刚体的转动惯量
刚体的转动惯量
平动动能 1 m 2
2
力的功 A
F dr
ab
动能定理
A
1 2
m 2
1 2
m02
转动动能 1 I 2
2
力矩的功 A
Md
0
动能定理
A
1 2
I 2
1 2
I02
刚体动力学规律旳应用举例
例1：如图，质量m，长为L旳匀质细杆，可绕水 平旳光滑轴在竖直平面内转动，转轴O在杆旳A端。 若使杆于水平位置从静止开始向下摆动，求杆摆 到铅直位置时旳角速度。
一、刚体旳运动
不论在多大外界作用下，物体旳形状和大小均 不发生变化，这么旳物体称为刚体。
各质点间旳相对位置永不发生变化旳质点系。
1、平动 刚体在运动中，其上任意两点旳连线一直保持平行。
A
A
B
A
B
B 平动中刚体上旳各点都有相同旳轨迹、位移、 速度及加速度。用质心运动讨论。
2、定轴转动 刚体上各点均绕同一固定直线旋转旳运动，
M d（I)
dt
措施四：应用机械能守恒定律（见下一种例题 ）
例2：质量m，长为L旳均匀细棒，可绕过其一端旳水平
轴O转动。现将棒拉到水平位置（OA’）放手，棒下
摆到铅直位置（OA）时，与水平面A处旳质量为M旳
物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一
段距离s后停止。设物体与水平面间旳摩擦系数到处
r2dm
转动定律 M I
动量 m，冲量
t Fdt
动量定理
F
t0 dP
dt
角动量 L I,冲量矩
t
Mdt
t0
角动量定理 M dL dt
五、质点与刚体力学规律对照表（续）
刚体力学中的转动惯量与角速度关系
刚体力学中的转动惯量与角速度关系转动惯量是刚体力学中一个重要的概念，它描述了刚体绕某一轴旋转时所表现出的惯性。
在刚体的转动运动中，角速度是时间内角度的改变率，而转动惯量则与刚体的质量分布和轴线的位置有关。
本文将探讨转动惯量与角速度之间的关系，从而揭示刚体在转动过程中的特性。
刚体的转动惯量可以通过一种量化的方式来描述，即使用转动惯量的概念。
对于旋转轴与刚体的质心轴线平行的情况，转动惯量可以表示为I=∫r^2dm，其中r是一个质点到转轴的距离，m是质点的质量。
转动惯量可以看作是刚体对转动运动抵抗的程度，转动惯量越大，刚体越难以改变旋转状态。
同样的，转动惯量也可以通过质量的分布情况来计算。
在研究转动惯量与角速度之间的关系时，有一个重要的概念需要引入，即角动量。
角动量L定义为L=Iω，其中I是刚体的转动惯量，而ω是角速度。
可以看出，角动量与转动惯量和角速度有直接的关系，即角动量正比于转动惯量和角速度的乘积。
换句话说，刚体的角动量与其转动惯量和角速度息息相关。
根据角动量守恒定律，当没有外力作用在刚体上时，刚体的角动量保持不变。
这意味着，在转动过程中，刚体的转动惯量与角速度之间的关系可以通过角动量来刻画。
当刚体围绕固定轴线旋转时，由于角动量守恒，只要转动惯量不变，角速度越大，刚体的角动量越大，转动状态越稳定。
反之，如果角速度较小，刚体的角动量也会减少，从而导致转动不稳定。
然而，在实际情况中，转动惯量与角速度之间的关系往往并不是简单的线性关系。
在考虑了刚体几何形状和转动轴的位置之后，转动惯量可以表示为一组复杂的数学表达式，而角速度也不再是一个简单的常数。
这使得将转动惯量与角速度之间的关系一般化变得具有挑战性。
然而，对于一些特殊情况下的刚体，转动惯量与角速度之间的关系是可以通过一些简单的公式来描述的。
例如，对于一个绕固定轴线旋转的均质球体，其转动惯量可以表示为I=2/5mr^2，其中m是球体的质量，r是球体的半径。
刚体转动惯量计算公式
刚体转动惯量计算公式刚体转动惯量这玩意儿，在物理学里可是个挺重要的概念。
咱们先来瞧瞧啥是刚体转动惯量。
简单说，刚体转动惯量就是衡量刚体转动时惯性大小的一个物理量。
想象一下，你转一个大圆盘和转一个小圆盘，是不是感觉转大圆盘更费劲？这就是因为大圆盘的转动惯量大呀！那刚体转动惯量咋算呢？这就有个计算公式啦。
对于一个绕定轴转动的刚体，其转动惯量 I 等于各个质量元的质量乘以它到转轴距离的平方的总和。
用数学式子表示就是：I = ΣΔmiri² 。
比如说，有一个均匀的细棒，长度为 L ，质量为 M ，绕通过一端且垂直于棒的轴转动。
那这时候转动惯量 I 就等于 1/3 ML²。
我还记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸迷茫地问我：“老师，这转动惯量到底有啥用啊？”我笑着给他举了个例子。
我说：“你看啊，咱们骑自行车，车轮就是个刚体。
如果车轮的转动惯量大，那你起步的时候是不是就得费更大的劲儿？但是一旦转动起来，保持转动就相对容易些。
这就好比一个大胖子跑步，一开始跑起来难，但跑起来后惯性大，停下来也不容易。
”这小家伙听完，眼睛一下子亮了，好像明白了点什么。
再比如说一个圆环，质量为 M ，半径为 R ，绕通过圆心且垂直于圆环平面的轴转动，转动惯量就是 MR²。
还有那种质量分布不均匀的情况，就得把刚体分成很多小块，分别计算每一小块的转动惯量，然后再加起来。
这就有点像咱们做拼图，一块一块拼出最终的结果。
在实际生活中，转动惯量的应用可多啦。
像工厂里的大型机器轮子，设计的时候就得考虑转动惯量，不然运转起来可就麻烦喽。
总之，刚体转动惯量计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多琢磨琢磨，多结合实际例子想想，就能慢慢搞清楚啦。
就像解一道难题，一开始觉得难，多尝试几次，说不定就豁然开朗啦！希望大家都能把这个知识点掌握好，在物理学的世界里畅游无阻！。
刚体的转动惯量
ol
擦，经过时间 t 后杆静止，
求摩擦力矩 M阻。
解：由匀变速转动公式: 0 t
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力矩为：
M阻
J
1 ml 3
2
0
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
m
1 mR2 mR2
R
2
刚体绕质心轴的转动惯量最小
三、垂直轴定理
定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于
平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转
动惯量之和：J z J x J y
证明：
z
Jx y2dm , J y x2dm
Jz r2dm
(x 2 y2 )dm
o
yy
x
r dm
y2dm x 2dm
刚体的转动惯量
一、转动惯量
刚体的转动惯量的定义是：
n
J miri2 i 1
若刚体为连续体，则用积分代替求和：
J r2dm
比较以下两个式子：
M j
,
F
ma
转动惯量是表示转动惯性的量。
例1、长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂 直的质心轴转动，求转动惯量 J。 解：建立坐标系，分割质量元
J x2dm
l 2 x2 m dx 1 ml 2
l 2 l
12
x o x dx
例2、长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一 端轴转动，求转动惯量 J。
解： J x2dm
l x2 m dx 1 ml2
0l
刚体转动的物理原理
刚体转动的物理原理
刚体转动是指刚体围绕固定轴线的旋转运动。
对于一个刚体，其旋转运动的物理原理可以通过以下几个方面来解释：
1. 转动惯量：刚体的转动惯量代表了刚体围绕轴线旋转时对转动的惰性。
刚体的转动惯量与刚体的质量分布和绕轴线的位置有关。
转动惯量越大，对于同样的转动力矩，刚体转动的角加速度越小。
2. 转动力矩：刚体转动时，如果施加一个力矩以改变刚体的角动量，刚体就会产生角加速度。
转动力矩是指力在刚体上产生的旋转效果，它的大小等于力的大小乘以力臂的长度。
力臂是力相对于轴线的垂直距离。
3. 角动量守恒：在没有外力或外力作用力矩为零的情况下，刚体的角动量守恒。
刚体的角动量是指刚体沿轴线旋转时的动量，它等于刚体转动惯量乘以角速度。
角动量守恒意味着刚体在旋转过程中，如果没有外力或外力矩的作用，角动量保持不变。
4. 角动量定理：角动量定理描述了刚体转动时角动量的变化率等于作用在刚体上的外力矩。
即角动量的变化等于力矩的时间积分。
这个定理可以用来分析刚体在外力矩作用下的角加速度和角速度变化。
总之，刚体转动的物理原理主要涉及转动惯量、转动力矩、角动量守恒和角动量
定理等概念，通过这些原理可以解释和描述刚体转动的运动规律。
什么是刚体转动惯量的平行轴定理
什么是刚体转动惯量的平行轴定理在物理学中，刚体转动惯量是描述刚体绕轴线旋转的难易程度的物理量。
对于一个给定的刚体，它的转动惯量可能会因为绕不同的轴旋转而发生变化。
在这种情况下，我们就需要用到平行轴定理，来方便地计算出刚体绕某个轴线的转动惯量。
那么，什么是刚体转动惯量的平行轴定理呢？1. 简介刚体的转动惯量可以用来描述刚体围绕某一轴线旋转的难易程度，其大小与刚体的质量分布和旋转轴的位置有关。
而平行轴定理则是描述了这种转动惯量与刚体其他轴线转动惯量的关系。
平行轴定理为计算刚体围绕通过其质心的平行轴的转动惯量提供了一种便捷的方法。
2. 平行轴定理的表述刚体绕通过其质心的轴线的转动惯量可以通过以下公式得到：\[I = \sum m_i r_i^2\]其中，\(m_i\) 是刚体的质量，\(r_i\) 是每个质点到旋转轴的距离。
而根据平行轴定理，刚体绕与通过其质心平行且距离为\(d\)的轴线的转动惯量\(I'\)可以通过以下公式得到：这个公式说明了一个重要的性质，即刚体关于通过其质心的任意一条与初始轴平行的轴线的转动惯量恰好等于其关于质心轴的转动惯量与质量总和乘以平行距离的平方之和。
3. 应用举例为了更好地理解平行轴定理，我们可以通过一个简单的例子来说明其应用。
还是看一个在平行轴定理基础上的问题：求一组质点围绕一个与之共面的轴的转动惯量。
假设有一根长为\(L\)，均匀质量为\(m\)，质点在其上的刚直杆围绕其中心转轴竖直旋转。
竖直轴上有一组质点，每个质点的质量为\(m_i\)，距离竖直轴的水平距离为\(r_i\)。
我们需要求解这组质点围绕竖直轴的转动惯量。
根据平行轴定理，我们可以利用已知的关于质心轴的转动惯量和平行轴定理来解决这个问题。
我们需要计算关于质心轴的转动惯量。
\[I = \frac{1}{12}mL^2\]我们需要计算每个质点关于质心轴的转动惯量。
根据平行轴定理，我们可以得到这组质点关于竖直轴的转动惯量。
常见刚体的转动惯量
常见刚体的转动惯量
刚体是指在运动过程中形状和大小不变的物体。
在物理学中，常见的刚体有球体、圆盘、长方体等。
这些刚体在绕某一轴旋转时，会具有不同的转动惯量。
转动惯量是描述刚体在转动过程中惯性特征的物理量。
它与刚体的形状、质量分布以及绕轴旋转的位置有关。
对于球体来说，转动惯量与球的半径和质量有关。
球体的转动惯量是一个常量，与绕轴旋转的位置无关。
而对于长方体来说，转动惯量则与长方体的质量分布有关，不同位置的转动惯量也会有所不同。
转动惯量的大小决定了刚体在转动过程中的惯性。
转动惯量越大，刚体的转动越困难，需要更大的力来改变其转动状态。
而转动惯量越小，刚体的转动越容易，需要较小的力就可以改变其转动状态。
在日常生活中，我们可以观察到转动惯量的一些实际应用。
比如，当我们骑自行车时，如果车轮的转动惯量较大，那么在起步或者停车时会感到较大的阻力。
而如果车轮的转动惯量较小，那么起步和停车的时候则会感到比较轻松。
转动惯量还可以影响到一些运动的稳定性。
例如，当我们骑自行车或者滑冰时，如果身体的转动惯量较大，那么在转弯或者改变方向时会感到不稳定，容易失去平衡。
而如果身体的转动惯量较小，那么在转弯或者改变方向时会感到相对稳定。
转动惯量是刚体在转动过程中的一个重要物理量。
它与刚体的形状、质量分布以及绕轴旋转的位置有关。
转动惯量的大小决定了刚体转动的惯性特征，影响着刚体在转动过程中所受力的大小和方向。
通过研究转动惯量，我们可以更好地理解刚体的转动行为，并且应用到日常生活和工程实践中。
刚体转动惯量计算方法
刚体对轴转动惯量的计算一、转动惯量及回转半径在第一节中已经知道，刚体对某轴z 的转动惯量就是刚体内各质点与该点到z 轴距离平方的乘积的总和，即∑=2i i z r m J 。
如果刚体质量连续分布，则转动惯量可写成⎰=Mz dmr J 2 （18-11）由上面的公式可见，刚体对轴的转动惯量决定于刚体质量的大小以及质量分布情况，而与刚体的运动状态无关，它永远是一个正的标量。
如果不增加物体的质量但使质量分布离轴远一些，就可以使转动惯量增大。
例如设计飞轮时把轮缘设计的厚一些，使得大部分质量集中在轮缘上，与转轴距离较远，从而增大转动惯量。
相反，某些仪器仪表中的转动零件，为了提高灵敏度，要求零件的转动惯量尽量小一些，设计时除了采用轻金属、塑料以减轻质量外，还要尽量将材料多靠近转轴。
工程中常把转动惯量写成刚体总质量M 与某一当量长度ρ的平方的乘积2z z M J ρ= （18-12）z ρ称为刚体对于z 轴的回转半径（或惯性半径），它的意义是，设想刚体的质量集中在与z轴相距为z ρ的点上，则此集中质量对z 轴的转动惯量与原刚体的转动惯量相同。
具有规则几何形状的均质刚体，其转动惯量可以通过计算得到，形状不规则物体的转动惯量往往不是由计算得出，而是根据某些力学规律用实验方法测得。
二、简单形状物体转动惯量的计算 1. 均质细直杆如图18-7所示，设杆长为l ，质量为M 。
取杆上微段dx ，其质量为dx l Mdm =，则此图18-7杆对z c 轴的转动惯量为220220212122Ml dx l M x dm x J l l z c ===⎰⎰对应的回转半径ll MJ c z z 289.032===ρ2. 均质细圆环如图18-8所示均质细圆环半径为R ，质量为M 。
任取圆环上一微段，其质量为dm ，则对z 轴的转动惯量为22MR dm R J Mz ==⎰图18-8对应的回转半径RMJ c z z ==ρ3. 均质薄圆盘如图18-9所示均质圆盘半径为R ，质量为M 。
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刚体的转动惯量
1.刚体的转动惯量的三要素 刚体对某轴的转动惯量，是描述刚体在绕该轴的转动过程中转动惯性的物理量. 有转动惯量
的定义式 I miri2 可看出，刚体的转动惯量是与下列三个因素有关的.
（1）与刚体的质量有关. 例如半径相同的两个圆柱体，而它们的质量不同，显然，对于相 应的转轴，质量大的转动惯量也较大. （2）在质量一定的情况下，与质量的分布有关. 例如质量相同、半径也相同的圆盘与圆环， 二者的质量分布不同，圆环的质量集中分布在边缘，而圆盘的质量分布在整个圆面上，所以， 圆环的转动惯量较大. （3）还与给定转轴的位置有关，即同一刚体对于不同的转轴，其转动惯量的大小也是不等 的. 例如，同一细长杆，对通过其质心且垂直于杆的转轴和通过其一端且垂直于杆的转轴， 二者的转动惯量不相同，且后者较大. 这是由于转轴的位置不同，从而也就影响了转动惯量 的大小.刚体的转动惯量的三要素：刚体的总质量、刚体的质量分布情况、转轴的位置. 2.转动惯量的普遍公式
（1）转动惯量的定义式 I miri2
·········○1
可知，对于形状规则、质量均匀分布的连续刚体，其对特殊轴的转动惯量的计算可借助于定
积分. 这是，可设想将刚体分成许多小线元、面元、体元.
dm dx dm dS dm dV
于是
I r2dm r2dx l
I r2dm r2 dS S
I r2dm r2dV V
一般说来，这是个三重的体积分，但对于有一定对称性的物体，积分的重数可以减少，甚至
不需要积分.
（2）刚体对某轴的转动惯量
刚体对 z 轴的转动惯量
Iz r2 z2 dm x2 y2 dm
·········○2a
刚体对 x 轴的转动惯量
Ix r2 x2 dm y2 z2 dm
·········○2b
刚体对 y 轴的转动惯量
Iy r2 y2 dm x2 z2 dm
·········○2c
仿照刚体对某轴的转动惯量来定义刚体对于某点的转动惯量：刚体中各质点的质量各自
与其至某（参考）点的距离的平方的乘积，所得总和称为刚体对该点的转动惯量.
（3）刚体对某点的转动惯量
刚体对坐标原点 O 的转动惯量可表示为
IO x2 y2 z2 dm
·········○3
由式○2 、○3 ，得
IO
1 2
Ix Iy Iz
·········○4
即，质点系（刚体）对于坐标原点的转动惯量（或极转动惯量），等于它对于三个坐标轴的 转动惯量之和的一半. 3.刚体的平行轴定理（许泰乃尔定理）
I IC md 2
·········○5
即，刚体对于任何一轴的转动惯量，等于刚体对于通过它的质心并与该轴平行的转动惯量，
加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.
注意：平行轴定理与刚体对质心轴的转动惯量紧密联系在一起，应用此定理的参考点是刚体
对质心轴的转动惯量.
根据平行轴定理，可得到如下关系：
（1）刚体绕通过质心的轴的转动惯量小于绕另一平行轴的转动惯量，二者之差为 md 2 .
（2）设有两条平行轴 PP ' 与 QQ ' 均不通过质心 C . 如果 PP ' 比 QQ ' 靠近 C ，则刚体绕
PP '轴的转动惯量小于绕 QQ ' 轴的转动惯量（如图所示）.
Q
P
·C
·C
Q′
P′
(a)
(b)
平行轴定理的应用 (a) 在不同圆上；(b)同一圆上
（3）如果有一簇与质心 C 的距离相等的平行轴，那么，刚体绕这些轴的转动惯量均相等
（如图 7.52(b)所示）.
4.刚体的垂直轴定理（正交轴定理、薄片定理）
设想刚体为平面薄片，即厚度可以略去不计，因而刚体为平面图形.
Iz Ix Iy
·········○6
即，平面图形对于图形内的两条正交轴的转动惯量之和，等于这个图形对过二．轴．交．点．且垂．直．
于图形平面的那条转轴的转动惯量.
注意：正交轴定理对于有限厚度的板不成立.
5.转动惯量的叠加原理
实际上，有些物体是由几种形状不同的刚体的组合. 它对于某轴的转动惯量，可视为各
部分对于同一转轴的转动惯量之和，因而，
I I1 I2 I3
·········○7
即，由几个部分组成的刚体对某轴的转动惯量，等于各部分对同轴的转动惯量之和. 此即转 动惯量的叠．加．原．理．.
叠加原理是根据加法的组合定则，把属于各部分的项分别相加，然后求和而得.
同理，设有一物体挖去若干部分，则剩余部分的转动惯量，等于原物体的转动惯量，减去挖
去部分的转动惯量.
。