福鼎一中2019届高三第二次质检理科数学练习卷
2019年高三二模数学(理科)(含答案)
2019年高三二模数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.计算=（）A. B. i C. D. 12.已知集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2-4x＞0}，则A∩B=（）A. 5，B.C. D. 或3.已知{a n}为等差数列，且a7-2a4=-1，a3=0，则公差d=（）A. B. C. D. 24.如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆．将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在扇形OEF（阴影部分）内”，则P（A）=（）A. B. C. D.5.已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A. B. C.D.6.执行如图所示的程序框图，则输出的k=（）A. 7B. 8C. 9D. 107.已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A. B.C. D.8.为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位9.已知变量x，y满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为A. B. C. D.10.已知三棱锥S-ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC=3，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.11.在的展开式中的x3的系数为（）A. 210B.C.D. 28012.函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. 或 D. 或二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.点P从（-1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为______．14.已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+4y=0垂直，则实数a= ______ ．15.已知数列{a n}中，a1=3，a2=7．当n∈N*时，a n+2是乘积a n•a n+1的个位数，则a2019=______．16.已知F是双曲线的右焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）=c．（1）求C；（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18、某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．（1）求图中的值；（2）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．（参考公式：，其中n=a+b+c+d）19、在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图.（1）求证：;（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.20、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．求该椭圆的方程；过点作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．21、已知函数f（x）=4x2+-a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．22、已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：=．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的运算性质求值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合的化简与运算问题，以及一元二次不等式的解法，是基础题目．化简集合A、B，再根据交集的定义求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，B={x∈R|x2-4x＞0}={x∈R|x＜0或x＞4}，∴A∩B={5，6}．故选B．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得，即，解得d=-， 故选B ． 4.【答案】C【解析】解：由图可知：正方形的边长为2， S 阴==，S 正=2×2=4，则P （A ）===，故选：C ．由扇形的面积得：S 阴==，由几何概型中的面积型得：则P （A ）===，得解．本题考查了扇形的面积及几何概型中的面积型，属简单题． 5.【答案】D【解析】解：若a ＞1，则由log a b ＞1得log a b ＞log a a ，即b ＞a ＞1，此时b-a ＞0，b ＞1，即（b-1）（b-a ）＞0，若0＜a ＜1，则由log a b ＞1得log a b ＞log a a ，即b ＜a ＜1，此时b-a ＜0，b ＜1，即（b-1）（b-a ）＞0， 综上（b-1）（b-a ）＞0， 故选：D ．根据对数的运算性质，结合a ＞1或0＜a ＜1进行判断即可．本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基础． 6.【答案】C【解析】解：∵=-，∴s=++…+=1…+-=1-，由S≥得1-≥得≤，即k+1≥10，则k≥9，故选：C．由程序框图结合数列的裂项法进行求解即可．本题主要考查程序框图的应用，根据数列求和以及裂项法是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】解：令g（x）=x-lnx-1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力．8.【答案】B【解析】解：由题意y=cos2x=sin（2x+），函数y=sin（2x+）的图象经过向右平移，得到函数y=sin[2（x-）+]=sin （2x-）的图象，故选：B．先根据诱导公式进行化简y=cos2x为正弦函数的类型，再由左加右减上加下减的原则可确定平移的方案．本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意x的系数的应用，以及诱导公式的应用．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了简单线性规划问题和基本不等式的应用求最值，关键是求出a+b=2，对所求变形为基本不等式的形式求最小值．【解答】解：约束条件对应的区域如图：目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）经过点C（1,1）时取最小值为2，所以a+b=2，则+=（+）（a+b）=（4+）≥2+=2+；当且仅当a=b，并且a+b=2时等号成立；故选A．10.【答案】C【解析】解：将该三棱锥补成正方体，如图所示；根据题意，2R=，解得R=；∴该三棱锥外接球的表面积为=4πR2=4π•=27π．S球故选：C．把该三棱锥补成正方体，则正方体的对角线是外接球的直径，求出半径，计算它的表面积．本题考查了几何体的外接球表面积的应用问题，是基础题．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，体现了分类讨论与转化的数学思想，属于基础题．由于的表示7个因式（1-x2+）的乘积，分类讨论求得展开式中的x3的系数．【解答】解：由于的表示7个因式（1-x2+）的乘积，在这7个因式中，有2个取-x2，有一个取，其余的因式都取1，即可得到含x3的项；或者在这7个因式中，有3个取-x2，有3个取，剩余的一个因式取1，即可得到含x3的项；故含x3的项为××2×-××23=210-1120=-910.故选C.12.【答案】D【解析】【分析】作出函数的图象，根据图象的平移得出a的范围．本题考查了图象的平移和根据图象解决实际问题，是数型结合思想的应用，应熟练掌握．【解答】解：画出函数f（x）=的图象如图：与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则可使log2x图象左移大于1个单位即可，得出a＞1；若使log2x图象右移，则由log2（1+a）=-2，解得a=-，∴a的范围为a＞1或a≤-，故选：D．13.【答案】（-，）【解析】解：如图所示，点P沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则∠xOQ=，∴Q点坐标为（cos，sin），即（-，）．故答案为：．根据题意画出图形，结合图形求出点Q的坐标．本题考查了单位圆与三角函数的定义和应用问题，是基础题．14.【答案】1【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属于基础题.【解答】解：由f（x）=ax3+x+1，得f′（x）=3ax2+1，∴f′（1）=3a+1，即f（x）在x=1处的切线的斜率为3a+1，∵f（x）在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，∴3a+1=4，即a=1．故答案为1．15.【答案】1【解析】解：由题意得，数列{a n}中，a1=3，a2=7，当n≥2时，a n+1是积a n a n-1的个位数；则a3=1，依此类推，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，a9=1，a10=7，数列{a n}是以周期T=6的周期数列，则a2019=a3+336×6=a3=1；故答案为：1．根据题意可得：由数列的递推公式可得a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，a9=1，a10=7，据此可得到数列的一个周期为6，进而可得a2019=a3+336×6=a3，即可得答案．本题考查数列的递推公式以及数列的周期，关键是分析数列{a n}的周期，属于基础题．16.【答案】5【解析】解：∵F是双曲线的右焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点∴而|PA|+|PF|≥|AF|=5当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．故答案为：5．根据PA|+|PF|≥|AF|=5求得答案．本题考查了三点共线，距离公式，属于基础题17.【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知2cos C（a cos B+b cos A）=c，利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）=sin C，整理得：2cos C sin（A+B）=sin C，即2cos C sin[π-（A+B）]=sin C，∴2cos C sinC=sin C，∴cos C=，∵C为三角形ABC的内角，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2-2ab•，∴（a+b）2-3ab=7，∵S=ab sin C=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2-18=7，∴a+b=5或a+b=-5（舍去）∴△ABC的周长为5+.【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变换，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．18.【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，解得a=0.005；（Ⅱ）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25，所以晋级成功的人数为100×0.25=25（人），填表如下：根据上表数据代入公式可得，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为1-0.25=0.75，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以X可视为服从二项分布，即，，故，，，，，所以X的分布列为数学期望为，或（）．【解析】（Ⅰ）由频率和为1，列出方程求a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望；本题考查了频率分布直方图与独立性检验和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，是中档题．19.【答案】（I）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD；（II）解：过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图,由（I）知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD,以B为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意得：B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，，则，设平面MBC的法向量，则,即，取z0＝1，得平面MBC的一个法向量，设直线AD与平面MBC所成角为θ，则，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.【解析】本题考查面面垂直的性质及线面垂直的判定与性质,同时考查利用空间向量求线面角.（I）利用面面垂直的性质得AB⊥平面BCD,从而AB⊥CD；（II）建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面MBC的法向量,设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式即可得出.20.【答案】解：（1）由题意可知：椭圆+=l（a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2-c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），由题意PQ的方程：y=k（x-）-，则，整理得：（2k2+1）x2-（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）-2k-2=，则k AP+k AQ=+=，由y1x2+y2x1=[k（x1-）-]x2+[k（x2-）-]x1=2kx1x2-（k+）（x1+x2）=-，k AP+k AQ===1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．【解析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2-c2=1，即可求得椭圆的方程；（2）则直线PQ的方程：y=k（x-）-，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．21.【答案】解：（1）函数f（x）=4x2+-a，则y=xf（x）=4x3+1-ax的导数为y′=12x2-a，由题意可得12-a=0，解得a=12，即有f（x）=4x2+-12，f′（x）=8x-，可得曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为7，切点为（1，-7），即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+7=7（x-1），即为y=7x-14；（2）由f（x）=4x2+-a，导数f′（x）=8x-，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0或0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x=处取得极小值，且为3-a，由f（x）有两个零点，可得3-a=0，即a=3，零点分别为-1，．令t=g（x），即有f（t）=0，可得t=-1或，则f（x）=-1-b或f（x）=-b，由题意可得f（x）=-1-b或f（x）=-b都有3个实数解，则-1-b＞0，且-b＞0，即b＜-1且b＜，可得b＜-1，即有a+b＜2．则a+b的范围是（-∞，2）．【解析】（1）求得函数y=xf（x）的导数，由极值的概念可得a=12，求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数和单调区间，以及极值，由零点个数为2，可得a=3，作出y=f（x）的图象，令t=g（x），由题意可得t=-1或t=，即f（x）=-1-b或f（x）=-b都有3个实数解，由图象可得-1-b＞0，且-b＞0，即可得到所求a+b的范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，考查函数零点问题的解法，注意运用换元法和数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5-1）2+3-1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．【解析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．。
《精编》福建省福鼎一中高三数学第二次质检练习卷新人教A版 理.doc
福鼎一中届高三第二次质检理科数学练习卷一、选择题：1、设全集)}1ln(|{},12|{,)2(x y x B x A R U x x -==<==-，那么右图中阴影局部表示的集合〔 〕A ．}1|{≥x xB ．{|12}x x ≤<C ．}10|{≤<x xD ．}1|{≤x x2、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，85=a ，63=S ，那么710S S -的值是〔 〕A ．24B ．48C ．60D ．72 3、函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，给出下面四个命题：①函数)(x f 的最小正周期为π；②函数)(x f 是偶函数；③函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称；④函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，其中正确命题的个数是 〔 〕 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4、假设log 2log 20a b << 那么 〔 〕. A ．01a b <<< Ｂ．01b a <<< C. 1a b >> D ．1b a >>5、某几何体的三视图如以以下图， 根据图中标注的尺寸〔单位cm 〕 可得该几何体的体积是〔 〕A ．313cmB ．323cmC ．343cmD ．383cm6、阅读右面的程序框图，那么输出的k 的值为〔 〕 A ．4 B ．5 C ．6 D ．77、在平面直角坐标系中，不等式组040x y x y x a +>⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩〔a 为常数〕，表示的平面区域的面积为9，那么实数a 的值为 〔 〕 Ａ．322+ Ｂ．322-+ Ｃ．-5 D ．18、P B A ,,是双曲线12222=-by a x 上不同的三点，且B A ,连线经过坐标原点，假设直线PB PA ,的斜率乘积3=⋅PB PA k k ，那么双曲线的离心率为〔 〕A ．2B ．3C ．2D ．59、在三角形ABC 中，假设sin 2cos sin C A B =，那么此三角形必是 〔 〕 Ａ．正三角形 Ｂ．等腰三角形 Ｃ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 10、如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于 平面11BB D D 的直线与正方体的外表交于,M N ，设BP x =,MN y =,那么函数()y f x = 的图象大致是 〔 〕二、填空题 11、函数1,(10)()cos ,(0)2x x f x x x π+-≤≤⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩的图像与x 轴围成的封闭图形的面积为12、在三角形ABC 中，假设2221()4ABC S a b c ∆=+-，那么C ∠=__________。
2019届高三下学期高三第二次模拟联考数学(理)试题—含答案
《2019届高三下学期高三第二次模拟联考数学（理）试题—含答案》摘要：数学（理科）试卷年级班级姓名学号注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡，将条形码准确粘贴在条形码区域内，解：（1）设等比数列{an}的公比为，由题意可得：即：，即：，所以（2） 18. 解：（1）连接，平面，又，，故点在线段的垂直平分线上．为等腰三角形，由等腰三角形的三线合一可知线段的垂直平分线即为直线，故点在直线上．（2）为二面角的平面角．，，．过作平行于的直线，并将其作为轴，建立如图所示的空间直角坐标系则，．设与所成的角为，则． 19. 解(1)由统计数据得2×2列联表：甲班乙班总计成绩优良 9 16 25 成绩不优良 11 4 15 总计 20 20 40 根据2×2列联表中的数据，得K2的观测值为k＝≈5．2275．024，∴能在犯错概率不超过0．025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”． X 0 1 2 3 P (2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为×8＝3，则X的可能取值为0，1，2，3．P(X＝0)＝＝，∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝． 20. 解(1)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝．又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1．故E的方程为＋y2＝1． (2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y ＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0．当Δ＝16(4k2－3)0，即k2时，x1，2＝．从而|PQ|＝|x1－x2|＝．又点O到直线PQ的距离d＝．所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝．设＝t，则t0，S△OPQ＝＝．因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ0．所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2． 21. 解（1）函数的定义域为，. 若，，则在区间内为增函数2019学年度第二学期高三第二次模拟联考数学（理科）试卷年级班级姓名学号注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
福建省2019届高三质量检查数学试卷(理)
准考证号 姓名（在此试卷上答题无效）保密★启用前普通高中毕业班质量检查理 科 数 学注意事项：1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。
4.考试结束或，将本试卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知复数z 满足z i z ,21-=为z 的共轭复数，则()2016z z -等于A.20162B.20162-C.i 20162D.i 20162-（2）已知全集为R ，集合{},086|121|2≤+-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x B x A x，则=)(B C A RA.{}20|<≤x xB.{}42|≤≤x xC.{20|<≤x x 或}4>xD..{20|≤<x x 或}4≥x（3）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布A.30尺B.90尺C.150尺D.180尺（4）已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点为F,P 为C 上一点，若，4=PF 点P 到y 轴的距离等于等于3，则点F 的坐标为A.(-1，0)B.(1，0)C.(2，0)D.(-2，0)（5）执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为A.7B.9C.11D.13（6）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为A.101 B.51 C.103 D.52（7）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是A.π6B.π7C.π12D.π14（8）()622--x x 的展开式中2x 的系数等于 A.-48 B.48 C.234 D.432（9）设x ，y 满足,0223010⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-+≥y x y ax y 若2210y x x z +-=的最小值为-12，则实数a 的取值范围是A.21-≤a B.23-<a C. 21≥a D.23<a （10）已知A,B,C 在球O 的球面上，AB=1,BC=2， 60=∠ABC ，直线OA 与截面ABC 所成的角为 30，则球O 的表面积为 A.π4 B.π16 C.π34D.π316 （11）已知函数()()()e e b ax x xf x -++-=2，当0>x 时，()0≤x f ，则实数a 的取值范围为 A.0>a B.10≤<a C.1≥a D.1≤a（12）已知数列}{n a 的前n 项和为，，，046,21>==n n S S S S 且22122,+-n n n S S S ，成等比数列，12221-2,++n n n S S S ，成等差数列，则2016a 等于A.1008-B.1009-C.21008D.21009第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2019年福建省高三毕业班质量检查理科数学参考答案
2019年福建省高三毕业班质量检查理科数学参考答案一．选择题1.【解析】{|1}A x x =>,{|22}B x x =-≤≤,{|12}A B x x =<≤ ,选C．2.【解析】1i i 111i i 1z +-=-=-=--，1z =，选D．3.【解析】由2(85,)X N σ ，(8090)0.3P X <<=，则(8590)0.15P X ≤<=，所(90)0.50.150.35P X ≥=-=，选A．4.【解析】画出101010,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，，所表示的可行域（如图所示），当直线122z y x =-+过(21)--，时，z 的最小值为22(1)4-+⨯-=-．选B．5.【解析】由三视图得该几何体为直三棱，是棱长为2的正方体沿对角面切得一半，其外接球还是正方体的外接球，外接球的直径为23，即半径为3，则外接球的体积为43π，选B．6.【解析】函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移6π个单位长度后得到sin[2()]sin(2)666y x x πππ=-+=-，检验sin(2)0126ππ⨯-=，即点(,0)12π为平移后图象的一个对称中心，选A．7.【解析】由1051071414232128,525,749====，得,.a b a c >>又57ln 5ln 7ln 5,ln 757==，设ln ()x f x x =，21ln ()x f x x -'=，所以()f x 在(e,)+∞为减函数，所以(5)(7)f f >，则5757ln 5ln 757>⇒>，即b c >，所以a b c >>，选A．也可以：3535755357355578125,7716807====，即b c >，所以.a b c >>8.【解析】设i A 表示顾客恰好在第i 次中奖（1,2,3i =），11()3P A =，2212()339P A =⨯=，23214()3327P A ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，顾客中奖的概率为12419392727P =++=，选D．9.【解析】由题意知1112||||||2c F P FQ F F ===，又由12Rt PF F ∆，即等腰直角三角形，则212||2||22PF F F c ==，所以1212||||2222(12)e 2112a PF PF c c c =+=+=+⇒==-+，即选A．10.【解析】利用圆的性质可得，AD OC ⊥，且C 为AP 的中点，又由圆锥的母线得，SA SD =，所以AD SC Rt SAC ⊥⇒∆，①对；因为AD DB ⊥，且SD 为母线，可推得二面角A SD B --为钝二面角，则平面SAD 与平面SBD 不垂直，②错；连结DO ，并延长得直径DE ，又连结SE ，由P 上SD 中点，O 为DE 中点，所以SE PO SE ⇒ ∥平面APB ，③对．选C．11.【解析】因为1ln 1x y x x+=+-为奇函数且为增函数,所以1()ln 1x f x x x+=+-有对称中心(0,1),且在定义域(1,1)-上为增函数,由()(1)2(1)2()()f a f a f a f a f a ++>⇒+>-=-,111102a a a ⇒-<-<+<⇒-<<，选C．12.【解析】由30,3,23B BC AB ∠=== ,余弦定理得3AC Rt ABC =⇒∆,由B 、C 关于直线AD 的对称点分别为B '、C '，所以BB C BB C '''∆≅∆，设BB AD E '= ，所以E 为BB '的中点，且AE BE ⊥，当点D 在BC 边上运动时，得到的点E 轨迹是以AB 为直径，弦BC 所对的劣弧．所以点E 到BC 边的距离最大值为33tan 3022⋅= ，则1333223222BB C BB C BCE S S S '''∆∆∆⎛⎫==⋅≤⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，选D．二．填空题13.【解析】由()λ⊥-a a b 得()0λ⋅-=a a b ，即21cos023πλλλ-⋅=-⋅=⇒=a a b ，答案为2．14.【解析】由21(2)-n x x的展开式二项式系数和为64，即2646=⇒=n n ．所以展开式的常数项为422461C (2)()15460-=⨯=x x，答案为60．15.【解析】角α的终边与单位圆O 的交点(,)P a b ，且75a b +=，即74924cos sin 12cos sin sin 252525ααααα+=⇒+=⇒=．24cos(2)sin 2225παα+=-=-，答案为2425-．16.【解析】由222213393x y y x -=⇒=+．由曲边四边形MABQ 绕着y 轴旋转得到几何体体积为：234424222648(3)(3)(12)(6)263999y y V x dy dy y πππππ---⎡⎤==+=+=+---=⎢⎥⎣⎦⎰⎰，答案为26π．三．解答题。
福建省部分重点中学2019届高三第二次联考数学(理)试题
福建省部分重点中学2019届高三第二次联考数学（理）试题本试题卷共6页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷（选择题）一、选择题（60分）1．设集合{|43}A x x =-<<， {|2}B x x =≤，则A B ⋂=（ ） A ． ()4,3- B ． (]4,2- C ． (],2-∞ D ． (),3-∞ 2．已知复数z 满足11zi z-=-+，则z =（ ）．A ．1B ．2 D ．3． “a b >”是“11a b<”的（ ） A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，可由函数sin 2y x =的图象怎样平移得到A ．向右平移6π B ．向左平移6π C ．向右平移3π D ．向左平移3π5．已知平面直角坐标系内的两个向量，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成（为实数），则m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A ． ()()244log x x f x x -=+B ． ()()244log x xf x x -=-C ． ()()1244logxxf x x -=+ D ． ()()44x x f x x -=+7．若α∈[0,2π) ＝sin α＋cos α的α的取值范围是 A ． π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ． []0,π C ． 3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． ][3π7π0,,2π44⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭8．已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是A ．21B ．20C ．19D ．189．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有（ ）．A ． 18种B ．24种C ． 48种D ． 36种 10．已知单位向量1e 与2e 的夹角为3π，则向量122e e +在向量12e e -方向上的投影为（ ）A ． 12-B ． 12C ．D ．11．设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x 若目标函数(0,z ax by a b =+＞＞0)的最大值为12，则32a b+的最小值为 （ ） （A ）256 (B ) 83 (C ) 113(D ) 412．若关于x 的不等式0x xe ax a -+<的解集为()(),0m n n <，且(),m n 中只有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．221,32e e ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．221,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．221,3e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．221,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知平面向量满足且，则________.14．已知展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为，则__________． 15．定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈都有()()f x f x -=-且当0x ≥时，()22f x x x =-，则不等式()0xf x <的解集为__________．16．若点在以为圆心，为半径的弧B （包括、两点）上，∠APB=90°，且，则的取值范围为__________．三、解答题17．（本题12分）已知2,0(1,s i n()),(cos ,3s i n ),2x x x ωωωωπ∈=+=R ＞，u v 函数1()2=⋅-f x u v 的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域.18．（本题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知cos sin a A B=. （I ）求A 的大小；（II ）若3a =，求ABC ∆周长的最大值.19．（本题10分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项12a =，且1241,1,1a a a +++成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=， *n N ∈， n S 是数列{}n b 的前n 项和，求使319n S <成立的最大的正整数n .20．（本题12分）已知正项数列{}n a 满足()()2*123114n n a a a a a n N +++⋅⋅⋅+=+∈。
2019届高三理科数学二模试卷.docx
.精品文档 .2019 届高三理科数学二模试卷高三第二轮复习质量检测数学试题 ( 理科 )2019.4一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A．(1 ，2]B． (1，]． [0， 1)D． (1， +∞)2．已知i为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则的值为A．2B．．D．3．设等差数列的前n项和为，若A．8B．9．10D．114．为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为：A．①③B．①④．②③D．②④5．根据如下样本数据：得到的回归方程为，则每增加一个单位，y 就A．增加 1.4个单位B．减少 1.4个单位．增加 1.2个单位D．减少 1.2 个单位6．已知 x ， y 满足约束条件则的取值范围是A．[2 ，4] B ． [4 ， 6]．[2 ，6]D ．( －∞， 2]7．执行如图所示的程序框图，若输入的S=12，则输出的S=A．B．8．已知数列．5D．6的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且A． B ．19 9．设双曲线．20 D ．23的左、右焦点分别为，P 是双曲线上一点，点 P 到坐标原点的距离等于双曲线焦距的一半，且，则双曲线的离心率是A．B．．D．10．已知函数恰有1 个零点，则的取值范围是A．B．．D．11．如图，在下列四个正方体中，P， R， Q，，N， G， H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与 PRQ所在平面平行的是12．若函数上单调递增，则实数的取值范围为A．B．．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．如图，已知正方体ABD—的棱长为1，点 P 为棱上任意一点，则四棱锥P—的体积为▲ ．14．某外商计划在4 个候选城市中投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，则该外商不同的投资方案有▲ 种．15．抛物线的焦点为F，动点 P 在抛物线上，点取得最小值时，直线AP的方程为▲ .16．如图，在△ AB中，为 D 上一点，且满足的面积为，则的最小值为▲ ．三、解答题：共70 分，解答应写出字说明，证明过程或演算步骤．第17 题~第21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 . 第 22 题 ~第 23 题为选考题，考生根据要求作答．17．( 本小题满分12 分 )3 / 6已知函数 .(1)求函数的单调递增区间；(2) 在△ AB中，内角A， B，的对边分别为，求的值．18．( 本小题满分12 分 )如图，正方形ABD边长为，平面平面ED，．(1)证明：；(2)求二面角的余弦值．19．(本小题满分12 分)某社区为了解居民参加体育锻炼情况，随机抽取18男性居民， 12 名女性居民对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查．现按参加体育锻炼的情况将居民分成 3 类：甲类 (参加体育锻炼 ) ，乙类 ( 参加体育锻炼，但平均每周参加体育名不锻炼的时间不超过 5 个小时 ) ，丙类 ( 参加体育锻炼，且平均每周参加体育锻炼的时间超过 5 个小时 ) ，调查结果如下表：(1)根据表中的统计数据，完成下面列联表，并判断是否有 90％的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关?(2)从抽出的女性居民中再随机抽取 3 人进一步了解情况，记 X 为抽取的这 3 名女性居民中甲类和丙类人数差的绝对值，求X 的数学期望．附：20． ( 本小题满分12 分)已知椭圆的右顶点为A，左焦点为，离心率，过点A 的直线与椭圆交于另一个点B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为点，若．(1)求椭圆的标准方程；(2)过圆上任意一点 P 作圆 E 的切线与椭圆交于， N 两点，以 N 为直径的圆是否过定点，如过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．21．( 本小题满分12 分 )已知函数．(1)若函数存在极小值点，求的取值范围；(2)证明：．请考生在第22~23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．( 本小题满分10 分 )在平面直角坐标系xy 中，直线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求曲线的普通方程；(2)过点 P(1 ，0) 作直线的垂线交曲线于， N 两点，求的值.23．( 本小题满分10 分 )已知函数．(1)当时，解不等式；(2)若不等式有解，求的取值范围．。
数学理试卷
命题人：鹰潭一中 程新忠 抚州一中 建平 考试用时：120分钟 全卷满分：150分
江西省重点中学协作体2019届高三第二次联考 数学理试卷 第1页 共6页
江西省重点中学协作体2019届高三第二次联考 数学理试卷 第2页 共6页
江西省重点中学协作体2019届高三第二次联考 数学理试卷 第3页 共6页
江西省重点中学协作体2019届高三第二次联考 数学理试卷 第4页 共6页
江西省重点中学协作体2019届高三第二次联考 数学理试卷 第5页 共6页
江西省重点中学协作体2019届高三第二次联考 数学理试卷 第6页 共6页
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福鼎一中2019届高三第二次质检理科数学练习卷1、设全集)}1ln(|{},12|{,)2(x y x B x A R U x x -==<==-，则右图中阴影部分表示的集合（ ）A ．}1|{≥x xB ．{|12}x x ≤<C ．}10|{≤<x xD ．}1|{≤x x2、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知85=a ，63=S ，则710S S -的值是（ ）A ．24B ．48C ．60D ．72 3、已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，给出下面四个命题：①函数)(x f 的最小正周期为π；②函数)(x f 是偶函数；③函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称；④函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，其中正确命题的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、若log 2log 20a b << 则 （ ）. A ．01a b <<< Ｂ．01b a <<< C. 1a b >> D ．1b a >> 5、已知某几何体的三视图如图所示， 根据图中标注的尺寸（单位cm ） 可得该几何体的体积是（ ）A ．313cmB ．323cmC ．343cmD ．383cm6、阅读右面的程序框图，则输出的k 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77、在平面直角坐标系中，不等式组040x y x y x a +>⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩（a 为常数），表示的平面区域的面积为9，那么实数a 的值为 （ ）Ａ．2Ｂ．2- Ｃ．-5 D ．18、已知P B A ,,是双曲线12222=-by a x 上不同的三点，且B A ,连线经过坐标原点，若直线PBPA ,的斜率乘积3=⋅PB PA k k ，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．59、在三角形ABC 中，若sin 2cos sin C A B =，则此三角形必是 （ ） Ａ．正三角形 Ｂ．等腰三角形 Ｃ．直角三角形 D ．等腰直角三角形10、如图，动点P 在正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于 平面11BB D D 的直线与正方体的表面交于,M N ，设BP x =,MN y =,则函数()y f x = 的图象大致是 （ ）二、填空题 11、函数1,(10)()cos ,(0)2x x f x x x π+-≤≤⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩的图像与x 轴围成的封闭图形的面积为12、在三角形ABC 中，若2221()4ABC S a b c ∆=+-，那么C ∠=__________。
13、已知函数)0()1(2131)(23>++-=a x x aa x x f ，则)(x f 在点))1(,1(f 处的切线的斜率最大时的切线方程是______________14、已知1x >，则函数11y x x =+-的最小值为________________． 15、奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式()0f x x<的解集为 三、解答题： 16、已知函数2()2sin cos 2cos f x a x x b x =+，且(0)8f =，()126f π=（1）求实数a, b 的值；（2）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的值。
17、已知函数()f x 对任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =⋅，且(1)1f -= ，(27)9f =当01x ≤<时，()[0,1)f x ∈.(1) 判断()f x 的奇偶性；(2) 判断()f x 在[0,)+∞上的单调性，并给出证明；若0a ≥，且(1)f a +a 的取值范围.18、如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ABCD ⊥平面, 2PA AD ==, 1AB =, BM PD ⊥, 垂足为M ， （1）求证：AM PD ⊥；（2）求直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值。
19、从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n , b n 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？20、过点)1,0(C 的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，椭圆与x 轴交于两点(,0),(,0)A a B a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q （1）当直线l 过椭圆的右焦点时，求线段CD 的长；（2）当点P 异于点B 时，求证：OQ OP ⋅为定值21、已知函数)0(ln 1)(>+-=a x axxx f （1）若函数)(x f 在),1[+∞上为增函数，求实数a 的取值范围； （2）当1=a 时，求)(x f 在]2,21[上的最大值和最小值；（3）当1=a 时，求证对任意大于1的正整数n ，nn 1413121ln ++++> 恒成立.福鼎一中2019届高三第二次质检理科数学练习卷参考答案二、填空题 11、32 12、4π 13、13y = 14、3 15、()()1,00,1-⋃ 三、解答题：16、解：（1）(0)8f = ，()126f π=283122b b =⎧+=4a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩（2）由（1）知：2()cos 8cos f x x x x =+24cos24x x =++18(2cos 2)422x x =++ 8sin(2)46x π=++()max 12f x ∴=，此时2262x k πππ+=+()k Z ∈即当6x k ππ=+()k Z ∈时， ()f x 取得最大值为12.17、 解：（1）令1y =- 则()()()1f x f x f -=⋅- 又()()()11f f x f x -=∴-= ()f x ∴为偶函数（2）当01x <<时，11x>， 111(1)()()()f f x f x f x x ==⋅=⋅()(0,1)f x ∈1()0f x∴>， 综上得当.0x >时，()0f x >设210x x >≥ 则1201x x ≤< ()()1112222()x x f x f x f x f x x ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭()()1122f x x f f x x ⎛⎫∴=⎪⎝⎭[)120,1x f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()()12f x f x f x ∴<∴在[)0,+∞上↗（3）()()()()()()()32793(33)339f f f f f ff =⋅=⋅⋅==(3)f ∴=13a ∴+≤ 2a ∴≤ 又[]00,2a a ≥∴∈18、(1)证明：,PA ABCD AB ABCD ⊥⊂平面平面PA AB ∴⊥又,,AB AD AD PA A ⊥⋂=,AD PAD PA PAD ⊂⊂平面平面AB D ∴⊥平面PA,PD PAD AB PD ⊂∴⊥平面,,BM PD AB ABM AB BM B ⊥⊂⋂=平面PD ABM ∴⊥平面,AM ABM AM PD ⊂∴⊥平面（2）解：如图，以点A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz - 则 ()()()()()(0,0,0),0,0,2,1,0,0,1,2,0,0,2,0,0,1,1A P B C D M()()()1,2,0,0,1,1,1,0,0AC AM CD ∴===-设ACM 平面的一个法向量为(),,n x y z =由,n AC n AM ⊥⊥ ,可得200x y y z +=⎧⎨+=⎩令1z =，得2,1x y ==- ()2,1,1n ∴=- 设直线CD 与平面ACM 所成角为θ， 则6sin |cos(90)|||||||CD n CD n θθ⋅=-==cos θ∴=即直线CD 与平面ACM 19、解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－51)万元，…第n 年投入为800×(1－51)n －1万元，所以，n 年内的总投入为n a =800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n －1=41[1()]5800415n ⨯-⨯-=4000×［1－(54)n ］ 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+41)，…，第n 年旅游业收入400×(1+41)n －1万元.所以，n 年内的旅游业总收入为 n b =400+400×(1+41)+…+400×(1+41)n －1=51[()1]4800514n ⨯-⨯-=1600×［(45)n －1］ (2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此n b －n a ＞0，即：1600×［(45)n －1］－4000×［1－(54)n ］＞0，令x =(54)n ，代入上式得：5x 2－7x +2＞0.解此不等式，得x ＜52，或x ＞1(舍去).即(54)n ＜52，由此得n ≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.（2）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符，所以直线l 与x 轴不垂直，即直线的斜率存在设直线l 的方程为)210(1≠≠+=k k kx y 且 代入椭圆的方程，化简得08)14(22=++kx x k ，解得1480221+-==k kx x 或20代入直线l 的方程，得1441,12221+-==k k y y所以，D 的坐标为)1441,148(222+-+-k k k k 又直线AC 的方程为12=+y x ，直线BD 的方程为)2(4221+-+=x kk y 联立解得⎩⎨⎧+=-=124k y kx 即)12,4(+-k k Q而P 的坐标为)0,1(k -所以4)12,4()0,1(=+-⋅-=⋅k k kOQ OP 即⋅为定值21、解：（1）由已知得)0(1)('2>-=x ax ax x f ，依题意得012≥-axax 对任意),1[+∞∈x 恒成立 即x a ax 101≥⇒≥-对任意),1[+∞∈x 恒成立，而1)1(max =x1≥∴a（2）当1=a 时，21)('xx x f -=，令0)('=x f ，得1=x ，若]1,21[∈x 时，0)('<x f ，若]2,1[∈x 时，0)('>x f ，故1=x 是函数在区间]2,21[上的唯一的极小值，也是最小值，即0)1()(min ==f x f ，而2ln 21)2(,2ln 1)21(+-=-=f f ，由于0216ln ln 2ln 223)2()21(3>-=-=-e f f ，则2ln 1)21()(max -==f x f （3）当1=a 时，由（1）知x xxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上为增函数 当*,1N n n ∈>，令1-=n nx ，则1>x ，所以0)1()(=>f x f 即n n n n n n n n n n n nn n f 11ln 01ln 11ln 111)1(>-⇒>-+-=-+---=- 所以nn n 11ln,3123ln ,2112ln >->> 各式相加得nn n n n n 13121ln )12312ln(1ln23ln 12ln +++>=-⨯⨯⨯=-+++。