河南省南阳市学年高二数学下学期期中质量评估试题 理 新人教A版

南阳市2015年春期期中质量评估高二数学试题（理）一．选择题：本大题共l2个小题，每小题5分，共60分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在复平面内，复数2(1)1ii ++的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60o ”时，应假设A ．三个内角都不大于60oB ．三个内角都大于60oC ．三个内角至多有一个大于60oD ．三个内角至多有两个大于60o3. 用数学归纳法证明a a aa a n n --=++++++111322 （*,1N n a ∈≠），在验证当1n =时，等式左边应为A ． 1B ．1+aC ．21+a a + D ．231+a a a ++ 4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(e)ln f x xf x '=+，则(e)=f 'A ．1B ．－1C ．－e －1D ．－e 5．设圆柱的表面积为S ，当圆柱体积最大时，圆柱的高为ABCD．3π6．若220a x dx =⎰,230b x dx =⎰,2sin c xdx=⎰,则,,a b c 的大小关系是A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<7．已知函数()12()ln ,(2f x x g x x a a ==+为常数），直线l 与函数()(),f x g x 的图像都相切，且l 与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1，则a 的值为 A ． 1B ．12-C ． 1-D ．28．将正奇数按照如下规律排列，则2015所在的列数为 第1列 第2列 第3列 第4列 …… 第1行： 1第2行： 3 5第3行： 7 9 11第4行： 13 15 17 19……A.16B.17C.18D.199.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是10．已知函数3()()f x x x m =-在x=2处取得极小值，则常数m 的值为A ． 2B ． 8C ． 2或8D ．以上答案都不对11．函数()f x 的定义域为R ，'()f x 是()f x 的导数，(1)f -=2，对任意x ∈R ，'()f x >2， 则()f x >2x+4的解集为A ．(-l ，1)B ．(-1，+∞)C ．(- ∞，-1)D ．(-∞，+∞)12．定义在R 上的可导函数()f x ，且()f x 图象连续不断，'()f x 是()f x 的导数，当x≠0时，()'()f x f x x +>0，则函数1()()g x f x x =+的零点的个数A ． 0B ． 1C ． 2D ． 0或2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若等差数列{an}的公差为d,前n 项和为Sn ，则数列{n n S }为等差数列，公差为d.类似地，若正项等比数列{bn}的公比为q,前n 项积为Tn ，则数列为等比数列，公比为_________.14.由曲线y =，直线4y x =-以及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为15．若21()ln(2)f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是16．已知()2g x mx =+，22234()x f x x x -=-，若对任意的x1∈[-1,2]，总存在x2∈[1，使得12()()g x f x >，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知复数22(232)(32)i z m m m m =--+-+．A ．B ．C ．D ．（Ⅰ）当实数m 取什么值时，复数z 是纯虚数；（Ⅱ）当0m =时，化简252i z z ++．( 本小题满分12分)已知函数()22()xf x e x x R =-+∈. (Ⅰ)求()f x 的最小值；(Ⅱ)求证：0x >时，221xe x x >-+.19( 本小题满分12分）已知点P 在曲线21y x =-上，它的横坐标为(0)a a >，过点P 作曲线2y x =的切线.（Ⅰ）求切线的方程；（Ⅱ）求证：由上述切线与2y x =所围成图形的面积S 与a 无关20．( 本小题满分12分)设()111123n a n N n *=++++∈，是否存在一次函数()g x ，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-对2n ≥的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明你的结论.（本小题满分12分）设函数3221(),()243f x x ax ax g x x x c =--=++.（Ⅰ）试问函数)(x f 能否在1-=x 时取得极值？说明理由；（Ⅱ）若,1-=a 当]4,3[-∈x 时，函数)(x f 与)(x g 的图像有两个公共点，求c 的取值范围.22．( 本小题满分12分) 已知函数()ln f x ax x x=+的图像在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若k Z ∈，且()1f x k x <-对任意2x e >恒成立，求k 的最大值.2015年春期期中质量评估高二数学试题（理）参考答案一、选择题：CBDCC DBCAB BA二、填空题：13、q 14、1283π 15、(]1-∞，- 16、112⎛⎫- ⎪⎝⎭， 三、解答题：17.解：（Ⅰ）当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--023023222m m m m 时，解得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=-=21221m m m m 且或，即21-=m 时，复数z 为纯虚数． …………………（5分）（Ⅱ）当0m =时，22i z =-+，28i 8i(34i)3224i52i 34i 252525z z ---===--+++ ………（10分）18. 解：(Ⅰ)由()22(xf x e x x R =-+∈）得()2x f x e '=-，………（2分） 令()20xf x e '=-=得ln 2x =， ………（3分）当ln 2x >时，()0f x '>；当ln 2x <时，()0f x '<， ………（4分）故当ln 2x =时，()f x 有极小值也是最小值为(ln 2)2(2ln 2)f =-.………（6分）(Ⅱ) 设2()21(0)x g x e x x x =-+->，则()22x g x e x '=-+，………（7分） 由(Ⅰ) 知()22xg x e x '=-+有最小值(ln 2)2(2ln 2)0g '=-> ………（9分） 于是对于0x >，都有()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上递增， ………（10分）而(0)0g =，从而对任意(0,)x ∈+∞，()0g x >，即221xe x x >-+.………（12分）19.解：（Ⅰ）点P 的坐标为）（1,2-a a ，设切点Q 的坐标为）（200,x x ，22001PQa x k a x --=-，又002PQ x x k y x ='==，所以22012a x x a x --=-解得01x a =+或01x a =-.所求切线方程为22(1)(1)y a x a =---或22(1)(1)y a x a =+-+…………（6分）（Ⅱ）S ＝2212(1)(1)aa x a x a dx -⎡⎤--+-⎣⎦⎰＋+12222(+1)(+1)=3a a x a x a dx ⎡⎤-+⎣⎦⎰. 故所围成的图形面积S ＝23，此为与a 无关的一个常数． ………………（12分） 20. 解：假设存在一次函数()()0g x kx b k =+≠，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-对2n ≥的一切自然数都成立，则当n=2时有，()()1221a g a =-，又()1211,1,222a a g ==+∴=即22k b +=……①.当n=3时有，()()12331a a g a +=-，又1231111,1,1,223a a a ==+=++ ()33g ∴=，即33k b +=……②，由①②可得1,0k b ==，所以猜想：()g x x=，…………………………（5分）下面用数学归纳法加以证明：（1）当n=2时，已经得到证明； ……………………………………（6分）（2）假设当n=k （2,k k N ≥∈）时，结论成立，即存在()g k k=，使得()()12311k k a a a a g k a -++++=-对2k ≥的一切自然数都成立，则当1n k =+时，()1231231+k k ka a a a a a a a a -++++=++++()()=11k k k k a a k a k-+=+-， ……………………（8分）又11111112311k k a a k k k +=+++++=+++，111k k a a k -∴=-+，()()()1231111111k k k a a a a k a k k a k ++⎛⎫∴++++=+--=+- ⎪+⎝⎭，∴当1n k =+时，命题成立.………………………………………………（11分）由（1）（2）知，对一切n ，（2,nn N *≥∈）有()g n n =，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-都成立.…………………………（12分）21.解：(Ⅰ）由题意aax x x f --=2)('2，假设在1-=x 时)(x f 取得极值，则有021)1('=-+=-a a f ，∴1-=a而此时，0)1(12)('22≥+=++=x x x x f ，函数)(x f 在1-=x 处无极值. ………（4分）（Ⅱ）设)()(x g x f =，则有033123=---c x x x ，∴32133c x x x =--，设c x G x x x x F =--=)(,331)(23，令032)('2=--=x x x F ，解得11x =-或3x =. 随着x 值变化时)(),(x F x F '的变化情况如下表：由此可知：F （x)在（-3，1），（3，4）上是增函数，在（-1，3）上是减函数.当x=-1时，F （x)取得极大值F （-1）=35；当x=3时，F （x)取得极小值F （-3）=F （3）=9-，而F （4）=320-. ………………………（10分）如果函数)(x f 与)(x g 的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点，所以35320<<-c 或9-=c . ………………………………（12分） 22解：（Ⅰ）因为()ln f x ax x x=+，所以()'ln 1f x a x =++……………………（2分）因为函数()ln f x ax x x=+的图像在点x e =处的切线斜率为3，所以，()'3f e =，即lne 1=3a ++，所以，1a =.……………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()ln f x x x x=+，所以，()1f xkx<-对任意2x e>恒成立，即ln1x x xkx+<-对任意2x e>恒成立.……（5分）令()ln1x x xg xx+=-，则()()2ln2'1x xg xx--=-…………………………………………（6分）令()()2ln2h x x x x e=-->，则()11'10xh xx x-=-=>，所以函数()h x在()2,+e∞上单调递增……………………………………………………（8分）所以()()2240h x h e e>=->，可得()'0g x>故函数()ln1x x xg xx+=-在()2,e+∞上单调递增.所以()()()22223333,411eg x g ee e>==+∈--……………（11分）()2k g e∴≤故整数k的最大值是3.………………………………………………………………（12分）。