3-4定轴转动刚体的功和能
刚体定轴转动的功和能
(解毕 )
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Chapter 4. 刚体的转动
§4. 5 刚体定轴转动的功和能
五、刚体的机械能守恒
当系统中只有保守力作功，系统的机械能守恒：
E0 E
其中 E
m ,l
l 2
1 mv 2 1 J 2 2 2
C
mgh 1 kx 2 2
滑轮(R, M)，m从静止开始下落，求下落 h 时物体的速 度及加速度。 系统 = 弹簧 + 滑轮 + 物体 + 地球： 提示： 机械能守恒
k
M ,R
2mgh kh 2 答案： v m M / 2
m
2(mg kh) a 2m M
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
减速、加速?
h
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Chapter 4. 刚体的转动
三、刚体绕定轴转动的动能定理
W Md
0
M J J d dt
d ω 0 J dt d 0 J d
·4 ·
Chapter 4. 刚体的转动
§4. 5 刚体定轴转动的功和能
1 1 2 2 积分得： W J J 0 2 2
1 2 [定义] 刚体转动动能： E k J 2 1 1 2 2 W J J 0 E k E k 0 E k 2 2
mg
前例 已知：匀质细杆 (m，l )，光滑轴，从竖直位置静 止摆下，求细杆摆到θ 位置时的角速度。
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Chapter 4. 刚体的转动
§4. 5 刚体定轴转动的功和能
解：以杆、地球为一系统，则系统机械能守恒：
物理-定轴转动刚体的动能定理
mi
2 i
1 2
miri2 2
(2) 刚体中所有质元的动能之和
即为刚体绕定轴转动的动能
三、刚体定轴转动的功能定理
合外力矩对刚体做的功，等于刚体转动动能的增加量.
说明
1、这是质点系动能定理的特殊表述形式； 讨论：为何不考虑刚体的内力的功？
2、该定理只对惯性系中的单个刚体成立。
如何计算刚体的重力势能？
附：探究过程
由转动定理
Mz
I
I
d
dt
M zd
I
d
dt
d
Id
2
1
Mzd
2 Id
1
1 2
I22
1 2
I12
合外力矩的功
转动动能的增量
力学第十八讲
刚体定轴转动的动能定理
一、外力矩的功
设F定i (d轴1W)F转iiFi动cFF的Fo的iiis//元(刚9—— d0r功体0i——在在做中)p定功不点d轴r做处i 转功中动受到od某iz一力ridFriidFθ的i /Pr/作id用rdiφ
回顾：刚体定轴转动的冲量定理
刚体定轴转动的冲量定理反映了刚体所受对 转轴 的合外力矩的时间累积作用效果。
问题与探究： 若刚体在定轴转动过程中所受对转轴的合外 力矩 为 Mz，则此合外力矩的空间累积作用效果是什么？
设在合外力矩 Mz 的作用下，刚体绕z轴由1 转到 2 相应地，刚体绕z 轴的角速度由1 转到2 。
四、刚体的重力势能
刚体重力势能定义为刚体各质元重力势能之和。
E pi mghi
E p mi ghi
i
mihi
mg i m
mghc
m
C
mi
3-3转动中的功与能,3-4
一、角动量定理的微分形式
M z J J d dt d ( J ) dt dLz dt
刚体所受到的对某给定轴的总外力矩等于刚体对该轴的 角动量的时间变化率。 系统对转轴的角动量为： Lz J ii
i
d Mz J ii dt dt i dLz
7
2
3r / s
由于中子星的致密性和极快的自转角速度，在星体周围 形成极强的磁场，并沿着磁轴的方向发出很强的无线电波、 光或X射线。当这个辐射束扫过地球时，就能检测到脉冲信号 ，由此，中子星又叫脉冲星。目前已探测到的脉冲星超过300 个。
质点的运动
机械能守恒定律 动量
F
P mv
有质量为 m1和 m2的物体1和2，且m1 m2。设滑轮的质量 为m，半径为r，所受的摩擦阻力矩为 M r 。绳与滑轮之间 无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。 解:滑轮具有一定的转动惯量。 在转动中受到阻力矩的作用， 两边的张力不再相等， T '1
T '1 T '2
m e R
2
M
2 3
mg R
根据定轴转动定律
2 3
mgR J
1 2
mR
2
d dt
设圆盘经过时间t停止转动，则有
2 3
g 0 dt
t
1 2
R d
0
0
由此求得
t
3 R 4 g
0
§3－3、定轴转动刚体的角动量定理 和角动量守恒定律
刚体对转轴的角动量： L J
刚体定轴转动的动能定理：
2
1
Md
大学物理 3.3刚体定轴转动中的功与能
冲头做的功。
解：以 1和 2 分别表示冲孔前后的飞轮的角速度
2n 1
8rad s1
1 60
1 0.2 0.8
2
1
1
由转动动能定理 A 1 J 2 1 J 2 1 J 2 0.82 1
2
2 2
1
2
1
又 J 1 mr2 2
A 5.45103 J
1.绕定轴转动刚体的动能
Δm ,Δm ,,Δm ,,Δm
1
2
i
N
r, r, , r , r
1
2
i,
N
v,v ,,v,,v
1
2
i
N
v r
i
i
E 1 Δmv 2
i2
ii
刚体的总动能
E 1 Δm v 2 1 Δm r 2 2
例3-7半径R质量M的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转 动，滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为m的物体。 当物体从静止下降距离h时，物体速度是多少？
解：以滑轮、物体和地球组成系统为研究对 象。由于只有保守力做功，故机械能守恒。
设终态时重力势能为零
R M
初态：动能为零，重力势能为
v
末态：动能包括滑轮转动动能和物体平动动能
2
合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 这就是刚体定轴转动的动能定理
例3-6 某一冲床利用飞轮的转动动能通过曲柄连杆机构 的传动，带动冲头在铁板上穿孔。已知飞轮为均匀圆盘， 其半径为r=0.4m，质量为m=600kg，飞轮的正常转速 是 n 240r min，1 冲一次孔转速降低20%。求冲一次孔
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律一、前言刚体的定轴转动定律是物理学中的重要概念之一，它描述了刚体在绕固定轴进行运动时的物理规律。
本文将从定义、公式、特点和应用四个方面来全面介绍刚体的定轴转动定律。
二、定义刚体的定轴转动指的是一个刚体在绕一个固定轴进行旋转运动时，其各个部分都沿着圆周运动，且旋转轴不发生移动。
而刚体的定轴转动定律则是描述这种运动状态下物理量之间关系的规律。
三、公式1. 角加速度公式角加速度指的是角速度随时间变化率，通常用符号α表示。
根据牛顿第二定律和角动量守恒原理，可以得到以下公式：Iα = τ其中，I表示刚体绕固定轴旋转时所具有的惯性矩，τ表示作用在刚体上的扭矩。
2. 角位移公式角位移指的是一个物体在绕某一点旋转时所经过的角度变化量，通常用θ表示。
根据定义可以得到以下公式：θ = s / r其中，s表示弧长，r表示绕定轴旋转的半径。
3. 角速度公式角速度指的是一个物体在绕某一点旋转时所具有的单位时间内经过的角度变化量，通常用符号ω表示。
根据定义可以得到以下公式：ω = Δθ / Δt其中，Δθ表示角位移变化量，Δt表示时间变化量。
4. 动能公式刚体绕定轴旋转时所具有的动能可以通过以下公式计算：E = 1/2 Iω²其中，I表示刚体绕固定轴旋转时所具有的惯性矩，ω表示角速度。
四、特点1. 惯性矩与扭矩之间存在直接关系。
根据牛顿第二定律和角动量守恒原理可以得到Iα = τ这一公式，表明惯性矩与扭矩之间存在直接关系。
当扭矩增大时，刚体的角加速度也会增大；当惯性矩增大时，则需要更大的扭矩来产生相同大小的角加速度。
2. 角加速度与扭矩之间存在反比关系。
根据Iα = τ这一公式可以看出，当惯性矩不变时，角加速度与扭矩之间存在反比关系。
也就是说，当扭矩增大时，角加速度会减小；当扭矩减小时，角加速度会增大。
3. 角速度与角位移之间存在直接关系。
根据定义可以得到ω = Δθ / Δt这一公式，表明角速度与角位移之间存在直接关系。
定轴转动刚体的功能原理
2 3R 0 则转过的圈数：n 2 16g
8
l 1 mg J 2 2 2
o
m,l
mg
l 1 1 2 2 mg ml 2 2 3
3g , l
6
例2、质量为m、半径为 R 的圆盘，以初角速度 0在摩擦系数为 的水平 面上绕质心轴转动，问： 圆盘转动几圈后静止？ 解：分割圆盘为圆环
0
m
dr
ro R
m dM阻 2 2 rdr gr R M阻
除重力矩以外其它力矩所作的功为： 1 1 2 2 Md ( mgz J ) ( mgz J c c0 0 ) 0 2 2 重力场中刚体定轴转动的功能原理
1 2 M=0 时 mgz c J 常量 刚体的机械能守恒 2
5
例1、一细杆质量为m，长度 为l，一端固定在轴上，静止 从水平位置摆下，求细杆摆 到铅直位置时的角速度。 解： 系统机械能守恒，以杆 在竖直位置的质心位置 为重力势能零点。
i o d ds ri P
Fi
A Md
0
刚体绕定轴转动时，力矩对转动物体作的功等于 力矩对刚体角位移的积分来表示。
3
三、刚体定轴转动的动能定理
由定轴转动定理有
d d d d M J J J dt d d dt
Md Jd
积分
0
2 Md Jd 1 J 2 1 J 0
R 0
m 2 mgR 2 2 rdr gr 3 R
7
2 A阻 M阻 mg R 3
由动能定理： A Ek Ek 0
2 11 2 2 m gR 0 m R 0 3 22
刚体定轴转动动能定理公式
刚体定轴转动动能定理公式刚体定轴转动动能定理是描述刚体绕某一固定轴转动时动能变化的物理定理。
在物理学中，刚体定轴转动动能定理是非常重要的定理之一，它能够帮助我们更好地理解物体在转动时的能量变化规律。
我们需要了解一下刚体的概念。
刚体是指在运动或者受力作用下不会发生形变的物体，也就是说，在运动或者受力作用下，刚体的形状和大小都不会发生任何改变。
我们可以将刚体分为两种类型，一种是平面刚体，另一种是空间刚体。
平面刚体指的是只有面积，没有厚度的物体，空间刚体指的是有一定大小和形状的物体。
接下来，我们来了解一下刚体定轴转动动能定理。
刚体定轴转动动能定理的表达式是：E = 1/2 * I * ω²，其中E表示刚体定轴转动的动能，I表示刚体对于轴的转动惯量，ω表示刚体绕轴的角速度。
从这个公式中，我们可以看出，刚体定轴转动动能与刚体的转动惯量和角速度的平方成正比。
那么，什么是转动惯量呢？转动惯量是描述物体转动惯性的物理量，它表示物体绕着某一轴旋转时所具有的旋转惯性。
不同形状的刚体，其转动惯量也是不同的。
例如，对于一个质量均匀分布的球体，其转动惯量为2/5 * m * r²，其中m表示球体的质量，r表示球体的半径。
刚体定轴转动动能定理的应用非常广泛。
例如，在机械制造和工程设计中，我们可以通过刚体定轴转动动能定理来计算物体旋转时所需要的能量和功率。
同时，在运动学和动力学研究中，刚体定轴转动动能定理也是非常重要的工具。
刚体定轴转动动能定理是描述刚体绕某一固定轴转动时动能变化的重要定理。
通过刚体定轴转动动能定理，我们可以更好地理解物体在转动时的能量变化规律，这对于物理学的研究和应用都具有非常重要的意义。
3.4 刚体定轴转动的功能关系
3-0
3-1 3-2 3-3 3-4 3-5
教学基本要求
刚体运动的描述 转动动能与转动惯量 刚体定轴转动定律 刚体定轴转动的功能关系 刚体角动量定理与角动量守恒定律
第3章 刚体的定轴转动
13
4
2013-7-22Biblioteka 3.4 刚体定轴转动的功能关系
三
刚体的势能——质心的势能
mi zi E p mi gzi (mg ) mgzc i m
其中 四 含有刚体力学系统的机械能守恒定律
zc ——质心相对于重力势能零点的高度
条件：A 外 A非 0(或只有保守力作功) 1 2 1 1 2 2 mv J mgzc Kx 恒量 2 2 2
（作匀加速转动）
M 4 g J 3R
由
0 t
可求得
2 (3) 由 2 0 2 转过的角度为
3R t 4 g 可得在 0 到 t 的时间内，
3 2 R 8g
1 驱动力矩做的功为 A M mR 2 2 4
2013-7-22 9
F
dr
o
r
A
比较
2013-7-22
2 1
Md
x
A F dr
2
3.4 刚体定轴转动的功能关系
2
力矩的功率
比较
3
dA d P M M dt dt
P F v
转动动能
1 2 Ek mi vi i 2 1 1 2 2 2 ( mi ri ) J 2 i 2
2013-7-22 3
3.4 刚体定轴转动的功能关系
二
刚体绕定轴转动的动能定理
2 d d Jd A Md 1 J 1 dt 1 1 2 2 A 1 Md J 2 J 12 2 2
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R1 R2
m2
m1
m 1 g m 2 h g 1 2 h m 1 2 1 2 m 2 2 1 2 ( 1 2 M 1 R 1 2 ) R 1 ( ) 2 1 2 ( 1 2 M 2 R 2 2 ) R 2 ( ) 2
例、一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙
的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆 盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋
3
m,l
ω 3g(1cosθ) l
θ mg
O
例、质量、半径相同的圆柱体、薄球壳和球体从 相同的光滑斜面的相同高度由静止无相对滑动下 滑，求质心所获得的速度。
m
c c
h
R
mgh12mc212I2 c R
例、一个质量为M、半径为R的定 滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细
绳，绳的一端固定在滑轮边上，另
刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。
例：一均匀细长棒，长度为L，质量为M， 起初直立在墙边，并自由倒下，求触地的 瞬间，其端部A的速度。 A
MgL1mg
例 一长为 l 、质量为
m 匀质细杆竖直放置，其
下端与一固定铰链O相接， m,l
并可绕其转动．由于此竖
θ mg
直放置的细杆处于非
O
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动．试计算细杆转动到与竖直线成角时
的角速度．
解 由于机械能守恒
刚体转动动能的增加等于重力势能的减少
1I2 mgl（ 1cos）
2
2
将 I 1 m gl 2 代入上式得
转，问当它停止转动时，转动了多少圈？
R O r dr
圆盘所受摩 擦阻力矩为
M
rdmg
R 0
r
mRg2 2rdr
2mgR
3
3 2m gR 01 2(1 2m2)R 0 2
n 2
1、定轴转动刚体的转动动能
E ki n 11 2 m iri2 21 2(i n 1 m iri2)21 2I2
刚体绕定轴转动时转
动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方乘积的一半。
显然，同一刚体以相
ri i
mi
同的角速度转动时，转轴位
置不同，转动动能不同。
一端挂一质量为m的物体而下垂。 忽略轴处摩擦，求物体m由静止下
h 落高度h时的速度。
m g1h m 21(1M2)R ()2
2 22 R
课堂练习：如图所示，物体的质量为m1、m2，且 m1>m2，圆盘状的定滑轮质量为M1和M2，半径分别 为R1和R2，质量均匀分布，绳轻且不可伸长，绳与 滑轮之间无相对滑动，滑轮轴光滑，求当m1下降了 h的距离时两物体的速度。
rm m
M
Ek1 2m 21 2m2 r21 2I2 Ek1 2I21 2(1 3M2)r2 E k1 2I21 2(1 3M2 rm2)r 2
2、力矩的功
Ft
rd dr F
因 FcrosM
d W F d r c o F c s r o d F t r s d M
力矩作功：
0
WMd0Md
对于刚体定轴转动
情形，因质点间无相对
0‘
位移，任何一对内力作
功为零。
F
d
dr
r
P
3.定轴转动刚体的动能定理
外力矩所做元功为：
dW M d Id d I dd I d
dt
dt
总外力矩对刚体所作的功为：
W 1 2M d 1 2Id 1 2I2 2 1 2I1 2