热力学与物理统计第六章03
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热力学与统计物理学第六章(应用)_近独立粒子的最概然分布
al ln N E ln l al 0 l l al ln l 0 l 1,2,
l
al l e
l
或者
al
e
l
l
玻耳兹曼系统的最概然分布：麦克斯韦-玻耳兹曼分布（M.B) 拉氏乘子由下式确定：
不是独立变量
al 0
需满足条件：
N al 0
l
E l al 0
l
引入拉格朗日乘子 和
，建立辅助函数：
W (a1 , a2 , , al , ) ln N E
其全微分：
al ln N E ln l al 0 l l 26
l l
N ln N al ln al al ln l
当 al 有 al 的变化时，应有 ln 0
l l
ln ln al 1al ln lal
l l
25
的结论，因为
al ln ln l l
l
l
1
（经典极限条件或 所有的l 非简并性条件）
la
F . D.
l ! l l 1 l al 1 al ! ! l l a l ! l a l
l
M . B. al ! N!
l
l a
M . B. al ! N!
确定第 i 个粒子的力 学运动状态。
确定系统的微观运动状态需要
2 Nr
个变量。
qi1 ,, qir ; pi1 ,, pir i 1,2,, N
热学-统计物理6 第6章 热力学第二定律
热功转换
3. 热传导
两个温度不同的物体放在一起，热量将自动地由高温物体 传向低温物体，最后使它们处于热平衡，具有相同的温度。 温度是粒子无规热运动剧烈程度即平均平动动能大小的宏观 标志。初态温度较高的物体，粒子的平均平动动能较大，粒 子无规热运动比较剧烈，而温度较低的物体，粒子的平均平 动动能较小，粒子无规热运动不太剧烈。若用粒子平均平动 动能的大小来区分它们是不可能了，也就是说末态与初态比 较，两个物体的系统的无序度增大了，这种自发的热传导过 程是向着无规热运动更加无序的方向进行的。
热机Q2
A , A
E
Q1
Q1
T1
A Q2
Q1 可
逆 热 机
T2 E’
用反证法，假设
得到
A A Q1 Q1
Q1 Q1
Q1 Q2 Q1 Q2
Q2 Q2
两部热机一起工作，成为一部复合机，结果外界不对复合
机作功，而复合机却将热量 Q1 Q2 Q1 Q2 从低温热源送到高温热源，违反热力学第二定律。
自然界中的自发热传导具有方向性。
通过某一过程，一个系统从某一状态变为另一状态， 若存在另一过程，能使系统与外界同时复原，则原来的过 程就是一个可逆过程。否则，若系统与外界无论怎样都不 能同时复原，则称原过程为不可逆过程。单摆在不受空气 阻力和摩擦情况下的运动就是一个可逆过程。
注意：不可逆过程不是不能逆向进行，而是说当过程逆向 进行时，逆过程在外界留下的痕迹不能将原来正过程的痕 迹完全消除。
现在考虑4个分别染了不同颜色的分子。开始时，4个分 子都在A部，抽出隔板后分子将向B部扩散并在整个容器内无 规则运动。隔板被抽出后，4分子在容器中可能的分布情形如 下图所示：
第六章统计热力学基础
量子统计
F-D统计
Fermi-Dirac
（费米-狄拉克统计）
B-E 统计
Bose-Einstein
（玻色-爱因斯坦统计）
量子力学按照全同粒子波函数重叠后呈现的不同特征将自然 界的微观粒子分为费米子和玻色子两类：费米子服从泡利不 相容原理；玻色子不受泡利原理的限制。
第六章 统计热力学初步
——统计体系分类
cba c
1 3h / 2 abc
b
0 h / 2
ab ac bc a
微观状态的编号 1 2 3 4 5
分布
Ⅰ
Ⅱ
各分布的微观 状态数
1
3
ba c cc a ab b 67 8
Ⅲ
6
ba ab cc 9 10
tX N !/ ni !
i
X tX
P Ⅲ=6/10
最概然分布（最可几分布）
6-第2 六麦章克斯韦统-计玻尔热兹力曼统学计初步
——玻兹曼统计
定位体系的最概然分布：
粒子数 N，体积 V，总能量 U 的孤立体系
能级 能量 简并度 分布x 分布y
1
1
g1
n1
n1’
…
2
2
g2
n2
n2’
…
...
…………
…
i
i
gi
ni
ni’
…
满足条件： ni N
i
nii U
i
别？
最概然分布的微观状态数随粒子数增加而 ，该
分布出现的概率随粒子数增加而
。（增大或者
减小）
课本P273，习题2. （排列组合）
第六章 统计热力学初步
热力学与统计物理第六章章末总结
第1节粒子运动状态的经典描述一．回顾1.最概然分布（1）分布：粒子在能级上的分布（2）最概然分布：概率最大的分布2.粒子运动状态描述--力学运动状态(1)经典力学描述（2）量子力学描述二．粒子向空间描述1.运动状态确定自由度为r的粒子，任意时刻的力学运动状态由r个广义坐标（q）和r个广义动量（p）的数值确定，则粒子的能量为2. 向空间（1）空间：由r个广义坐标和r个广义动量构成一个直角坐标系，这个2r维的空间，就称为空间。
（2）代表点（相点）（3）相轨迹.3．常见粒子的描述1. 自由粒子定义：不受力的作用而作自由运动的粒子。
描述：粒子能量为2. 线性谐振子3. 转子第2节粒子运动状态的量子描述1．波粒二象性与测不准关系1.波粒二象性德布罗意关系2. 测不准关系2．常见粒子的量子态描述1线性谐振子2. 转子（1），当L 确定时，可将角动量在其本征方向投影（z轴）（2）能量（3）简并与简并度3. 自旋角动量自旋角动量（）是基本粒子的内禀属性4. 自由粒子（1）一维（2）三维容器边长L,动量和能量分量x: ,y:z;总动量和总能量（3）量子态数第3节系统微观运动状态的描述1、系统1、对象：组成系统的粒子为全同近独立粒子2、全同粒子系统具有完全相同的内禀属性的同类粒子的系统3、近独立粒子系统：系统中的粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单粒子能量。
4、系统的能量N个全同近独立粒子 .2、系统的微观状态的经典描述1、力学方法：。
2、可分辨全同粒子系统中任意两个粒子交换位置，系统的力学运动状态就不同。
3、量子描述1、全同性原理2、状态的描述（1）、定域系：全同粒子可辨非定域系：全同粒子不可分辨定域系需要要确定每个粒子的个体量子数；非定域系确定每个个体量子态上的粒子数（2）、微观粒子的分类玻色子：自旋量子数位整数费米子：自旋量子数为办整数4、系统分类1、玻色系统：玻色子不受泡利原理控制；2、费米系统：费米子受泡利原理约束，不可分辨；3、玻尔兹曼系统：粒子可分辨，同一个个体量子态上粒子数不受限制。
热力学统计物理第六章
l
l
l
N al 0 l
E lal 0 l
[lnlnBB.E.E
lNal[lEn(]l
精l 品a课la)件llnlnalla]l
al
l
0
33
…… ……
即：能级1上有a1个粒子， 能级2上有a2个粒
子，……。
精品课件
l
al
2
a2
1
a17 1
1、玻耳兹曼系统εl 上的ωl 个量子态时，第一个粒
子可以占据ω 个量子态中的任何一个态，有ωl 种可能的
占据方式。由于每个量子态能够容纳的粒子数不受限制，在第 一个粒子占据了某一个量子态以后，第二个粒子仍然有ωl种
的占据方式，这样al 个编了号的粒子占据ωl个la量l 子态共有
种可能的占据方式，
精品课件
18
(2) 各个能级都考虑在内，系统总的占据方式数:
al l
l
(3) 现在考虑将N个粒子互相交换，不管是否在同一能级上，交换
数是N!，在这个交换中应该除去在同一能级上al 个粒子的交换al !
因此得因子
N!/ al!
A
A AA
⑤⑥ A
A
AA
两个玻色子占据3个量子态有6种方式
精品课件
10
（2）费米系统：即自旋量子数为半整数的粒子组成的系统
粒子不可分辨，每个个体量子态上最多能容纳一个 粒子（费米子遵从泡利原理）。
系统由两个粒子组成（定域子）。粒子的个体量子 态有3个, 讨论系统有那些可能的微观状态
量子态1 量子态2 量子态3
❖ 微观粒子的状态杂乱无章，一个系统的力学状态也是 杂乱无章的，有很多个可能的状态，那么，每个状态 出现的概率为多少呢，与什么因素有关
大学热力学与物理统计课件-第六章非平衡态统计初步课件
T
由温度决定， 与压强无关。
单位时间内的分子平均碰撞次数
πd 2 vr 2v
v T
0
1 T
2nπd 2 v
两次连续碰撞的平均时间间隔
1 2nπd 2 v
0
初级输运理论结果 1 nmvl
3
l v 0 平均自由程
nm0 vx2
1 2
mvx2
1 3
1 2
f
f 0 0vx
f 0 vy
dv0 dx
px0y
mvxvy
f
0dvxdvydvz
0
pxy
px1y
dv0 dx
0
mvx2vy
f 0 vy
d
pxy
dv0 dx
m 0
vx2vy
f 0 vy
f
f 0
0
§6.2 气体的粘滞现象
粘滞系数
y
负方气体通过单位面 积对正方气体的作用 力——粘滞力
pxy
dv0 dx
v0 x 沿 x 正向的动量（y 分量）流密度
两侧分子具有不同的平均动量，穿过
x 平面到达另一侧时，导致净的动量输
x0
运。
单位时间内，通过单位面积的速度为 v 的 1 分子位于一柱体内。
电导率
能量流密度 温度
q T
导热系数
质量流密度
扩散——物质输运 j = D
密度 扩散系数
粘滞——动量输运 动量流密度正比于宏观速度负梯度
热力学与物理统计第六章03讲述
微观粒子的运动不是轨道运动。
第六章 近独立粒子的最概然分布
经典力学中，粒子同时具有确定的动量和坐标，因 此可以用某一时刻粒子的动量和坐标描述粒子的运 动状态。
量子力学中，粒子不可能同时具有确定的动量和坐 标，那么，该如何描述粒子的运动状态？
在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。 量子态是用一组量子数表征，且这组量子数的数目 等于粒子的自由度数。
S 2 s(s 1) 2
其中s称为自旋量子数，可以是整数或半整数。 例如电子的自旋量子数为1/2 对自旋状态的描述还需要知道自旋角动量在其 本征方向（z轴）上的投影Sz。
共2s+1个可能的值。对于电子，有2个可能值。
第六章 近独立粒子的最概然分布
自旋角动量与自旋磁矩 质量为 m ，电荷为 - e 的电子，
在py到py+dpy可能的py有dny个
在pz到pz+dpz可能的pz有dnz个
第六章 近独立粒子的最概然分布
体积V=L3内，在px到px+dpx，py到py+dpy，pz到 pz+dpz的动量范围内自由粒子的量子态数
p
由于不确定关系，xp h 。
p p
即在体积元 h 内的各运动状态，
p
它们的差别都在测量误差之内，
其自旋磁矩 μ 与自旋角动量 S 大小的比值为：
e
S
m
当存在外磁场时，自旋角动量的本征方向沿外
磁场方向。以z表示外磁场方向，B为磁感应强
度。电子自旋角动量在z投影为
第六章 近独立粒子的最概然分布
自旋磁矩在z投影为
电子在外磁场中能量为
第六章 近独立粒子的最概然分布
三、系统微观运动状态的描述
系统的微观运动状态就是指它的力学运动状态。这 里讨论由全同和近独立粒子组成的系统
第六章 近独立粒子的最概然分布
经典力学中，粒子同时具有确定的动量和坐标，因 此可以用某一时刻粒子的动量和坐标描述粒子的运 动状态。
量子力学中，粒子不可能同时具有确定的动量和坐 标，那么，该如何描述粒子的运动状态？
在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。 量子态是用一组量子数表征，且这组量子数的数目 等于粒子的自由度数。
S 2 s(s 1) 2
其中s称为自旋量子数，可以是整数或半整数。 例如电子的自旋量子数为1/2 对自旋状态的描述还需要知道自旋角动量在其 本征方向（z轴）上的投影Sz。
共2s+1个可能的值。对于电子，有2个可能值。
第六章 近独立粒子的最概然分布
自旋角动量与自旋磁矩 质量为 m ，电荷为 - e 的电子，
在py到py+dpy可能的py有dny个
在pz到pz+dpz可能的pz有dnz个
第六章 近独立粒子的最概然分布
体积V=L3内，在px到px+dpx，py到py+dpy，pz到 pz+dpz的动量范围内自由粒子的量子态数
p
由于不确定关系，xp h 。
p p
即在体积元 h 内的各运动状态，
p
它们的差别都在测量误差之内，
其自旋磁矩 μ 与自旋角动量 S 大小的比值为：
e
S
m
当存在外磁场时，自旋角动量的本征方向沿外
磁场方向。以z表示外磁场方向，B为磁感应强
度。电子自旋角动量在z投影为
第六章 近独立粒子的最概然分布
自旋磁矩在z投影为
电子在外磁场中能量为
第六章 近独立粒子的最概然分布
三、系统微观运动状态的描述
系统的微观运动状态就是指它的力学运动状态。这 里讨论由全同和近独立粒子组成的系统
热力学与统计物理第六章(部分)
CO NO
HCl
可以看出, 可以看出,对于双原子分 子,除了在低温之下的氢 气外, 气外,理论结果和实验结 果符合得很好. 果符合得很好. 在这些讨论中,我们忽略了分子中原子 在这些讨论中,我们忽略了分子中原子 的相互运动, 的相互运动,忽略了原子中电子的运动 的贡献. 的贡献. 如果考虑分子中原子的相对运动, 如果考虑分子中原子的相对运动,比较 合理的假设是两个原子保持一定的距离 而作相对振动.这样, 而作相对振动.这样,能量公式中有 7 个平方项.据此得出的结论同实验结果 个平方项.据此得出的结论同实验结果 不符合. 不符合.
εq
1 = b i q i2 + ε ∑ 2 i =1
r'
' q
(q r
'
+ 1 ,...,
qr
)
同样地可以证 明:
1 1 2 b1 q 1 = k B T 2 2
这样,就证明了, 这样,就证明了,能量的表达式中的每一个平方项的 平均值都是1/2kBT:能量均分定理. 平均值都是 :能量均分定理. 利用能量均分定理, 利用能量均分定理,可以很方便地求出一些物质系统 的内能和热容量. 的内能和热容量.
5 U = Nk BT 2
U = 5 Nk CV = B V T 2
7 Cp = CV + Nk B = Nk B 2
定压和定容比热的比值为: 定压和定容比热的比值为:
7 γ= = = 1.40 CV 5
Cp
气体 氢气(H 氢气(H2) 氮气(N 氮气(N2) 氧气(O 氧气(O2)
温度(K 温度(K) γ数值 289 197 92 293 92 293 197 92 291 93 288 228 193 290-373 2901.407 1.453 1.597 1.398 1.419 1.398 1.411 1.404 1.396 1.417 1.38 1.39 1.38 1.40
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自旋磁矩在z投影为
电子在外磁场中能量为
第六章 近独立粒子的最概然分布
三、系统微观运动状态的描述
系统的微观运动状态就是指它的力学运动状态。这 里讨论由全同和近独立粒子组成的系统 全同粒子：具有完全相同的内禀属性（相同的质量、 电荷自旋等等） 近独立粒子：指系统中粒子之间的相互作用很弱， 相互作用的平均能量远小于粒子的平均能量，因而 可以忽略粒子间的相互作用。因此整个系统的能量 可以表示为单个粒子的能量之和
第六章 近独立粒子的最概然分布
经典物理中，全同例子是可以分辨的 经典物理中，粒子的运动是轨道运动，原则上是 可以被跟踪的。只要确定每一个粒子的初始时刻 的位置，原子上就可以确定每一粒子在以后任一 时刻的位置。尽管全同粒子的属性完全相同。原 则上仍然可以辨认。
既然可以辨认，那么交换 两粒子的运动状态，系统 的运动状态是不同的
第六章 近独立粒子的最概然分布
粒子的能量为
nx，ny，nz表征三维自由粒子的运动状态的量子数 粒子的能量不在是连续的，而是一些分立的能级。 宏观尺度的运动，能级间距很小 微观尺度的运动，能级间距才是显著的
简并度：处于一个能级的量子状态的数目
第六章 近独立粒子的最概然分布
2 m L2
2 2
nx 1, n y nz 0,
能级的简并度
n y 1, nx nz 0, nz 1, n y nx 0.
2 2 2 能级对应着6个量子态，简并度为6 2 mL
第六章 近独立粒子的最概然分布
考虑在体积V=L3内，在px到px+dpx，py到py+dpy，pz 到pz+dpz的动量范围内自由粒子的量子态数
n是表征振子的运动状态和能量的量子数 粒子的能量值是分立的，分立的能量称为能级 线性谐振子的能级是等间距的，相邻两能级的能
量差为ħω，其大小取决于振子的圆频率
第六章 近独立粒子的最概然分布
三维转子的经典描述及其 μ 空间
质量为m的质点A被具有一定长度的轻 杆系于原点O所做的运动
直角坐标系，坐标x,y,z，与之共轭的 动量为px,py,pz 质点的能量就是其动能：
第六章 近独立粒子的最概然分 布
第六章 近独立粒子的最概然分布
一、粒子运动状态的经典描述
统计物理学认为宏观物质系统是由大量的微观粒子 组成的，物质的宏观特性是大量微观粒子行为的集 体表现，宏观物理量是相应微观物理量的统计平均 值。 我们首先讲述一下如何描述系统的微观状态 对粒子微观状态的描述主要是从两个不同的角度描 述：第一、经典描述；第二、量子描述
2 2 2 2 px py pz
2m
一维自由粒子的运动状态在μ 空间的表示
第六章 近独立粒子的最概然分布
自由粒子的量子描述 波粒二象性 微观粒子既具有粒子性质：
r, p
又具有波动性质：
, k
德布罗意关系 能量为ε，动量为p的自由粒子联系着圆频率为ω， 波矢为k的平面波，并且存在
M ∴ 转子能量： 2I 2I
p
2
2
第六章 近独立粒子的最概然分布
三维转子的经典描述及其 μ 空间 转子的能量为
I为转动惯量，M为角动量。经典力学中M可以取 任意值，量子力学中
对于一定的l，角动量在其本征方向（z轴）的投影 Mz 自由度为2的转子，其运动状态有l,m两个量子数表 征
第六章 近独立粒子的最概然分布
,
h p k . 2
第六章 近独立粒子的最概然分布
不确定关系 如果粒子坐标q的不确定值为Δq，相应的动量的 不确定值为Δp，那么在量子力学中，最精确的 描述中，存在关系
qp h
量子描述的粒子不可能同时具有确定的动量和坐标 如果粒子坐标完全确定 那么粒子动量将完全不确定 如果粒子动量完全确定 那么粒子坐标将完全不确定 微观粒子的运动不是轨道运动。
第六章 近独立粒子的最概然分布
自由粒子的量子描述 首先讨论一维自由粒子，设粒子处于长度为L的一维 容器中，那么粒子可能的运动状态为 粒子运动应该满足周期性边界条件，粒子的德布罗 意波波长满足 那么，波矢满足 动量为
第六章 近独立粒子的最概然分布
能量为
nx就是表征一维自由粒子的运动状态的量子数
考虑三维自由粒子，设粒子处在边长为L的容器内
第六章 近独立粒子的最概然分布
在原子核、原子和分子等复合粒子中，凡是有玻 色子构成的复合粒子时玻色子。由偶数个费米子 构成的复合粒子为玻色子，由奇数个费米子构成 的复合粒子为费米子。
1H原子，2H核，4He核，4He原子等式玻色子 2H原子，3H核等是费米子
费米系统：由费米子组成的系统，遵从泡利不相 容原理 玻色系统：由玻色子组成的系统
第六章 近独立粒子的最概然分布
εi是第i个粒子的能量，N是系统的粒子总数。且εi只 是第i个粒子的坐标和动量以及外场参量的函数，与 其它粒子的坐标和动量无关。 近独立粒子之间相互作用很弱，但仍然有相互作用
对于服从经典力学的全同和近独立系统，粒子的自 由度为r，该如何描述它的微观运动状态？
第六章 近独立粒子的最概然分布
在px到px+dpx可能的px有dnx个
在py到py+dpy可能的py有dny个
在pz到pz+dpz可能的pz有dnz个
第六章 近独立粒子的最概然分布
体积V=L3内，在px到px+dpx，py到py+dpy，pz到 pz+dpz的动量范围内自由粒子的量子态数
p
p p
由于不确定关系， xp h 。
第六章 近独立粒子的最概然分布
自旋角动量与自旋磁矩
质量为 m ，电荷为 - e 的电子， 其自旋磁矩 μ 与自旋角动量 S 大小的比值为：
e S m
当存在外磁场时，自旋角动量的本征方向沿外 磁场方向。以z表示外磁场方向，B为磁感应强 度。电子自旋角动量在z投影为
第六章 近独立粒子的最概然分布
自由粒子的经典描述及其 μ 空间 自由粒子就是不受力所用而作自由运动的粒子 做三维运动的自由粒子：自由度为3 粒子位置：x(t)，y(t)，z(t)
px mx ＝常量
粒子动量：
p y my ＝常量
pz mz
＝常量
第六章 近独立粒子的最概然分布
p 粒子能量： 2m
设一维容器的长度为L，则x可 取的范围为0到L间的任何值， p x 原则上可以取 - ∞到∞之间 的所有值 粒子的运动轨迹在μ 空间为一 条直线
即在体积元 h 内的各运动状态，
p
它们的差别都在测量误差之内，
即被认为是相同的！
o
x
x x
L
xHale Waihona Puke 一维体系，一个量子态对应相空间一个 h 大小的体积元
第六章 近独立粒子的最概然分布
3 h 三维自由粒子一个量子态对应粒子相空间体积元 。 V 则相空间体积 Vdpx dpy dpz 中量子态数为 3 dp x dp y dp z h 采用动量空间的球极坐标表示
第六章 近独立粒子的最概然分布
经典力学中，粒子同时具有确定的动量和坐标，因 此可以用某一时刻粒子的动量和坐标描述粒子的运 动状态。
量子力学中，粒子不可能同时具有确定的动量和坐 标，那么，该如何描述粒子的运动状态？ 在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。 量子态是用一组量子数表征，且这组量子数的数目 等于粒子的自由度数。
1 2 2 2 mx y z 2
第六章 近独立粒子的最概然分布
在球坐标系中，粒子坐标r,θ,φ
x r sin cos y r sin sin z r cos
轻杆，OA距离不变，因此r不变
第六章 近独立粒子的最概然分布
粒子位置用θ,φ表示，称为广义坐标 与θ,φ相对应的动量，称为广义动量
第六章 近独立粒子的最概然分布
通常情况下，为了形象的描述粒子的运动状态，用 这2r个变量为直角坐标，建立一个2r维空间，我们 成为μ 空间。粒子在某一时刻的运动状态与μ 空间 中的一个点相对应。当粒子的运动状态随时间变化 时，粒子在μ 空间的代表点发生相应的移动，描画 出一条轨迹。
第六章 近独立粒子的最概然分布
第i个粒子的运动状态可以用r个广义坐标和与之 共轭的r个广义动量来完全描述 当N个粒子在某一时刻的力学状态完全确定时，整 个系统在该时刻的微观运动状态也就完全确定了。
确定系统的运动状态需要2Nr个变量。
一个粒子在某一时刻的运动状态可以用μ 空间中 的一个点表示。那么由N个全同粒子组成的系统在 某一时刻的微观运动状态可以用μ 空间的N个点来 表示
第六章 近独立粒子的最概然分布
粒子的能量为
第六章 近独立粒子的最概然分布
对于一确定的能量，粒子在μ 空间的轨迹为
2 半长轴 a m 2
半短轴 b 2m 椭圆面积 S ab
2
在经典力学范围内，振子能量原则上可以取任何 正值
第六章 近独立粒子的最概然分布
一维线性谐振子的量子描述
圆频率为ω 的线性谐振子，能量的可能值为
第六章 近独立粒子的最概然分布
体积V=L3内，在p到p+dp，θ到θ+dθ，φ到φ+dφ的动 量范围内自由粒子的量子态数
考虑到球极坐标中，动量空间的体积元为
体积V=L3内，在p到p+dp动量范围内自由粒子的量 子态数
2
0
d
0
Vp sin 4V 2 dpd d 3 p dp 3 h h
第六章 近独立粒子的最概然分布
假设在t=0时，确知两个粒子的位置，由于与这两 个粒子相联系的波动迅速扩散而相互重叠，在t>0 时在某一地点发现粒子时，已经不能辨认到底是 第一个还是第二个粒子
电子在外磁场中能量为
第六章 近独立粒子的最概然分布
三、系统微观运动状态的描述
系统的微观运动状态就是指它的力学运动状态。这 里讨论由全同和近独立粒子组成的系统 全同粒子：具有完全相同的内禀属性（相同的质量、 电荷自旋等等） 近独立粒子：指系统中粒子之间的相互作用很弱， 相互作用的平均能量远小于粒子的平均能量，因而 可以忽略粒子间的相互作用。因此整个系统的能量 可以表示为单个粒子的能量之和
第六章 近独立粒子的最概然分布
经典物理中，全同例子是可以分辨的 经典物理中，粒子的运动是轨道运动，原则上是 可以被跟踪的。只要确定每一个粒子的初始时刻 的位置，原子上就可以确定每一粒子在以后任一 时刻的位置。尽管全同粒子的属性完全相同。原 则上仍然可以辨认。
既然可以辨认，那么交换 两粒子的运动状态，系统 的运动状态是不同的
第六章 近独立粒子的最概然分布
粒子的能量为
nx，ny，nz表征三维自由粒子的运动状态的量子数 粒子的能量不在是连续的，而是一些分立的能级。 宏观尺度的运动，能级间距很小 微观尺度的运动，能级间距才是显著的
简并度：处于一个能级的量子状态的数目
第六章 近独立粒子的最概然分布
2 m L2
2 2
nx 1, n y nz 0,
能级的简并度
n y 1, nx nz 0, nz 1, n y nx 0.
2 2 2 能级对应着6个量子态，简并度为6 2 mL
第六章 近独立粒子的最概然分布
考虑在体积V=L3内，在px到px+dpx，py到py+dpy，pz 到pz+dpz的动量范围内自由粒子的量子态数
n是表征振子的运动状态和能量的量子数 粒子的能量值是分立的，分立的能量称为能级 线性谐振子的能级是等间距的，相邻两能级的能
量差为ħω，其大小取决于振子的圆频率
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三维转子的经典描述及其 μ 空间
质量为m的质点A被具有一定长度的轻 杆系于原点O所做的运动
直角坐标系，坐标x,y,z，与之共轭的 动量为px,py,pz 质点的能量就是其动能：
第六章 近独立粒子的最概然分 布
第六章 近独立粒子的最概然分布
一、粒子运动状态的经典描述
统计物理学认为宏观物质系统是由大量的微观粒子 组成的，物质的宏观特性是大量微观粒子行为的集 体表现，宏观物理量是相应微观物理量的统计平均 值。 我们首先讲述一下如何描述系统的微观状态 对粒子微观状态的描述主要是从两个不同的角度描 述：第一、经典描述；第二、量子描述
2 2 2 2 px py pz
2m
一维自由粒子的运动状态在μ 空间的表示
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自由粒子的量子描述 波粒二象性 微观粒子既具有粒子性质：
r, p
又具有波动性质：
, k
德布罗意关系 能量为ε，动量为p的自由粒子联系着圆频率为ω， 波矢为k的平面波，并且存在
M ∴ 转子能量： 2I 2I
p
2
2
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三维转子的经典描述及其 μ 空间 转子的能量为
I为转动惯量，M为角动量。经典力学中M可以取 任意值，量子力学中
对于一定的l，角动量在其本征方向（z轴）的投影 Mz 自由度为2的转子，其运动状态有l,m两个量子数表 征
第六章 近独立粒子的最概然分布
,
h p k . 2
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不确定关系 如果粒子坐标q的不确定值为Δq，相应的动量的 不确定值为Δp，那么在量子力学中，最精确的 描述中，存在关系
qp h
量子描述的粒子不可能同时具有确定的动量和坐标 如果粒子坐标完全确定 那么粒子动量将完全不确定 如果粒子动量完全确定 那么粒子坐标将完全不确定 微观粒子的运动不是轨道运动。
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自由粒子的量子描述 首先讨论一维自由粒子，设粒子处于长度为L的一维 容器中，那么粒子可能的运动状态为 粒子运动应该满足周期性边界条件，粒子的德布罗 意波波长满足 那么，波矢满足 动量为
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能量为
nx就是表征一维自由粒子的运动状态的量子数
考虑三维自由粒子，设粒子处在边长为L的容器内
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在原子核、原子和分子等复合粒子中，凡是有玻 色子构成的复合粒子时玻色子。由偶数个费米子 构成的复合粒子为玻色子，由奇数个费米子构成 的复合粒子为费米子。
1H原子，2H核，4He核，4He原子等式玻色子 2H原子，3H核等是费米子
费米系统：由费米子组成的系统，遵从泡利不相 容原理 玻色系统：由玻色子组成的系统
第六章 近独立粒子的最概然分布
εi是第i个粒子的能量，N是系统的粒子总数。且εi只 是第i个粒子的坐标和动量以及外场参量的函数，与 其它粒子的坐标和动量无关。 近独立粒子之间相互作用很弱，但仍然有相互作用
对于服从经典力学的全同和近独立系统，粒子的自 由度为r，该如何描述它的微观运动状态？
第六章 近独立粒子的最概然分布
在px到px+dpx可能的px有dnx个
在py到py+dpy可能的py有dny个
在pz到pz+dpz可能的pz有dnz个
第六章 近独立粒子的最概然分布
体积V=L3内，在px到px+dpx，py到py+dpy，pz到 pz+dpz的动量范围内自由粒子的量子态数
p
p p
由于不确定关系， xp h 。
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自旋角动量与自旋磁矩
质量为 m ，电荷为 - e 的电子， 其自旋磁矩 μ 与自旋角动量 S 大小的比值为：
e S m
当存在外磁场时，自旋角动量的本征方向沿外 磁场方向。以z表示外磁场方向，B为磁感应强 度。电子自旋角动量在z投影为
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自由粒子的经典描述及其 μ 空间 自由粒子就是不受力所用而作自由运动的粒子 做三维运动的自由粒子：自由度为3 粒子位置：x(t)，y(t)，z(t)
px mx ＝常量
粒子动量：
p y my ＝常量
pz mz
＝常量
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p 粒子能量： 2m
设一维容器的长度为L，则x可 取的范围为0到L间的任何值， p x 原则上可以取 - ∞到∞之间 的所有值 粒子的运动轨迹在μ 空间为一 条直线
即在体积元 h 内的各运动状态，
p
它们的差别都在测量误差之内，
即被认为是相同的！
o
x
x x
L
xHale Waihona Puke 一维体系，一个量子态对应相空间一个 h 大小的体积元
第六章 近独立粒子的最概然分布
3 h 三维自由粒子一个量子态对应粒子相空间体积元 。 V 则相空间体积 Vdpx dpy dpz 中量子态数为 3 dp x dp y dp z h 采用动量空间的球极坐标表示
第六章 近独立粒子的最概然分布
经典力学中，粒子同时具有确定的动量和坐标，因 此可以用某一时刻粒子的动量和坐标描述粒子的运 动状态。
量子力学中，粒子不可能同时具有确定的动量和坐 标，那么，该如何描述粒子的运动状态？ 在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。 量子态是用一组量子数表征，且这组量子数的数目 等于粒子的自由度数。
1 2 2 2 mx y z 2
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在球坐标系中，粒子坐标r,θ,φ
x r sin cos y r sin sin z r cos
轻杆，OA距离不变，因此r不变
第六章 近独立粒子的最概然分布
粒子位置用θ,φ表示，称为广义坐标 与θ,φ相对应的动量，称为广义动量
第六章 近独立粒子的最概然分布
通常情况下，为了形象的描述粒子的运动状态，用 这2r个变量为直角坐标，建立一个2r维空间，我们 成为μ 空间。粒子在某一时刻的运动状态与μ 空间 中的一个点相对应。当粒子的运动状态随时间变化 时，粒子在μ 空间的代表点发生相应的移动，描画 出一条轨迹。
第六章 近独立粒子的最概然分布
第i个粒子的运动状态可以用r个广义坐标和与之 共轭的r个广义动量来完全描述 当N个粒子在某一时刻的力学状态完全确定时，整 个系统在该时刻的微观运动状态也就完全确定了。
确定系统的运动状态需要2Nr个变量。
一个粒子在某一时刻的运动状态可以用μ 空间中 的一个点表示。那么由N个全同粒子组成的系统在 某一时刻的微观运动状态可以用μ 空间的N个点来 表示
第六章 近独立粒子的最概然分布
粒子的能量为
第六章 近独立粒子的最概然分布
对于一确定的能量，粒子在μ 空间的轨迹为
2 半长轴 a m 2
半短轴 b 2m 椭圆面积 S ab
2
在经典力学范围内，振子能量原则上可以取任何 正值
第六章 近独立粒子的最概然分布
一维线性谐振子的量子描述
圆频率为ω 的线性谐振子，能量的可能值为
第六章 近独立粒子的最概然分布
体积V=L3内，在p到p+dp，θ到θ+dθ，φ到φ+dφ的动 量范围内自由粒子的量子态数
考虑到球极坐标中，动量空间的体积元为
体积V=L3内，在p到p+dp动量范围内自由粒子的量 子态数
2
0
d
0
Vp sin 4V 2 dpd d 3 p dp 3 h h
第六章 近独立粒子的最概然分布
假设在t=0时，确知两个粒子的位置，由于与这两 个粒子相联系的波动迅速扩散而相互重叠，在t>0 时在某一地点发现粒子时，已经不能辨认到底是 第一个还是第二个粒子