高中数学必修五不等式PPT课件
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最新高中数学人教B版必修五3.4《不等式的实际应用》ppt课件
2．实际问题中的每一个量都有其实际意义，必须充分注 意定义域的变化．
3．解不等式应用题，一般可按以下四个步骤进行： (1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不 等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回答实际问题．
比较法在实际问题中的应用
甲、乙两人同时同地沿同一路线去同一地点， 甲有一半的时间以速度 m 行走，另一半时间以速度 n 行走； 乙有一半路程以速度 m 行走，另一半路以速度 n 行走．如果 m≠n，问甲、乙两人谁先到达指定地点？
●重点难点 重点：不等式的实际应用． 难点：实际问题的数学建模.
●教学建议 由于本节内容与实际生活联系比较密切，而实际问题的 数学建模是学生的薄弱环节，因此建议教师采用启发、引导、 归纳总结与探究相结合的方法，组织教学活动，按照由特殊 到一般的认识规律，引导学生分析、归纳如何抽象不等式模 型及解不等式应用题的一般步骤．
均值不等式的实际应用
某厂有一面长 14 m 的旧墙，现在准备用这面墙 的一段为一面，建造平面图形为矩形且面积为 126 m2 的厂房 (不考虑墙高)，修 1 m 旧墙的费用是建 1 m 新墙费用的 25%； 用拆去旧墙所得材料建 1 m 新墙的费用是建 1 m 新墙费用的 50%(拆旧墙的材料损失忽略不计)．问：如何利用旧墙才能使 建墙费用最省？(建门窗的费用与建新墙的费用相同，可以不 考虑)
为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/小时，则汽车 的平均速度应控制在什么范围内？
【解】 由题意得v2＋39v2＋0v1 600≥10，即 v2－89v＋1 600≤0，即(v－25)(v－64)≤0，
解得 25≤v≤64. 所以为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/时， 汽车的平均速度应控制在 25～64 km/h 的范围内.
3．解不等式应用题，一般可按以下四个步骤进行： (1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不 等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回答实际问题．
比较法在实际问题中的应用
甲、乙两人同时同地沿同一路线去同一地点， 甲有一半的时间以速度 m 行走，另一半时间以速度 n 行走； 乙有一半路程以速度 m 行走，另一半路以速度 n 行走．如果 m≠n，问甲、乙两人谁先到达指定地点？
●重点难点 重点：不等式的实际应用． 难点：实际问题的数学建模.
●教学建议 由于本节内容与实际生活联系比较密切，而实际问题的 数学建模是学生的薄弱环节，因此建议教师采用启发、引导、 归纳总结与探究相结合的方法，组织教学活动，按照由特殊 到一般的认识规律，引导学生分析、归纳如何抽象不等式模 型及解不等式应用题的一般步骤．
均值不等式的实际应用
某厂有一面长 14 m 的旧墙，现在准备用这面墙 的一段为一面，建造平面图形为矩形且面积为 126 m2 的厂房 (不考虑墙高)，修 1 m 旧墙的费用是建 1 m 新墙费用的 25%； 用拆去旧墙所得材料建 1 m 新墙的费用是建 1 m 新墙费用的 50%(拆旧墙的材料损失忽略不计)．问：如何利用旧墙才能使 建墙费用最省？(建门窗的费用与建新墙的费用相同，可以不 考虑)
为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/小时，则汽车 的平均速度应控制在什么范围内？
【解】 由题意得v2＋39v2＋0v1 600≥10，即 v2－89v＋1 600≤0，即(v－25)(v－64)≤0，
解得 25≤v≤64. 所以为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/时， 汽车的平均速度应控制在 25～64 km/h 的范围内.
人教a版必修五课件：一元二次不等式的解法(57页)
(2)从方程观点看，设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1，或x>x2}、 b x1＋x2＝－a {x|x1<x<x2}(x1<x2)，则有 c x1· x2＝a， 点值是相应方程的根．
即不等式解集的端
(3)当一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R 时，意味着ax2＋bx＋c>0(a>0)恒成立．由图象可知：关于 这类恒成立问题只需考虑开口方向和判别式即可，而不必 利用最值转化的思路求解．
2．一元二次不等式的解集 判别式 Δ＝b －4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
2
Δ>0
Δ ＝0
Δ<0
判别式 Δ＝b －4ac 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
2
Δ>0
Δ＝0 有两相等实根 b x1＝x2＝－2a
Δ<0
有两相异实根 x1，x2(x1<x2)
没有实数根
第三章
不等式
3.2 一元二次不等式及其解法
第1课时
一元二次不等式的解法
课堂互动探究
课前自主预习
随堂知能训练
课时作业
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.了解一元二次不等式的实际背景． 2．理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的 关系． 3．会解一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
课 前 自 主 预 习
2
1 ∴4x －4x＋1≤0的解集为{x|x＝2}．
2
(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0， 而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6. ∴不等式x2－7x＋6<0的解集为{x|1<x<6}．
高中数学必修5优质课件：基本不等式
第七页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
解得 x＝1－ 22，y＝ 2－1，∴当 x＝1－ 22，y＝ 2 －1 时，1x＋1y有最小值 3＋2 2.
法二：1x＋1y＝1x＋1y·1＝1x＋1y(2x＋y)＝3＋2yx＋xy≥3 ＋2 xy·2yx＝3＋2 2，
以下同解法一．
第八页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
A．最大值为 0
B．最小值为 0
Байду номын сангаасC．最大值为－4
D．最小值为－4
解析：∵x＜0，∴f(x)＝－－x＋－1x－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x＝－1x，即 x＝－1 时取等号． 答案：C
第二十二页，编辑于星期日：二十三点 三十九 分。
2．若 a＞b＞0，则下列不等式成立的是( ) A．a＞b＞a＋2 b＞ ab B．a＞a＋2 b＞ ab＞b C．a＞a＋2 b＞b＞ ab D．a＞ ab＞a＋2 b＞b
[解] (1)∵m，n＞0 且 m＋n＝16， 所以由基本不等式可得 mn≤m＋2 n2＝1262＝64， 当且仅当 m＝n＝8 时，mn 取到最大值 64.∴12mn 的最大值为 32.
第六页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
(2)∵x＞3，∴x－3＞0，x－4 3＞0，于是 f(x)＝x＋x－4 3＝x－3
基本不等式
【知识梳理】
1．重要不等式 当 a，b 是任意实数时，有 a2＋b2≥ 2ab ，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 2．基本不等式
a＋b （1）有关概念：当 a，b 均为正数时，把 2 叫做正 数 a，b 的算术平均数，把 ab 叫做正数 a，b 的几何平均数.
第一页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
第三页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
基本不等式：
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
高中数学课件归纳必修5第三章不等式3.3.2简单线性规划(第1课时)课件
3.3.2 简单线性规划问题
（1课时）
y
o
x
一、问题引入
问题1:
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产 一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产 品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所 有可能的日生产安排是什么?
3.线性规划
在线性约束下求线性目标函数的最值问题, 统称为线性规划.
4.可行解 5.可行域 6.最优解
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解. 所有可行解组成的集合叫做可行域.
使目标函数取得最值的可行解叫做这个问 题的最优解.
变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙 产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
B组 3
把z=2x+3y变形为y=-
2 3
x+
z 3
,这是斜率为-
2 3
,
在y轴上的截距为
z 3
的直线,
当点P在可允 许的取值范 围内
求
z 的最值 3
求
z的最值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 问题：求利润z=2x+3y的最大值.
y
x 2 y 8，
4
44
x y
16， 12，
3
x
0，
0
y 0.
Zmax 4 2 2 3 14.
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵 截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
体 验:
一、先定可行域和平移方向，再找最优解. 二、最优解一般在可行域的顶点处取得.
（1课时）
y
o
x
一、问题引入
问题1:
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产 一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产 品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所 有可能的日生产安排是什么?
3.线性规划
在线性约束下求线性目标函数的最值问题, 统称为线性规划.
4.可行解 5.可行域 6.最优解
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解. 所有可行解组成的集合叫做可行域.
使目标函数取得最值的可行解叫做这个问 题的最优解.
变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙 产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
B组 3
把z=2x+3y变形为y=-
2 3
x+
z 3
,这是斜率为-
2 3
,
在y轴上的截距为
z 3
的直线,
当点P在可允 许的取值范 围内
求
z 的最值 3
求
z的最值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 问题：求利润z=2x+3y的最大值.
y
x 2 y 8，
4
44
x y
16， 12，
3
x
0，
0
y 0.
Zmax 4 2 2 3 14.
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵 截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
体 验:
一、先定可行域和平移方向，再找最优解. 二、最优解一般在可行域的顶点处取得.
人教版A版高中数学必修5：基本不等式： ≤(a+b)_课件28
[课堂笔记]
【证明】法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋1a＝1＋a＋a b＝
2＋ba.同理，1＋1b＝2＋ab.∴1＋1a 1＋1b ＝2＋ba2＋ab ＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9，当且仅当ba＝ab，即 a＝b 时取“＝”． ∴1＋1a1＋1b≥9，当且仅当 a＝b＝12时等号成立．
则 y＝14·2x(1－2x)≤142x＋21－2x2＝116，
当且仅当 2x＝1－2x，即 x＝14时取到等号，∴ymax＝116. (2)∵x<3，∴x－3<0，∴3－x>0，∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋ (x－3)＋3
＝－3－4 x＋（3－x）＋3≤－2 3－4 x·（3－x）＋3＝－1，
基本不等式
1．基本不等式：
a＋b ab≤ 2
基本不等式成立的条件是什么?等号成立的条件又是什么?
提示: a>0且b>0；a＝b时取等号
a＋2 b叫做 a，b 的算术平均数， ab叫做 a，b 的几何平均数.
2．常用的几个重要不等式
(1)a2＋b2≥__2_a_b__(a，b∈R)； (2)ab___≤___(a＋2 b)2(a，b∈R)； (3)a2＋2 b2___≥___(a＋2 b)2(a，b∈R)； (4)ba＋ab≥__2____(a，b 同号且不为零)．
在利用基本不等式解决实际应用问题时，一定要注意问题中 所涉及变量的取值范围，即函数的定义域，分析在该范围内 是否存在使基本不等式的等号成立的变量值，若存在，则可 利用基本不等式求解，若使基本不等式的等号成立的变量值 不在函数定义域内，则应利用导数研究函数的单调性，根据 单调性求最值．
3．围建一个面积为 360 m2 的矩形场地， 要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧 墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧 墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如图所示．已 知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m.设利 用的旧墙长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用 为 y(单位：元)． (1)将 y 表示为 x 的函数； (2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最 少总费用．
【证明】法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋1a＝1＋a＋a b＝
2＋ba.同理，1＋1b＝2＋ab.∴1＋1a 1＋1b ＝2＋ba2＋ab ＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9，当且仅当ba＝ab，即 a＝b 时取“＝”． ∴1＋1a1＋1b≥9，当且仅当 a＝b＝12时等号成立．
则 y＝14·2x(1－2x)≤142x＋21－2x2＝116，
当且仅当 2x＝1－2x，即 x＝14时取到等号，∴ymax＝116. (2)∵x<3，∴x－3<0，∴3－x>0，∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋ (x－3)＋3
＝－3－4 x＋（3－x）＋3≤－2 3－4 x·（3－x）＋3＝－1，
基本不等式
1．基本不等式：
a＋b ab≤ 2
基本不等式成立的条件是什么?等号成立的条件又是什么?
提示: a>0且b>0；a＝b时取等号
a＋2 b叫做 a，b 的算术平均数， ab叫做 a，b 的几何平均数.
2．常用的几个重要不等式
(1)a2＋b2≥__2_a_b__(a，b∈R)； (2)ab___≤___(a＋2 b)2(a，b∈R)； (3)a2＋2 b2___≥___(a＋2 b)2(a，b∈R)； (4)ba＋ab≥__2____(a，b 同号且不为零)．
在利用基本不等式解决实际应用问题时，一定要注意问题中 所涉及变量的取值范围，即函数的定义域，分析在该范围内 是否存在使基本不等式的等号成立的变量值，若存在，则可 利用基本不等式求解，若使基本不等式的等号成立的变量值 不在函数定义域内，则应利用导数研究函数的单调性，根据 单调性求最值．
3．围建一个面积为 360 m2 的矩形场地， 要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧 墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧 墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如图所示．已 知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m.设利 用的旧墙长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用 为 y(单位：元)． (1)将 y 表示为 x 的函数； (2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最 少总费用．
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件•课程介绍与目标•基本不等式概念及性质•基本不等式证明方法•基本不等式应用举例目录•拓展与提高：含参数的基本不等式问题•课程总结与回顾01课程介绍与目标人教版必修五数学教材基本不等式章节内容概述与前后知识点的联系教材版本及内容概述教学目标与要求知识与技能目标掌握基本不等式的形式、性质和应用方法，能够运用基本不等式解决简单的最值问题。
过程与方法目标通过探究、归纳、证明等过程，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标让学生感受数学的美和严谨性，培养学生的数学兴趣和数学素养。
本节课共分为引入、新课、巩固练习、小结四个部分。
课程安排时间分配重点与难点引入部分5分钟，新课部分30分钟，巩固练习部分15分钟，小结部分5分钟。
本节课的重点是基本不等式的形式、性质和应用方法；难点是运用基本不等式解决复杂的最值问题。
030201课程安排与时间02基本不等式概念及性质不等式定义及表示方法不等式的定义用不等号连接两个解析式所组成的数学式子。
不等式的表示方法常见的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”和“≠”，用于表示两个量之间的大小关系。
对称性传递性可加性同向正值可乘性基本不等式性质探讨01020304当a=b 时，a<b,b>a 同时成立，反之亦然。
若a>b 且b>c ，则a>c ；若a<b且b<c ，则a<c 。
同向不等式可以相加，即若a>b 且c>d ，则a+c>b+d 。
若a>b>0且c>d>0，则ac>bd 。
特殊情况下的基本不等式均值不等式对于任意两个正数a和b，有√(ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b 时取等号。
柯西不等式对于任意两组实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当且仅当ai/bi为常数时取等号。
高中数学必修五课件：3.4-1《基本不等式》(人教A版必修5)
D
y
x
C
当且仅当 x=2y 时，等号成立 即x=12，y=6
因花此园解，面x这积x个最2y矩大2y2形，4，的最可长大得为面积1xy2是m162、72宽m为2 6m时，
18
变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边 靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 花园的面积最大，最大面积是多少？
-1
=1,
当且仅当 x+1= x1+1, 即 x=0 时, 取“=”号.
∴当 x=0 时, 函数 f(x) 的最小值是 1.
26
2.
若
0<x<
1 2
,
求函数
y=x(1-2x)
的最大值.
分析:2 x+(1-2x) 不=1是为 常数.
配凑系数
解:
∵0<x<
1 2
,
∴1-2x>0.
∴y=x(1-2x)=
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
8
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b 即： a b≥2 ab 即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
适用范围： a>0,b>0
在数学中，我们把
a
b 2
叫做正数a，b的算术平均数，
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
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等号成立．通常这个定理被称为均值不等式．
(2)对定理的理解．
①称
a＋b 2
为a，b的算术平均数，称
ab 为a，b的几何平均
数，此定理可表述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的
几何平均数．
②定理的证明可以用作差比较法：
a＋b 2
－
ab ＝
a＋b－2 2
ab ＝
a－ 2
b2
≥0，即
a＋b 2
≥
(2)∵x<54，所以4x－5<0.
∴5－4x>0.
∴y＝4x－2＋
1 4x－5
5－4x＋5－14x＋3.
＝4x－5＋
1 4x－5
＋3＝－
∵5－4x＋5－14x≥2 5－4x5－14x＝2， ∴y≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝5－14x，即x＝1或x＝32(舍)时等号成立．故 当x＝1时，y取最大值1.
规律技巧 本题及三个变式充分考查了基本不等式这一基 础知识的应用：两个正数，和为定值时，积有最大值；积为定 值时，和有最小值.
二 基本不等式的灵活运用
【例2】 (1)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若 点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，求m1 ＋1n的最小值；
(2)已知x<54，求函数y＝4x－2＋4x－1 5的最大值．
(1)利用旧墙的一段x m(x<14)为矩形厂房的一面边长；
名师一号 ·高中同步学习方略 ·新课标A版 ·数学 ·必修5
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2019/7/30
第22页
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第三章 §3.4
【解】 (1)∵y＝a1－x恒过定点A(1,1)，又∵A在直线mx＋ny －1＝0上，
∴m＋n＝1. 而m1 ＋1n＝m＋m n＋m＋n n＝1＋mn ＋mn ＋1≥2＋2＝4. 当且仅当m＝n＝12时，取“＝”． ∴m1 ＋1n的最小值为4.
这个圆的半径为
a＋b 2
，显然它大于或等于CE，即
a＋b 2
≥个条件 当两个正数的和为定值时，其积有最大值；当积为定值 时，其和有最小值．应用此结论要注意三个条件：“一正、二 定、三相等”．也就是说， (1)各项或各因式均为正值． (2)和或积为定值． (3)各项或各因式相等时有解．三个条件缺一不可.
第三章 不等式
§3.4 基本不等式： ab≤a＋2 b
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
自学导引 1.了解基本不等式的证明过程． 2．应用数形结合的思想理解基本不等式，掌握基本不等式 及其变形． 3．会用基本不等式求最值.
课前热身 1.基本不等式． (1)重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋ b2________2ab，当且仅当________时，等号成立． (2)基本不等式：如果a>0，b>0，那么 ab______a＋2 b，当 且仅当________时，等号成立．
230，y＝
30 5
时，等号成立，即x＝ 230，y＝ 530时，(2x＋5y)min＝2 30.
(2)∵21x＋1y＝2x2＋xyy＝23xy， 又∵2x＋y＝3≥2 2xy，∴2xy ≤94. ∴21x＋1y≥39＝43.当且仅当2x＝y＝32，
4 即x＝34，y＝32时，等号成立． ∴当x＝34，y＝32时，21x＋1ymin＝43.
2p
名师讲解
1.对重要不等式a2＋b2≥2ab的理解
(1)条件是a，b∈R，其结论的正确性是依据不等式的性
质，用比较法可以证明．
(2)结论的形式可以是a2＋b2≥2ab，也可以是ab≤
a2＋b2 2
.
解题时不仅要记住原来的形式，还要掌握变式的应用，这也是
学习数学概念应下的功夫．因为所有的数学公式都只表示了若
ab .也可用重要不等式
进行推导：∵a，b∈R＋，则( a )2＋( b )2≥2 ab ，即有a＋
b≥2 ab.
③对于“＝”号的理解：如果a＝b，那么
a＋b 2
＝
ab ，如
果a≠b，那么a＋2 b>
ab
，如：x2＋2＋
1 x2＋2
≥2
x2＋2·x2＋1 2
＝2中就不能取等号，因为x2＋2≠
1 x2＋2
，否则推出x2＝－1矛
盾．
④a2＋b2≥2ab与
a＋b 2
≥
ab 成立的条件是不同的：前者是
a，b∈R，后者是a，b∈R＋.
⑤定理的几何直观解释．
如图，以a＋b的长为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC
＝a，CB＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AE，BE，易知
△ACE∽△ECB，则CE2＝CA·CB，即CE＝ ab.
干个量之间的本质联系，而不能固定于某个特殊的形式．
(3)等号取到的条件，当且仅当a＝b时取“＝”号是指：一 方面是当a＝b时，取到“＝”号；另一方面，取到“＝”时， 必有a＝b.在后面的练习中，要体会这是很重要的一个条件．
2．基本不等式
(1)均值定理．
如果a，b∈R＋，那么
a＋b 2
≥
ab ，当且仅当a＝b时，式中
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析 一 基本不等式的应用
【例1】 (1)已知xy＝3，且x>0，y>0，求2x＋5y的最小 值；
(2)若2x＋y＝3，且x，y都是正数，求21x＋1y的最小值．
【解】 (1)∵x>0，y>0，xy＝3，
∴2x＋5y≥2
2x·5y＝2
30，当2x＝5y，即x＝
2．应用基本不等式求最值． 已知x，y都为正数，则 (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当________时，积xy取得最大 值________． (2)若xy＝p(积为定值)，则当________时，和x＋y取得最小 值________.
自 1.≥ a＝b ≤ a＝b
我
校 对
2.x＝y
s2 4
x＝y
规律技巧 对于某些问题，从形式上看不具备应用基本不 等式的条件，可设法变形拼凑出应用基本不等式的条件，然后 用基本不等式求解，如本例(2).
三 利用基本不等式解决实际问题
【例3】 某工厂有旧墙一面长14 m，现准备利用这面旧墙 建造平面图形为矩形，面积为126 m2的厂房．工程条件是：① 建1 m新墙的费用为a元；②修1 m旧墙的费用为a4元；③拆去1 m旧墙，用所得的材料建1 m新墙的费用为a2元．经讨论有两种 方案：