刚体运动学与刚体转动惯量
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学——刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学是研究刚体运动的物理学分支，主要研究刚体的平动和转动。
在刚体的运动过程中，角动量的守恒定律是关键的一条定律，它在很多物理问题的求解中起着重要的作用。
一、刚体转动的基本概念刚体是指具有一定形状和大小的物体，在运动过程中保持其形状和大小不变的情况下，绕一个固定轴线进行旋转。
在刚体转动的过程中，存在着固定轴线上的角位移、角速度、角加速度等概念。
角位移表示刚体在转动过程中的角度变化，通常用符号θ表示；角速度表示单位时间内刚体转动的角度变化率，通常用符号ω表示；角加速度表示单位时间内角速度的变化率，通常用符号α表示。
二、刚体的转动与力矩刚体在转动过程中需受到外力的作用，这些外力可以将刚体带动产生转动现象。
力矩是刚体转动的重要力学量，它描述了力对于刚体转动的影响程度。
力矩的大小等于力乘以作用点到转轴的距离，用数学式表示为：τ = F × r其中τ表示力矩，F表示力的大小，r表示作用点到转轴的距离。
三、刚体的转动惯量与角动量刚体的转动惯量与角动量是刚体转动过程中的另外两个重要概念。
转动惯量描述了刚体对于转动的惯性程度，它的大小取决于刚体的质量分布和几何形状。
角动量描述了刚体在转动过程中的旋转性质，它等于刚体质量的转动惯量乘以角速度，用数学式表示为：L = I × ω其中L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
四、角动量守恒定律角动量守恒定律是刚体动力学中的一个基本定律，它表明在没有外力矩作用的情况下，刚体转动过程中的角动量保持不变。
如果一个刚体在初态时角动量为L1，在末态时角动量为L2，且没有外力矩作用，则有L1 = L2。
这一定律体现了一个自然规律，对于理解刚体的转动过程和求解相关物理问题具有重要意义。
五、应用案例角动量守恒定律可以应用于各种实际物理问题的求解中，例如刚体的转动稳定性、陀螺的运动等。
常见刚体转动惯量
常见刚体转动惯量刚体转动惯量是描述刚体围绕某一轴旋转时所表现出的惯性特性。
研究刚体转动惯量的目的是为了更好地理解刚体的运动规律和性质。
在物理学中，刚体转动惯量通常用I表示，它是刚体质量分布在旋转轴周围的离散点上的质量分布和离转轴距离的平方乘积之和。
刚体转动惯量的大小与刚体的形状、质量分布和旋转轴的位置有关。
对于具有均匀质量分布的刚体，其转动惯量可用简单的公式进行计算。
例如，对于一个球体，其转动惯量可表示为2/5 * m * r^2，其中m为球体的质量，r为球体的半径。
对于其他形状的刚体，如长方体或圆柱体，可以通过相应的公式计算其转动惯量。
刚体转动惯量在物理学中有着广泛的应用。
在工程领域，研究刚体转动惯量可以帮助设计合适的机械系统，确保其运动的稳定性和平衡性。
在运动学和动力学领域，刚体转动惯量是分析刚体旋转运动的重要参数。
在天文学中，研究天体的转动惯量可以帮助科学家理解宇宙中的星系和行星的运动规律。
除了了解刚体转动惯量的物理意义，我们还可以从中体会到自然界的奥秘和美妙。
刚体转动惯量的大小不仅取决于其形状和质量分布，还取决于旋转轴的位置。
这意味着刚体的旋转运动是一种既复杂又精确的过程。
正是由于刚体转动惯量的存在，我们才能观察到日常生活中的许多有趣现象，如陀螺的旋转、滚筒的滚动和车辆的转弯等。
当我们试图推动一个旋转的陀螺或转动的滚筒时，我们会感受到转动惯量的作用。
由于转动惯量的存在，我们需要施加更大的力才能改变刚体的旋转状态。
这也是为什么陀螺和滚筒在旋转时保持稳定的原因。
刚体转动惯量的概念使我们能够更好地理解和解释这些现象。
刚体转动惯量是描述刚体围绕某一轴旋转时所表现出的惯性特性。
它与刚体的形状、质量分布和旋转轴的位置有关，具有重要的物理意义和广泛的应用。
通过研究刚体转动惯量，我们可以更好地理解和解释刚体旋转运动的规律，并体会到自然界的奥秘和美妙。
希望这篇文章能够使读者对刚体转动惯量有更深入的了解，并对物理学产生更大的兴趣。
刚体转动与转动惯量计算
刚体转动与转动惯量计算刚体转动是物理学中一个重要的概念，它描述了物体在空间中绕某个轴旋转的运动。
而转动惯量则是衡量物体对转动运动的惯性大小的物理量。
在本文中，我们将探讨刚体转动以及转动惯量的计算方法。
一、刚体转动的基本概念刚体是指其内部各点之间的相对位置保持不变的物体。
当一个刚体绕某个轴旋转时，我们可以将其看作由无数个质点组成的系统。
每个质点围绕轴线作圆周运动，但由于刚体是刚性的，各个质点的圆周运动是同步的，因此整个刚体呈现出旋转的状态。
在刚体转动中，我们常用到角度、角速度和角加速度等概念。
角度表示刚体绕轴线旋转的程度，通常用弧度制来表示。
角速度表示单位时间内刚体旋转的角度变化量，用符号ω表示。
角加速度则表示单位时间内角速度的变化量，用符号α表示。
二、转动惯量的概念转动惯量是描述物体对转动运动的惯性大小的物理量。
它与物体的质量分布和轴线的位置有关。
对于一个质量分布均匀的物体，其转动惯量可以通过以下公式计算：I = ∫r^2 dm其中，I表示转动惯量，r表示质点与轴线的距离，dm表示质点的质量元素。
对于一个质量分布不均匀的物体，我们需要将其分割成无数个质点，然后对每个质点的转动惯量进行求和，才能得到整个物体的转动惯量。
三、转动惯量的计算方法在实际计算转动惯量时，我们常用到一些常见的几何体的转动惯量公式。
以下是一些常见几何体的转动惯量计算公式：1. 球体的转动惯量计算公式：对于一个半径为r、质量为m的球体，其转动惯量可以通过以下公式计算：I = (2/5)mr^22. 圆柱体的转动惯量计算公式：对于一个半径为r、质量为m、高度为h的圆柱体，其转动惯量可以通过以下公式计算：I = (1/2)mr^2 + (1/12)mh^23. 平板的转动惯量计算公式：对于一个质量为m、边长为a的平板，其转动惯量可以通过以下公式计算：I = (1/12)ma^2除了以上几何体的转动惯量计算公式外，对于其他复杂形状的物体，我们可以利用积分的方法进行求解。
大学物理2-1第5章
若质量离散分布：
（质点，质点系）
J i mi ri2
J r2 dm
若质量连续分布：
dm dl
其中： d m d s
d m dV
例题补充 求质量为m，半径为R 的均匀圆环的对中心 轴的转动惯量。 解： 设线密度为λ； d m d l
J R dm
2
2R
0
R dl
2
o
R
dm
R2 2R mR2
例题5-3 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴 的转动惯量。 解： 设面密度为σ。
取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,
R
d m d s 2 r d r
J r d m r 2 2r 2 d r
2
3 3g 2L
2)由v r得： v A L
L 3 3 gL 3 3 gL vB 2 8 2
5.2 定轴转动刚体的功和能
一、刚体的动能 当刚体绕Oz轴作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时 均以相同的角速度绕该轴作圆周运动。
2 2 质元mi的动能 E ki mi v i mi ( i ri )2 mi ri 2
2）取C 点为坐标原点。 在距C 点为x 处取dm 。 说明
A
A
x dm
B
L
C
x
x
xd m B
L2
L2
2 mL x 2 d x 12
JC x 2 d m
L 2 L 2
1) 刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定; 2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。
转动惯量定义
转动惯量定义转动惯量是刚体运动学中的一个重要概念，它描述了刚体绕轴线旋转时所表现出的惯性特性。
在物理学中，转动惯量通常用大写字母I 表示。
转动惯量的大小取决于刚体的质量分布以及绕轴线的位置和方向。
我们需要理解什么是刚体。
刚体是一个几何形状固定且质量均匀分布的物体。
当一个刚体绕某个轴线旋转时，不同部分的质量会对旋转产生不同的影响。
转动惯量正是用来描述这种影响的物理量。
转动惯量的定义是刚体绕轴线旋转时，各部分质量与其与轴线距离平方的乘积之和。
转动惯量的计算需要考虑刚体的形状和质量分布。
对于简单的几何形状，可以使用相应的公式进行计算；而对于复杂的形状，通常需要使用积分来求解。
转动惯量有很多重要的应用，其中之一是描述刚体的旋转运动。
根据牛顿第二定律，刚体的旋转运动可以用转动惯量和角加速度的乘积来描述。
转动惯量越大，刚体对外力的抵抗能力越强，旋转越困难；转动惯量越小，刚体旋转的灵活性越高。
转动惯量还与刚体的稳定性密切相关。
当刚体绕某个轴线旋转时，如果该轴线通过刚体的质心，那么转动惯量达到最小值，刚体的稳定性最高。
而如果轴线偏离质心，转动惯量将增大，刚体的稳定性会降低。
需要注意的是，转动惯量是一个标量，它只有大小没有方向。
对于对称物体，转动惯量通常与轴线的方向无关；而对于非对称物体，转动惯量则取决于轴线的方向。
转动惯量在工程和科学研究中都有广泛的应用。
例如，在机械工程中，转动惯量是设计旋转系统和机械装置时必须考虑的重要参数。
在天体物理学中，转动惯量是研究行星、恒星和星系旋转运动的基础。
转动惯量是描述刚体旋转运动的重要物理量，它与刚体的质量分布和轴线的位置和方向密切相关。
转动惯量的大小决定了刚体对旋转的抵抗能力和稳定性。
在工程和科学研究中，转动惯量有着广泛的应用。
通过对转动惯量的研究，我们可以更好地理解和描述刚体的旋转运动。
大学刚体知识点总结
大学刚体知识点总结一、刚体的概念和基本性质1. 刚体的基本概念刚体是指在运动或受力作用时，其内部各个部分之间的相对位置保持不变的物体。
刚体的定义包括两个方面：一是刚体的形状和大小在所讨论的现象中不发生改变；二是刚体内各点的相对位置在所讨论的现象中也不发生改变。
这意味着刚体是刚性的，并且不会发生形变。
2. 刚体的基本性质（1）刚性：刚体的所有部分在相互作用下保持相对位置不变，不发生相对位移或形变，这就是刚体的基本性质之一。
（2）刚体的自由度：刚体的自由度是指刚体可以自由运动的最少独立坐标数。
刚体的自由度可以通过不同类型的运动来描述，包括平动、转动和复合运动。
（3）刚体的质心：刚体的质心是指一个质点，它等效于整个刚体对于外力的作用。
在某些情况下，刚体可以看作是一个质点，其运动和受力可以通过质心来描述。
二、刚体的平动1. 刚体的平动运动在刚体的平动运动中，刚体上的各个点都以相同的速度和方向移动。
平动运动可以通过刚体的速度和加速度来描述，它是刚体运动的一种常见形式。
2. 刚体的平动运动描述（1）刚体的平动速度：刚体上的各个点的速度大小和方向相同，这就是刚体的平动速度。
刚体的平动速度可以通过质点运动方程或者质心运动方程来描述。
（2）刚体的平动加速度：刚体上的各个点的加速度大小和方向相同，这就是刚体的平动加速度。
刚体的平动加速度可以通过质点加速度方程或者质心加速度方程来描述。
（3）刚体的平动运动学问题：刚体的平动运动学问题包括刚体的位移、速度、加速度等相关内容，它们可以通过运动学方法来解决。
三、刚体的转动1. 刚体的转动运动在刚体的转动运动中，刚体围绕固定轴旋转。
转动运动是刚体运动的另一种常见形式，它可以通过角度和角速度来描述。
2. 刚体的转动运动描述（1）刚体的角度和角速度：刚体围绕固定轴旋转时，可以通过角度和角速度来描述。
角度是指刚体围绕轴线旋转的角度，角速度是指刚体围绕轴线旋转的角度变化率。
（2）刚体的转动惯量：刚体围绕轴线旋转时，需要通过转动惯量来描述其转动惯性。
刚体力学刚体动力学举例
2
2
1 M zdt 1 M zd
T
1 2
x
y
z
I xx
I yx
I
zx
I xy I yy Izy
I xz x I yz y I zz z
T
1 2
I z
2
刚体的动能定理可表示为：A
Jo
1 4
mR2( 2k
21k')
(六) 动能定理
五、 刚体动力学—动能定理
对于刚体来说，由于内力功的代数和为零，故动能
定理可表为： W e T T2 T1
①刚体动能的一般表示 — 柯尼希定理
T
i
1 2
mi ri
ri
1 2
mrc
rc
2 1
M zd
1 2
I
2
z2
1 2
I
2
z1
机械能守恒:
1 2
I zz 2
V
E
(5) 刚体的重力势能
刚体的定轴转动
对于一个不太大的质量为 m 的物体，它的重
力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和
即：
质心高度为：
hc
mihi
m
Ep mghc
若只有保守力做功
E
mghc
刚体的定轴转动
刚体的定轴转动
(4) 定轴转动的动能定理
对定轴转动的情况，假设 k ，则：
W e
2 2 F dr F vdt
刚体的知识点总结
刚体的知识点总结一、刚体的概念刚体是物理学中的一个重要概念，它是指在运动或静止过程中，形状和大小不发生改变的物体。
刚体具有以下特点：1. 刚体的分子结构相对固定，对外力的变形能力非常小。
2. 刚体受到外力作用时，其内部分子之间的相对位置发生微小变化，但整体上保持不变。
3. 刚体在变形后会恢复原状，即使外力作用消失后也会保持所受外力时的状态。
刚体的概念在物理学中有重要的应用，在力学、动力学、静力学等领域都有广泛的应用。
二、刚体的基本性质1. 自由度刚体在运动过程中具有自由度的概念，即刚体在空间中的自由度是指其可以围绕固定坐标系的运动方式。
2. 平移运动刚体在空间中可以进行平移运动，即整个刚体的位置随时间发生变化，但其形状和大小保持不变。
3. 旋转运动刚体在空间中也可以进行旋转运动，即围绕某一固定点或者固定轴进行旋转运动，这种运动称为刚体的自由旋转。
4. 刚体的定点定轴运动刚体在空间中也可以进行以某一固定点为中心或者以某一固定轴为旋转轴的运动，这种运动称为刚体的定点定轴运动。
5. 定点定轴自由度刚体在空间中具有三个定点定轴自由度，即刚体的位置可以变化，且可以绕三个固定轴进行旋转运动。
6. 刚体的平移自由度刚体在空间中具有三个平移自由度，即刚体在空间中可以相对于三个坐标轴进行平移运动。
7. 刚体的旋转自由度刚体在空间中具有三个旋转自由度，即刚体在空间中可以绕三个坐标轴进行旋转运动。
以上是刚体的基本性质，了解这些性质有助于我们在物理学研究中更深入地理解刚体的运动规律。
三、刚体的运动学分析1. 刚体的速度刚体在空间中的运动状态可以用速度来描述，刚体的速度分为线速度和角速度。
线速度是描述刚体中任一点的速度，通常用矢量来表示，可以用向量表示。
角速度则是描述刚体的旋转运动状态，通常用矢量来表示，可以用向量表示。
2. 刚体的加速度刚体在运动中会受到外力的影响，导致其速度发生变化，这种速度变化的率就是刚体的加速度。
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z
F
F1
F2
o
4、合力矩
M ri Fi
M＝ Mi
F1
结论：合力矩对于每个分力的力矩之和。
5、单位
N· m F2 Fn
p
r
P
二、转动定律
1、一个质点的情况
Fn=man，通过转轴，力矩为零 切向力 Ft=mat=mrα 对转轴的力矩为 M= Ft r= mr2α
法向力
质点的角加速度与质点所受的力矩成正比 2、内力矩 两个内力的合力矩为零。 推广：刚体的内力力矩之和为零。 f
－ 0
t
10 15 1rad/s 2 5
(2) 利用公式
2 02 102 152 0 62.5rad 2 2 (1)
5秒内转过的圈数
0 10rad/s 0 0 t
0 10 10s 1
0 62 .5 N 10圈。 2 2 3.14
2、转动
刚体中所有的点都绕同一 条直线作圆周运动，这种 运动称为转动。这条直线 叫作转轴。
瞬时转轴：
转轴随时间变化 —— 一般转动 固定转轴： 转轴不随时间变化—— 刚体定轴转动
z ω ,α v
r P θ
定轴转动的特点：
•各质点都作圆周运动； •各质点圆周运动的平面垂直于轴线， 圆心在轴线上； •各质点的矢径在相同的时间内转过的 角度相同。
三、转动惯量
1、定义
刚体的转动惯量等于刚体上 各质点的质量与各质点到转 轴距离平方的乘积之和。 z yi xi ri Δ mi y
2、说明
•转动惯量是标量； •转动惯量有可加性； •单位：kg· m2
x
3、转动惯量的计算
若质量离散分布 若质量连续分布
J＝ mi ri
i
2
J r dm
2
例1、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯 量。 B A 解：取如图坐标，dm=dx X L L 2 2
角加速度α
转动平面
o
r
·
p
d d 2 ＝lim 2 dt dt t 0 t
三、匀变速转动
当刚体定轴转动时，如果在任意相等的时间间隔内，角速度 的增量都是相等的，这种变速转动叫做匀变速转动。
＝const 角速度 ＝ 0 t 1 2 ＝ 0 t t 角位移 2 1 2 角位置 ＝ 0＋ 0 t t 2 四、角量与线量的关系
d
f’
3、刚体的情况
把刚体看成是由许多质点所组 成的，对于质点i，假设它的质 量为△mi，所受的外力为Fi， 内力为f i，则 2 i i i
M ＝m r
i
其中Mi为外力矩和内力矩之和。
M ＝ m r
2 i i
合力矩＝外力矩之和＋外力矩之和=外力矩之和=M
m r ＝ m r
4－2 力矩 转动定律 转动惯量
一、力矩
1、引入
外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用点的 位置有关。
•力通过转轴：转动状态不改变 •力离转轴远： •力离转轴近： 2、力对点的力矩
容易改变 不易改变
F
M
M r F
r
O r
F
M＝Fr sin
θ
3、力对转轴的力矩
力对O点的力矩在通过O点的轴上的 投影称为力对转轴的力矩
r 向参 刚体 O× 考 方 定轴
3、刚体的一般运动
一个汽车轮子在地 上的滚动 A、B、C、…各点的 运动都不相同
C
A
BoLeabharlann B A C A A CC
o
B
o
B
B C
o o轮子的平动
刚体的运动＝平动＋转动 o
绕过o 轴的转动
A
二、刚体转动的角速度和角加速度
角位置θ 角速度ω
d ＝lim dt t 0 t
2 i i
2
i i
定义转动惯量
J＝ mi ri
2
M J
转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受
的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
说明：
1)合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的； 2)转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是 解决刚体定轴转动问题的基本方程。
J A x dx mL / 3
0
JC
L 2 L 2
x 2dx mL2 / 12
A L/2
C L/2
B X
例2、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转 动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解：
J R dm R
2
2
dm mR
2
O
R dm
例2、求质量为m、半径为R均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平 面垂直并通过盘心。 解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
角加速度
速度 切向加速度 法向加速度
v r at r
an r
v
P
o r
2
例题、 一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角速度 由15rad/s 匀减速地降到10rad/s 。求：(1)角加速度；(2)在此5s 内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停止转动。 解 根据题意，角加速度为恒量。 (1) 利用公式 (3) 再利用
大学物理学电子教案
刚体的转动(1)
4-1 刚体的定轴转动 4-2 力矩 转动定律 转动惯量(上) • 力矩 • 转动定律 • 转动惯量
第四章
刚体的转动
引言
物体的形状和大小不发生变化，即物体内任意两 点之间的距离都保持不变——刚体。
说明 1) 理想化的力学模型； 2) 任何两点之间的距离在运动过程中保持不变 ；
3)刚体可以看成是无数质点组成的质点系 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距离保持不变 的质点系。
4－1 刚体的定轴转动
一、刚体运动
1、平动
平动是刚体的一种基本运动形式，刚体做 平动时，刚体上所有点运动都相同，可用其上 任何一点的运动来代表整体的运动。
当刚体中所有点的运动轨迹都 保持完全相同时，或者说刚体 内任意两点间的连线总是平行 于它们的初始位置间的连线时， 刚体的运动叫作平动。
•情况1：力与轴平行，则M=0
•情况2：刚体所受的外力F
在垂直于转轴的平面内 力臂：转轴和力的作用线 之间的距离d称为力对转 轴的力臂。 力矩：力的大小与力臂的 乘积，称为力F对转轴的 力矩。M=Fd
o r d F
情况3：
若力F不在垂直与转轴的平面内 与转轴平行的分力F2， 在垂直与转轴平面内的分力F1 只有分力F1才对刚体的转动状态有 影响。