【数学】 2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)

Y
P(x,y)
A (-r,0)
O 0
一、建立适当的 直角坐标系，如 右图所示：以圆 B (r,0) X 心O为原点。
二、取圆上任意一点 P(x,y)，则：OP=r
即：
( x 0) ( y 0) r
2 2
所以此圆的方程为：
即：x 2 y 2 r 2
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程 设P(x,y)是圆上任意一点， y
小结：
(1)、牢记: 圆的标准方程：(x-a)2+(yb)2=r2。
(2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆。 (3)、方法：①待定系数法 ②数形结合法
2
2
r r 0
2
叫做以（ɑ，b）为圆心， r为半径的 圆的标准方程。
如果圆的方程为： 若圆心为（0，0）时，此方程变为：
x y r
2 2
2
r 0
此圆的圆心在原点（0，0），
半径为r。
例1： 求以C(4,-6)为圆心，半径是 3的圆的方程.
解: 将圆心 C(4,-6) ﹑半径等于3代 入圆 的标准方程，可得所求圆 2 的方程为（x-4） ( y 6) 2 9
2
y 3 13
2
（4）以点A（-4，-1），B（6，-1）为 直径的圆的方程。 （分析：线段AB为直径，则圆心为线段 AB的中点，半径为线段AB的一半。） 解：以中点坐标公式有：圆心坐标 为（1，-1），又以两点距离公式 有：AB 6 4 2 1 12 10 所以圆的半径为5 2 2 故圆的方程为： x 1 y 1 25
问：若此圆C的圆心为（2，
1），且与X轴相切，它的 方程是什么？？
0
C（1） C（2，1）
X
x 2
2
y 1 1
2
X
下列方程分别表示什么 图形 ? (1) x 2 y 2 0; (3) y 1 x 2 (2)(x 1) 2 8 ( y 2) 2 (4) x 1 y 2
根据定义，点P到圆心C的 距离等于r，由两点间的距离公 式，点P适合的条件可表示为：
∣PC∣=r 即 (x-a) 2 + (y-b) 2 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 =r
O 说明：
P
r
C x
特点：明确给出了圆心坐标 和半径。
于是我们得到：方程
x a y b
练习 1.写出下列圆的方程
x2+y2=9 （1）圆心在原点，半径为3； （2）圆心在(-3、4),半径为 5 。 (x+3)2+(y-4)2=5
（3）圆心为（2，-3），且过原点的圆C 的方程。
解：因为圆C过原点，故圆C的半径
r 2 3 13
2 2
因此，所求圆C的方程为：
x 2
x
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 解得：b= -10.5 r2=14.52 2+(0-b)2=r2 10 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
例2:已知隧道的截面是半径为4米的半圆， 车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆 宽为2.7米，高为3米的货车能不能驶入 这个隧道？ 解：（如右图）建立直角坐 标系，则半圆的方程为：
4 Y
x y 16 y 0
2 2
2
x 车宽为2.7米即： 2.7
A
0
2.7
B X
y 则： 16 2.7 8.71 3
第二章 解析几何初步
2.2.1 圆的标准方程
如 设 何 此 写 圆 出 的 此 半 圆 径 的 为 方 程米 ？，
r
一﹑确定圆的条件
圆的定义是什么？ 平面内与定点距离等 于定长的点的集合(轨 迹)是圆。 其中的定点是圆心， 定长是半径。
y r (a,b)
O
x
一个圆的圆心位置和半径一旦 确定，这个圆就被确定下来了。



练习2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2+y2=6
(1,0) (-1,2) (-a,0) 6 3 |a|
(2) (x+1)2+(y-2)2=9
(3)(x+a)2+y2=a2
1、求以点C（2，1）为圆心，并且与 Y轴相切的圆的方程。 解：依图知：圆C的半径 Y 为2，则所求圆的标准方 2 2 程： 2 y 1 4 x
车高于隧道高度，故货车不能驶入此隧道。
练习：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m， 拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长 y 度（精确到0.01m)
解：建立如图所示的坐标 系，设圆心坐标是（0，b） 圆的半径是r ,则圆的方程是 x2+(y-b)2=r2 。