(北师大版)数学必修四：3.2《两角和与差的三角函数》ppt课件
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高中数学北师大版必修四 两角和与差的正切函数 课件(36张)
1．两角和的正切公式 tanα＋tanβ tan(α＋β)＝____________________ 1－tanαtanβ 2．两角差的正切公式 tanα－tanβ π tan(α－β)＝______________________( 其中α≠kπ＋ 2 (k∈ 1＋tanαtanβ π π Z)，β≠kπ＋2(k∈Z)，α± β≠kπ＋2(k∈Z))．
π π (3)tan(α＋4)＝tan[(α＋β)－(β－4)] π 2 1 tanα＋β－tanβ－4 5－4 3 ＝ π ＝ 2 1＝22. 1＋tanα＋βtanβ－4 1＋5×4 [规律总结] 对两角和与差的正切公式的正用、逆用、变
[答案] 3
1 tanα＋β－tan α 7＋2 [解析] tan β＝tan(α＋β－α)＝ ＝ 2＝ 1＋tanα＋βtan α 1－7 3.
5 ．设tanα，tanβ 是方程 x2 －3x ＋2 ＝ 0 的两根，则 tan(α ＋ β) 的值为________．
[答案] －3
[解析] 因为tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以 tanα＋tanβ tanα＋tanβ＝3，tanα· tanβ＝2，而tan(α＋β)＝ ＝ 1－tanα· tanβ 3 ＝－3. 1－2
1 1 tanα＋tanβ 2＋5 7 [解析] 因为 tan(α＋β)＝ ＝ ＝9， 1 1 1－tanαtanβ 1－2×5 7 1 tanα＋β＋tanγ 9＋8 tan[(α＋β)＋γ]＝ ＝ 7 1＝1. 1－tanα＋βtanγ 1－9×8
由已知可推得 γ<β<α， 1 3 又因为 0<tanα<2< 3 ， π π 所以 0<γ<β<α<6，即 0<α＋β＋γ<2. π 故 α＋β＋γ＝4.
高中数学北师大版必修四课件 §3.2.1两角差的余弦函数 两角和与差的正弦、余弦函数
sin(α－β)＝ sinαcosβ－cosαsinβ
.
1．cos(α－β)与cos α－cos β相等吗？是否有相等的情况？ 提示：一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时 候．例如：当取α＝0°，β＝60°时，cos(0°－60°)＝cos 0°－ cos 60°. 2．公式(Cα±β)和(Sα±β)中，对于角α与β的范围有没有规定？
∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) 4 12 3 5 63 ＝－5×13＋(－5)×13＝－65.
解答此类题目要注意以下两点： (1)拆拼角技巧 先分析已知角与所求角之间的关系， 再决定如何利用已 知角表示所求角，避免对已知条件用公式，造成不必要的麻 烦．常见的拆角、拼角技巧： α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；2α＝(α＋β)＋(α－β)； α＋β α－β β＝ 2 － 2 ；
§3.2.1两角差的余弦函数 两角和与 差的正弦、余弦函数
两角和与差的余弦、正弦公式 公式 cos(α＋β)＝ cosαcosβ＋sinαsinβ cos(α－β)＝ cosαcosβ－sinαsinβ sin(α＋β)＝ sinαcosβ＋cosαsinβ . . . 简记 (Cα＋β) (Cα－β) (Sα＋β) (Sα－β)
cos α.
π π π 12 π 5 解： 由于 0<α－6<3， cos(α－6)＝13， 所以 sin(α－6)＝13. π π π π π 所以 cos α=cosα－6＋6＝cosα－6cos 6－sinα－6 sin π 6 12 3 5 1 12 3－5 ＝13× 2 －13×2＝ 26 .
高一数学北师大版必修4课件3.2.3 两角和与差的正切函数
=
3 . 22
探究一
探究二
探究三
探究四
规律总结公式 Tα+β,Tα-β 有较多变形的公式,公式中有 tan
αtan β,tan α+tan β(或 tan α-tan β),tan(α+β)(或 tan(α-β))时,三者中知道任意 两个就可表示或求出第三个.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究三 两角和与差的正切公式的应用
������������������α +������������������β ; 1-������������������α������������������β
������������������α-������������������β . 1+������������������α������������������β
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)
3-tan 15° 1+ 3tan 15°
=
������������������ 60°-������������������ 15° 1+������������������ 60°������������������ 15°
=tan(60° -15 ° )=tan 45 ° = 1. (3)tan α +
公式 Tα+β 与一元二次方程的联系 :在两角和的正切公式 Tα+β 中,有 tan α+tan β,tan αtan β 这两项,对比一元二次方程中的根与系数的关系,为我们 解决问题找到了很好的结合点.因此 tan α,tan β 可以看作一元二次方程的 根,这样 tan α+tan β,tan αtan β,tan α-tan β 就可以互相表示,进而可以利用它 们求 tan(α± β).
数学北师大版必修4课件：3-2-3 两角和与差的正切函数
第三章
三角恒等变形
§2 两角和与差的三角函数
2.3 两角和与差的正切函数
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点 两角和与差的正切公式
[填一填] tanα＋tanβ
(1)两角和的正切：tan(α＋β)＝ 1－tanαtanβ (Tα＋β)． tanα－tanβ
(2)两角差的正切：tan(α－β)＝ 1＋tanαtanβ (Tα－β)． 公式 Tα±β 的记忆规律： 公式的左侧是复角的正切即 tan(α±β)，右侧是分式，分子是
∵0<α<π2，π<β<32π， ∴π<α＋β<2π. ∴α＋β＝54π.
——易错警示—— 给值求角中的易错误区 则 2α【－例β＝5】__－__34已_π_知__.tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且 α，β∈(0，π)， 【错解】 π4或54π
【正解】 由于 tanα＝tan[(α－β)＋β] ＝1t－antaαn－αβ－＋βt·atannββ＝1＋12－12×17 17＝13， 所以 α∈(0，π4)①， 又 tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝1－12＋12×13 13＝1， 而 β∈(π2，π)①，所以 2α－β∈(－π，0)②， 故 2α－β＝－34π.
若 tanα＋tanβ－tanαtanβ＋1＝0，α，β∈(π2，π)，则 α＋β＝74 π. 解析：tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ，
∵tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1， ∴tan(α＋β)＝t1a－nαttaannαβt－an1β＝－1. ∵α＋β∈(π，2π)， 又 tan(α＋β)＝－1， ∴α＋β＝74π.
三角恒等变形
§2 两角和与差的三角函数
2.3 两角和与差的正切函数
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点 两角和与差的正切公式
[填一填] tanα＋tanβ
(1)两角和的正切：tan(α＋β)＝ 1－tanαtanβ (Tα＋β)． tanα－tanβ
(2)两角差的正切：tan(α－β)＝ 1＋tanαtanβ (Tα－β)． 公式 Tα±β 的记忆规律： 公式的左侧是复角的正切即 tan(α±β)，右侧是分式，分子是
∵0<α<π2，π<β<32π， ∴π<α＋β<2π. ∴α＋β＝54π.
——易错警示—— 给值求角中的易错误区 则 2α【－例β＝5】__－__34已_π_知__.tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且 α，β∈(0，π)， 【错解】 π4或54π
【正解】 由于 tanα＝tan[(α－β)＋β] ＝1t－antaαn－αβ－＋βt·atannββ＝1＋12－12×17 17＝13， 所以 α∈(0，π4)①， 又 tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝1－12＋12×13 13＝1， 而 β∈(π2，π)①，所以 2α－β∈(－π，0)②， 故 2α－β＝－34π.
若 tanα＋tanβ－tanαtanβ＋1＝0，α，β∈(π2，π)，则 α＋β＝74 π. 解析：tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ，
∵tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1， ∴tan(α＋β)＝t1a－nαttaannαβt－an1β＝－1. ∵α＋β∈(π，2π)， 又 tan(α＋β)＝－1， ∴α＋β＝74π.
高中数学必修四北师大版 两角和与差的三角函数 课件(54张)
cos 17 2
2.cos 165°=cos(45°+120°)=
cos 45°cos 120°-sin 45°sin 120°
2 1 2 3 6 2 ( ) . 2 2 2 2 4 答案： 6 2 4
=
3.(1)sin(α+30°)cos α+cos (α+30°)sin(-α) =sin(α+30°)cos(-α)+cos (α+30°)sin (-α) =sin(α+30°-α)=sin 30°= 1 .
答案：0
【要点探究】 知识点 两角和与差的正弦、余弦公式
1.公式的记忆
(1)对于两角和与差的余弦公式Cα±β可以简记为：“余余正正，
和差相反”.
(2)对于两角和与差的正弦公式Sα±β可以简记为：“正余余正，
和差相同”.
2.公式的适用条件 公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团 体”，如 cos( ) 中的“
的特例.如sin (2π-α)=sin 2πcos α-cos 2πsin α=0〓
cos α-1〓sin α=-sin α.当α或β中有一个角是 的整数
2
倍时，通常使用诱导公式较为方便 . (2)逆用公式的关键是什么？ 提示：关键是利用相关三角变换公式使其满足公式右边的结构 特征.
【即时练】
§2 两角和与差的三角函数 2.1 两角差的余弦函数
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数
两角和与差的正弦、余弦函数 名称 差的正弦 差的余弦 和的正弦 和的余弦 公式 sin(α-β)= sin αcos β-cos αsin β __________________________ 简记 S α-β C α-β S α+β C α+β
2.cos 165°=cos(45°+120°)=
cos 45°cos 120°-sin 45°sin 120°
2 1 2 3 6 2 ( ) . 2 2 2 2 4 答案： 6 2 4
=
3.(1)sin(α+30°)cos α+cos (α+30°)sin(-α) =sin(α+30°)cos(-α)+cos (α+30°)sin (-α) =sin(α+30°-α)=sin 30°= 1 .
答案：0
【要点探究】 知识点 两角和与差的正弦、余弦公式
1.公式的记忆
(1)对于两角和与差的余弦公式Cα±β可以简记为：“余余正正，
和差相反”.
(2)对于两角和与差的正弦公式Sα±β可以简记为：“正余余正，
和差相同”.
2.公式的适用条件 公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团 体”，如 cos( ) 中的“
的特例.如sin (2π-α)=sin 2πcos α-cos 2πsin α=0〓
cos α-1〓sin α=-sin α.当α或β中有一个角是 的整数
2
倍时，通常使用诱导公式较为方便 . (2)逆用公式的关键是什么？ 提示：关键是利用相关三角变换公式使其满足公式右边的结构 特征.
【即时练】
§2 两角和与差的三角函数 2.1 两角差的余弦函数
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数
两角和与差的正弦、余弦函数 名称 差的正弦 差的余弦 和的正弦 和的余弦 公式 sin(α-β)= sin αcos β-cos αsin β __________________________ 简记 S α-β C α-β S α+β C α+β
§2两角和与差的三角函数(第3课时) 课件(北师大版必修四)
.
理解： 1.两角和的正切值可以用α 和β 的正切值表示. 2.公式的右端是分式形式，它是两角正切的和比1减两角
正切的积.
3.公式成立的条件是： k 且 2 k 且 k (k∈Z). 2 2
二、 两角差的正切公式 在两角和的正切公式中用 代换
,
2.原式可化为:
sin(45 30 ) cos(45 30 )
sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
,
是否太麻烦了?能否直接用角的正切来表示呢?
一、两角和的正切公式
sin( ) tan( ) cos( )
tan(20 40 )(1 tan 20 tan 40 ) 3 tan 20 tan 40 3.
3. 已知锐角 , ，满足 tan 3, tan 2，
3 求证： . 4
证明：因为 tan 3, tan 2，
tan tan 3 2 1， 所以 tan( ) 1 tan tan 1 3 2
5.已知 tan ， tan 是方程ax 2 bx c 0(a 0, a c) 的两根，求tan( + )的值.
b tan tan ， a 解：由根与系数的关系,得 tan tan c ， a tan tan 所以 tan( ) 1 tan tan
因为 , (0, ), 2 3 从而 .
4
所以 (0, ),
4.已知： tan 2,求tan( - )的值. 4
理解： 1.两角和的正切值可以用α 和β 的正切值表示. 2.公式的右端是分式形式，它是两角正切的和比1减两角
正切的积.
3.公式成立的条件是： k 且 2 k 且 k (k∈Z). 2 2
二、 两角差的正切公式 在两角和的正切公式中用 代换
,
2.原式可化为:
sin(45 30 ) cos(45 30 )
sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
,
是否太麻烦了?能否直接用角的正切来表示呢?
一、两角和的正切公式
sin( ) tan( ) cos( )
tan(20 40 )(1 tan 20 tan 40 ) 3 tan 20 tan 40 3.
3. 已知锐角 , ，满足 tan 3, tan 2，
3 求证： . 4
证明：因为 tan 3, tan 2，
tan tan 3 2 1， 所以 tan( ) 1 tan tan 1 3 2
5.已知 tan ， tan 是方程ax 2 bx c 0(a 0, a c) 的两根，求tan( + )的值.
b tan tan ， a 解：由根与系数的关系,得 tan tan c ， a tan tan 所以 tan( ) 1 tan tan
因为 , (0, ), 2 3 从而 .
4
所以 (0, ),
4.已知： tan 2,求tan( - )的值. 4
高中数学-3.2.3两角和与差的正切函数课件-北师大必修4
3
(4)原式=tan(22°+23°)=tan 45°=1.
答案：1
【要点探究】
知识点 正切的和、差角公式Tα±β 1.公式成立的条件
角α,β以及α±β均不能等于kπ+ (k∈Z)，且tanαtanβ
≠1(或tan αtan β≠-1).
2
2.结构特征 公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的 和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.
【解析】(1)错误，因为tan(α±β)= tan tan . 1 tan tan
(2)错误，因为tan(α+β)= tan tan . (3)错误，tan(40°+50°)中410°+tan50°ta=n90°,不成立.
(4)错误,因为tan 90°不存在. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
3 3 x+4=0的两根，且 ＜＜， ＜＜，则α+β的值为 2 22 2
()
A. 3
C. 2 或 33
B. 2 3
D.无法确定
(2)(2014·上饶高一检测)已知tan(α-β)= 且α,β∈(0,π),
1 2
,tan
β=
1 7
,
①求tan α;
②求2α-β的值.
【解题探究】
1.一元二次方程ax2+bx+c=0中，根与系数有怎样的关系？
ta反n 映了复角化单角的思想1， 即tan要求tanα± β的正 tan
切函数值，只需知道tan α和tan β的值，代入求解便可.
(2)整体意识：公式Tα±β中有两个小团体“tan α±tan β ” 及“tan αtan β ”，求解时可利用整体思想代入求解.
(4)原式=tan(22°+23°)=tan 45°=1.
答案：1
【要点探究】
知识点 正切的和、差角公式Tα±β 1.公式成立的条件
角α,β以及α±β均不能等于kπ+ (k∈Z)，且tanαtanβ
≠1(或tan αtan β≠-1).
2
2.结构特征 公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的 和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.
【解析】(1)错误，因为tan(α±β)= tan tan . 1 tan tan
(2)错误，因为tan(α+β)= tan tan . (3)错误，tan(40°+50°)中410°+tan50°ta=n90°,不成立.
(4)错误,因为tan 90°不存在. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
3 3 x+4=0的两根，且 ＜＜， ＜＜，则α+β的值为 2 22 2
()
A. 3
C. 2 或 33
B. 2 3
D.无法确定
(2)(2014·上饶高一检测)已知tan(α-β)= 且α,β∈(0,π),
1 2
,tan
β=
1 7
,
①求tan α;
②求2α-β的值.
【解题探究】
1.一元二次方程ax2+bx+c=0中，根与系数有怎样的关系？
ta反n 映了复角化单角的思想1， 即tan要求tanα± β的正 tan
切函数值，只需知道tan α和tan β的值，代入求解便可.
(2)整体意识：公式Tα±β中有两个小团体“tan α±tan β ” 及“tan αtan β ”，求解时可利用整体思想代入求解.
北师大版数学必修四课件：第3章§2 2.3 两角和与差的正切函数
tan tan tan( ) 记：T + 1 tan tan
得到： tan( )
理解：
tan tan 1 tan tan
T( α + β )
1.两角和的正切值可以用α和β的正切值表示. 2.公式的右端是分数形式，它是两角正切的和比1减两角正 切的积. 3.公式成立的条件是：
tan tan T : tan 1 tan tan
请同学们说出对公式的理解：
1.两角差的正切值可以用α和β的正切值表示. 2.公式的右端是分数形式，它是两角正切的差比1加两角 正切的积. 3.公式成立的条件是：
k
学会恰当赋值、逆用公式等技能.
复习
1、两角和、差的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
2、两角和、差的正弦公式
C
C
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
k
2
且 k
2
且 k
2
k Z .
tan tan
tan
tan tan 1 tan tan
用 代替 得到
tan tan tan 1 tan tan
2.3 两角和与差的正切函数
1.知识目标：
（1）掌握两角和与差的正切公式的推导 ；
（2）掌握公式的正、逆向及变形运用 ； （3）正确寻找角之间的关系，选用恰当的公式形式解决
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求 cos( )的值. 1 11 （4） 已知cos , cos , 且， 0， 7 14 2
求 cos 的值。
小结
差角与和角的余弦公式,
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβyBiblioteka A αβO
y
B
A
x
α
β
O 2-
B
x
于是，对于任意角α ，β都有 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 称为差角的余弦公式。 简记为Cα -β
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
Cα-β
cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ Cα+β
例 3： 1.求cos57°cos12° +sin57° sin12°的值
2.求cosxcos(x+45 ° ) +sinx sin(x+45° )的值 3.求cosxcos(x+y)+sinxsin(x+y)的值
应用4
3 4 已知 sin sin , sin sin ，求 cos( )的值 5 5
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
探究2 对任意α,β，如何证明它的正确性？ 议一议：
结合向量的数量积的定义和向量的工具性，
看能否用向量的知识进行证明？
问题3：
①结合图形，思考应选用哪几个向量？ y
A
OA=(cosα,sinα), OB=(cosβ,sinβ)
αβ
O
B
x
②怎样用向量数量积的运算和定义得到结果？
变式: 求cos75°和cos(-15°)的值.
2:已知两个单角函数值求差角的余弦。 4 例2、 已知sinα＝ ,α∈( 2 ,),cosβ= 5 , β是 5 13 第三象限角，求cos(α-β)的值。
3 4 2 sin , , cos 1 sin 解： 5 5 2 5 又 cos ，β是第三象限角 13 12 sin 1 cos 2 13
想一想：公式有何特点？你如何记忆？
应用
1:已知四个单角函数值求差角的余弦。 例1，利用差角余弦公式求cos15°的值.
分析：怎样把15°表示成两个特殊角的差？
解： cos15 cos(45 30)
cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
2 3 2 1 2 2 2 2 6 4 2
于是
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
当α-β为任意角时，由诱导公式，总可以找到一个 角∈[0,2),使cos=cos(α -β)
①若∈[0,], 则OA· OB=cos=cos(α -β) ②若∈(,2）,则2-∈(0,） 则OA· OB=cos(2-)=cos(α -β)
两角和与差的三角函数
两角差的余弦公式
探 如何用任意角α ,β的正弦、余弦值 来表示 究 1 cos(α -β)呢？
探究方 法指导 问题1: 你认为cos(α -β)=cosα -cosβ成立吗? 问题2: 你认为cos(α -β)=cosα cosβ+sinα sinβ成立吗? 第一步：探求表示结果 第二步：对结果的正确性加以证明
应用
所以cos(α-β)＝ cosβcosα+sinβsinα
33 3 5 4 12 65 5 13 5 13
变式： 求cos(α+β)的值。
应用
3:公式的逆用
cosα cosβ+sinα sinβ=cos(α -β)
分析：解题的关键是找出cosα cosβ 和sinα sinβ 的值
练习
（1） sin 80 cos 55 cos 80 cos 35
（2）cos 80 cos 20 sin 100 sin 380 （3）已知 sin sin sin 0, cos cos cos 0,