于sin cos 1, cos sin0, 所以sincos1,所以sin因止匕sin1sin cos cos sin 一22cos. 2sin【名师点睛】 此题主要考查三角恒等变换,考查考生分析问题、解决问题的水平, 4考查的核心 【解析】tan tan[( 4)-]tan( ) tan — 4 41 tan( ) tan —4 41 16_ 1」 6(1)给角求值：关键是正确选用公式, 以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(1) ［0,2工函数f (x )是偶函数,求 的值;；(2) [1即 sinxcos cosxsin sinxcos cosxsin ,故 2sinxcos 0 , 所以cos 0 . 又 [0, 2冗),1 3cos 2x 『2 3【名师点睛】此题主要考查三角函数及其恒等变换等根底知识,同时考查运算求解水平25.【2021年高考浙江卷】函数f (x) sin 2 x cos 2 x 2V3sin xcosx(x f(—)的值.3f(x)的最小正周期及单调递增区间.单调递增区间是［—k ,2 6 3(2)求函数y［f(x万『［f(x产值域・【解析】(1)由于 f(x sin(x )是偶函数,所以,对任意实数x 都有sin(x ) sin( x ),(1)由.2sin 一3.32 , cos —2.3 2 1 2“于(万)(2)得f (23 )2.(2)由 cos2x.2sin x 与 sin 2x2sin xcosx 得 f (x)cos2x、、3sin2x]•因此,或上7tx127t4sin 27tx 一12sin 2 xcos 2xcos 2x&os2x 2久in2x2因此,函数的值域是［1,3 .3 y ,1 一 ]•(1)求 (2)求2sin(2 x -). 6所以 ^3cosx 3sin x .于是tan x又x 0,冗即x 0时,f x 取到最大值3;5工时,f x 取到最小值 266所以f(x)的最小正周期是 .由正弦函数的性质得 一 2k2-2斛得一k x — k , k63所以,f(x)的单调递增区间是32x -——2k ,k Z , 6 2Z ,[-k ,— k ], k Z . 6 3【名师点睛】此题主要考查了三角函数的化简,以及函数y Asin x的性质,是高考中的常考知识点,属于根底题,强调根底的重要性；三角函数解做题中,涉及到周期,单调性,单调区间 以及最值等考点时,都属于考查三角函数的性质,首先应把它化为三角函数的根本形式即y Asin x ,然后利用三角函数 y Asin u 的性质求解.26.【2021年高考江苏卷】向量a (cosx, sin x),b (3,扃x [0,4(1)假设 a// b,求x 的值; (2)记f(x) a b ,求f (x)的最大值和最小值以及对应的一 5冗 _(1) x ——；(2) x 0 时, 6x 取到最大值3；5冗x ——时,f x 取到最小值 2 J3 . 6(1)由于 a (cosx,sin x),(3, V 3) , all b,假设 cosx 0, 那么 sin x 0 ,与 sin 2 xcos 2 x 1 矛盾,故 cosx0.(2) f (x)a b (cos x,sin x) (3,、3) 3cos x \ 3 sin x「 兀2,3cos(x -).6由于x0,所以 冗 冗7冗x -[-,-],6 6 6从而cos(x27.【2021年高考浙江卷】角 a 的顶点与原点 O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点45)(1)求sin ( a+兀)的值;5 〜(2)右角3满足sin ( a+优=一,求cos 3的值.134【答案】(1) — ; (2) COS5【解析】(1)由角 的终边过点 所以sin( 访 sin【名师点睛】此题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式,考查考生分析问题、 解决问题的水平,运算求解水平,考查的数学核心素养是数学运算求解三角函数的求值问题时,需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换 (1)首先利用三角函数的定义求得 sin ,然后利用诱导公式,计算 sin (妙兀)的值;结合同角三角函数的根本关系,计算 cos( )的值,要注意该值的,利用两角差的余弦公式,通过分类讨论,求得 cosB 的值(1)求cos2的值；(2)求tan( )的值.【答案】(1)—；(2)-.25 11【解析】(1)由于tan 4 , tan §n 一3cos4— cos 356T 16 瓦或cos —3 4『P( -, 一Win5 5(2)由角 由 sin( 由 ( 34的终边过点P( 一,一)得cos 5 5 、5 3 , 、 12)而得.问)行) 得 cos cos( )cossin()sin ,所以cos史或cos6516 65(2)根据sin (廿3)的值, 正负,然后根据 28.【2021年高考江苏卷】为锐角,tan4一,cos( 3所以sin 由于sin 22cos因此tan(因此,tan( ) tan[2 (tan 2 tan( )2"1 tan 2 tan( )11由于tan4-, 八一,所以tan 2 3 2 tan 1 tan 2 24一,7【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和(差)及二倍角的三角函数,考查运算求 解水平.三角函数求值的三种类型:(1)给角求值：关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出式与待求式之间的联系及函数的差异. 般有如下两种思路:①适当变换式,进而求得待求式的值;②变换待求式,便于将式的值代入,从而到达解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为 给值求值〞,先求角的某一函数值, 再求角的范围,进而确定角. _ .............. .... ... 冗29.【2021年局考山东卷理数】设函数 f(x) sin( x —) sin( x 6」),其中0 2 3. 花 f(-) 0. 6 (1)求 (2)将函数y f (x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍 (纵坐标不变),再将得到的图象 向左平移」个单位,得到函数y g(x)的图象,求g(x)在［-,3」］上的最小值 44 4 3 【答案】(1) 2 ; (2)最小值为 一. 2_ __ 冗冗【斛析】(1)由于 f (x) sin( x —) sin( x —), 62一, o 9 所以cos——,因此,cos2 2cos 2 17 25(2)由于,为锐角,所以(0, ).又由于cos(所以sin(...1 cos 2(2、5 ----- , 5所以f(x) .3 1——sin x cos x cos x 2 23；「 3 ———sin x —cos x2 23(』sin x -cos x)2 2、.3sin( x -). 3,-.一. Tt由题设知f (-) 0,6- Tt Tt . 一所以」」ku, k Z.6 3故6k 2 , k Z ,又0 3 ,所以2.(2)由(1)得f (x) >/3sin 2x —3所以g (x) . 3 sin x ——4 3 ?3 sin x —12所以x122 3, 3〜…,.,、 3所以当x 一一,即x 一时,g(x)取得最小值一.12 3 4 2【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目,可谓相当经典.解答此题时,关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质,此题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应,二是无视设定角的范围.难度不大,能较好地考查考生的根本运算求解水平及复杂式子的变形水平(1) 2; (2) f(x)的最小正周期是。
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专题考案(3)三角板块 第1课 三角函数公式 (时间：90分钟 满分：100分) 题型示例
若A-B=6,tanA-tanB=332,则cosA²cosB= .
解 tan(A-B)=33tantan1tantanBABA(1+tanA²tanB)²332331+2coscossinsinBABA cosA²cosB+sinA²sinB=2cosA²cosBcosA²cosB=21cos(A-B)= 43. 答案 43 点评 “化切为弦”是三角变换的常用方法.若把1+BABAcoscossinsin=2化为
BABAcoscossinsin=1cosA·cosB=sinA·sinB,解题便陷入困境，不易求解.
一、选择题 (9³3′＝27′) 1．tan 15°+cot 15°等于 ( )
A.2 B.2+3 C.4 D.334
2．当x≠2k(k∈Z)时，xxxxcotcostansin的值是 ( ) A.恒正 B.恒负 C.非负 D.无法确定 3．若cotα=2,则sin2α+sin2α的值是 ( ) A.1 B.-1 C.2 D.以上都不对 4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是 ( )
A. logcosCBAsincos>0 B.logcosCBAcoscos>0
C.logsinCBAsinsin>0 D.logsinCBAcossin>0 5．设tanα=71,tanβ=31,α、β均为锐角，则α+2β的值是 ( ) A.4 B. 43π C.45π D. 434或π 6．如果角θ满足条件,则θ是 ( ) A.第二象限角 B.第二或第四象限角 C.第四象限角 D.第一或第三角限角
7．若cotθ=3,则cos2θ-21sin2θ的值是 ( )
A.-65 B.-54 C.53 D.54 8．若α∈［0,2π］,且,2cos2sin2cos12cos1则α的取值范围是 ( ) A.［0，2π］ B.［2,π］ C.［0,π］ D.［π,2π］ 9．在△ABC中，若sin(4+A)cos(A+C-43π)=1,则△ABC为 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 二、填空题 (5³3′＝15′)
10．化简4466sincos1sincos1= .
11．tan20°+tan40°+3tan20°tan40°的值是 . 12．若sinα+sinβ=21,cosα+cosβ=23,则sin(α+3)的值为 . 13．已知α=求得,8,2tan2cotcos2的值为 .
14．若a≠0，且sinx+siny=a，cosx+cosy=a,则sinx+cosx= . 三、解答题(2³10′＋6′＋10′＝36′)
15．已知tanα、cotα是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两实根，且3π求cos(3π+α)+sin(π+α)的值. 16．已知tan214.
(1)求tanα的值; (2)求2cos1cos2sin2的值.
17．已知sinα+cosβ=21,求cosα+sinβ的取值范围. 18．已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,α∈2,π）,求sin(2α+3)的值. 四、思考与讨论(12′＋10′＝22′) 19．已知关于x的方程2x2-(3+1)x+m=0的两根为sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：
(1) tan1coscot1sin的值； (2)m的值； (3)方程的两根及此时θ的值．
20．设α、β、γ是锐角,且tan2tan23a,tanβ=21tanγ,求证：α、β、γ成等差数列. 参考答案 1．C tan 15°+cot 15°=tan 15°+15tan15tan115tan12 .430sin230csc215tan215tan122
2． A x≠2k,k∈Z, 0sin1cos1tansinsin1coscos1tansin11cos11cossincotcostansin2xxxxxxxxxxxxxxxx.
3．A cotα=2sinα=.552cos,552112 又由cotα=2>0知 sinα、cosα同号. ∴sin2α+sin2α=2³25555255=1.
4．A ∵A+B>2,∴A>2-B,cosA∴logcosCBAsincos>0.
5．A tanβ=31tan2β=43)31(13122 又71<1, 31 <1,则0又tan(α+2β)=71+437114371 =1,∴α+2β=4. 6．B ∵sin2θ+cos2θ=1,∴15245322kkkkk=0或8．k=0时，sinθ=-53，cosθ=54，θ在第四象限；k=8时，sinθ=135，cosθ=1312,θ在第二象限．
7． C cotθ=3,则tanθ=31,∴sin2θ=533113122,cos2θ=.5431131122
cos2θ-.53532125412sin2122cos12sin21 8．D α∈［0,2π］,则2∈［0,π］.,2sin2cos2sin2cos2cos12cos122 由已知得 sin2≥0,cos2≤0,∴2∈［2,π］,∴α∈［π,2π］. 9．C sin（4+A）cos (A+C-43π)=1sin(4+A)=1,cos (A+C-43π)=1A=4,A+C=43π. 10．23
.23cossin2cossin3cossin2)sin(cos1cossin3)sin(cos1)sin(cos1)cossinsin(cos1sincos1)sincossin)(cossin(cos12222222222222244224444422422
a原式
11．3 3=tan60°=40tan20tan140tan20tantan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3. 12．21 由已知sinβ=21-sinα,cosβ=23-cosα,两式平方相加得1=2-sinα-3cosα=2-2sin(α+3)，∴sin(α+3)=21.
13．82 sin21coscos2cos2sin2sin2coscos2cos2sin2sin2coscos2tan2cotcos222222 .824sin412sin412cossin 14．a ∵sin2y+cos2y=1,∴(a-sinx)2+(a-cosx)2=1,得2a2-2a(sinx+cosx)+1=1,∴sinx+cosx=a．
15．解,13cottancottan2kk得k=±2,tanα=±1,又3π
cos(3π+α)+sin(π+α)=-cosα-sinα=2. 16．分析 （1）将已知用两角和的正切公式展开即可. (2)将所求式子化简成只含tanα的形式，再代入数便可求解.
解 (1)tan.tan1tan1tan4tan1tan4tan4
由tan.31tan,21tan1tan1,214解得有 (2)方法1.65213121tancos2cossin21cos21coscossin22cos1cos2sin222 方法2 由(1),tanα=-31,得sinα=-31cosα. ∴sin2α=91cos2α,1-cos2α=91cos2α. ∴cos2α=109,于是cos2α=2cos2α-1=54,sin2α=2sinαcosα=-32cos2α=-53.
代入得.65541109532cos1cos2sin2 点评 本题考查了两角和的正切公式，倍角的正余弦公式等一些基本三角公式，进而考查了学生灵活运用公式的能力及运算能力. 17．解 设cosα+sinβ=t,则tsincos21cossin ①2+②2,得:2+2sin(α+β)=41+t2,∴sin(α+β)=87212t 由sin(α+β)∈［-1,1］得-1≤87212t≤1
即215215t,从而cosα+sinβ的取值范围是215,215. 点评 如果已知sinα+cosβ=m,cosα+sinβ=n,则两边平方出现sin2α+cos2α=1,sin2β+cos2β=1,可以求出sin(α+β)的值，同样已知sinα+sinβ=m,cosα+cosβ=n平方可求出cos(α-β)的值. 18．解 方法1 由已知得(3sinα+2cosα)(2sinα-cosα)=03sinα+2cosα=0或2sinα-cosα=0.由已知条件可知cosα≠0，所以α≠2,即α∈ (2,π).
于是tanα<0,∴tanα=-32. sin(2α+3)=sin2αcos3+cos2αsin3=sinαcosα+23 (cos2α-sin2α) =,tan1tan123tan1tansincossincos23sincoscossin222222222
将tanα=-32代入上式得.3265136321321233213232sin222
① ②