各类刚体转动惯量公式的推导
转动惯量的计算范文
转动惯量的计算范文转动惯量（Moment of inertia）是描述物体在绕轴旋转时对其抵抗的物理量，定义为物体质点的质量分布相对于旋转轴的分布情况的一种度量。
一、质点转动惯量的计算：假设一个质点质量为m，距离旋转轴的距离为r，质点的转动惯量可以表示为I=m*r^2、这是最简单的情况，适用于只有一个质点绕轴旋转的情况。
二、刚体的转动惯量计算：对于刚体的转动惯量计算，需要考虑物体内部所有质点的转动惯量的总和。
刚体的转动惯量可以表示为I=∑(m*r^2)。
在计算时，可以将刚体分割成很多小质点，然后求和。
三、常见形状的转动惯量计算：1.环形：对于一个质量分布均匀的环形，质量为m，半径为R，绕环的中心轴旋转，转动惯量可以计算为I=m*R^22.球体：对于一个质量分布均匀的球体，质量为m，半径为R，绕球心旋转，转动惯量可以计算为I=(2/5)*m*R^23.圆盘：对于一个质量分布均匀的圆盘，质量为m，半径为R，绕圆盘中心轴旋转，转动惯量可以计算为I=(1/2)*m*R^24.长方体：对于一个质量分布均匀的长方体，质量为m，边长为a,b,c，绕一个边旋转，转动惯量可以计算为I=(1/12)*m*(a^2+b^2)。
5.圆柱：对于一个质量分布均匀的圆柱体，质量为m，半径为R，高度为h，绕圆柱体的对称轴旋转，转动惯量可以计算为I=(1/2)*m*R^2+(1/12)*m*h^2需要注意的是，以上计算公式都是适用于质量分布均匀的情况。
对于质量分布不均匀的物体，需要将物体分割成很多小部分，然后对每个小部分进行转动惯量的计算，再求和。
对于复杂形状的物体，可以通过数值计算或者近似方法进行转动惯量的求解。
转动惯量是描述物体在旋转过程中惯性特性的重要物理量，它在刚体力学、动力学、旋转力学等领域有着广泛的应用。
在实际工程和科学研究中，准确计算和预测物体的转动惯量是非常重要的。
刚体转动惯量计算公式
刚体转动惯量计算公式刚体转动惯量这玩意儿，在物理学里可是个挺重要的概念。
咱们先来瞧瞧啥是刚体转动惯量。
简单说，刚体转动惯量就是衡量刚体转动时惯性大小的一个物理量。
想象一下，你转一个大圆盘和转一个小圆盘，是不是感觉转大圆盘更费劲？这就是因为大圆盘的转动惯量大呀！那刚体转动惯量咋算呢？这就有个计算公式啦。
对于一个绕定轴转动的刚体，其转动惯量 I 等于各个质量元的质量乘以它到转轴距离的平方的总和。
用数学式子表示就是：I = ΣΔmiri² 。
比如说，有一个均匀的细棒，长度为 L ，质量为 M ，绕通过一端且垂直于棒的轴转动。
那这时候转动惯量 I 就等于 1/3 ML²。
我还记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸迷茫地问我：“老师，这转动惯量到底有啥用啊？”我笑着给他举了个例子。
我说：“你看啊，咱们骑自行车，车轮就是个刚体。
如果车轮的转动惯量大，那你起步的时候是不是就得费更大的劲儿？但是一旦转动起来，保持转动就相对容易些。
这就好比一个大胖子跑步，一开始跑起来难，但跑起来后惯性大，停下来也不容易。
”这小家伙听完，眼睛一下子亮了，好像明白了点什么。
再比如说一个圆环，质量为 M ，半径为 R ，绕通过圆心且垂直于圆环平面的轴转动，转动惯量就是 MR²。
还有那种质量分布不均匀的情况，就得把刚体分成很多小块，分别计算每一小块的转动惯量，然后再加起来。
这就有点像咱们做拼图，一块一块拼出最终的结果。
在实际生活中，转动惯量的应用可多啦。
像工厂里的大型机器轮子，设计的时候就得考虑转动惯量，不然运转起来可就麻烦喽。
总之，刚体转动惯量计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多琢磨琢磨，多结合实际例子想想，就能慢慢搞清楚啦。
就像解一道难题，一开始觉得难，多尝试几次，说不定就豁然开朗啦！希望大家都能把这个知识点掌握好，在物理学的世界里畅游无阻！。
刚体转动与转动惯量计算
刚体转动与转动惯量计算刚体转动是物理学中一个重要的概念，它描述了物体在空间中绕某个轴旋转的运动。
而转动惯量则是衡量物体对转动运动的惯性大小的物理量。
在本文中，我们将探讨刚体转动以及转动惯量的计算方法。
一、刚体转动的基本概念刚体是指其内部各点之间的相对位置保持不变的物体。
当一个刚体绕某个轴旋转时，我们可以将其看作由无数个质点组成的系统。
每个质点围绕轴线作圆周运动，但由于刚体是刚性的，各个质点的圆周运动是同步的，因此整个刚体呈现出旋转的状态。
在刚体转动中，我们常用到角度、角速度和角加速度等概念。
角度表示刚体绕轴线旋转的程度，通常用弧度制来表示。
角速度表示单位时间内刚体旋转的角度变化量，用符号ω表示。
角加速度则表示单位时间内角速度的变化量，用符号α表示。
二、转动惯量的概念转动惯量是描述物体对转动运动的惯性大小的物理量。
它与物体的质量分布和轴线的位置有关。
对于一个质量分布均匀的物体，其转动惯量可以通过以下公式计算：I = ∫r^2 dm其中，I表示转动惯量，r表示质点与轴线的距离，dm表示质点的质量元素。
对于一个质量分布不均匀的物体，我们需要将其分割成无数个质点，然后对每个质点的转动惯量进行求和，才能得到整个物体的转动惯量。
三、转动惯量的计算方法在实际计算转动惯量时，我们常用到一些常见的几何体的转动惯量公式。
以下是一些常见几何体的转动惯量计算公式：1. 球体的转动惯量计算公式：对于一个半径为r、质量为m的球体，其转动惯量可以通过以下公式计算：I = (2/5)mr^22. 圆柱体的转动惯量计算公式：对于一个半径为r、质量为m、高度为h的圆柱体，其转动惯量可以通过以下公式计算：I = (1/2)mr^2 + (1/12)mh^23. 平板的转动惯量计算公式：对于一个质量为m、边长为a的平板，其转动惯量可以通过以下公式计算：I = (1/12)ma^2除了以上几何体的转动惯量计算公式外，对于其他复杂形状的物体，我们可以利用积分的方法进行求解。
转动惯量计算公式-转动惯量公式
1.圆柱体转动惯量(齿轮、联轴节、丝杠、轴的转动惯量)D L2MDJM 8rD 4 L3对于钢材： J1032 g0.78 D 4L 106 ( kgf cm s 2 )M- 圆柱体质量 (kg)；D-圆柱体直径 (cm)；L-圆柱体长度或厚度 (cm)；r-材料比重 (gf /cm3)。
2.丝杠折算到马达轴上的转动惯量：Js2Z2J2 J(kgf cm··s )i 2iJ1Z13.工作台折算到丝杠上的转动惯量2v wJ2n g2s w(kgf cm··s2)2gJ SVWJ s–丝杠转动惯量 (kgfcm··s2)；i-降速比，iz2z1v-工作台移动速度 (cm/min)；n-丝杠转速 (r/min) ；w-工作台重量 (kgf) ；g-重力加速度， g = 980cm/s2；s-丝杠螺距 (cm)2.丝杠传动时传动系统折算到驱轴上的总转动惯量：1w 2J t J1s2 2J2J Sg(kgf cm s ) i2Z2J2WMiJ SJ1Z15.齿轮齿条传动时折算到小齿轮轴上的转动惯量J wR 2(kgf cm··s2)g RJ1- 齿轮 z1及其轴的转动惯量；J2- 齿轮 z2的转动惯量 (kgfcm··s2 )；J s-丝杠转动惯量 (kgfcm··s2 )；s-丝杠螺距， (cm)；w-工件及工作台重量 (kfg).R-齿轮分度圆半径 (cm);w-工件及工作台重量 (kgf)6.齿轮齿条传动时传动系统折算到马达轴上的总转动惯量J t J 11J 2w R 2J1，J2- 分别为Ⅰ轴，i2gJ 2ⅡWⅡ轴上齿轮的转动惯量 (kgf cm··s2 )；R-齿轮 z 分度圆半径 (cm)；M J1Zw-工件及工作台重量 (kgf)。
ⅠZ马达力矩计算(1)快速空载时所需力矩：M Mamax MfM(2)最大切削负载时所需力矩：M M a t M f M 0M t(3)快速进给时所需力矩：M M f M 0式中M amax—空载启动时折算到马达轴上的加速力矩(kgf m)·；M f—折算到马达轴上的摩擦力矩 (kgf ·m)；M 0—由于丝杠预紧引起的折算到马达轴上的附加摩擦力矩(kgf m)·；M at—切削时折算到马达轴上的加速力矩(kgf m)·；M t—折算到马达轴上的切削负载力矩(kgf m)·。
刚体转动惯量证明过程
刚体转动惯量证明过程
嘿，朋友们！咱们今天来聊聊刚体转动惯量的证明过程，这可真是
个有趣又有点挑战的事儿。
先来说说什么是刚体转动惯量吧。
就好像你推一个大箱子，箱子越
大越重，你推起来就越费劲，这是因为它的惯性大。
而刚体的转动惯
量呢，就类似于这种惯性，只不过是针对转动来说的。
想象一下，一个圆盘在那转呀转，为啥有的圆盘转得快，有的转得慢？这就和转动惯量有关系啦。
那怎么证明它呢？这就好比我们要找到一把神奇的钥匙，打开这个
神秘的知识大门。
咱们从简单的模型开始，比如说一个质量为 m 、距离转轴为 r 的质点。
那它的转动惯量怎么算呢？很简单，就是 m × r²呀。
这就好像是
在说，离转轴越远，这个质点对于转动的“阻碍”就越大。
然后呢，对于一个连续分布的刚体，咱们就得把它分成无数个小质
点来考虑。
这就像切蛋糕一样，把大蛋糕切成小块，分别计算每一小
块的转动惯量，再把它们加起来。
比如说一个细棒，咱们沿着长度方向积分，就能算出它的转动惯量。
这过程是不是有点像走一条长长的路，一步一步，积少成多？
再比如一个圆环，那就是在圆周上积分啦。
这证明过程，可不就是一场精心设计的冒险吗？每一步都充满了挑战和惊喜。
你想想，要是没有转动惯量这个概念，咱们怎么去理解那些旋转的物体呢？是不是会觉得一头雾水？
所以说呀，搞清楚刚体转动惯量的证明过程，那可真是太重要啦！它能让我们更好地理解这个世界中那些旋转的奇妙现象。
总之，刚体转动惯量的证明过程虽然有点复杂，但只要咱们一步一个脚印，细心琢磨，就一定能掌握这个神奇的知识！。
常用转动惯量公式
常用转动惯量公式
常用转动惯量表达式：I=mr2。
其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度。
扩展资料
转动惯量计算公式
1、对于细杆：
当回转轴过杆的中点(质心)并垂直于杆时I=mL2/I2；其中m是杆的'质量，L是杆的长度。
当回转轴过杆的端点并垂直于杆时I=mL2/3；其中m是杆的质量，L是杆的长度。
2、对于圆柱体：
当回转轴是圆柱体轴线时I=mr2/2；其中m是圆柱体的质量，r 是圆柱体的半径。
3、对于细圆环：
当回转轴通过环心且与环面垂直时，I=mR2；当回转轴通过环边缘且与环面垂直时，I=2mR2；I=mR2/2沿环的某一直径；R为其半径。
4、对于立方体：
当回转轴为其中心轴时，I=mL2/6；当回转轴为其棱边时I=2mL2/3；当回转轴为其体对角线时，I=3mL2/16；L为立方体边长。
5、对于实心球体：
当回转轴为球体的中心轴时，I=2mR2/5；当回转轴为球体的切线时，I=7mR2/5；R为球体半径。
向你推荐的相关文章
相关文章列表
微信扫码分享。
转动惯量基本公式
转动惯量基本公式
常用转动惯量表达式：I=mr2。
其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度。
1、对于细杆：
当回转轴过杆的中点(质心)并旋转轴杆时i=ml2/i2；其中m就是杆的'质量，l就是
杆的长度。
当回转轴过杆的端点并旋转轴杆时i=ml2/3；其中m就是杆的质量，l就是杆
的长度。
2、对于圆柱体：
当回转轴就是圆柱体轴线时i=mr2/2；其中m就是圆柱体的质量，r就是圆柱体的半径。
3、对于细圆环：
当回转轴通过环心且与环面横向时，i=mr2；当回转轴通过环路边缘且与环面横向时，i=2mr2；i=mr2/2沿环的某一直径；r为其半径。
4、对于立方体：
当回转轴为其中心轴时，i=ml2/6；当回转轴为其棱边时i=2ml2/3；当回转轴为其体
对角线时，i=3ml2/16；l为立方体边长。
5、对于实心球体：
当回转轴为球体的中心轴时，i=2mr2/5；当回转轴为球体的切线时，i=7mr2/5；r为
球体半径。
各类刚体转动惯量公式的推导
各类刚体转动惯量公式的推导刚体是物理学中的一个重要概念，用于描述不受力矩作用下保持形态不变的物体。
研究刚体的旋转运动时，转动惯量是一个重要的物理量。
通过推导各类刚体转动惯量公式，我们可以更好地理解旋转运动的特性和规律。
一、点质量的转动惯量首先考虑最简单的情况，即一个质点围绕某个轴旋转。
假设质点的质量为m，离轴距离为r，速度为v，根据牛顿第二定律可以得出转动惯量的定义：L = Iω其中L是质点的角动量，I是转动惯量，ω是角速度。
根据角速度的定义ω = v/r，代入上式可以得到：L = I(v/r)根据角动量的定义 L = mvr，整理后得到质点的转动惯量公式：I = mr²这是点质量的转动惯量公式。
二、细长杆的转动惯量下面我们考虑一个细长杆绕其一端竖直轴旋转的情况。
假设细长杆的长度为L，质量为m，转动惯量为I。
根据定义，转动惯量可以表示为质量对质点到轴线距离的平方乘以质量的累加，即：I = ∫(r²)dm对细长杆来说，可以将其看作许多质点的组合。
假设杆的密度分布为ρ，某一质点到杆一端的距离为x，根据质点位置与质量的联系可以将上式进一步化简为：I = ∫(x²ρdx)对于线密度恒定的细长杆，上式可以进一步简化为：I = (1/3)mL²这是细长杆的转动惯量公式。
三、薄环的转动惯量接下来我们考虑一个薄环绕其对称轴旋转的情况。
假设薄环的质量为m，半径为R，转动惯量为I。
根据定义，薄环的转动惯量可以表示为质量对质点到轴线距离的平方乘以质量的累加，即：I = ∫(r²)dm对于环形结构，我们可以将其视为无数个质点的组合。
假设环的线密度为σ，某一质点与对称轴的距离为r，根据质点位置与质量的联系可以将上式化简为：I = ∫(r²σdθ)根据螺线线积分的性质，上式可以进一步化简为：I = σ∫(r²dθ)对于一个完整的环来说，θ的取值范围为0到2π。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
各类刚体的转动惯量的证明1.转轴通过圆环中心与环面垂直的转动惯量2mR J =.在圆环上取一质元，其质量为dl dm λ=，dl 为圆弧元，λ为线密度（Rm πλ2=）。
该质元对中心垂直轴Z 的元转动惯量dl R dm R dJ 22λ==，圆环对该轴的转动惯量为220322mR R dl R dJ J R====⎰⎰ππλλ2.转轴沿圆环直径的转动惯量22mR J =.在圆环上靠近转轴的一处取一质元dm ，其弧长为dl ，质元与圆心的连线和转轴Z 的夹角（微夹角）为θd 圆环的线密度Rmπλ2=，其中=dl θRd ，θπθπλd m Rd R m dl dm 22===.该质元的转动惯量为θθπθπθd mR d m R dm R dJ 2222sin 22)sin (===θθππθθπd mR mR d mR )2cos 44()22cos 1(2222-=-=则圆环对该转轴的转动惯量为22sin 84)2cos 44(220202222mR mR mR d mR mR dJ J =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-==⎰⎰ππθππθθππ3.转轴通过薄圆盘中心与圆盘垂直的转动惯量22mR J =.在圆盘上取一半径为r ，宽度为dr 的细圆环，圆盘的质量面密度为2R mπσ=，该圆环的元面积为rdr dS π2=，圆环的质量为dr r dS dm σπσ2==.该圆环对转轴的转动惯量为dr r dm r dJ 322σπ==则整个圆盘的转动惯量为22121224403mR R r dr r dJ J RR=====⎰⎰σπσπσπ4.转轴沿圆筒几何轴的转动惯量)(222r R m J +=.在圆筒上取一微截圆筒，其质量为dm ，再在该微截圆筒上取一宽度为dr ，半径为r 的元圆筒，记取得的元圆筒质量为dM （由于微截圆筒和元圆筒的厚度非常微小，可将微截圆筒和元圆筒看成质量为dm 和dM 的圆环）.圆环的面密度)(22r R dm-=πσ.元圆筒的面积rdrdS π2=元圆筒的质量rdr dS dM σπσ2==元圆筒对Z 轴的转动惯量为drr r rdr dJ RrRr⎰⎰==322)2(πσπσ))((21)(21212222444r R r R r R r Rr+-=-==πσπσπσdm r R r R r R 2)()()(21222222-=-+=σπ则整个圆筒的转动惯量为)(2222022r R mdm r R dJ J m+=+==⎰⎰.5.转轴沿圆柱体几何轴的转动惯量22mR J =.在圆柱体上取一微圆柱体，其质量为dm ，由于该微圆柱体厚度极小，可将该微圆柱体看成一圆盘。
在圆盘上取一宽度为dr ，半径为r 的圆环，记该圆环的质量为dM 。
圆盘的面密度为2R dmπσ=.圆环的面积为rdr dS π2=，质量rdrdS dM πσσ2==圆环的转动惯量drr dM r dJ 3202σπ==圆盘的转动惯量为dmR R r dr r dJ dJ dJ RRR 2221224043000======⎰⎰⎰σπσπσπ则整个圆柱体的转动惯量为2222mR dm R dJ J m===⎰⎰.6.转轴通过圆柱体中心与几何轴垂直的转动惯量12422mL mr J +=.在圆柱体上取一厚度为dy 的微圆柱体，再在该微圆柱体上切一宽度为dx 的微细长方体，如上图。
该微细长方体一端的坐标为),(z x ，设该点与圆心的连线同x 轴的夹角为θ，圆柱体的半径为r ，则有θθsin ,cos r z r x ==。
圆柱体的密度为Lr m2πρ=细微长方体的体积为zdxdy dV 2=，质量为zdxdy dV dm ρρ2==，到转轴Z 的距离为22y x Rg +=则细长方体的转动惯量为dV y x dm Rg dJ ρ)(2220+==dxdy y x z )(222+=ρ则整个细微圆柱体的转动惯量为dxdyy x z dJ J dJ rr⎰⎰-+===)(22200ρ将θθsin ,cos r z r x ==代入上式得dxdyy r r dJ rr⎰-+=)cos (sin 2222θθρ)cos ()cos (sin 2222θθθρr d r y rdy rr⎰-+=⎰+-=022222)cos (sin 2πθθθρd r y dy r 由二倍角公式得214cos 2cos ,212cos cos ,22cos 1sin 222+=+=-=θθθθθθ则dyr y r r y r y dy r d r y r y dy r d r y dy r d r y dy r dJ )4(4sin 322sin 4842)4cos 82cos 284(2)212cos (22cos 12)cos (sin 242222222022222220222222ρπρπθθθρθθθρθθθρθθθρππππ+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=--+-=++--=+-=⎰⎰⎰则整个圆柱体的转动惯量为12441243)4(224322243222422mL mr Lr L r y r y r dyr y r dJ J LLL L +=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+==--⎰⎰ρπρπρπρπρπρπ7.转轴通过细棒中心与棒垂直的转动惯量122ml J =.在棒上取一质元，质元的长度为dx ，距转轴Z 的距离为x ，设细棒的线密度为λ，则lm=λ，该质元的质量为dx dm λ=质元的转动惯量为dx x dm x dJ 22λ==则整个细棒的转动惯量为1212123222ml l dx x dJ J l l ====⎰⎰-λλ8.转轴通过细棒端点与棒垂直的转动惯量为32ml J =.在棒上取一质元，质元的长度为dx ，距转轴Z 的距离为x ，设细棒的线密度为λ，则lm=λ，该质元的质量为dx dm λ=.质元的转动惯量为dx x dm x dJ 22λ==则整个细棒的转动惯量为3312302ml l dx x dJ J l ====⎰⎰λλ9.转轴通过球体沿直径的转动惯量为522mr J =.如上图，在离球心距离为z 处取一厚度为dz 的圆盘，圆盘半径为Rg 。
在圆盘上取一宽度为dy ，半径为y 的圆环。
设球的密度为ρ，334r m πρ=，则圆盘的质量为dz Rg dm 2ρπ=，22z r Rg -=，圆盘的面密度为2Rgdmπσ=。
在圆盘的圆环上取一长度为dl 的质元，则质元的质量dydldS dm σσ==0质元的转动惯量为dydl y dm y dJ 2020σ==则圆环的转动惯量为⎰⎰===ydyy dydl y J J ππσσ2032002整个圆盘的转动惯量为⎰⎰⎰-===22033022z r Rgdy y dy y J dJ πσπσ2)(222z r -=πσdzz r dz z r Rg dm ρπρππσ=--==)()(22222则2)(22dzz r dJ -=πρ整个圆球的转动惯量为521582)(2522mr r dz z r J rr==-=⎰-πρπρ10.转轴沿球壳直径的转动惯量322mr J =.在球壳上取一圆心角为θd 的圆环，球壳半径为r ，则圆环的宽度为θrd ，设圆环的半径为Rg ，圆环上一点与球心O 连线同z 轴的夹角为θ，则θsin r Rg =。
球的面密度为24r m πσ=在圆环上取一长度为dl 的质元，则质元的质量为θσσrdld dS dm ==0质元的转动惯量为θσrdld Rg dm Rg dJ 2020==圆环的转动惯量为θθπσθσπd r dl rd Rg dJ dJ Rg342020sin 2===⎰⎰则整个球壳的转动惯量为3238cos cos 312sin 2sin 22403403434mr r r d rd r J ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-===⎰⎰πσθθπσθθπσθθπσπππ11.转轴沿底面是正方形的长方体的几何轴的转动惯量62mL J =.长方体底面边长均为L ，高为h ，在长方体沿转轴z 方向取一长为dy ，宽为dx ，高为h 的细长方体，由于该细长方体横截面非常小，因此横截面上任意一处可看成一个坐标为),,(z y x 的点。
长方体的密度为2hL m =ρ细长方体的转动半径为22y x r +=其质量为hdxdydm ρ=0则细长方体的转动惯量为hdxdy y x dm r dJ ρ)(22020+==整个长方体的转动惯量为66)()()(2422222222222222mL hL dx y x dy h hdxdy y x hdxdy y x J L L L L L L L L ==+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰----ρρρρσ12.转轴沿圆盘直径的转动惯量42mr J =.在圆盘上取一宽度为dz 长为Rg 2的长方形，22z r Rg -=如上图。
圆盘的面密度为2r m πσ=长方形质量为Rgdzdm σ2=长方形的转动惯量为dzz r dz Rg dl dzl dJ Rg3)(2322322302-===⎰σσσ则整个圆盘的转动惯量为4sin 34sin )cos (34)(34)(3222244022220232202322mr d r d r r r dz z r dzz r J r r=-=--=-=-=⎰⎰⎰⎰ππθθσθθθσσσ。