312刚体转动动能转动惯量解析
刚体的转动惯量
平动动能 1 m 2
2
力的功 A
F dr
ab
动能定理
A
1 2
m 2
1 2
m02
转动动能 1 I 2
2
力矩的功 A
Md
0
动能定理
A
1 2
I 2
1 2
I02
刚体动力学规律旳应用举例
例1：如图，质量m，长为L旳匀质细杆，可绕水 平旳光滑轴在竖直平面内转动，转轴O在杆旳A端。 若使杆于水平位置从静止开始向下摆动，求杆摆 到铅直位置时旳角速度。
一、刚体旳运动
不论在多大外界作用下，物体旳形状和大小均 不发生变化，这么旳物体称为刚体。
各质点间旳相对位置永不发生变化旳质点系。
1、平动 刚体在运动中，其上任意两点旳连线一直保持平行。
A
A
B
A
B
B 平动中刚体上旳各点都有相同旳轨迹、位移、 速度及加速度。用质心运动讨论。
2、定轴转动 刚体上各点均绕同一固定直线旋转旳运动，
M d（I)
dt
措施四：应用机械能守恒定律（见下一种例题 ）
例2：质量m，长为L旳均匀细棒，可绕过其一端旳水平
轴O转动。现将棒拉到水平位置（OA’）放手，棒下
摆到铅直位置（OA）时，与水平面A处旳质量为M旳
物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一
段距离s后停止。设物体与水平面间旳摩擦系数到处
r2dm
转动定律 M I
动量 m，冲量
t Fdt
动量定理
F
t0 dP
dt
角动量 L I,冲量矩
t
Mdt
t0
角动量定理 M dL dt
五、质点与刚体力学规律对照表（续）
大学物理.第三章.刚体的转动
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
刚体的转动
32019/12/23
§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 普通物理
二 匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做
匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
地减速，经t=50 s后静止。
（1）求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过
的转数N；
（2）求制动开始后t=25s 时飞
0
轮的角速度 ；
（3）设飞轮的半径r=1m，求在 t=25s 时边缘上一点的速
度和加速度。
Oa an r
v
at
解 （1）设初角度为0方向如图所示，
广东技术师范学院
2019/12/23
25rad / s 78.5rad / s
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§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 普通物理
的方向与0相同 ；
（3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。
由 v r v v r sin r sin 900
r 78.5m / s v 的方向垂直于 和 r 构成的平面，如
§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 普通物理
量值为0=21500/60=50 rad/s，对于匀
变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在
t=50S 时刻 =0 ，代入方程=0+at 得
a 0 50 rad / s2
t
50
3.14 rad / s2
从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转 数N 分别为
子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转
过多少转？
刚体旋转知识点归纳总结
刚体旋转知识点归纳总结1. 刚体旋转的基本概念刚体是指在一定时间内，其内部各点的相对位置不改变的物体。
刚体旋转是指刚体围绕固定点或固定轴发生的旋转运动。
在刚体旋转中，需要引入一些基本概念：1.1 刚体的转动刚体的旋转可以是定点转动，也可以是定轴转动。
在定点转动中，刚体绕固定点旋转，而在定轴转动中，刚体绕固定轴旋转。
定点转动和定轴转动都是刚体旋转运动的两种基本形式。
1.2 刚体的转动角度和角速度刚体的转动角度是刚体在单位时间内所转过的角度，通常用θ表示。
刚体的角速度是指刚体单位时间内转过的角度，通常用ω表示。
在刚体定点转动中，角速度是刚体绕定点旋转的角度速度；在刚体定轴转动中，角速度是刚体绕定轴旋转的角度速度。
1.3 刚体的转动惯量刚体的转动惯量是衡量刚体抵抗旋转的惯性大小，通常用I表示。
刚体转动惯量的大小取决于刚体形状、质量分布以及旋转轴的位置。
对于质点组成的刚体，其转动惯量可以通过对质点的质量进行积分得到。
1.4 刚体的角动量刚体的角动量是刚体旋转运动的物理量，通常用L表示。
角动量的大小和方向分别由角速度和转动惯量决定。
在定点转动中，如果刚体的角速度和转动惯量都不变，那么刚体的角动量也保持不变；在定轴转动中，如果刚体绕固定轴旋转，那么刚体的角动量也保持不变。
2. 刚体的转动力学刚体的转动力学研究刚体在旋转运动中所受的力和力矩，包括转动定律、角动量定理、动能定理等内容。
2.1 刚体的平衡刚体旋转平衡需要满足一定的条件，包括力矩平衡条件和动量平衡条件。
刚体力矩平衡条件是指刚体所受的合外力矩为零；刚体动量平衡条件是指刚体所受的合外力矩关于某一点的力矩为零。
2.2 刚体的角动量定理刚体的角动量定理描述了刚体在受到外力矩作用下，其角动量的变化规律。
根据角动量定理，刚体所受外力矩产生的角动量变化率等于刚体所受外力矩的矢量和。
2.3 刚体的动能定理刚体的动能定理描述了刚体在旋转运动中，其动能的变化规律。
根据动能定理，刚体所受外力矩产生的功率等于刚体动能的变化率。
刚体转动的动能定理
一、力矩的功 1 力矩的定义若作用的质点上的力为F ,则将r ×F 定义为力F 对O 点的力矩，记为M 。
M r F =⨯M 、F 、r 三者的方向构成右手螺旋关系。
M大小：方向：右手法则2 力矩的功设：；转盘上的微小质量元Δm 在力F 作用下以R 为半径绕O 轴转动，在dt 时间内转过角度d ，对应位移d r,路程ds,此时F 所做的元功为则总功为二、转动惯量设初速为零，质量元Δm 的动能为转盘的总动能1 定义：为物体的转动惯量。
意义：由质量和质量对于转轴的分布情况决定。
描述转动的惯性。
o z FtF nF tF ord rd θt t d d d d A F r F s F r θ=⋅==d d A M θ=21d A M θθθ=⎰αrsin t M Fr F rα==d θFtF ord r12ki i iE m v =212k ki i i i i E E m ==∆∑∑v 221()2i i i m r ω=∆∑2i i iI m r =∆∑单位：SI 制 kg m 22 定轴转动物体转动惯量的计算质量不连续分布的质点系：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量之和2i i iI m r =∑质量连续分布的刚体：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。
2mI r dm =⎰转动惯量的大小不仅取决于物体的质量，还与质量的分布和轴线的位置有关。
例1 求小球m 的转动惯量。
解：m 看作质点 I = m R 2例2 质量为m 的细圆环，求I 。
解：把环分成无限多个质量为dm 的小段，对每个d m 有d J = R 2对整个环有I = R 2d m = mR 2例3质量m ，半径 R 的薄圆盘，求I 。
解：把盘分成无限多个环。
取其中的一个环(半径r ，宽d r ，质量 d m )， 其转动惯量 d I = r 2d m22mdm rdr Rππ=整个盘的转动惯量d rd md SrRd mRRm22322200002122R R R Rm m I dI r dm r rdr r dr mR R R ππ=====⎰⎰⎰⎰例4 长为L 、质量为m 的细长直杆，转轴垂直于细杆且通过杆中心 解：杆长为L,质量为m, 则密度为＝m / L 。
3-1刚体的转动动能_转动惯量
r dr
轴
J
L
2 L
2
r
2
m L
dr
1 12
mL2
结论：同一刚体对不同的转轴有不同的转动惯量。
例2 分别求质量为m，半径为R的均匀圆环和 圆盘的转动惯量（轴与圆环或圆盘平面垂直，并 通过其圆心）。
mR
dm 轴
R r dr m
轴
解（1）圆环 J R2dm R2 dm mR2
（2）圆盘
dJ
r2 dm
r2 m R 2
2rdr
2m r 3dr R2
2m
J R2
R r3dr 1 mR 2
0
2
越远，转动惯量越大。
四 平行轴定理
质量为m 的刚体，
如果对其质心轴的转动 惯量为 JC ，则对任一与
该轴平行，相距为 d 的
转轴的转动惯量
JO JC md 2
d
C mO
J Jc md 2
圆盘对P 轴的转动惯量 P R O m
JP
1 2
mR2
mR2
质量为m，长为L的细棒绕其一端的J
Jc
1 12
mL2
O1
O1’
J
Jc
m( L)2 2
1 3
mL2
d=L/2
O2
O2’
3-1 刚体定轴转动的转动动能
Ek
i
(
1 2
mi
vi2
)
1 (
2
i
miri2 ) 2
1 J 2
2
Ek
1 2
J 2
z
vi
O
ri
mi
二 转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
3.3刚体定轴转动中的功与能
解：以 ω 和 ω 分别表示冲孔前后的飞轮的角速度
1 2
ω = (1 − 0 .2 )ω = 0.8ω
2 1
2
2
2πn ω = = 8πrad ⋅ s 60
1 1
−1
1
1 1 1 由转动动能定理 A = Jω − Jω = Jω (0 .8 − 1) 2 2 2 1 又 J = mr A = −5 .45 × 10 J 2
课后习题 3-8
θ1
θ2
二、刚体的转动动能和重力势能
1.绕定轴转动刚体的动能 绕定轴转动刚体的动能 绕定轴转动刚体的
∆ ,∆ ,⋅⋅⋅,∆ ,⋅⋅⋅,∆ m m m m r r r r r, r ,⋅⋅⋅, r ⋅⋅⋅, r r r r r v ,v ,⋅⋅⋅,v ,⋅⋅⋅,v
1 2 i
1 2 i, N
N
Q = rω v 1 E= ∆ v m 2
2 2 2
1 1
2
3
质量M的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转 例3-7半径R质量 的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转 半径 质量 滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为m的物体 的物体。 动，滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为 的物体。 当物体从静止下降距离h时 物体速度是多少？ 当物体从静止下降距离 时，物体速度是多少？ 以滑轮、 解：以滑轮、物体和地球组成系统为研究对 由于只有保守力做功，故机械能守恒。 象。由于只有保守力做功，故机械能守恒。 设终态时重力势能为零 初态：动能为零，重力势能为mgh 初态：动能为零，重力势能为 末态： 末态：动能包括滑轮转动动能和物体平动动能 由机械能守恒
i i
i i i
2
1
2
i
N
大学物理4-2刚体的角动量 转动动能 转动惯量
刚体绕定轴的角动量表达式：
Lz J
刚体的转动动能
2. 刚体的转动动能
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点
的动能之设和刚。体中第i个质点的质量为 ， mi
速度为 v,i 则该质点的动能为：
1 2
mivi2
刚体做定轴转动时，各质点的角速度相同。
设质点
mi
离轴的垂直距离为
vi ri
ri ，则它的线速度
因此整个刚体的动能
EK
12mivi2
1 2
ri2mi 2
刚体的转动动能
式中 式写为
是m刚iri体2 对转轴的转动惯量
EK
1 2
J 2
，所J以上
上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因 此叫刚体的转动动能。
转动惯量的计算
3. 转动惯量的计算
按转动惯量的定义： J ri2mi
刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可 写成积分形式
J r2dm 要求: 细棒、薄圆盘、圆环
dl 其中质元dm可表示为 dm ds
dv
r —为质元到转轴的距离
转动惯量的计算
刚体运动：
平动： 平动动能 1 mv2 线动量 mv
2
定轴转动：转动动能 1 J 2 角动量 J
2
质量是刚体平动时惯性大小的量度。 转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度。 补：平行轴定理、垂直轴定理（适用于薄平面刚体）。
Li Ri pi Ri mivi
因 vi Ri ，所以 L的i 大小为
Li mi Rivi
方向如图所示。
z
L
Li Liz
ri
O Ri mi
刚体的角动量
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2 特点 (1)任意质点均作圆周运动，
圆面为转动平面； (2)任意质点角位移dθ，
角速度w，角加速度β相同；
z
r
v
P
O
x
(3)方向正负规定：
符合右手螺旋关系为正。
3 角量公式
ω dθ dt
dω dt
d 2θ d 2t
6
刚体作匀角加速度定轴转动
ω dθ dt
dω dt
1 2
m v2
转动动能
Ek
1 2
I 2
dl -- 线分布λ＝m/L dm ds -- 面分布σ＝m/S
dv -- 体分布ρ＝m/V
I单位： 千克·米2
12
四 决定转动惯量的三因素
(1) 刚体的质量； 如：同形状的石磙和木磙； (2) 刚体的质量分布； 如：圆环与圆盘的不同 (3) 刚体转轴的位置。 如：细棒绕中心、绕一端。
刚体平动
质点运动
3
2 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。 转动又 分定轴转动和非定轴转动。
刚体的平面运动
4
刚体的一般运动 质心的平动
+ 绕质心的转动
5
三 刚体的定轴转动
1 概念：转轴固定不动的转动。
刚体内各质点都在其所在的与刚体转轴相垂直的平面内作
圆周运动，圆心在转轴的轴线上。
a
et
an
r
at
v
8
3-2 转动动能 转动惯量
一 刚体的平动动能
刚体的平动动能应为各质 元的动能之和
Ek平
n i 1
1 2
mi
v
2 i
1 2
Mv
2 c
vc为质心的速度
9
二 转动动能
刚体的转动动能应为各质元动 能之和，将刚体分割成n个质元 △m。
任取一质元 △mi ，距转轴 ri ，
Ek
lim
mi 0 n
n i 1
1 2mi
ri2
2
v
r
ri
1 ( r 2dm) 2 2
令 I r 2dm
转动动能
Ek
1 2
I 2
11
三 转动惯量
1 定义
n
I miri2 --离散分布
i
I r 2dm --连续分布 V
平动动能
Ek
m为刚体的质量；
d为轴A与C轴之间的垂直距离。
M
正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）
Iz= Ix+ Iy
z⊥xy轴所在刚体平面
z y
Iz --- 垂直于转动平面的转轴的转动惯量；
x
Ix , Iy --- 在转动平面内两个正交轴的转动惯量。
18
例2 半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄圆盘，质量均为m， 试分别求出对通过质心并与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。
m
R 2
R
r dr
dI r 2dm 2r 3dr
IO
dI
m
R 2 r 3dr
0
2
R4 4
2
m
R 2
R4 4
1 m R2 2
I细圆环 mR 2
B
A
h
O质
r v
ri
X
13
例1 质量为m,长为L的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：
(1) 转轴通过棒的中心O并与棒垂直； (2) 转轴通过棒的一端B并与棒垂直； (3) 转轴通过棒上距质心为h的一点A并与棒垂直。
B
A
h
dm
O质 x
解：以棒中心为原点建立坐标OX， 将棒分割成许多质元dm
则该质元动能：
r
v
ri
1 2
mi vi2
1 2
mi (ri )2
1 2
mi ri2 2
刚体的转动动能
Ek
n i 1
1 2
mi
ri
2
2
1n (
2 i1
mi ri 2 ) 2
10
质量不连续分布（离散）
Ek
1 2
(
n i 1
mi
ri2
)
2
质量连续分布 mi 0
d 2θ d 2t
0 t
0
0t
1 2
t 2
2
2 0Biblioteka 2(0)
a
et
an
r
at
v
7
角量与线量的关系
v
r
a
r
an
v
s R
v R
an
v2 R
2R
at
dv dt
R
在整个过程中，演员改变了什么？背后的物理机 制是什么？
2
3-1 刚体的定轴转动
一 刚体
定义：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。 （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）
二 刚体的运动形式
1 平动：若刚体中所有点的 运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间 的连线总是平行于它们的 初始位置间的连线。
m / L dm dx
X
14
B
A
h
dm
X
O质 x
(1)求：IO
IO
r 2dm
x2dm L/ 2 x2dx L/2
(2)求：IB
L3 1 mL2
12 12
IB
r 2dm
( L x)2 dm 2
L/ 2 (L / 2 x)2 dx L3 1 mL2
L/2
33
15
B
A
h
dm
X
O质 x
(3) 求：IA
IA
r 2dm L/ 2 (h x)2 dx L/2
L3 h2L
12 1 m L2 m h2
12
IO
1 12
m L2
IB
1 3
m L2
16
B
A
h
dm
X
O质 x
注意：
IB
IO(质 心)
1 3
m L2
第三章 刚体的转动
飞轮的质量为什么大都分布于外边缘？
1
3.1 刚体的定轴转动
引言 花样滑冰里的一个动作叫陀转，在转动开始时演
员手臂和腿是展开的，此时转动速度较慢，而后演 员会突然把手臂抱紧，转速明显变快。
从物理的角度分析，演员受到三个力的作用：地 面的支持力，冰面的摩擦力，空气的阻力。均不能 对加快转速产生正面的影响。
R
R
19
解：(1) 细圆环的转动惯量
dm dl
dl
R
IO
R2dm R2dl L
R2 dl R2 2R L
m R2
问题:若转轴在圆环上时， 圆环的转动惯量？
I A IC md 2 mR2 mR2
20
(2) 盘面垂直的转轴的转动惯量。
dm ds 2rdr
1 12
m L2
m(
L)2 2
IA
IO(质 心)
(1 12
m L2
m h2 )
1 12
m L2
m h2
或
IB
IO
m(
L )2 2
I A Io mh 2
17
平行轴定理：刚体对任一轴A的转动惯量IA和通过质心并与A
轴平行的转动惯量IO有如下关系：
IA= Ic+ md2
d
A
C