刚体绕质心轴的转动惯量最小如
刚体转动惯量的研究
刚体转动惯量的研究转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，是表征刚体特征的一个物理量。
测量特定物体的转动惯量对某些研究设计工作都具有重要意义。
刚体的转动惯量与刚体的大小、形状、质量、质量的分布及转轴的位置有关。
如果刚体是由几部分组成的，那么刚体总的转动惯量就相当于各个部分对同一转轴的转动惯量之和，即++=21J J J 对于形状简单的匀质刚体，可以用数学方法直接计算出其绕定轴转动时的转动惯量，但对形状比较复杂或非匀质刚体，一般通过实验来测量。
刚体的转动惯量可以用扭摆、三转摆、转动惯量仪等仪器进行测量。
（一）用扭摆法测定刚体的转动惯量一 实验目的1. 熟悉扭摆的构造及使用方法，测定扭摆的设备常数（弹簧的扭转系数）K ;2. 用扭摆测量几种不同形状刚体的转动惯量，并与理论值进行比较；3. 验证转动惯量的平行轴定理。
二 仪器和用具扭摆装置及其附件（塑料圆柱体等），数字式计时仪，数字式电子天平， 钢直尺，游标卡尺等。
三 实验装置及原理 扭摆的结构如图4-1所示，在垂直轴1上，装有一个薄片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。
在轴1的上方可以安装各种待测物体。
为减少摩擦，在垂直轴和支座间装有轴承。
3为水准器，以保证轴1垂直于水平面。
将轴1上方的物体转一个角度θ，由于弹簧发生形变将产生一个恢复力矩M ，则物体将在平衡位置附近作周期性摆动。
根据虎克定律有θK M -= (4-1) 式中k 为弹簧的扭转系数。
而由转动定律有βJ M = 式中J 为物体绕转轴的转动惯量，β为角加速度，将式4-1代入上式即有θβJK-= (4-2) 令J K /2=ω，则有θωβ2-=此方程表示扭摆运动是一种角谐振动。
方程的解为)cos(ϕωθ+=t A式中A 为角谐振动的角振幅, ϕ为初相位角, ω为角谐振动的圆频率。
此谐振动摆动周期为KJT πωπ22==(4-3)由此可见,对于扭摆,只要测定某一转动惯量已知的物体(如形状规则的匀质物体,可用数学方法求得其转动惯量)的摆动周期,即可求得扭转系数K ,对其它物体,只要测出摆动周期T ,就可根据式(4-3)求得转动惯量J 。
转动惯量_精品文档
转动惯量刚体是力学中的一个理想模型, 是指在任何情况下物体形状、大小都不发生变化的力学研究对象, 其运动主要是平动与转动, 而转动是最主要的研究方向。
在日常生活与生产中, 许多现象都可以视为刚体的转动, 如电机转子的转动, 炮弹的自旋等。
因此研究刚体的转动有着极其重要的作用和意义。
刚体的转动惯量是非常重要的物理量, 它表示刚体转动惯性大小的物理量, 是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要工程技术参数。
如钟表摆轮、精密电表动圈的体形设计、导弹和卫星的发射等, 都不能忽视转动惯量的大小。
因此转动惯量的测量成为大学物理实验中的基本实验。
刚体的转动惯量与刚体的质量分布、形状和转轴位置都有关系。
对于形状规则、材料密度均匀的标准件, 它的转动惯量可以根据公式计算, 但在工程实践中, 我们常碰到大量形状复杂, 且质量分布不均匀的刚体（例如枪炮的弹丸、电动机的转子等）, 计算它们的转动惯量非常困难, 通常用实验的方法来确定。
转动惯量的测量, 基本实验方法是转换测量。
即使刚体以一定的形式运动, 通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量之间的关系, 进行转换测量。
刚体转动惯量的测量方法有很多, 如利用三线摆、扭摆、刚体转动实验仪等。
本实验使刚体做扭转摆动, 由摆动周期及其它参数的测定算出刚体的转动惯量。
实验目的1. 熟悉扭摆的构造、使用方法和转动惯量测量仪的使用2. 利用塑料圆柱体和扭摆测定几种不同形状刚体的转动惯量J和扭摆弹簧的扭摆常数K3. 研究刚体转动周期与转轴位置改变时的变化规律实验原理本实验使物体作扭转摆动, 测定摆动周期和其它参数, 从而计算出刚体的转动惯量。
扭摆的构造如图1所示。
垂直轴上装有金属细杆, 水平仪通过调节仪器底座上的三螺钉使顶面水平, 螺旋弹簧用以产生恢复力矩, 使垂直轴上装的待测物体作简谐振动。
图1 扭摆构造简图扭摆的简谐振动: 将待测物体装在垂直轴上, 并转过一定角度θ, 在弹簧的恢复力矩作用下, 物体开始绕垂直轴作往返运动。
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
刚体的转动惯量
刚体的转动惯量1.刚体的转动惯量的三要素 刚体对某轴的转动惯量，是描述刚体在绕该轴的转动过程中转动惯性的物理量. 有转动惯量 的定义式 I miri2 可看出，刚体的转动惯量是与下列三个因素有关的.（1）与刚体的质量有关. 例如半径相同的两个圆柱体，而它们的质量不同，显然，对于相 应的转轴，质量大的转动惯量也较大. （2）在质量一定的情况下，与质量的分布有关. 例如质量相同、半径也相同的圆盘与圆环， 二者的质量分布不同，圆环的质量集中分布在边缘，而圆盘的质量分布在整个圆面上，所以， 圆环的转动惯量较大. （3）还与给定转轴的位置有关，即同一刚体对于不同的转轴，其转动惯量的大小也是不等 的. 例如，同一细长杆，对通过其质心且垂直于杆的转轴和通过其一端且垂直于杆的转轴， 二者的转动惯量不相同，且后者较大. 这是由于转轴的位置不同，从而也就影响了转动惯量 的大小.刚体的转动惯量的三要素：刚体的总质量、刚体的质量分布情况、转轴的位置. 2.转动惯量的普遍公式 （1）转动惯量的定义式 I miri2·········○1可知，对于形状规则、质量均匀分布的连续刚体，其对特殊轴的转动惯量的计算可借助于定积分. 这是，可设想将刚体分成许多小线元、面元、体元.dm dx dm dS dm dV于是 I r2dm r2dx l I r2dm r2 dS S I r2dm r2dV V一般说来，这是个三重的体积分，但对于有一定对称性的物体，积分的重数可以减少，甚至不需要积分.（2）刚体对某轴的转动惯量刚体对 z 轴的转动惯量 Iz r2 z2 dm x2 y2 dm·········○2a刚体对 x 轴的转动惯量 Ix r2 x2 dm y2 z2 dm·········○2b刚体对 y 轴的转动惯量 Iy r2 y2 dm x2 z2 dm·········○2c仿照刚体对某轴的转动惯量来定义刚体对于某点的转动惯量：刚体中各质点的质量各自与其至某（参考）点的距离的平方的乘积，所得总和称为刚体对该点的转动惯量.（3）刚体对某点的转动惯量刚体对坐标原点 O 的转动惯量可表示为 IO x2 y2 z2 dm·········○3由式○2 、○3 ，得 IO1 2Ix Iy Iz·········○4即，质点系（刚体）对于坐标原点的转动惯量（或极转动惯量），等于它对于三个坐标轴的 转动惯量之和的一半. 3.刚体的平行轴定理（许泰乃尔定理）I IC md 2·········○5即，刚体对于任何一轴的转动惯量，等于刚体对于通过它的质心并与该轴平行的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.注意：平行轴定理与刚体对质心轴的转动惯量紧密联系在一起，应用此定理的参考点是刚体对质心轴的转动惯量.根据平行轴定理，可得到如下关系：（1）刚体绕通过质心的轴的转动惯量小于绕另一平行轴的转动惯量，二者之差为 md 2 .（2）设有两条平行轴 PP ' 与 QQ ' 均不通过质心 C . 如果 PP ' 比 QQ ' 靠近 C ，则刚体绕PP '轴的转动惯量小于绕 QQ ' 轴的转动惯量（如图所示）.QP·C·CQ′P′(a)(b)平行轴定理的应用 (a) 在不同圆上；(b)同一圆上（3）如果有一簇与质心 C 的距离相等的平行轴，那么，刚体绕这些轴的转动惯量均相等（如图 7.52(b)所示）.4.刚体的垂直轴定理（正交轴定理、薄片定理）设想刚体为平面薄片，即厚度可以略去不计，因而刚体为平面图形.Iz Ix Iy·········○6即，平面图形对于图形内的两条正交轴的转动惯量之和，等于这个图形对过二．轴．交．点．且垂．直．于图形平面的那条转轴的转动惯量.注意：正交轴定理对于有限厚度的板不成立.5.转动惯量的叠加原理实际上，有些物体是由几种形状不同的刚体的组合. 它对于某轴的转动惯量，可视为各部分对于同一转轴的转动惯量之和，因而，I I1 I2 I3 ·········○7即，由几个部分组成的刚体对某轴的转动惯量，等于各部分对同轴的转动惯量之和. 此即转 动惯量的叠．加．原．理．.叠加原理是根据加法的组合定则，把属于各部分的项分别相加，然后求和而得.同理，设有一物体挖去若干部分，则剩余部分的转动惯量，等于原物体的转动惯量，减去挖去部分的转动惯量.。
刚体定轴转动定律
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt
刚体的转动惯量
ol
擦，经过时间 t 后杆静止，
求摩擦力矩 M阻。
解：由匀变速转动公式: 0 t
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力矩为：
M阻
J
1 ml 3
2
0
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
m
1 mR2 mR2
R
2
刚体绕质心轴的转动惯量最小
三、垂直轴定理
定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于
平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转
动惯量之和：J z J x J y
证明：
z
Jx y2dm , J y x2dm
Jz r2dm
(x 2 y2 )dm
o
yy
x
r dm
y2dm x 2dm
刚体的转动惯量
一、转动惯量
刚体的转动惯量的定义是：
n
J miri2 i 1
若刚体为连续体，则用积分代替求和：
J r2dm
比较以下两个式子：
M j
,
F
ma
转动惯量是表示转动惯性的量。
例1、长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂 直的质心轴转动，求转动惯量 J。 解：建立坐标系，分割质量元
J x2dm
l 2 x2 m dx 1 ml 2
l 2 l
12
x o x dx
例2、长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一 端轴转动，求转动惯量 J。
解： J x2dm
l x2 m dx 1 ml2
0l
什么是刚体转动惯量的平行轴定理
什么是刚体转动惯量的平行轴定理在物理学中，刚体转动惯量是描述刚体绕轴线旋转的难易程度的物理量。
对于一个给定的刚体，它的转动惯量可能会因为绕不同的轴旋转而发生变化。
在这种情况下，我们就需要用到平行轴定理，来方便地计算出刚体绕某个轴线的转动惯量。
那么，什么是刚体转动惯量的平行轴定理呢？1. 简介刚体的转动惯量可以用来描述刚体围绕某一轴线旋转的难易程度，其大小与刚体的质量分布和旋转轴的位置有关。
而平行轴定理则是描述了这种转动惯量与刚体其他轴线转动惯量的关系。
平行轴定理为计算刚体围绕通过其质心的平行轴的转动惯量提供了一种便捷的方法。
2. 平行轴定理的表述刚体绕通过其质心的轴线的转动惯量可以通过以下公式得到：\[I = \sum m_i r_i^2\]其中，\(m_i\) 是刚体的质量，\(r_i\) 是每个质点到旋转轴的距离。
而根据平行轴定理，刚体绕与通过其质心平行且距离为\(d\)的轴线的转动惯量\(I'\)可以通过以下公式得到：这个公式说明了一个重要的性质，即刚体关于通过其质心的任意一条与初始轴平行的轴线的转动惯量恰好等于其关于质心轴的转动惯量与质量总和乘以平行距离的平方之和。
3. 应用举例为了更好地理解平行轴定理，我们可以通过一个简单的例子来说明其应用。
还是看一个在平行轴定理基础上的问题：求一组质点围绕一个与之共面的轴的转动惯量。
假设有一根长为\(L\)，均匀质量为\(m\)，质点在其上的刚直杆围绕其中心转轴竖直旋转。
竖直轴上有一组质点，每个质点的质量为\(m_i\)，距离竖直轴的水平距离为\(r_i\)。
我们需要求解这组质点围绕竖直轴的转动惯量。
根据平行轴定理，我们可以利用已知的关于质心轴的转动惯量和平行轴定理来解决这个问题。
我们需要计算关于质心轴的转动惯量。
\[I = \frac{1}{12}mL^2\]我们需要计算每个质点关于质心轴的转动惯量。
根据平行轴定理，我们可以得到这组质点关于竖直轴的转动惯量。
刚体转动惯量计算方法
刚体绕轴转动惯性的度量。
其数值为J=∑ mi*ri^2，式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。
；求和号（或积分号）遍及整个刚体。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。
不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。
转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。
由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。
还有垂直轴定理：垂直轴定理一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。
表达式:Iz=Ix+Iy刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。
由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为_____，式中M为刚体质量；I为转动惯量。
转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。
刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。
惯量张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。
补充对转动惯量的详细解释及其物理意义：先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。
E=(1/2)mv^2 （v^2为v的2次方）把v=wr代入上式(w是角速度,r是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点，质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r)得到E=(1/2)m(wr)^2由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的，所以把关于m、r的变量用一个变量K代替,K=mr^2得到E=(1/2)Kw^2K就是转动惯量，分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
J x2dm
l 2 x2 m dx 1 ml 2
l 2 l
12
x o x dx
例2、长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一 端轴转动，求转动惯量 J。
解： J x2dm
l x2 m dx 1 ml2
0l
3
x o x dx
J 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关
刚体的转动惯量
一、转动惯量
刚体的转动惯量的定义是：
n
J miri2 i 1
若刚体为连续体，则用积分代替求和：
J r2dm
比较以下两个式子：
M j
,
F
ma
转动惯量是表示转动惯性的量。
例1、长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂 直的质心轴转动，求转动惯量 J。 解：建立坐标系，分割质量元
例3：在无质轻杆的 b 处与 3b 处各系质量为
2m 和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求：质点
系的转动惯量J。
解：J
2
m iri2
i 1
2mb 2 m (3b)2
2m
m
o
b 3b
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
J
y
1J 2
z
1 4
MR
2
y
z
x
例7、长为 l、质量为 m 的
细杆，初始时的角速度为
0，由于细杆与桌面的摩
ol
擦，经过时间 t 后杆静止，
求摩擦力矩 M阻。
解：由匀变速转动公式: 0 t
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力矩为：
M阻
J
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
r
R 0
r2
R2
2
rdr
1 MR2 2
二、平行轴定理
定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯量 J， 等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与两 轴间的距离平方的乘积： J J C md 2
1 ml 3
2
0
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
（2）
m2
T1 m1
(T1 T2 )R J （3）
m1g
a R
（4）
J 1 MR 2
m2
2
M ,R
m1
M ,R
T2
T1
T2
联立方程，求解得：
a
m1g
m1 m2 M /2
T1
m1 (m 2 m1 m2
M /2)g M /2
T2
m1
m1m 2 g m2 M
/2
m2
M ,R
m1
当 M=0 时：
T1
T2
m1m 2 g m1 m2
mg
例9、测轮子的转动惯量用一根轻绳缠绕在半 径为 R、质量为 M 的轮子上若干圈后，一端挂 一质量为 m 的物体，从静止下落 h 用了时间 t , 求轮子的转动惯量 J 。
解： mg T ma (1)
TR J
(2)
h at2/2
(3)
T
a R
(4)
联立方程，求解得：
T
J mR 2 ( gt 2 2h ) 2h
如： JC
1 2
mR2
J
JC
J JC mR 2
m
1 mR2 mR2
R
2
刚体绕质心轴的转动惯量最小
三、垂直轴定理
定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于
平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转
动惯量之和：J z J x J y
证明：
z
Jx y2dm , J y x2dm
Jz r2dm
(x 2 y2 )dm
o
yy
x
r dm
y2dm x 2dm
x
Jx Jy
例6、半径为 R 质量为 M 的圆盘，求绕直径轴 转动的转动惯量Jy。
解：圆盘绕垂直于盘面的质心 z 轴转动的转 动惯量为：
Jz
1 MR 2
2
J z J x J y 2J y