(湖南卷)2010年高考试题-理科数学(Word有答案)
2008高考湖南数学理科试题及详细答案(全word版)
y2008高考湖南理科数学试题及详解(word 版)湖南省洞口一中 曾维勇一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数31()i i-等于( )A.8B.－8C.8iD.－8i【答案】D【解析】由33412()()88ii i ii i--==-⋅=-,易知D 正确. 2．“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的( )A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由12x -<得13x -<<，由(3)0x x -<得03x <<，所以易知选B.3.已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y +的最大值是( )A.2B.5C.6D.8【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(1,1),(1,4),(3,3),代入验证知在点(3,3)时,x y +最大值是33 6.+=故选C.4.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( )A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】2(2,3)N ⇒ 12(1)1(1)(),3c P c P c ξξ+->+=-≤+=Φ 12(1)(),3c P c ξ--<-=Φ31()()1,33c c --∴Φ+Φ= 311()()1,33c c --⇒-Φ+Φ=解得c =2, 所以选B.5.设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α 【答案】D【解析】由立几知识,易知D 正确.6.函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( ) A.1C.32【答案】C【解析】由1cos 21()2sin(2)2226x f x x x π-=+=+-, 52,42366x x πππππ≤≤⇒≤-≤max 13()1.22f x ∴=+=故选C.7.设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD = 2,CE EA =2,AF FB = 则AD BE CF ++与BC ( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【答案】A【解析】由定比分点的向量式得:212,1233AC AB AD AC AB +==++12,33BE BC BA =+ 12,33CF CA CB =+以上三式相加得1,3AD BE CF BC ++=-所以选A.8.若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)1【答案】B【解析】233,22aex a e a a ac-=⨯->+23520,e e⇒-->2e∴>或13e<-(舍去),(2,],e∴∈+∞故选B.9.长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD AA1=1, 则顶点A、B间的球面距离是()C.2D.4【答案】C【解析】112BD AC R===R∴设11,BD AC O=则OAOB R===,2AOBπ⇒∠=,2l Rπθ∴==故选C.10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［54］=1）,对于给定的n∈N*, 定义[][](1)(1),(1)(1)xnn n n xCx x x x--+=--+x∈[)1,+∞,则当x∈3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，函数x n C的值域是( )A.16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.284,3⎛⎫⋃⎪⎝⎭[)28,56 D.16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦【答案】D【解析】当x∈3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，328816,332C==当2x→时，[]1,x=所以8842xC==;当[)2,3时，288728,21C⨯==⨯当3x→时，[]2,x=88728,323xC⨯==⨯故函数xC8的值域是16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦.选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2008高考湖南理科数学试题及详解(word版)
y2008高考湖南理科数学试题及详解(word 版)一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数31()i i-等于( )A.8B.－8C.8iD.－8i【答案】D【解析】由33412()()88ii i ii i--==-⋅=-,易知D 正确. 2．“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的( )A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由12x -<得13x -<<，由(3)0x x -<得03x <<，所以易知选B.3.已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y +的最大值是( )A.2B.5C.6D.8【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(1,1),(1,4),(3,3),代入验证知在点(3,3)时,x y +最大值是33 6.+=故选C.4.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( )A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】2(2,3)N ⇒Q 12(1)1(1)(),3c P c P c ξξ+->+=-≤+=Φ 12(1)(),3c P c ξ--<-=Φ31()()1,33c c --∴Φ+Φ= 311()()1,33c c --⇒-Φ+Φ=解得c =2, 所以选B.5.设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α 【答案】D【解析】由立几知识,易知D 正确.6.函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( ) A.1B.12+ C.32【答案】C【解析】由1cos 21()2sin(2)226x f x x x π-=+=+-, 52,42366x x πππππ≤≤⇒≤-≤Qmax 13()1.22f x ∴=+=故选C.7.设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =u u u r u u u r 2,CE EA =u u u r u u u r 2,AF FB =u u u r u u u r则AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与BC uuu r ( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【答案】A【解析】由定比分点的向量式得:212,1233AC AB AD AC AB +==++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r12,33BE BC BA =+u u u r u u u r u u u r 12,33CF CA CB =+u u u r u u u r u u u r以上三式相加得1,3AD BE CF BC ++=-u u u r u u u r u u u r u u ur 所以选A.8.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)1【答案】B【解析】233,22aex a e a a ac-=⨯->+Q23520,e e⇒-->2e∴>或13e<-(舍去),(2,],e∴∈+∞故选B.9.长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD,AA1=1, 则顶点A、B间的球面距离是()C.2D.4【答案】C【解析】112BD AC R===QR∴=设11,BD AC O=I则OA OB R===,2AOBπ⇒∠=,2l Rπθ∴==故选C.10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［54］=1）,对于给定的n∈N*, 定义[][](1)(1),(1)(1)xnn n n xCx x x x--+=--+LLx∈[)1,+∞,则当x∈3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，函数x n C的值域是( )A.16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.284,3⎛⎫⋃⎪⎝⎭[)28,56 D.16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦【答案】D【解析】当x∈3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，328816,332C==当2x→时，[]1,x=所以8842xC==;当[)2,3时，288728,21C⨯==⨯当3x→时，[]2,x=88728,323xC⨯==⨯故函数xC8的值域是16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦.选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2010年高考湖南卷理科数学试题及答案
2010年高考湖南卷理科数学试题及答案本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 参考公式：锥体的体积公式为13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 1.已知集合M={1,2,3}，N={2,3,4}，则 A ．M N ⊆ B.N M ⊆C ．{2,3}M N ⋂= D.{1,4}M N ⋃= 2.下列命题中的假命题是 A ．∀x R ∈,120x ->2x-1>0 B. ∀*x N ∈,2(1)0x ->C ．∃ x R ∈,lg 1x < D. ∃x R ∈,tan 2x = 3、极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A 、圆、直线B 、直线、圆C 、圆、圆D 、直线、直线 4、在Rt ABC ∆中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ⋅等于A 、-16B 、-8C 、8D 、165、421dx x ⎰等于A 、2ln2-B 、2ln 2C 、ln 2-D 、ln 26、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a,b,c ，若∠C=120°，2c a =,则A 、a>bB 、a<bC 、a=bD 、a 与b 的大小关系不能确定7、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10B.11C.12D.158．用min{,}a b 表示,a b 两数中的最小值．若函数()min{||,||}f x x x t =+的图像关于 直线12x =-对称，则t 的值为（ ） A ．-2 B ．2 C ．-1 D ．1 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。
把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上9．已知一种材料的最佳入量在110g 到210g 之间。
(word完整版)湖南省_2001年_高考数学真题(理科数学)(附答案)_历年历届试题DOC
2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)-同湖南卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3． 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式： 三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβ-++=sin sin 21cos sin a ()()[]βαβαβ--+=sin sin 21sin cos a()()[]βαβαβ-++=cos cos 21cos cos a()()[]βαβαβ--+-=cos cos 21sin sin a正棱台、圆台的侧面积公式 S 台侧l c c )(21+'=其中c ′、c 分别表示上、下底面周长， l 表示斜高或母线长 台体的体积公式 V 台体h S S S S )(31+'+'=一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若sini θcos θ＞0，则θ在 ( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限2．过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2 = 0上的圆的方程是( )A ．(x －3) 2＋(y ＋1) 2 = 4B ．(x ＋3) 2＋(y －1) 2 = 4C ．(x －1) 2＋(y －1) 2 = 4D ．(x ＋1) 2＋(y ＋1) 2 = 43．设｛a n ｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 ( ) A ．1B ．2C ．4D ．64．若定义在区间(－1，0)的函数2()log (1)a f x x =+满足()0f x >，则a 的取值范围是 ( ) A ．(210，)B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛210，C ．(21，＋∞) D ．(0，＋∞)5．极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是( )6．函数y = cos x ＋1(－π≤x ≤0)的反函数是 ( )A ．y =－arc cos (x －1)(0≤x ≤2)B ．y = π－arc cos (x －1)(0≤x ≤2)C ．y = arc cos (x －1)(0≤x ≤2)D ．y = π＋arc cos (x －1)(0≤x ≤2)7． 若椭圆经过原点，且焦点为F 1 (1，0)， F 2 (3，0)，则其离心率为 ( ) A ．43 B ．32 C ．21 D ．41 8． 若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则 ( ) A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜1D ．ab ＞29． 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若12BB AB =，则AB 1 与C 1B 所成的角的大小为( ) A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°10．设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题：① 若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增； ② 若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增； ③ 若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；④ 若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减． 其中，正确的命题是 ( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④11． 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 ( ) A ．P 3＞P 2＞P 1B ．P 3＞P 2 = P 1C ．P 3 = P 2＞P 1D ．P 3 = P 2 = P 112． 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为 ( ) A ．26 B ．24C ．20D ．19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是14．双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为15．设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列，则q =16．圆周上有2n 个等分点(n ＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． 18． (本小题满分12分)已知复数z 1 = i (1－i ) 3．(Ⅰ)求arg z 1及1z ；(Ⅱ)当复数z 满足1z =1，求1z z -的最大值． 19． (本小题满分12分)设抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ． 20． (本小题满分12分)已知i ，m ，n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n ．(Ⅰ)证明in i i m i P m P n <；(Ⅱ)证明(1＋m ) n ＞ (1＋n ) m ． 21． (本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41． (Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n 的表达式；(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？22． (本小题满分14分)设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x 1，x 2∈[0，21]都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)．且f (1) = a ＞0． (Ⅰ)求f (21) 及f (41)； (Ⅱ)证明f (x ) 是周期函数； (Ⅲ)记a n = f (2n ＋n21)，求()n n a ln lim ∞→．2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一． 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）D （12）D二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）2π （14）516（15）1 （16）2n (n －1)三．解答题：（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）直角梯形ABCD 的面积是 M 底面()43125.0121=⨯+=⋅+=AB AD BC ， ……2分 ∴ 四棱锥S —ABCD 的体积是⨯⨯=SA V 31M 底面43131⨯⨯=41=． ……4分 （Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE 则SE 是所求二面角的棱． ……6分∵ AD ∥BC ，BC = 2AD ， ∴ EA = AB = SA ，∴ SE ⊥SB ，∵ SA ⊥面ABCD ，得SEB ⊥面EBC ，EB 是交线， 又BC ⊥EB ，∴ BC ⊥面SEB ， 故SB 是CS 在面SEB 上的射影， ∴ CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角． ……10分 ∵ 22AB SA SB +=2=，BC =1，BC ⊥SB ，∴ tan ∠BSC =22=SB BC ．即所求二面角的正切值为22． ……12分 （18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）z 1 = i (1－i ) 3 = 2－2i ， 将z 1化为三角形式，得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=47sin 47cos 221ππi z ，∴ 47arg 1π=z ，221=z ． ……6分 （Ⅱ）设z = cos α＋i sin α，则z －z 1 = ( cos α－2)＋(sin α＋2) i ， ()()22212sin 2cos ++-=-ααz zsin 249+=(4πα-)， ……9分当sin(4πα-) = 1时，21z z -取得最大值249+．从而得到1z z -的最大值为122+． ……12分 （19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明一：因为抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F (2p，0)，所以经过点F 的直线的方程可设为2pmy x +=； ……4分 代入抛物线方程得y 2 －2pmy －p 2 = 0，若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2 = －p 2． ……8分因为BC ∥x 轴，且点c 在准线x = －2p 上，所以点c 的坐标为（－2p，y 2），故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=． 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ． ……12分证明二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，D 是垂足．则 AD ∥FE ∥BC ． ……2分 连结AC ，与EF 相交于点N ，则ABBF AC CN AD EN ==，，ABAF BCNF = ……6分 根据抛物线的几何性质，AD AF =，BC BF =， ……8分∴ NF ABBC AF ABBF AD EN =⋅=⋅=，即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ． ……12分 （20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．（Ⅰ）证明： 对于1＜i ≤m 有im p = m ·…·(m －i ＋1)，⋅-⋅=m m m m m p ii m 1…mi m 1+-⋅， 同理 ⋅-⋅=n n n n n p i in 1…ni n 1+-⋅， ……4分由于 m ＜n ，对整数k = 1，2…，i －1，有mkm n k n ->-， 所以 i im i i n mp n p >，即im i i n i p n p m >． ……6分（Ⅱ）证明由二项式定理有()in ni i nC m m ∑==+01， ()i mmi i mCn n ∑==+01， ……8分由 (Ⅰ)知i n i p m ＞im i p n (1＜i ≤m ＜n ＝，而 !i p C i m im=，!i p C i n in =， ……10分所以， im i i n i C n C m >(1＜i ≤m ＜n ＝．因此，∑∑==>mi im i mi i niC n Cm 22． 又 10000==m n C n C m ，mn nC mC m n ==11，()n i m C m in i ≤<>0．∴∑∑==>mi im i ni i niC n Cm 0． 即 (1＋m )n ＞(1＋n )m ． ……12分 （21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－51）万元，……，第n 年投入为800×（1－51）n －1万元． 所以，n 年内的总投入为a n = 800＋800×（1－51）＋…＋800×（1－51）n －1∑=--⨯=nk k 11)511(800= 4000×[1－(54)n]； ……3分 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋41）万元，……，第n年旅游业收入为400×（1＋41）n －1万元．所以，n 年内的旅游业总收入为b n = 400＋400×（1＋41）＋…＋400×（1＋41）n －1∑=-⨯=nk k 11)45(400= 1600×[ (54)n－1]． ……6分 （Ⅱ）设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即 1600×[（45）n －1]－4000×[1－（54）n ]＞0． 化简得 5×（54）n ＋2×（54）n －7＞0， ……9分设=x （54）n ，代入上式得5x 2－7x ＋2＞0，解此不等式，得52<x ，x ＞1(舍去)． 即 （54）n ＜52，由此得 n ≥5．答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． ……12分 （22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．（Ⅰ）解：因为对x 1，x 2∈[0，21]，都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)，所以=)(x f f (2x ) · f (2x )≥0，x ∈[0，1]． ∵ =)1(f f (2121+) = f (21) · f (21) = [f (21)]2，f (21)=f (4141+) = f (41) · f (41) = [f (41)]2． ……3分0)1(>=a f ，∴ f (21)21a =，f (41)41a =． ……6分（Ⅱ）证明：依题设y = f (x )关于直线x = 1对称， 故 f (x ) = f (1＋1－x )，11 / 11 即f (x ) = f (2－x )，x ∈R ． ……8分 又由f (x )是偶函数知f (－x ) = f (x ) ，x ∈R ，∴ f (－x ) = f (2－x ) ，x ∈R ，将上式中－x 以x 代换，得f (x ) = f (x ＋2)，x ∈R ．这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期． ……10分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f (x )≥0，x ∈[0，1]．∵ f (21)= f (n ·n 21) = f (n 21＋（n －1）·n 21)= f (n 21) · f (（n －1）·n 21)= f (n 21) · f (n 21) · … ·f (n 21)= [ f (n 21)]n ，f (21) = 21a ，∴ f (n 21) = na 21．∵ f (x )的一个周期是2，∴ f (2n ＋n 21) = f (n 21)，因此a n = n a 21，……12分 ∴ ()∞→∞→=n n n a lim ln lim (a n ln 21) = 0．……14分。
历年高考试题及答案word版
历年高考试题及答案word版2011年全国高考试题及答案word版蓝色表示只有试题没有答案，红色表示包括试题和答案。
语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综新课标(宁、吉、本地下本地下本地下本地下本地下本地下黑、晋、豫、载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高新) 速下载速下载速下载速下载速下载速下载全国卷语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综(冀、桂、本地下本地下本地下本地下本地下本地下云、贵、甘、载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高青、内蒙速下载速下载速下载速下载速下载速下载古、藏))语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下北京卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 理综文综本地下本地下本地下本地下载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载上海卷物理化学生物历史地理政治本地下本地下本地下本地下本地下载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载语文英语文科数学理科数学文综理综本地下本地下本地下本地下辽宁卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高同新课标同新课标速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下陕西卷同新课标载迅雷高载迅雷高载迅雷高同新课标同新课标速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综重庆卷本地下本地下本地下本地下本地下本地下载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下福建卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下湖南卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高同新课标同新课标速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下四川卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下广东卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下江西卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高同新课标同新课标速下载速下载速下载速下载语文英语数学物理化学生物本地下本地下本地下本地下本地下本地下载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载江苏卷历史地理政治本地下本地下本地下载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下湖北卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高同全国卷同全国卷速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下浙江卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载自选模块本地下载迅雷高速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载山东卷基本能力本地下载迅雷高速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下天津卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下安徽卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 物理化学本地下本地下同新课标同新课标同新课标同新课标载迅雷高载迅雷高速下载速下载海南卷生物历史地理政治本地下本地下本地下本地下载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载2010年各地高考试题及答案(word版)2009年各地高考试题及答案(word版)2008年各地高考试题及答案(word版)2007年各地高考试题及答案(word版)2006年各地高考试题及答案(word版) 本地下载迅雷高速下载2005年各地高考试题及答案(word版) 本地下载迅雷高速下载 1990-2004年全国高考语文试题及答案(word版) 本地下载迅雷高速下载 1994-2004年全国高考英语试卷及答案(word版) 本地下载迅雷高速下载 1988-2004年全国高考数学试卷及答案(word版) 本地下载迅雷高速下载 1990-2004年全国高考化学试题及答案(word版) 本地下载迅雷高速下载 2002-2004年全国高考物理试题及答案(word版) 本地下载迅雷高速下载 1952-1999年全国高考试卷及答案-语文(pdf 版) 本地下载迅雷高速下载 1952-1999年全国高考试卷及答案-数学(pdf版) 本地下载迅雷高速下载 1952-1999年全国高考试卷及答案-物理(pdf版) 本地下载迅雷高速下载 1952-1999年全国高考试卷及答案-化学(pdf版) 本地下载迅雷高速下载 1950-1999年全国高考试卷及答案-英语(pdf版) 本地下载迅雷高速下载1952-1993年全国高考试卷及答案-生物(pdf版) 本地下载迅雷高速下载 1951-1999年全国高考试卷及答案-政治(pdf版) 本地下载迅雷高速下载 1952-1999年全国高考试卷及答案-历史(pdf版) 本地下载迅雷高速下载 1952-1993年全国高考试卷及答案-地理(pdf版) 本地下载迅雷高速下载更多教学资源请登陆中国校长网教学资源频道。
2010年浙江高考真题(含答案)数学理
绝密★考试结束前2010年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 柱体的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B ) Sh V =如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高P (A ·B )=P (A )·P (B ) 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n Sh V 31=次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高kn kkn n P P C k P )1()(=),,2,1,0(n k = 球的表面积公式台体的体积公式 .ξE )(312211S S S S h V ++=球的体积公式其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积 3π34R V =h 表示台体的高 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设}4|{},4|{2<=<=x x Q x x P（A ）Q P ⊆（B ）P Q ⊆（C ）Q C P R ⊆（D ）P C Q R ⊆（2）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 （A ）?4>k （B ）?5>k （C ）?6>k （D ）?7>k （3）设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，0852=+a a ，则=25S S（A ）11 （B ）5 （C ）-8（D ）-11（4）设2π0<<x ，则“1sin2<x x ”是“1sin <x x ”的（A ）充分而不必不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）对任意复数i R y x yi x z ),∈,(+=为虚数单位，则下列结论正确的是（A ）y z z2||= （B ）222y x z += （C ）x z z2≥|| （D ）||||≤||y x z + （6）设m l ,是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （A ）若α⊥,α⊂,⊥l m m l 则 （B ）若α⊥,//,α⊥m m l l 则（C ）若m l m l //,α⊂,α//则（D ）若m l m l //,α//,α//则（7）若实数y x ,满足不等式组++,0≥1,0≤32,0≥33my xyxyx 且y x +的最大值为9，则实数=m（A ）-2 （B ）-1（C ）1（D ）2（8）设F 1，F 2分别为双曲线)0,0(12222>>=b a by ax 的左、右焦点。
2010年湖南省高考数学试卷(理科)及答案
2010年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={2，3}D．M∪N={1，4}2．（5分）下列命题中是假命题的是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N﹡，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=23．（5分）极坐标p=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线4．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则等于（）A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．165．（5分）dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln26．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．a与b的大小关系不能确定7．（5分）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）A．10 B．11 C．12 D．158．（5分）用min{a，b}表示a，b两数中的最小值．若函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=﹣对称，则t的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9．（5分）已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是g．10．（5分）如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点，已知PA=2，点P到⊙O的切线长PT=4，则弦AB的长为．11．（5分）在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为．12．（5分）如图是求12+22+32+…+1002的值的程序框图，则正整数n=．．13．（5分）图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h=cm．14．（5分）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为，则P=．15．（5分）若数列{a n}满足：对任意的n∈N﹡，只有有限个正整数m使得a m＜n 成立，记这样的m的个数为（a n）+，则得到一个新数列{（a n）+}．例如，若数列{a n}是1，2，3…，n，…，则数列{（a n）+}是0，1，2，…，n﹣1…已知对任意的n∈N+，a n=n2，则（a5）+=，（（a n）+）+=．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）求函数f（x）的零点的集合．17．（12分）如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中x的值．（Ⅱ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．18．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．19．（13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图）．在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过4km的区域．（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；（Ⅱ）如图所示，设线段P1P2，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．20．（13分）已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．（Ⅰ）证明：当x≥0时，f（x）≤（x+c）2；（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）﹣f（b）≤M（c2﹣b2）恒成立，求M的最小值．21．（13分）数列{a n}（n∈N*）中，a1=a，a n+1是函数的极小值点．（Ⅰ）当a=0时，求通项a n；（Ⅱ）是否存在a，使数列{a n}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．2010年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2010•湖南）已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={2，3}D．M∪N={1，4}【分析】利用直接法求解，分别求出两个集合的交集与并集，观察两个集合的包含关系即可．【解答】解：M∩N={1，2，3}∩{2，3，4}={2，3}故选C．2．（5分）（2010•湖南）下列命题中是假命题的是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N﹡，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=2【分析】本题考查全称命题和特称命题真假的判断，逐一判断即可．【解答】解：B中，x=1时不成立，故选B．答案：B．3．（5分）（2010•湖南）极坐标p=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线【分析】将极坐标方程和参数方程化为一般方程，然后进行选择．【解答】解：∵极坐标p=cosθ，x=pco sθ，y=psinθ，消去θ和p，∴x2+y2=x，x2+y2=x为圆的方程；参数方程（t为参数）消去t得，x+y﹣1=0，为直线的方程，故选D．4．（5分）（2010•湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则等于（）A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16【分析】本题是一个求向量的数量积的问题，解题的主要依据是直角三角形中的垂直关系和一条边的长度，解题过程中有一个技巧性很强的地方，就是把变化为两个向量的和，再进行数量积的运算．【解答】解：∵∠C=90°，∴=0，∴=（）==42=16故选D．5．（5分）（2010•湖南）dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln2【分析】根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可．【解答】解：∵（lnx）′=∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln2故选D6．（5分）（2010•湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．a与b的大小关系不能确定【分析】由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC，进而求得a﹣b=，根据＞0判断出a＞b．【解答】解：∵∠C=120°，c=a，∴由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC，∴a2﹣b2=ab，a﹣b=，∵a＞0，b＞0，∴a﹣b=，∴a＞b故选A7．（5分）（2010•湖南）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）A．10 B．11 C．12 D．15【分析】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：一是与信息0110有两个对应位置上的数字相同，二是与信息0110有一个对应位置上的数字相同，三是与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的，分别写出结果相加．【解答】解：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C42=6（个）第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同的有C41=4个，第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的有C40=1，由分类计数原理知与信息0110至多有两个对应位置数字相同的共有6+4+1=11个，故选B．8．（5分）（2010•湖南）用min{a，b}表示a，b两数中的最小值．若函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=﹣对称，则t的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【分析】由题设，函数是一个非常规的函数，在同一个坐标系中作出两个函数的图象，及直线x=，观察图象得出结论【解答】解：如图，在同一个坐标系中做出两个函数y=|x|与y=|x+t|的图象，函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象为两个图象中较低的一个，分析可得其图象关于直线x=﹣对称，要使函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=对称，则t的值为t=1故应选D．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9．（5分）（2010•湖南）已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是171.8或148.2g．【分析】由题知试验范围为[100，200]，区间长度为100，故可利用0.618法：110+（210﹣110）×0.618或210﹣（210﹣110）×0.618选取试点进行计算．【解答】解：根据0.618法，第一次试点加入量为110+（210﹣110）×0.618=171.8或210﹣（210﹣110）×0.618=148.2故答案为：171.8或148.2．10．（5分）（2010•湖南）如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点，已知PA=2，点P到⊙O的切线长PT=4，则弦AB的长为6．【分析】首先根据题中圆的切线条件再依据切割线定理求得一个线段的等式，再根据线段的关系可求得AB的长度即可．【解答】解：根据切割线定理PT2=PA•PB，PB===8，∴AB=PB﹣PA=8﹣2=6．故填：6．11．（5分）（2010•湖南）在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为．【分析】本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[﹣1，2]的长度求比值即得．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．∵|x|≤1得﹣1≤x≤1，∴|x|≤1的概率为：P（|x|≤1）=．故答案为：．12．（5分）（2010•湖南）如图是求12+22+32+…+1002的值的程序框图，则正整数n=100．．【分析】由已知可知：该程序的作用是求12+22+32+…+1002的值，共需要循环100次，由于循环变量的初值已知，故不难确定循环变量的终值．【解答】解：由已知可知：该程序的作用是求12+22+32+…+1002的值，共需要循环100次，最后一次执行循环体的作用是累加1002故循环变量的终值应为100故答案为：10013．（5分）（2010•湖南）图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h=4cm．【分析】由三视图可知，几何体的底面为直角三角形，且一边垂直于底面，再根据公式求解即可．【解答】解：根据三视图可知，几何体的体积为：V=又因为V=20，所以h=4故答案为：414．（5分）（2010•湖南）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD 的面积为，则P=2．【分析】先根据抛物线方程得出其焦点坐标和过焦点斜率为1的直线方程，设出A，B两点的坐标，把直线与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而用A，B坐标表示出梯形的面积建立等式求得p．【解答】解：抛物线的焦点坐标为F（0，），则过焦点斜率为1的直线方程为y=x+，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1），由题意可知y1＞0，y2＞0由，消去y得x2﹣2px﹣p2=0，由韦达定理得，x1+x2=2p，x1x2=﹣p2所以梯形ABCD的面积为：S=（y1+y2）（x2﹣x1）=（x1+x2+p）（x2﹣x1）=•3p=3p2所以3p2=12，又p＞0，所以p=2故答案为2．15．（5分）（2010•湖南）若数列{a n}满足：对任意的n∈N﹡，只有有限个正整数m使得a m＜n成立，记这样的m的个数为（a n）+，则得到一个新数列{（a n）+}．例如，若数列{a n}是1，2，3…，n，…，则数列{（a n）+}是0，1，2，…，n﹣1…已知对任意的n∈N+，a n=n2，则（a5）+=2，（（a n）+）+=n2．【分析】根据题意，若a m＜5，而a n=n2，知m=1，2，∴（a5）+=2，由题设条件可知（（a1）+）+=1，（（a2）+）+=4，（（a3）+）+=9，（（a4）+）+=16，于是猜想：（（a n）+）+=n2．【解答】解：∵a m＜5，而a n=n2，∴m=1，2，∴（a5）+=2．∵（a1）+=0，（a2）+=1，（a3）+=1，（a4）+=1，（a5）+=2，（a6）+=2，（a7）+=2，（a8）+=2，（a9）+=2，（a10）+=3，（a11）+=3，（a12）+=3，（a13）+=3，（a14）+=3，（a15）+=3，（a16）+=3，∴（（a1）+）+=1，（（a2）+）+=4，（（a3）+）+=9，（（a4）+）+=16，猜想：（（a n）+）+=n2．答案：2，n2．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2010•湖南）已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）求函数f（x）的零点的集合．【分析】（Ⅰ）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再由正弦函数的最值可得到答案．（Ⅱ）令f（x）=0可得到2sin xcos x=2sin2x，进而可得到sin x=0或tan x=，即可求出对应的x的取值集合，得到答案．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x﹣2sin2x=sin2x+cos2x﹣1=2sin（2x+）﹣1故函数f（x）的最大值等于2﹣1=1（Ⅱ）由f（x）=0得2sin xcos x=2sin2x，于是sin x=0，或cos x=sin x即tan x=由sin x=0可知x=kπ；由tan x=可知x=kπ+．故函数f（x）的零点的集合为{x|x=kπ或x=k，k∈Z}17．（12分）（2010•湖南）如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中x的值．（Ⅱ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．【分析】本题考查的知识点是频率分布直方图、离散型随机变量及其分布列和数学期望．（1）根据频率分布直方图中，各组的频率之和为1，我们易得到一个关于x的方程，解方程即可得到答案．（2）由频率分布直方图中月均用水量各组的频率，我们易得X～B（3，0.1）．然后将数据代入后，可分别算出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，代入即可得到随机变量X的分布列，然后代入数学期望公式，可进而求出数学期望．【解答】解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=1，解得x=0.12．（Ⅱ）由题意知，X～B（3，0.1）．因此P（X=0）=C30×0.93=0.729，P（X=1）=C31×0.1×0.92=0.243，P（X=2）=C32×0.12×0.9=0.027，P（X=3）=C33×0.13=0.001．故随机变量X的分布列为：X0 1 2 3P 0.7290.2430.0270.001X的数学期望为EX=3×0.1=0.3．18．（12分）（2010•湖南）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．【分析】（Ⅰ）先取AA1的中点M，连接EM，BM，根据中位线定理可知EM∥AD，而AD⊥平面ABB1A1，则EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，则∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角，设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=3，于是在Rt△BEM中，求出此角的正弦值即可．（Ⅱ）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，根据中位线定理可知EG∥A1B，从而说明A1，B，G，E共面，则BG⊂面A1BE，根据FG∥C1C∥B1G，且FG=C1C=B1B，从而得到四边形B1BGF为平行四边形，则B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，根据线面平行的判定定理可知B1F∥平面A1BE．【解答】解：（I）如图（a），取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=，于是在Rt△BEM中，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为．（Ⅱ）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E共面，所以BG⊂平面A1BE因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG ∥C1C∥B1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE．19．（13分）（2010•湖南）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图）．在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过4km的区域．（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；（Ⅱ）如图所示，设线段P1P2，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．【分析】（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），当x≥2时，．当x＜2时，．由此能得到考查区域边界曲线的方程；（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，过点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为．设直线l平行于直线l1，其方程为，代入椭圆方程，消去y，得，然后由根的判别式和点到直线的距离公式结合题设条件进行求解．【解答】解：（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），当x≥2时，由题意知．当x＜2时，由知，点P在以A，B为焦点，长轴长为的椭圆上．此时短半轴长．因而其方程为．故考察区域边界曲线（如图）的方程为和．（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，过点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为．设直线l平行于直线l1，其方程为，代入椭圆方程，消去y，得，由△100×3m2﹣4×16×5（m2﹣4）=0，解得m=8或m=﹣8．从图中可以看出，当m=8时，直线l与C2的公共点到直线l的距离最近，此时直线l的方程为，l与l1之间的距离为．又直线l2到C1和C2的最短距离，而d'＞3，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3．设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年，则由题设及等比数列求和公式，得，所以n≥4．故冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为4年．20．（13分）（2010•湖南）已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．（Ⅰ）证明：当x≥0时，f（x）≤（x+c）2；（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）﹣f（b）≤M（c2﹣b2）恒成立，求M的最小值．【分析】（Ⅰ）f′（x）≤f（x）转化为x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立，找到b和c之间的关系，再对f（x）和（x+c）2作差整理成关于b和c的表达式即可．（Ⅱ）对c≥|b|分c＞|b|和c=|b|两种情况分别求出对应的M的取值范围，再综合求M的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）易知f′（x）=2x+b．由题设，对任意的x∈R，2x+b≤x2+bx+c，即x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立，所以（b﹣2）2﹣4（c﹣b）≤0，从而．于是c≥1，且，因此2c﹣b=c+（c﹣b）＞0．故当x≥0时，有（x+c）2﹣f（x）=（2c﹣b）x+c（c﹣1）≥0．即当x≥0时，f（x）≤（x+c）2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，c≥|b|当c＞|b|时，有M≥==，令t=则﹣1＜t＜1，=2﹣，而函数g（t）=2﹣（﹣1＜t＜1）的值域（﹣∞，）因此，当c＞|b|时M的取值集合为[，+∞）．当c=|b|时，由（Ⅰ）知，b=±2，c=2．此时f（c）﹣f（b）=﹣8或0，c2﹣b2=0，从而恒成立．综上所述，M的最小值为21．（13分）（2010•湖南）数列{a n}（n∈N*）中，a1=a，a n+1是函数的极小值点．（Ⅰ）当a=0时，求通项a n；（Ⅱ）是否存在a，使数列{a n}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（I）当a=0时，a1=0，则3a1＜12．由f'n（x）=x2﹣（3a n+n2）x+3n2a n=（x﹣3a n）（x﹣n2）=0，得x1=3a n，x2=n2．由函数的单调性知f n（x）在x=n2取得极小值．所以a2=12=1．因为3a2=3＜22，则，a3=22=4，因为3a3=12＞33，则a4=3a3=3×4，又因为3a4=36＞42，则a5=3a4=32×4，由此猜测：当n≥3时，a n=4×3n﹣3．然后用数学归纳法证明：当n≥3时，3a n＞n2．（Ⅱ）存在a，使数列{a n}是等比数列．事实上，若对任意的n，都有3a n＞n2，=3a n．要使3a n＞n2，只需对一切n∈N*都成立．当x≥2时，y'＜0，则a n+1从而函数在这[2，+∞）上单调递减，故当n≥2时，数列{b n}单调递减，即数列{b n}中最大项为．于是当a＞时，必有．由此能导出存在a，使数列{a n}是等比数列，且a的取值范围为．【解答】解：（I）当a=0时，a1=0，则3a1＜12．由题设知f'n（x）=x2﹣（3a n+n2）x+3n2a n=（x﹣3a n）（x﹣n2）．令f'n（x）=0，得x1=3a n，x2=n2．若3a n＜n2，则当x＜3a n时，f'n（x）＞0，f n（x）单调递增；当3a n＜x＜n2时，f'n（x）＜0，f n（x）单调递减；当x＞n2时，f'n（x）＞0，f n（x）单调递增．故f n（x）在x=n2取得极小值．所以a2=12=1因为3a2=3＜22，则，a3=22=4因为3a3=12＞32，则a4=3a3=3×4，又因为3a4=36＞42，则a5=3a4=32×4，由此猜测：当n≥3时，a n=4×3n﹣3．下面先用数学归纳法证明：当n≥3时，3a n＞n2．事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立．假设当n=k（k≥3）时，3a k＞k2成立，则由（2）知，a k+1=3a k＞k2，﹣（k+1）2＞3k2﹣（k+1）2=2k（k﹣2）+2k﹣1＞0，从而3a k+1所以3a k＞（k+1）2．+1故当n≥3时，3a n＞n2成立．=3a n，而a3=4，因此a n=4×3n﹣3．于是，当n≥3时，a n+1综上所述，当a=0时，a1=0，a2=1，a n=4×3n﹣3（n≥3）．（Ⅱ）存在a，使数列{a n}是等比数列．事实上，若对任意的n，都有3a n＞n2，则a n+1=3a n．即数列{a n}是首项为a，公比为3的等比数列，且a n=a•3n﹣3．而要使3a n＞n2，即a•3n＞n2对一切n∈N*都成立，只需对一切n∈N*都成立．记，则，．令，则．因此，当x≥2时，y'＜0，从而函数在这[2，+∞）上单调递减，故当n≥2时，数列{b n}单调递减，即数列{b n}中最大项为．于是当a＞时，必有．这说明，当时，数列a n是等比数列．当a=时，可得，而3a2=4=22，由（3）知，f2（x）无极值，不合题意，当时，可得a1=a，a2=3a，a3=4，a4=12，…，数列{a n}不是等比数列．当时，3a=1=12，由（3）知，f1（x）无极值，不合题意．当时，可得a1=a，a2=1，a3=4，a4=12，数列{a n}不是等比数列．综上所述，存在a，使数列{a n}是等比数列，且a的取值范围为．。
2013年高考理科数学试卷及答案(湖南卷)(Word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数z=i ·（1+i ）（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A. 抽签法B. 随机数法C. 系统抽样法D. 分层抽样法3. 在锐角ABC ∆中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b 。
若b B a 3sin 2=，则角A 等于( ) A. 12π B. 6π C. 4π D. 3π 4. 若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤,1,1,2y y x x y 则y x 2+的最大值是( )A. 25-B. ０C. 35D. 25 5. 函数()x x f ln 2=的图象与函数()542+-=x x x g 的图象的交点个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 06. 已知a ，b 是单位同量，a ·b =0。
若向量c 满足1=--b a c ，则的取值范围是( )A. [12-,12+]B. [12-,22+]C. [1, 12+]D. [1, 22+]7. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 ( ) A. 1 B. 2 C. 212- D. 212+ 8. 在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC =4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图1）。
若光线QR 经过ABC ∆的重心，则AP 等于( )A. 2B. 1C. 38D. 34 二、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分。
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2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 参考公式：锥体的体积公式为1
3
V Sh =
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 1． 已知集合M={1,2,3}，N={2,3,4}，则 A ．M N ⊆ B.N M ⊆ C ．{2,3}M N ⋂= D.{1,4}M N ⋃ 2.下列命题中的假命题是 A ．∀x R ∈,1
2
0x ->2x-1>0 B. ∀*x N ∈,2(1)0x ->
C ．∃ x R ∈,lg 1x < D. ∃x R ∈,tan 2x = 3、极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x t
y t =--⎧⎨
=+⎩
（t 为参数）所表示的图形分别是
A 、圆、直线
B 、直线、圆
C 、圆、圆
D 、直线、直线
4、在Rt ABC ∆中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ⋅uu u r uu u r
等于
A 、-16
B 、-8
C 、8
D 、16
5、
4
21
dx x ⎰等于
A 、2ln 2-
B 、2ln 2
C 、ln 2-
D 、ln 2
6、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a,b,c ，若∠C=120°，c =,则
A 、a>b
B 、a<b
C 、a=b
D 、a 与b 的大小关系不能确定
7、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A.10
B.11
C.12
D.15 8.用表示a ，b 两数中的最小值。
若函数
的图像关于
直线x=1
2
-
对称，则t 的值为 A ．-2 B ．2 C ．-1 D ．1
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。
把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上
9．已知一种材料的最佳入量在110g 到210g 之间。
若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是 g
10．如图1所示，过外一点P 作一条直线与交于A,B 两点。
已知PA=2，点P 到
的切线上PT=4，则弦的长为 。
11．在区间
上随机取一个数x ，则
的概率为
12．图2是求2
2
2
123+++2
…+100的值的程序框图，则正整数n = ．
图2
13．图3中的三个直角三角形是一个体积为203
cm 的几何体的三视图，则h = cm ．
14．过抛物线2
2(0)x py p =＞的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于,A B 两点，,A B 在
x 轴上的正射影分别为,D C ．若梯形ABCD 的面积为p = ．
15．若数列{}n a 满足：对任意的n N *
∈，只有有限个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的
m 的个数为()n a *，则得到一个新数列{}()n a *．例如，若数列{}n a 是1,2,3,n …，…，则
数列{
}()
n a *
是0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的N n *
∈，2n
a
n =，则5()a *= ，
(())n a **= ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知函数2
()22sin f x x x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （II ）求函数()f x 的零点的集合。
17．（本小题满分12分）
图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图 （Ⅰ）求直方图中x 的值
（II ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望。
18．（本小题满分12分）
如图5所示，在正方体E是棱的中点。
（Ⅰ）求直线BE的平面所成的角的正弦值；
（II）在棱上是否存在一点F，使平面证明你的结论。
19.（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地。
视冰川面为平面形，以过A,B两点的直线为x轴，线段AB的的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不
km区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A,B两点的距离之和不超过区域。
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图6所示，设线段P1P2,P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间。
20.（本小题满分13分）
已知函数2()(,),f x x bx c b c R =++∈对任意的x R ∈，恒有'
()f x ≤()f x 。
（Ⅰ）证明：当0x ≥时，2
()()f x x c ≤+；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式22
()()()f c f b M c b -≤-恒成立，求M 的最小值。
21．（本小题满分13分）
数列{}*
()n a n N ∈中，
是函数322211
()(3)332
n n n f x x a n x n a x =
-++的极小值点
（Ⅰ）当a=0时，求通项n a ；
（Ⅱ）是否存在a ，使数列{}n a 是等比数列？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。
参考答案一、选择题
1-5 cbadd 6-8 abd
二、填空题
9.
10. 6
11. 2/3
13. 4
14. 2
15. 2 2n。