人教版高中数学选修4-5-第一节不等式和绝对值不等式ppt课件

(4)正确.
1 1 ＜ . a b
ab 1(3)× a (4)√ b. 答案:(1)× a(2)√ b
考向 1
利用基本不等式求最值
【典例1】(1)若x>0，求函数
(2)若0<x<3,求函数f(x)=2x(3-x)的最大值.
f x
的最大值 2x 2 . x 3
x
(3)若x>0,y>0,且9x+y-xy=0,求x+y的最小值.
(2)≧0<x<3,≨3-x>0,
3 3 ) 1 2 2x 1 2 6, x 时等号成立, x 6 x 此时2 6 x . 1 2 6, 2
时等号成立.
≨f(x)=2x(3-x)=2［x(3-x)］≤ 当且仅当x=3-x,即
［ 2
x 3 x 2
≨函数y=2x(3-x)的最大值为 3
n
3
abc
不小于
___________时，等号成立 a1 a 2 . an a1=a2=„=an
n
a1a 2 a n ,
4.绝对值三角不等式
定理
1
形
式
等号成立的条件
ab≥0
|a+b|≤|a|+|b|
2
|a-c|≤|a-b|+|b-c|
(a-b)(b-c)≥0
5.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集：
n
＞
可乘性
可乘方性 可开方性
＞
____ a
＞
n
(n b ∈N,n≥2)
2.基本不等式 (1)定理1如果a,b∈R，那么a2+b2___2ab，当且仅当 ≥ ____时，等号成立. a=b (2)算术平均与几何平均 如果a,b都是正数，我们就称______为a，b的算术平均， ____为a,b的几何平均. (3)ab 定理2(基本不等式)
②|ax+b|≥c⇔__________________. -c≤ax+b≤c
ax+b≥c或ax+b≤-c
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)若a<b,则一定有 (2)若 (1 )1
a b n , (3)|x-1|-|x-5|<2 x到点1，-5的距离 a 的几何意义为数轴上的点 b
选修4-5 不等式选讲 第一节 不等式和绝对值不等式
1.不等式的基本性质
对称性 传递性 可加性
a>b⇔b___a a>b,b>c⇒a___c
＞ ＞
＜
a>b⇔a+c___b+c ①a>b,c>0⇒ac___bc ＜ ②a>b,c<0⇒ac___bc a>b>0⇒an___bn(n∈N,n≥2) a>b>0⇒
1 1 1 3 即 2(a+b+c) · ( )≥9. 3 3 (a b) (b c) (c a) 3
ab 2
如果a,b>0，那么
___
，当且
仅当____时，等号成立.也可以表述为：两个正数的算术平均 ab ≥ _____________________它们的几何平均. a=b 不小于(即大于或等于)
2
ab
(4)利用基本不等式求最值 对两个正实数x,y, ①如果它们的和S是定值，则当且仅当____时，它们的积P取得 x=y 2 最___值_____ ； S 大 4 P是定值，则当且仅当____时，它们的和S取得 ②如果它们的积 最___值______. 小 x=y
【思路点拨】对于(1)(2)可根据题目条件，变形构造出“和”或“积”为定值的形
式，利用基本不等式求解；对于(3)应将已知条件变形并建立与x+y的关系，然后再
利用基本不等式求解.
【规范解答】(1)≧x>0,≨f(x)=
3 1 (2x 当且仅当 x 即 3 2x , ≨f(x)的最大值为 x 1 2x
之差小于2.( )
则n≥1.( a ) b

.
(4)不等式
成立的充要条件是|a|>|b|.(
)
ab 1 a b
【解析】(1)错误.当ab>0时，有 (2)正确.
1 时，有 1 当ab<0 ； a b
a b a b n 1. ab a bx到点1,5的距离之差小于2. (3)错误.其几何意义为数轴上的点
9 ］ . 2
2
x
2
9 . 2
(3)≧x＞0,y＞0,9x+y-xy=0， ≨9x+y=xy,即 ≨x+y=
1 9 1, x y 1 9 y 9x (x y) （ ） 10 x y x y
y 9x 2 10 6 10 16. .又 当且仅当 时，“＝”成立 x y y 9x 即x=4,y=12时，上式取等号 . x y
2 P
3.三个正数的算术——几何平均不等式 (1)定理3 如果a,b,c∈R+,那么 ___ a b, 当且仅当 c ≥ 3
______时，等号成立. a=b=c 即：三个正数的算术平均_______它们的几何平均. 不小于 (2)基本不等式的推广
对于n个正数a1,a2,„,an，它们的算术平均_______它们的 几何平均，即 ___ ≥ 当且仅当
故当x=4,y=12时，x+y取最小值16.
1 9 1, x y
【拓展提升】基本不等式的一般形式及条件
基本不等式的一般形式为a1+a2+„+an≥
a1 a 2 a n ② n a1 a2 a n ①或 a1 a2 an (其中a1,a2,„,an为正实数)当且仅当a1=a2=„=an时取等号 . n
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|<a
_____________
{x|-a＜x＜a}
__
∅
__
__
R
∅
{x|x＞a或x＜-a} {x∈R|x≠0} |x|>a ________________ ____________ (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①|ax+b|≤c⇔____________;
n n
利用①式求最小值要求积为定值，利用②式求最大值要求和为定值 .
【变式训练】已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求 的最小值 . 1 1 1 ab bc ac )≥
【解析】≧a,b,c∈(0,+≦), ≨[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·(
1 1 1 ab bc ca