2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测 数列的综合问题 Word版含解析
标题-2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(十六) 导数与函数的综合问题
课时达标检测（十六）导数与函数的综合问题[一般难度题——全员必做]1．(2017·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝(1－2x－x2)e x.令f′(x)＝0，得x＝－1－2或x＝－1＋ 2.当x∈(－∞，－1－2)时，f′(x)＜0；当x∈(－1－2，－1＋2)时，f′(x)＞0；当x∈(－1＋2，＋∞)时，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增．(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)e x.①当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)e x，则h′(x)＝－x e x＜0(x＞0)．因此h(x)在[0，＋∞)上单调递减，又h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.②当0＜a＜1时，设函数g(x)＝e x－x－1，则g′(x)＝e x－1＞0(x＞0)，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0，故e x≥x＋1.当0＜x＜1时，f(x)＞(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝5－4a－12，则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)＞ax0＋1.当a≤0时，取x0＝5－1 2，则x0∈(0,1)，f(x0)＞(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.综上，a的取值范围是[1，＋∞)．2．(2018·沈阳监测)已知函数f(x)＝a ln x(a>0)，e为自然对数的底数．(1)若过点A(2，f(2))的切线斜率为2，求实数a的值；(2)当x >0时，求证f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x ； (3)若在区间(1，e)上e x a－e 1ax <0恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意得f ′(x )＝ax ，∴f ′(2)＝a2＝2，∴a ＝4.(2)证明：令g (x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x －1＋1x (x >0)， 则g ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫1x －1x 2.令g ′(x )>0，即a ⎝⎛⎭⎫1x －1x 2>0，解得x >1， 令g ′(x )<0，解得0<x <1；∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ∴g (x )的最小值为g (1)＝0，∴f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x . (3)由题意可知e xa<e 1a x ，化简得x －1a <ln x ， 又x ∈(1，e)，∴a >x －1ln x.令h (x )＝x －1ln x ，则h ′(x )＝ln x －1＋1x(ln x )2，由(2)知，当x ∈(1，e)时，ln x －1＋1x >0，∴h ′(x )>0，即h (x )在(1，e)上单调递增， ∴h (x )<h (e)＝e －1.∴a ≥e －1. 故实数a 的取值范围为[e －1，＋∞)．3．(2018·海南校级联考)已知函数f (x )＝1x ＋k ln x ，k ≠0. (1)当k ＝2时，求函数f (x )的图象的切线斜率中的最大值； (2)若关于x 的方程f (x )＝k 有解，求实数k 的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝1x ＋k ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x2＋kx (x >0)．当k ＝2时，f ′(x )＝－1x 2＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫1x －12＋1≤1，当且仅当x ＝1时，等号成立． 所以函数f (x )的图象的切线斜率中的最大值为1.(2)因为关于x 的方程f (x )＝k 有解，令g (x )＝f (x )－k ＝1x ＋k ln x －k ，则问题等价于函数g (x )存在零点．g ′(x )＝－1x 2＋k x ＝kx －1x 2.当k <0时，g ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减．因为g (1)＝1－k >0，g (e1－1k )＝1e1－1k ＋k ⎝⎛⎭⎫1－1k －k ＝1e1－1k －1<1e －1<0，所以函数g (x )存在零点．当k >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1k .g ′(x )，g (x )随x 的变化情况如下表：所以g ⎝⎛⎭⎫1k ＝k －k ＋k ln 1k ＝－k ln k 为函数g (x )的最小值，当g ⎝⎛⎭1k >0，即0<k <1时，函数g (x )没有零点，当g ⎝⎛⎭⎫1k ≤0，即k ≥1时，注意到g (e)＝1e ＋k －k >0，所以函数g (x )存在零点．综上，当k <0或k ≥1时，关于x 的方程f (x )＝k 有解．[中档难度题——学优生做]1．(2018·广东珠海期末)已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a >0，设g (x )＝ln x ＋m x.(1)求a 的值； (2)对任意x 1>x 2>0，g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2<1恒成立，求实数m 的取值范围；(3)讨论方程g (x )＝f (x )＋ln(x ＋1)在[1，＋∞)上根的个数． 解：(1)f (x )的定义域为(－a ，＋∞)，f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a. 由f ′(x )＝0，解得x ＝1－a >－a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，f 故由题意f (1－a )＝1－a ＝0，所以a ＝1. (2)由g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2<1知g (x 1)－x 1<g (x 2)－x 2对任意x 1>x 2>0恒成立，即h (x )＝g (x )－x ＝ln x －x ＋mx 在(0，＋∞)上为减函数． h ′(x )＝1x －1－m x 2≤0在(0，＋∞)上恒成立，所以m ≥x －x 2在(0，＋∞)上恒成立， 而(x －x 2)max ＝14，则m ≥14，即实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫14，＋∞.(3)由题意知方程可化为ln x ＋mx ＝x ，即m ＝x 2－x ln x (x ≥1)．设m (x )＝x 2－x ln x ，则m ′(x )＝2x －ln x －1(x ≥1)．设h (x )＝2x －ln x －1(x ≥1)，则h ′(x )＝2－1x >0，因此h (x )在[1，＋∞)上单调递增，h (x )min ＝h (1)＝1.所以m (x )＝x 2－x ln x 在[1，＋∞)上单调递增．因此当x ≥1时，m (x )≥m (1)＝1.所以当m ≥1时方程有一个根，当m <1时方程无根．2．(2017·广西陆川二模)已知函数f (x )＝ln x －mx ＋m . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围； (3)在(2)的条件下，对任意的0<a <b ，求证：f (b )－f (a )b －a <1a (a ＋1).解：(1)f ′(x )＝1x －m ＝1－mx x，x ∈(0，＋∞)，当m ≤0时，f ′(x )>0恒成立，则函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间； 当m >0时，由f ′(x )＝1－mx x>0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，1m ， 由f ′(x )＝1－mx x<0，得x ∈⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞， 此时f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1m ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞. 综上，当m ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间； 当m >0时，函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1m ，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞. (2)由(1)知：当m ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (1)＝0，显然不符合题意； 当m >0时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1m ＝ln 1m －1＋m ＝m －ln m －1， 只需m －ln m －1≤0即可．令g (x )＝x －ln x －1，则g ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，x ∈(0，＋∞)， ∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∴g (x )min ＝g (1)＝0.∴g (x )≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，也就是m －ln m －1≥0对m ∈(0，＋∞)恒成立， 由m －ln m －1＝0，解得m ＝1.∴若f (x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，则m ＝1.(3)证明：f (b )－f (a )b －a ＝ln b －ln a ＋a －b b －a ＝ln b －ln ab －a－1＝lnb a b a －1·1a －1. 由(2)得f (x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，即ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时取等号． 又由0<a <b 得b a >1，∴0<ln b a <ba －1，即lnb aba －1<1.则lnb a b a －1·1a －1<1a －1＝1－a a ＝1－a 2a (1＋a )<1a (1＋a ). [较高难度题——学霸做]1．(2017·天津高考)设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数f (x )＝2x 4＋3x 3－3x 2－6x ＋a 在区间(1,2)内有一个零点x 0，g (x )为f (x )的导函数．(1)求g (x )的单调区间；(2)设m ∈[1，x 0)∪(x 0,2]，函数h (x )＝g (x )(m －x 0)－f (m )，求证：h (m )h (x 0)<0； (3)求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p ，q ，且pq ∈[1，x 0)∪(x 0,2]，满足⎪⎪⎪⎪p q －x 0≥1Aq4. 解：(1)由f (x )＝2x 4＋3x 3－3x 2－6x ＋a ，可得g (x )＝f ′(x )＝8x 3＋9x 2－6x －6，进而可得g ′(x )＝24x 2＋18x －6.令g ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝14.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：所以g (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，⎝⎛⎭⎫14，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎫－1，14. (2)证明：由h (x )＝g (x )(m －x 0)－f (m )， 得h (m )＝g (m )(m －x 0)－f (m )，h (x 0)＝g (x 0)(m －x 0)－f (m )． 令函数H 1(x )＝g (x )(x －x 0)－f (x )， 则H 1′(x )＝g ′(x )(x －x 0)． 由(1)知，当x ∈[1,2]时，g ′(x )>0，故当x ∈[1，x 0)时，H 1′(x )<0，H 1(x )单调递减； 当x ∈(x 0,2]时，H 1′(x )>0，H 1(x )单调递增．因此，当x ∈[1，x 0)∪(x 0,2]时，H 1(x )>H 1(x 0)＝－f (x 0)＝0，可得H 1(m )>0，即h (m )>0. 令函数H 2(x )＝g (x 0)(x －x 0)－f (x )， 则H 2′(x )＝g (x 0)－g (x )． 由(1)知g (x )在[1,2]上单调递增，故当x ∈[1，x 0)时，H 2′(x )>0，H 2(x )单调递增； 当x ∈(x 0,2]时，H 2′(x )<0，H 2(x )单调递减．因此，当x ∈[1，x 0)∪(x 0,2]时，H 2(x )<H 2(x 0)＝0，可得H 2(m )<0，即h (x 0)<0.所以h (m )h (x 0)<0.(3)证明：对于任意的正整数p ，q ，且pq ∈[1，x 0)∪(x 0,2]， 令m ＝pq，函数h (x )＝g (x )(m －x 0)－f (m )．由(2)知，当m ∈[1，x 0)时，h (x )在区间(m ，x 0)内有零点；当m ∈(x 0,2]时，h (x )在区间(x 0，m )内有零点．所以h (x )在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为x 1， 则h (x 1)＝g (x 1)⎝⎛⎭⎫p q －x 0－f ⎝⎛⎭⎫p q ＝0. 由(1)知g (x )在[1,2]上单调递增， 故0<g (1)<g (x 1)<g (2)， 于是⎪⎪⎪⎪p q －x 0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫p q g (x 1)≥⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫p q g (2) ＝|2p 4＋3p 3q －3p 2q 2－6pq 3＋aq 4|g (2)q 4.因为当x ∈[1,2]时，g (x )>0，故f (x )在[1,2]上单调递增，所以f (x )在区间[1,2]上除x 0外没有其他的零点，而pq ≠x 0，故f ⎝⎛⎭⎫p q ≠0.又因为p ，q ，a 均为整数，所以|2p 4＋3p 3q －3p 2q 2－6pq 3＋aq 4|是正整数，从而|2p 4＋3p 3q －3p 2q 2－6pq 3＋aq 4|≥1.所以⎪⎪⎪⎪p q －x 0≥1g (2)q 4.所以只要取A ＝g (2)，就有⎪⎪⎪⎪p q －x 0≥1Aq4. 2．(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a >0，b ∈R )有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b 2>3a ；(3)若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范围．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32＋b －a 23. 当x ＝－a 3时，f ′(x )有极小值b －a 23.因为f ′(x )的极值点是f (x )的零点， 所以f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝－a 327＋a 39－ab3＋1＝0， 又a >0，故b ＝2a 29＋3a .因为f (x )有极值， 故f ′(x )＝0有实根，从而b －a 23＝19a (27－a 3)≤0，即a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )>0(x ≠－1)， 故f (x )在R 上是增函数，f (x )没有极值； 当a >3时，f ′(x )＝0有两个相异的实根 x 1＝－a －a 2－3b 3，x 2＝－a ＋a 2－3b 3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )的极值点是x 1，x 2.从而a >3. 因此b ＝2a 29＋3a ，定义域为(3，＋∞)．(2)证明：由(1)知，b a ＝2a a 9＋3a a .设g (t )＝2t 9＋3t ，则g ′(t )＝29－3t 2＝2t 2－279t 2.当t ∈⎝⎛⎭⎫362，＋∞时，g ′(t )>0， 从而g (t )在⎝⎛⎭⎫362，＋∞上单调递增．因为a >3，所以a a >33， 故g (a a )>g (33)＝3，即ba> 3.因此b 2>3a . (3)由(1)知，f (x )的极值点是x 1，x 2，且x 1＋x 2＝－23a ，x 21＋x 22＝4a 2－6b 9.从而f (x 1)＋f (x 2)＝x 31＋ax 21＋bx 1＋1＋x 32＋ax 22＋bx 2＋1＝x 13(3x 21＋2ax 1＋b )＋x 23(3x 22＋2ax 2＋b )＋13a (x 21＋x 22)＋23b (x 1＋x 2)＋2 ＝4a 3－6ab 27－4ab 9＋2＝0.记f (x )，f ′(x )所有极值之和为h (a )， 因为f ′(x )的极值为b －a 23＝－19a 2＋3a ，所以h (a )＝－19a 2＋3a ，a >3.因为h ′(a )＝－29a －3a 2<0，于是h (a )在(3，＋∞)上单调递减． 因为h (6)＝－72，于是h (a )≥h (6)，故a ≤6.因此a 的取值范围为(3,6]．。
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(五十) 统 计
课时达标检测（五十） 统 计[小题对点练——点点落实]对点练(一) 随机抽样1．某学校为了了解某年高考数学的考试成绩，在高考后对该校1 200名考生进行抽样调查，其中有400名文科考生，600名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽取120名考生作为样本，记这项调查为①；从10名家长中随机抽取3名参加座谈会，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A ．分层抽样法，系统抽样法B ．分层抽样法，简单随机抽样法C ．系统抽样法，分层抽样法D ．简单随机抽样法，分层抽样法解析：选B 在①中，文科考生、理科考生、艺术和体育类考生会存在差异，采用分层抽样法较好；在②中，抽取的样本个数较少，宜采用简单随机抽样法．2．某校高三年级共有学生900人，编号为1,2,3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的45人中，编号落在[481,720]的人数为( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：选C 系统抽样，是抽多少人就把总体分成多少组，于是抽样间隔就是用总体数量除以样本容量：90045＝20.于是落在[481,720]内的人数为720－48020＝12，故选C. 3．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A ．93B ．123C ．137D ．167解析：选C 初中部的女教师人数为110×70%＝77，高中部的女教师人数为150×(1－60%)＝60，该校女教师的人数为77＋60＝137，故选C.4．高三(3)班共有学生56人，座号分别为1,2,3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是( )A ．30B ．31C ．32D ．33解析：选B 由系统抽样的特点，得到样本中的座号形成一个以3为首项，公差为17－3＝14的等差数列，则第三个座号是17＋14＝31.故选B.5．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号________________________________________________________________________ (下面摘取了随机数表第7行至第9行)．844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954解析：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个数785，符合条件，第二个数916，舍去，第三个数955，舍去，第四个数667，符合条件，这样依次读出结果．故答案为：785,667,199,507,175.答案：785,667,199,507,1756．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：A类轿车10辆，则z的值为________．解析：由题意可得50100＋300＋150＋450＋z＋600＝10100＋300，解得z＝400.答案：4007．(2018·湖北重点中学适应模拟)某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为________．解析：系统抽样的抽取间隔为305＝6，设抽到的最小编号为x，则x＋(6＋x)＋(12＋x)＋(18＋x)＋(24＋x)＝75，所以x＝3.答案：3对点练(二)用样本估计总体1．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设所得分数的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x －，则( )A ．m e ＝m 0＝x －B ．m e ＝m 0<x －C ．m e <m 0<x －D ．m 0<m e <x －解析：选D 由图可知，30名学生的得分情况依次为2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即m e ＝5.5；5出现的次数最多，故m 0＝5；x －＝(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)÷30≈5.97.于是得m 0<m e <x －.2．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A.32 34 32B ．33 45 35C ．34 45 32D ．33 36 35解析：选B 观察茎叶图，16个数已经按大小顺序列出，从上往下数第8个数和第9个数是最中间两个数，它们是32和34，中位数是它们的平均数：33.再读茎叶图，45出现次数最多，共3次，故为众数．极差等于最大值减最小值：47－12＝35.故选B.3．(2017·九江二模)已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差为2，若数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b (a >0)的方差为8，则a 的值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4解析：选C 根据方差的性质可知，a 2×2＝8，故a ＝2.4．(2018·湖北黄冈质检)已知数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是某市n (n ≥3，n ∈N *)个普通职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入x n ＋1，则这(n ＋1)个数据中，下列说法正确的是( )A ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变解析：选B ∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是某市n (n ≥3，n ∈N *)个普通职工的年收入，x n ＋1为世界首富的年收入，则x n ＋1远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ，故这(n ＋1)个数据中，年收入平均数大大增大；中位数可能不变，也可能稍微变大；由于数据的集中程度受到x n ＋1的影响比较大，更加离散，则方差变大．5．为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 解析：选B ∵x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29， x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30， ∴x 甲<x 乙，又s 2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s 2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2， ∴s 甲>s 乙．故可判断结论①④正确.6.五一期间，某淘宝店趁势推出了“抢红包”的促销活动．已知每人有5次抢红包的机会，每次可得到1元至30元不等的红包．甲、乙二人在这5次抢红包活动中获得的红包金额的茎叶图如图所示．若甲5次获得的红包金额的均值为x 1，乙5次获得的红包金额的均值为x 2，则x 1－x 2＝________.解析：由茎叶图可知，甲获得的红包金额分别为1,2,12,20,30，乙获得的红包金额分别为1,2,5,10,30，所以甲获得的红包金额的均值x 1＝1＋2＋12＋20＋305＝13，乙获得的红包金额的均值x 2＝1＋2＋5＋10＋305＝9.6，所以x 1－x 2＝13－9.6＝3.4.答案：3.47．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x 的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．解析：(1)由频率分布直方图总面积为1，得(0.001 2＋0.002 4×2＋0.003 6＋x ＋0.006 0)×50＝1，解得x ＝0.004 4.(2)用电量在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.004 4＋0.006 0)×50＝0.7，故所求户数为100×0.7＝70.答案：(1)0.004 4 (2)708．已知x 是1,2,3，x,5,6,7这七个数据的中位数且1,2，x 2，－y 这四个数据的平均数为1，则y －1x 的最小值为________．解析：由题意1＋2＋x 2－y ＝4，所以y ＝x 2－1.由中位数定义知，3≤x ≤5，所以y －1x＝x 2－1－1x .当x ∈[3,5]时，函数y ＝x 2－1与y ＝－1x 均为增函数，所以y ＝x 2－1－1x在[3,5]上为增函数，所以⎝⎛⎭⎫y －1x min ＝8－13＝233. 答案：233[大题综合练——迁移贯通]1．(2018·湖北四校联考)某班级准备从甲、乙两人中选一人参加某项比赛，已知在一个学期10次考试中，甲、乙两人的成绩(单位：分)的茎叶图如图所示．你认为选派谁参赛更合适？并说明理由．解：根据茎叶图可知，甲的平均成绩x －甲＝79＋84＋85＋87＋87＋88＋93＋94＋96＋9710＝89，乙的平均成绩x －乙＝75＋77＋85＋88＋89＋89＋95＋96＋97＋9910＝89，甲、乙的平均成绩相等．又甲成绩的方差s2甲＝110[(79－89)2＋(84－89)2＋(85－89)2＋(87－89)2＋(87－89)2＋(88－89)2＋(93－89)2＋(94－89)2＋(96－89)2＋(97－89)2]＝30.4，乙成绩的方差s2乙＝110[(75－89)2＋(77－89)2＋(85－89)2＋(88－89)2＋(89－89)2＋(89－89)2＋(95－89)2＋(96－89)2＋(97－89)2＋(99－89)2]＝60.6，故甲成绩的方差小于乙成绩的方差，因此选派甲参赛更合适．2．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机应用软件层出不穷．现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由．解：(1)依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55.使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40.(2)①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04＋0.20＋0.56＝0.80＝80%>75%.故可以认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%.②使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35<40，所以选B款订餐软件．3．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2，2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08，0.20，0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30.(2)由(1)知100位居民每人的月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88＞0.85，而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73＜0.85，所以2.5≤x＜3.由0.30×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．。
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(十) 函数的图象及其应用 含解析-
课时达标检测（十） 函数的图象及其应用[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的图象1．(2018·陕西汉中教学质量检测)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x sin x 的图象大致是( )解析：选D 令f (x )＝0可得x ＝±1，或x ＝k π(k ≠0，k ∈Z)，又f (－x )＝⎝⎛⎭⎫－x ＋1x sin(－x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x sin x ＝f (x )，即函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x sin x 是偶函数，且经过点(1,0)，(π，0)，(2π，0)，(3π，0)，…，故选D. 2．(2018·甘肃南裕固族自治县一中月考)已知函数f (x )＝－x 2＋2，g (x )＝log 2|x |，则函数F (x )＝f (x )·g (x )的图象大致为( )解析：选B f (x )，g (x )均为偶函数，则F (x )也为偶函数，由此排除A ，D.当x >2时，－x 2＋2<0，log 2|x |>0，所以F (x )<0，排除C ，故选B.3．(2018·安徽蚌埠二中等四校联考)如图所示的图象对应的函数解析式可能是( )A ．y ＝2x －x 2－1B ．y ＝2x sin x4x ＋1C ．y ＝x ln xD ．y ＝(x 2－2x )e x解析：选D A 中，y ＝2x －x 2－1，当x 趋于－∞时，函数y ＝2x 的值趋于0，y ＝x 2＋1的值趋于＋∞，所以函数y ＝2x－x 2－1的值小于0，故A 中的函数不满足．B 中，y ＝sin x 是周期函数，所以函数y ＝2x sin x4x ＋1的图象是以x 轴为中心的波浪线，故B 中的函数不满足．C 中，函数y ＝xln x 的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，故C 中的函数不满足．D 中，y ＝x 2－2x ，当x <0或x >2时，y >0，当0<x <2时，y <0，且y ＝e x >0恒成立，所以y ＝(x 2－2x )e x 的图象在x 趋于＋∞时，y 趋于＋∞，故D 中的函数满足．4．(2018·昆明模拟)如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O ，O 1，O 2，动点P 从A 点出发沿着圆弧按A →O →B →C →A →D →B 的路线运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线)，记点P 运动的路程为x ，设y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系式为y ＝f (x )，则y ＝f (x )的大致图象是( )解析：选A 当x ∈[0，π]时，y ＝1.当x ∈(π，2π)时， O 1P ―→＝O 2P ―→－O 2O 1―→，设O 2P ―→与O 2O 1―→的夹角为θ，因为|O 2P ―→|＝1，|O 2O 1―→|＝2，θ＝x －π，所以y ＝|O 1P ―→|2＝(O 2P ―→－O 2O 1―→)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x ，x ∈(π，2π)，此时函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递增，排除C ，D.当x ∈[2π，4π)时，因为O 1P ―→＝OP ―→－OO 1―→，设OP ―→，OO 1―→的夹角为α，因为|OP ―→|＝2，|OO 1―→|＝1，α＝2π－12x ，所以y ＝|O 1P ―→|2＝(OP ―→－OO 1―→)2＝5－4cos α＝5－4cos 12x ，x ∈[2π，4π)，此时函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递减，排除B.故选A.对点练(二) 函数图象的应用问题1．(2018·福建厦门双十中学期中)已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，1e B ．(－∞， e) C.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ D ．( e ，＋∞)解析：选B 原命题等价于在x <0时，f (x )与g (－x )的图象有交点，即方程e x －12－ln(－x ＋a )＝0在(－∞，0)上有解，令m (x )＝e x －12－ln(－x ＋a )，显然m (x )在(－∞，0)上为增函数．当a >0时，只需m (0)＝e 0－12－ln a >0，解得0<a <e ；当a ≤0时，x 趋于－∞，m (x )<0，x 趋于a ，m (x )>0，即m (x )＝0在(－∞，a )上有解．综上，实数a 的取值范围是(－∞，e)．2．若函数f (x )＝ax －2x －1的图象关于点(1,1)对称，则实数a ＝________. 解析：函数f (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1(x ≠1)，当a ＝2时，f (x )＝2，函数f (x )的图象不关于点(1,1)对称，故a ≠2，其图象的对称中心为(1，a )，即a ＝1.答案：13．(2018·绵阳诊断)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．解析：f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图中实线所示．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4.故当x ＝4时，f (x )取最大值，又f (4)＝6，所以f (x )的最大值为6.答案：62x －x 2，若直4．已知偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是________．解析：因为f (1－x )＝f (1＋x )．所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )是偶函数，所以f (x －1)＝f (1＋x )，即f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是周期为2的函数．由当x ∈[0,1]时，y ＝f (x )＝2x －x 2，得x 2－2x ＋y 2＝0(y ≥0)，即(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，画出函数f (x )的大致图象如图所示．若直线y ＝k (x ＋1)与曲线y ＝f (x )切于点A ，则|k －0＋k |k 2＋1＝1，得k ＝33；若直线y ＝k (x ＋1)与曲线y ＝f (x )切于点B ，则|3k －0＋k |k 2＋1＝1，得k ＝1515.因为直线kx－y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，所以根据图象易知1515<k <33.答案：⎝⎛⎭⎫1515，335．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．解析：由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点，故k AB <k <0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13<k <0. 答案：⎝⎛⎭⎫－13，06.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为________． 解析：令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}． 答案：{x |－1<x ≤1}[大题综合练——迁移贯通]1．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的图象如图所示．(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎨⎧1x －1，x ∈(0，1]，1－1x ，x ∈(1，＋∞)，故f (x )在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数， 由0<a <b 且f (a )＝f (b )得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b ＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根． 2．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R)，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 解：(1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4.f (x )的图象如图所示．(3)f (x )的单调递减区间是[2,4]．(4)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，即方程f (x )＝a 只有一个实数根，所以a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．3．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R.(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数， 所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0].。
[推荐学习]2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(二) 命题及其关系、充
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课时达标检测（二） 命题及其关系、充分条件与必要条件[小题对点练——点点落实]对点练(一) 命题及其关系1．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数解析：选C 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.2．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 3．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真解析：选D 对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.4．(2018·德州一中模拟)下列命题中为真命题的序号是________．①若x ≠0，则x ＋1x ≥2；②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．解析：当x <0时，x ＋1x≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．答案：②④5．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：________________________________________________________________________.解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°，结论：∠A ，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”．答案：在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角对点练(二) 充分条件与必要条件1．(2016·山东高考)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意知a ⊂α，b ⊂β，若a ，b 相交，则a ，b 有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a ，b 的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.2．(2018·浙江名校联考)一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0解析：选B 因为y ＝－m n x ＋1n 的图象经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n <0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.3．(2018·河南豫北名校联盟精英对抗赛)设a ，b ∈R ，则“log 2a >log 2b ”是“2a －b >1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A log 2a >log 2b ⇔a >b >0,2a －b >1⇔a >b ，所以“log 2a >log 2b ”是“2a －b >1”的充分不必要条件．故选A.4．(2018·重庆第八中学调研)定义在R 上的可导函数f (x )，其导函数为f ′(x )，则“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴[f (－x )]′＝[－f (x )]′，∴f ′(－x )·(－x )′＝－f ′(x )，∴f ′(－x )＝f ′(x )，即f ′(x )为偶函数；反之，若f ′(x )为偶函数，如f ′(x )＝3x 2，f (x )＝x 3＋1满足条件，但f (x )不是奇函数，所以“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的必要不充分条件．故选B.5．(2018·山西怀仁一中期中)命题“∀x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a >4C ．a ≥1D ．a >1解析：选B x 2－a ≤0⇔a ≥x 2.因为x 2∈[1,4)，所以a ≥4.故a >4是已知命题的一个充分不必要条件．故选B.6．(2018·广东梅州质检)已知命题p ：“方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”，且綈p 为真命题的充分不必要条件为a >3m ＋1，则实数m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(0,1)解析：选B 命题p ：“方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”为真时，Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4.∴綈p 为真命题时，a >4.又∵綈p 为真命题的充分不必要条件为a >3m ＋1，∴(3m ＋1，＋∞)是(4，＋∞)的真子集，∴3m ＋1>4，解得m >1，故选B.7．(2018·福建闽侯二中期中)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由|4x －3|≤1，得12≤x ≤1；由x 2－(2a ＋1)·x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件．∴⎣⎡⎦⎤12，1[a ，a ＋1]．∴a ≤12.且a ＋1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a ≤12.∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12[大题综合练——迁移贯通]1．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34， 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 3．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围．(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}＝{x |2<x <4}， B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，要满足题意， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2. 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，要满足题意， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≤2，a ≥4，无解． 综上，a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤43，2.(2)要满足A ∩B ＝∅，当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，则a ≥4或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥4. 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，则a ≤2或a ≥43，即a <0. 当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，23∪[4，＋∞)．。
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测 集 合 Word版含解析
课时达标检测（一） 集 合[小题对点练——点点落实]对点练(一) 集合的概念与集合间的基本关系 1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则( )A ．A ＝BB ．A ∩B ＝∅C ．A BD ．B A 解析：选D ∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，∴B A .⊆C |C {＝B ，}0≤3－x 2＋2x |N ∈x {＝A 已知集合)拟莱州一中模·(2018．2A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 B个子集，因此集合4＝22有，共}{0,1＝}1≤x ≤3－|N ∈x {＝}0≤1)－x 3)(＋x |(N ∈x {＝A C 选解析：中元素的个数为4，选C.3．(2018·广雅中学测)(是图n Ven 的关系}0＝x ＋2x |x {＝N 和}1,0,1－{＝M ，则正确表示集合R ＝U 若全集)试B.选，故M N ，所以}1,0,1－{＝M ，而}1,0－{＝}0＝x ＋2x |x {＝N 由题意知， B 选解析： ．________为的值m ，则A ∈3若，}m ＋2m 2,2＋m {＝A ．已知集合4 ，3＝m ＋2m 2且3＝2＋m 时，1＝m ，当32＝－m 或1＝m ，则3＝m ＋2m 2或3＝2＋m 由题意得解析：.32＝－m ，故3＝m ＋2m 2则，12＝2＋m 时，32＝－m 根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当 32－答案： ．________是的取值范围 b －a ，则实数B ⊆A ，若]b ，a [＝B ，}16≤x 2≤|4x {＝A ．已知集合5，所4≥b ，2≤a ，所以B ⊆A ，因为[2,4]＝}4≤x ≤|2x {＝}42≤x 2≤2|2x {＝}16≤x 2≤|4x {＝A 集合解析：以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]对点练(二) 集合的基本运算)(＝N ∪M ，则}0≤x |lg x {＝N ，}x ＝2x |x {＝M ．设集合1 A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(－∞，1] ．][0,1＝N ∪M ，}1≤x ＜0|x {＝}0≤x |lg x {＝N ，}{0,1＝}x ＝2x |x {＝M A 选解析： )(＝B ∩A ，则}A ∈x ，2x ＝y |y {＝B ，}1,0,1－{＝A ．若集合2 A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{0，－1} ．}{0,1＝B ∩A ，所以}{0,1＝}A ∈x ，2x ＝y |y {＝B 因为 C 选解析： )(＝B ∪)A U ∁(则，}3≤y ≤|1y {＝B ，}2≤x ≤|0x {＝A ，集合R ＝U 设全集)考中原名校联·(2018．3 A ．(2,3]B ．(－∞，1]∪(2，＋∞)C ．[1,2)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)．)∞，＋1[∪0)，∞－(＝B ∪)A U ∁(以，所}3≤y ≤|1y {＝B ，}<0x 或2>x |x {＝A U ∁因为 D 选解析： 4．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉)(＝Q －P ，那么}2|<1－x ||x {＝Q ，}<1x 2|log x {＝P ，如果}Q A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3} ．由}<3x |1<x {＝Q ，所以3<x 1<得，12|<－x |由；}<2x |0<x {＝P ，所以2<x 0<得，1<x 2log 由 B 选解析：题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．∪P ．若}0≤b ＋ax ＋2x |x {＝Q ，}2>0－y －2y |y {＝P 已知集合)考河北正定中学月·(2018．5Q ＝R ，且P ∩Q ＝(2,3]，则a ＋b ＝( )A ．－5B ．5C ．－1D ．1 ，所以1,3]－[＝Q ，得](2,3＝Q ∩P 及R ＝Q ∪P ．由}1－<y 或2>y |y {＝}2>0－y －2y |y {＝P A 选解析：－a ＝－1＋3，b ＝－1×3，即a ＝－2，b ＝－3，a ＋b ＝－5，故选A.6．(2018·唐山统一考) (是，则图中阴影部分表示的集合}<1x |2x {＝B ，}6<0－x 5－2x |x {＝A ，集合R ＝U 若全集)试A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1} ＝B ，所以0<x ，解得1<x 2由．}<6x 1<－|x {＝A ，所以6<x 1<－，解得06<－x 5－2x 由 C 选解析： C.选，故}<6x ≤|0x {＝A ∩)B U ∁(以，所}0≥x |x {＝B U ∁，A ∩)B U ∁(为．又题图中阴影部分表示的集合}<0x |x { )(是的取值范围m ，则实数}>4x |x {＝B ∩A ．若}m ≥x |x {＝B ，}12>0－x －2x |x {＝A ．已知集合7 A ．(－4,3)B ．[－3,4]C ．(－3,4)D ．(－∞，4] 解析：选B 集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B.)(为}{1,4,7合，则集}0＝21＋x 8－2x |x {＝N ，}{2,3,5＝M ，集合}<8x |0<Z ∈x {＝U ．已知全集8 )N U ∁(∩M ．A)N ∩M (U ∁．B )N ∪M (U ∁．C N ∩)M U ∁(．D ＝N ∩M ，}{3,5＝}{1,3,4,5,7∩{2,3,5}＝)N U ∁(∩M ，}{2,6＝N ，}{1,2,3,4,5,6,7＝U 由已知得 C 选解析：选，}{6＝}{2,6∩{1,4,6,7}＝N ∩)M U ∁(，}{1,4,7＝)N ∪M (U ∁，}{2,3,5,6＝N ∪M ，},3,4,5,6,7{1＝)N ∩M (U ∁，}{2 C.[大题综合练——迁移贯通]．}R ∈m ，R ∈x ，0≤4－2m ＋mx 2－2x |x {＝B ，}0≤3－x 2－2x |x {＝A ．已知集合1 (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；的取值范围．m ，求实数B R ∁⊆A 若)(2 解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为A ∩B ＝[0,3]，2.＝m 所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝0，m ＋2≥3.所以，}2＋m >x 或2－m <x |x {＝B R ∁(2) ，1－<2＋m 或32>－m ，所以B R ∁⊆A 因为 即m >5或m <－3. 因此实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 2．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． ，2－≤m 解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞2m ，2m≤1，1－m≥3，知B ⊆A 由)(2 即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得 ，符合题意；∅＝B 时，13≥m ，即m －1≥m 2若① ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，2m≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，1－m≤1时，需13＜m ，即m －1＜m 2若② .13＜m ≤0即，∅或13＜m ≤0得 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)． ．}>1x 2|log x {＝B ，}27≤x 3≤|3x {＝A 已知集合)考江西玉山一中月·(2018．3；A ∪)B R ∁(，B ∩A 分别求)(1 (2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围． ，33≤x 3≤13即，72≤x 3≤3∵(1)解： ∴1≤x ≤3，∴A ＝{x |1≤x ≤3}． ，22>log x 2log 即，1>x 2log ∵ ∴x >2，∴B ＝{x |x >2}． ∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}．B R∁∴，x|x{＝}2≤A)B R∁(∴＝∪≤．}3x|x{(2)由(1)知A＝{x|1≤x≤3}，C⊆A.当C为空集时，满足C⊆A，a≤1；当C为非空集合时，可得1<a≤3.综上所述，a≤3.实数a的取值范围是{a|a≤3}.。
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：第六章 第四节 数列的综合问题
1 1 1 ＝ － ＝1－ n＋1 ，n∈N *. S1 Sn＋1 2 －1
[ 方法技巧]
用裂项法求和的裂项原则及规律 (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直 到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项， 前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
n n n＋ 1 2 1 － 2 3 1 － 3 3 7 2 n n ＋1 3 ＋…＋3 )＝ ＋ ＝2 ＋ － . 2 2 1－ 2 1－3
4.[考点二](2018· 山东省实验中学诊断性考试 )已知等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn，公比 q>0，S2＝2a2－2，S3＝a4－2. (1)求数列{an}的通项公式； n (2)设 bn＝a ，求{bn}的前 n 项和 Tn. n 解：(1)设等比数列{an}的公比为 q，
裂项相消求和
几种常见的裂项方式
数列(n 为正整数)
1 n n ＋ k
裂项方式 1 1 1 1 ＝kn－n＋k nn＋k 1 1 1 1 － ＝ 4n2－1 2 2n－1 2n＋1 1 n＋ n＋1 ＝ n＋1－ n
3.[考点一](2018· 安徽合肥模拟)已知数列{an}，{bn}满足 a1＝5， an＝2an－1＋3n－1(n≥2，n∈N *)，bn＝an－3n(n∈N *)． (1)求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
解：(1)∵an＝2an－1＋3n 1(n∈N *，n≥2)，∴an－3n＝2(an－1－
－
3n 1)，∴bn＝2bn－1(n∈N *，n≥2)．∵b1＝a1－3＝2≠0，
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(三十) 数列的综合问题 含解析-
课时达标检测（三十） 数列的综合问题[小题常考题点——准解快解]1．(2018·安徽六安一中月考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝5－n ，其前n 项和为S n ，将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n .若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，S n ≤T m ＋λ恒成立，则实数λ的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得S n ＝(4＋5－n )n 2＝n (9－n )2，根据二次函数的性质，n ＝4,5时，S n 取得最大值为10.另外，根据通项公式得数列{a n }的前4项为a 1＝4，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝1，观察易知抽掉第二项后，余下的三项可组成等比数列．所以数列{b n }中，b 1＝4，公比q ＝12，所以T n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝8⎝⎛⎭⎫1－12n ，所以4≤T n <8.因为存在m ∈N *，对任意n ∈N *，S n ≤T m ＋λ恒成立，所以10<8＋λ，所以λ>2.故选D.2．(2018·北京景山学校段测)已知数列{a n }满足a 1＝1，P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，如果函数f (n )＝1n ＋a 1＋1n ＋a 2＋…＋1n ＋a n(n ∈N *，n ≥2)，那么函数f (n )的最小值为( ) A.13 B ．14C.712D ．512解析：选C 将点P 的坐标代入直线方程，得a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＝n ，所以f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ，f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n ＋2，所以f (n ＋1)－f (n )＝1n ＋n ＋1＋1n ＋n ＋2－1n ＋1>12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0，所以f (n )单调递增，故f (n )的最小值为f (2)＝712，故选C.3．(2018·江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t 倍．下列选项中，与t 值最接近的是( )A ．11B ．13C ．15D ．17解析：选B 设鱼原来的质量为a ，饲养n 年后鱼的质量为a n ，q ＝200%＝2，则a 1＝a (1＋q )，a 2＝a 1⎝⎛⎭⎫1＋q2＝a (1＋q )⎝⎛⎭⎫1＋q 2，…，a 5＝a (1＋2)×(1＋1)×⎝⎛⎭⎫1＋12×⎝⎛⎭⎫1＋122×⎝⎛⎭⎫1＋123＝40532a ≈12.7a ，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B.4．(2018·湖北襄阳四校联考)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n .①第二步：将数列①的各项乘以n2，得到一个新数列a 1，a 2，a 3，…，a n .则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝( ) A.n 24 B ．(n －1)24C.n (n －1)4D ．n (n ＋1)4解析：选C 由题意知所得新数列为1×n 2，12×n 2，13×n 2，…，1n ×n2，所以a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝n 24⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋13×4＋…＋1(n －1)×n ＝n 24⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎣⎡⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎣⎢⎡⎭⎪⎫1n －1－1n ＝n 24⎣⎡⎭⎫1－1n ＝n (n －1)4，故选C.5．(2018·辽宁盘锦高中月考)数列{a n }满足a 1＝14，a n ＋1＝14－4a n ，若不等式a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋2a n ＋1<n ＋λ对任何正整数n 恒成立，则实数λ的最小值为( )A.74 B ．34C.78D ．38解析：选A 因为数列{a n }满足a 1＝14，a n ＋1＝14－4a n，所以反复代入计算可得a 2＝26，a 3＝38，a 4＝410，a 5＝512，…，由此可归纳出通项公式a n ＝n 2(n ＋1)，经验证，成立．所以a n ＋1a n ＝1＋1n (n ＋2)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋2a n ＋1＝n ＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋2－1n ＋3＝n ＋74－12⎣⎢⎡⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋3.因为要求a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋2a n ＋1<n ＋λ对任何正整数n 恒成立，所以λ≥74.故选A.6．已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，且a 5＝π2，若函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x 2，记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为( )A ．0B ．－9C ．9D ．1解析：选C 由已知可得，数列{a n }为等差数列，f (x )＝sin 2x ＋cos x ＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝1.∵f (π－x )＝sin(2π－2x )＋cos(π－x )＋1＝－sin 2x －cos x ＋1，∴f (π－x )＋f (x )＝2.∵a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5＝π，∴f (a 1)＋…＋f (a 9)＝2×4＋1＝9，即数列{y n }的前9项和为9.7．(2018·四川成都石室中学模拟)若f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和为( )A.n n ＋1 B ．n ＋2n ＋1C.n n －1D ．n ＋1n解析：选A 因为f (x )＝x m ＋ax ，所以f ′(x )＝mx m －1＋a .又因为f ′(x )＝2x ＋1，所以m ＝2，a ＝1，所以f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，所以1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )的前n 项和为1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (n )＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.故选A.8．(2018·河南新乡模拟)若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝________. 解析：∵a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，∴q ＝3，∴a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －1－a n －2＋a n－a n －1＝1＋3＋…＋3n －2＝3n －1－12，∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1＋12.答案：3n －1＋129．(2018·广东潮州模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2·3n －1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________.解析：由a n ＝2·3n －1可知数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＝2(1－3n )1－3＝3n－1，则b n＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－13n ＋1－1.答案：12－13n ＋1－110．(2018·安徽六安一中段测)已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R 都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立，数列{a n }满足a n ＝f (3n )(n ∈N *)，且a 1＝3，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：因为a n ＝f (3n )，所以a n ＋1＝f (3n ＋1)且a 1＝3＝f (3)．又因为对于任意的x ，y ∈R 都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立，所以令x ＝3n，y ＝3，则f (3n ＋1)＝3n f (3)＋3f (3n )，所以a n ＋1＝3a n ＋3·3n，所以a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n3n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n ·3n .答案：n ·3n[大题常考题点——稳解全解]1．(2018·山西八校联考)已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝1，且2a 2，a 4,3a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝2na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由2a 2，a 4,3a 3成等差数列可得2a 4＝2a 2＋3a 3， 即2a 1q 3＝2a 1q ＋3a 1q 2， 又q >1，a 1＝1，故2q 2＝2＋3q ， 即2q 2－3q －2＝0，得q ＝2， 因此数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)b n ＝2n ×2n －1＝n ×2n ，T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1.② ①－②得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1， －T n ＝2(2n －1)2－1－n ×2n ＋1，T n ＝(n －1)×2n ＋1＋2.2．(2017·山东高考)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2. (1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解：(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知得q >0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2.所以3q 2－5q －2＝0.因为q >0，所以q ＝2，x 1＝1，因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1.由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1，记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意得b n ＝(n ＋n ＋1)2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2.①又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.② ①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝(2n －1)×2n ＋12.3．(2018·河北二市联考)在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，a 1a 3＝4，且a 3＋1是a 2和a 4的等差中项，若b n＝log 2a n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)若数列{c n }满足c n ＝a n ＋1＋1b 2n －1·b 2n ＋1，求数列{c n }的前n 项和．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0， 在等比数列{a n }中，由a n >0，a 1a 3＝4得，a 2＝2，① 又a 3＋1是a 2和a 4的等差中项， 所以2(a 3＋1)＝a 2＋a 4，②把①代入②得，2(2q ＋1)＝2＋2q 2， 解得q ＝2或q ＝0(舍去)， 所以a n ＝a 2q n －2＝2n －1， 则b n ＝log 2a n ＋1＝log 22n ＝n . (2)由(1)得，c n ＝a n ＋1＋1b 2n －1·b 2n ＋1＝2n ＋1(2n －1)(2n ＋1)＝2n＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以数列{c n }的前n 项和S n ＝2＋22＋ (2)＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1－13)＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝2(1－2n )1－2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1 ＝2n ＋1－2＋n2n ＋1.4．(2018·河北定州中学阶段性检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 22＋3n2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋2·a n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <2n ＋512.解：(1)因为S n ＝n 22＋3n2，①所以当n ≥2时，S n －1＝(n －1)22＋3(n －1)2，②所以由①②两式相减得a n ＝S n －S n －1＝n 22＋3n 2－(n －1)22－3(n －1)2＝n ＋1.又因为n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合a n ＝n ＋1， 所以a n ＝n ＋1.(2)证明：由(1)知b n ＝n ＋3－(n ＋1)＋1(n ＋3)(n ＋1)＝2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝2n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋13－15＋…＋1n ＋1－1n ＋3 ＝2n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13－1n ＋2－1n ＋3＝2n ＋512－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋3<2n ＋512.。
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(十) 函数的图象及其应用 含解析
课时达标检测（十） 函数的图象及其应用[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的图象1．(2018·陕西汉中教学质量检测)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x sin x 的图象大致是( )解析：选D 令f (x )＝0可得x ＝±1，或x ＝k π(k ≠0，k ∈Z)，又f (－x )＝⎝⎛⎭⎫－x ＋1x sin(－x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x sin x ＝f (x )，即函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x sin x 是偶函数，且经过点(1,0)，(π，0)，(2π，0)，(3π，0)，…，故选D.2．(2018·甘肃南裕固族自治县一中月考)已知函数f (x )＝－x 2＋2，g (x )＝log 2|x |，则函数F (x )＝f (x )·g (x )的图象大致为( )解析：选B f (x )，g (x )均为偶函数，则F (x )也为偶函数，由此排除A ，D.当x >2时，－x 2＋2<0，log 2|x |>0，所以F (x )<0，排除C ，故选B.3．(2018·安徽蚌埠二中等四校联考)如图所示的图象对应的函数解析式可能是( )A ．y ＝2x －x 2－1B ．y ＝2x sin x 4x ＋1C ．y ＝x ln xD ．y ＝(x 2－2x )e x解析：选D A 中，y ＝2x －x 2－1，当x 趋于－∞时，函数y ＝2x 的值趋于0，y ＝x 2＋1的值趋于＋∞，所以函数y ＝2x －x 2－1的值小于0，故A 中的函数不满足．B 中，y ＝sin x 是周期函数，所以函数y ＝2x sin x4x ＋1的图象是以x 轴为中心的波浪线，故B 中的函数不满足．C中，函数y ＝x ln x的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，故C 中的函数不满足．D 中，y ＝x 2－2x ，当x <0或x >2时，y >0，当0<x <2时，y <0，且y ＝e x >0恒成立，所以y ＝(x 2－2x )e x 的图象在x 趋于＋∞时，y 趋于＋∞，故D 中的函数满足．4．(2018·昆明模拟)如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O ，O 1，O 2，动点P 从A 点出发沿着圆弧按A →O →B →C →A →D →B 的路线运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线)，记点P 运动的路程为x ，设y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系式为y ＝f (x )，则y ＝f (x )的大致图象是( )解析：选A 当x ∈[0，π]时，y ＝1.当x ∈(π，2π)时， O 1P ―→＝O 2P ―→－O 2O 1―→，设O 2P ―→与O 2O 1―→的夹角为θ，因为|O 2P ―→|＝1，|O 2O 1―→|＝2，θ＝x －π，所以y ＝|O 1P ―→|2＝(O 2P ―→－O 2O 1―→)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x ，x ∈(π，2π)，此时函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递增，排除C ，D.当x ∈[2π，4π)时，因为O 1P ―→＝OP ―→－OO 1―→，设OP ―→，OO 1―→的夹角为α，因为|OP ―→|＝2，|OO 1―→|＝1，α＝2π－12x ，所以y ＝|O 1P ―→|2＝(OP ―→－OO 1―→)2＝5－4cos α＝5－4cos 12x ，x ∈[2π，4π)，此时函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递减，排除B.故选A.对点练(二) 函数图象的应用问题1．(2018·福建厦门双十中学期中)已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，1e B ．(－∞， e)。
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课时达标检测（三十） 数列的综合问题[小题常考题点——准解快解]1．(2018·安徽六安一中月考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝5－n ，其前n 项和为S n ，将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n .若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，S n ≤T m ＋λ恒成立，则实数λ的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得S n ＝(4＋5－n )n 2＝n (9－n )2，根据二次函数的性质，n ＝4,5时，S n 取得最大值为10.另外，根据通项公式得数列{a n }的前4项为a 1＝4，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝1，观察易知抽掉第二项后，余下的三项可组成等比数列．所以数列{b n }中，b 1＝4，公比q ＝12，所以T n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝8⎝⎛⎭⎫1－12n ，所以4≤T n <8.因为存在m ∈N *，对任意n ∈N *，S n ≤T m ＋λ恒成立，所以10<8＋λ，所以λ>2.故选D.2．(2018·北京景山学校段测)已知数列{a n }满足a 1＝1，P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，如果函数f (n )＝1n ＋a 1＋1n ＋a 2＋…＋1n ＋a n(n ∈N *，n ≥2)，那么函数f (n )的最小值为( )A.13 B ．14C.712D ．512解析：选C 将点P 的坐标代入直线方程，得a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＝n ，所以f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ，f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n ＋2，所以f (n ＋1)－f (n )＝1n ＋n ＋1＋1n ＋n ＋2－1n ＋1>12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0，所以f (n )单调递增，故f (n )的最小值为f (2)＝712，故选C.3．(2018·江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t 倍．下列选项中，与t 值最接近的是( )A ．11B ．13C ．15D ．17解析：选B 设鱼原来的质量为a ，饲养n 年后鱼的质量为a n ，q ＝200%＝2，则a 1＝a (1＋q )，a 2＝a 1⎝⎛⎭⎫1＋q 2＝a (1＋q )⎝⎛⎭⎫1＋q 2，…，a 5＝a (1＋2)×(1＋1)×⎝⎛⎭⎫1＋12×⎝⎛⎭⎫1＋122×⎝⎛⎭⎫1＋123＝40532a ≈12.7a ，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B. 4．(2018·湖北襄阳四校联考)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n .①第二步：将数列①的各项乘以n2，得到一个新数列a 1，a 2，a 3，…，a n .则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝( ) A.n 24 B ．(n －1)24C.n (n －1)4D ．n (n ＋1)4解析：选C 由题意知所得新数列为1×n 2，12×n 2，13×n 2，…，1n ×n2，所以a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n－1a n＝n 24⎣⎡⎦⎤11×2＋12×3＋13×4＋…＋1(n －1)×n ＝n 24⎣⎡⎦⎤⎣⎡⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎣⎡⎭⎫1n －1－1n ＝n 24⎣⎡⎭⎫1－1n ＝n (n －1)4，故选C.5．(2018·辽宁盘锦高中月考)数列{a n }满足a 1＝14，a n ＋1＝14－4a n，若不等式a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋2a n ＋1<n ＋λ对任何正整数n 恒成立，则实数λ的最小值为( ) A.74 B ．34C.78D ．38解析：选A 因为数列{a n }满足a 1＝14，a n ＋1＝14－4a n，所以反复代入计算可得a 2＝26，a 3＝38，a 4＝410，a 5＝512，…，由此可归纳出通项公式a n ＝n 2(n ＋1)，经验证，成立．所以a n ＋1a n ＝1＋1n (n ＋2)＝1＋12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，所以a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋2a n ＋1＝n ＋1＋12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋2－1n ＋3＝n＋74－12⎣⎡⎭⎫1n ＋2＋1n ＋3.因为要求a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋2a n ＋1<n ＋λ对任何正整数n 恒成立，所以λ≥74.故选A.6．已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，且a 5＝π2，若函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x2，记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为( )A ．0B ．－9C ．9D ．1解析：选C 由已知可得，数列{a n }为等差数列，f (x )＝sin 2x ＋cos x ＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝1.∵f (π－x )＝sin(2π－2x )＋cos(π－x )＋1＝－sin 2x －cos x ＋1，∴f (π－x )＋f (x )＝2.∵a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5＝π，∴f (a 1)＋…＋f (a 9)＝2×4＋1＝9，即数列{y n }的前9项和为9.7．(2018·四川成都石室中学模拟)若f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和为( ) A.n n ＋1 B ．n ＋2n ＋1 C.n n －1D ．n ＋1n解析：选A 因为f (x )＝x m ＋ax ，所以f ′(x )＝mx m －1＋a .又因为f ′(x )＝2x ＋1，所以m ＝2，a ＝1，所以f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，所以1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )的前n 项和为1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (n )＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.故选A.8．(2018·河南新乡模拟)若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n＝________.解析：∵a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，∴q ＝3，∴a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －1－a n －2＋a n －a n －1＝1＋3＋…＋3n －2＝3n －1－12，∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1＋12.答案：3n －1＋129．(2018·广东潮州模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2·3n －1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________.解析：由a n ＝2·3n －1可知数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1，则b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－13n ＋1－1. 答案：12－13n ＋1－110．(2018·安徽六安一中段测)已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R 都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立，数列{a n }满足a n ＝f (3n )(n ∈N *)，且a 1＝3，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：因为a n ＝f (3n )，所以a n ＋1＝f (3n ＋1)且a 1＝3＝f (3)．又因为对于任意的x ，y ∈R都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立，所以令x ＝3n ，y ＝3，则f (3n ＋1)＝3n f (3)＋3f (3n )，所以a n ＋1＝3a n ＋3·3n ，所以a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n3n ＝1＋(n－1)×1＝n ，所以a n ＝n ·3n .答案：n ·3n[大题常考题点——稳解全解]1．(2018·山西八校联考)已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝1，且2a 2，a 4,3a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝2na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由2a 2，a 4,3a 3成等差数列可得2a 4＝2a 2＋3a 3， 即2a 1q 3＝2a 1q ＋3a 1q 2， 又q >1，a 1＝1，故2q 2＝2＋3q ， 即2q 2－3q －2＝0，得q ＝2， 因此数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)b n ＝2n ×2n －1＝n ×2n ，T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1.②①－②得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1，－T n ＝2(2n －1)2－1－n ×2n ＋1，T n ＝(n －1)×2n ＋1＋2.2．(2017·山东高考)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2. (1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解：(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知得q >0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2.所以3q 2－5q －2＝0.因为q >0，所以q ＝2，x 1＝1，因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1.由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1，记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意得b n ＝(n ＋n ＋1)2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2.①又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.②①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝(2n －1)×2n ＋12.3．(2018·河北二市联考)在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，a 1a 3＝4，且a 3＋1是a 2和a 4的等差中项，若b n ＝log 2a n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)若数列{c n }满足c n ＝a n ＋1＋1b 2n －1·b 2n ＋1，求数列{c n }的前n 项和．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0， 在等比数列{a n }中，由a n >0，a 1a 3＝4得，a 2＝2，① 又a 3＋1是a 2和a 4的等差中项， 所以2(a 3＋1)＝a 2＋a 4，②把①代入②得，2(2q ＋1)＝2＋2q 2， 解得q ＝2或q ＝0(舍去)， 所以a n ＝a 2q n －2＝2n －1，则b n ＝log 2a n ＋1＝log 22n ＝n . (2)由(1)得，c n ＝a n ＋1＋1b 2n －1·b 2n ＋1＝2n ＋1(2n －1)(2n ＋1)＝2n ＋12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以数列{c n }的前n项和S n ＝2＋22＋…＋2n ＋12⎣⎡⎦⎤(1－13)＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝2(1－2n )1－2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝2n ＋1－2＋n 2n ＋1.4．(2018·河北定州中学阶段性检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 22＋3n2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋2·a n，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <2n ＋512. 解：(1)因为S n ＝n 22＋3n2，①所以当n ≥2时，S n －1＝(n －1)22＋3(n －1)2，②所以由①②两式相减得a n ＝S n －S n －1＝n 22＋3n 2－(n －1)22－3(n －1)2＝n ＋1.又因为n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合a n ＝n ＋1， 所以a n ＝n ＋1.(2)证明：由(1)知b n ＝n ＋3－(n ＋1)＋1(n ＋3)(n ＋1)＝2＋12⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋3，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝2n ＋12⎝⎛⎭⎫12－14＋13－15＋…＋1n ＋1－1n ＋3＝2n ＋12⎝⎛⎭⎫12＋13－1n ＋2－1n ＋3＝2n ＋512－12⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋3<2n ＋512.。