高中数学--基本不等式(一)ppt
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2.2.1 基本不等式-(新教材人教版必修第一册)(35张PPT)
利用基本不等式比较大小
【例 2】 (1)已知 a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2 ab
B.ba＋ab≥2
C.a2＋abb2≥2 ab
D.a2＋abb≥ ab
(2)已知 a，b，c 是两两不等的实数，则 p＝a2＋b2＋c2 与 q＝ab＋bc
＋ca 的大小关系是________．
B [当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0 1．不等式a2＋1≥2a中等号成立 即a＝1时，“＝”成立．] 的条件是( ) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，
D [∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，
下列各式中最大的是( )
b2＜b，
A．a2＋b2
一定成立的是( )
A．a－b<0
B．0<ab<1
C.
a＋b ab< 2
D．ab>a＋b
C [∵a>b>0，由基本不等式知 ab<a＋2 b一定成立．]
3．不等式x－9 2＋(x－2)≥6(其 中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C [由基本不等式知等号成立 的条件为x－9 2＝x－2，即x＝5(x＝－ 1舍去)．]
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞
B．2 ab
2ab(∵a≠b)，
C．2ab
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
D．a＋b
又∵a＋b＞2 ab(∵a≠b)，∴a
＋b最大．]
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a
B [∵a>0，b>0，∴a＋
＋b的最小值为( )
b≥2 ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
高中数学人教A版《基本不等式》教学课件1
a b 叫做正数a，b的几何平均数；
代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
探究几何意义
D
ab
A
a OC b
AC = DC E
DC BC
如图,AB是圆的直径，C是 AB上与A、B不重合的一点，
A于aCA=Ba2的,CB弦b=Db≥ ,E过，点连CA作Da垂,Bb直D,
B 则OD=a＿＿b ,CD=＿＿＿＿ 2
高中数学人教A版《基本不等式》教学 课件1
2高.2中基数本学不人等教式A-版【《新基教本材不】等人式教》A版 教（ 学 课20件19） 1 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 14S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
例 6.已 知 0x,求 函 数 ysinx 1
sinx 的 最 小 值 .
解：0x 0sinx1
ysinx 1 2 sinx 1 2
sinx
sinx
当且仅当sinxsin1x，即x2时，ymin 2
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
课堂小结
a2+1与b、2初≥本2步a节应b课用主。（要１学）习了若基a,本b∈不等R，式的那证么明
例 7 若 0 x 1 ， 求 函 数 y x ( 1 - x ) 的 最 大 值 .
人教版高中数学必修1《基本不等式》PPT课件
(二)基本知能小试 1．判断正误：
(1)当 x＞0 时，1x＋x 的最小值为 2. (2)已知 m＞0，n＞0，且 mn＝81，则 m＋n 的最小值为 18.
答案：(1)√ (2)√
() ()
2．下列不等式正确的是
A．a＋1a≥2
B．(－a)＋－1a≤－2
C．a2＋a12≥2
D．(－a)2＋－1a2≤－2
(2)已知 0＜x＜12，求 x(1－2x)的最大值；
(3)已知 x＞0，y＞0，且8x＋1y＝1，求 x＋2y 的最小值．
[解]
(1)
∵
x
＞
2
，
∴
x
－
2
＞
0
，
∴
x
＋
4 x－2
＝
x
－
2
＋
4 x－2
＋
2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6.当且仅当 x－2＝x－4 2即 x＝4 时，等号成立．∴x＋
x－4 2的最小值为 6.
解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0， ∴ a－bb－c≤a－b＋2 b－c＝a－2 c. 当且仅当 a－b＝b－c，即 2b＝a＋c 时，等号成立． 答案： a－bb－c≤a－2 c
题型二 利用基本不等式求最值 【学透用活】
(1) 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 ， 必 须 按 照 “ 一 正 ， 二 定 ， 三 相 等 ” 的 条 件 进 行．若具备这些条件，可直接运用基本不等式；若不具备这些条件，则应进行适 当地变形．
()
A．x≥2y
B．x＞2y
C．x≤2y
D．x＜2y
解析：∵不等式成立的前提条件是各项均为正，∴x－2y＞0，即 x＞2y. 故选 B.
高中数学基本不等式 PPT课件 图文
2. 一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形菜园，墙长18 m，问这个矩形的长 、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大 面积是多少？
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前
人教版高中数学A版必修一2.2 基本不等式课件
提示:①AB 表示圆的直径;②������+2������表示线段 OD;③ ������������对应线段 CD; ④圆的半径大于或等于 CD,即������+2������ ≥ ������������.基本不等式的几何意义是 “半径不小于半弦”.
一二
课前篇 自主预习
2.填空
我们称不等式 ������������ ≤ ������+2������为基本不等式,其中 a>0,b>0,当且仅当 a=b 时,等号成立.
∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立, ∴xy 的最大值为 4.
答案:(1)4 (2)4
课前篇 自主预习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
基本不等式的理解
例1下列命题正确的是( )
A.若 x≠0,则 x+4������≥4
B.若 a,b∈R,且 ab>0,则������������ + ������������≥2
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
变式训练2(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
(2)已知 a>0,b>0,且 a+b=2,求证:1������ + 1������≥2. 证明(1)因为 a,b,c,d 都是正数,所以
ab+cd≥2 ������������������������,ac+bd≥2 ������������������������,
C.
������2 + 2 +
1 的最小值为
������2+2
2
一二
课前篇 自主预习
2.填空
我们称不等式 ������������ ≤ ������+2������为基本不等式,其中 a>0,b>0,当且仅当 a=b 时,等号成立.
∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立, ∴xy 的最大值为 4.
答案:(1)4 (2)4
课前篇 自主预习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
基本不等式的理解
例1下列命题正确的是( )
A.若 x≠0,则 x+4������≥4
B.若 a,b∈R,且 ab>0,则������������ + ������������≥2
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
变式训练2(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
(2)已知 a>0,b>0,且 a+b=2,求证:1������ + 1������≥2. 证明(1)因为 a,b,c,d 都是正数,所以
ab+cd≥2 ������������������������,ac+bd≥2 ������������������������,
C.
������2 + 2 +
1 的最小值为
������2+2
2
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
基本不等式：
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件5：2.2 第1课时 基本不等式
[证明] (1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)≥ 2 bc·2 ac·2 ab＝8abc. 当且仅当 b＝c＝a＝13时，等号成立．
类型 3 基本不等式a＋2 b≥ ab的几何解释 [探究问题] 1．如何用 a，b 表示 PQ、OP 的长度？ [提示] 由射影定理可知 PQ＝ ab，而 OP＝12AB＝a＋2 b.
知 a2＋b2≥2ab.
(2)设 x＞0，y＞0，比较1x＋1y和 2xy的大小．
[提示]
在不等式 a＋b≥2
ab中令 a＝1x，b＝1y可得1x＋1y≥
2 xy.
2．基本不等式的证明 一般地，对于任意实数 a，b，我们有 a2＋b2≥2ab， 当且仅当_a_＝__b__时，等号成立． 特别地，如果 a>0，b>0，我们用__a__，__b__分别代替 a，b 可得 a＋b≥_2___a_b_， 通常我们把上式写作 ab≤a＋2 b(a>0，b>0)．
(2)基本不等式的文字叙述 两个非负数的算术平均数_不__小__于__它们的几何平均数． (3)意义 ①几何意义：半径_不__小__于___半弦． ②数列意义：两个正数的_等__差___中项不小于它们的__等__比__中项．
思考：(1)不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)成立吗？如何证明？
[提示] 成立，证明如下：由 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
规律方法 利用基本不等式证明不等式的注意点 (1)在利用基本不等式证明时，要注意查看基本不等式成立的条件
是否满足，若所证明的不等式中含有等号，还要注意等号是否能成立． (2)在证明过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项，或恒
等地变形配凑成适当的数、式，以便利用基本不等式．
类型 3 基本不等式a＋2 b≥ ab的几何解释 [探究问题] 1．如何用 a，b 表示 PQ、OP 的长度？ [提示] 由射影定理可知 PQ＝ ab，而 OP＝12AB＝a＋2 b.
知 a2＋b2≥2ab.
(2)设 x＞0，y＞0，比较1x＋1y和 2xy的大小．
[提示]
在不等式 a＋b≥2
ab中令 a＝1x，b＝1y可得1x＋1y≥
2 xy.
2．基本不等式的证明 一般地，对于任意实数 a，b，我们有 a2＋b2≥2ab， 当且仅当_a_＝__b__时，等号成立． 特别地，如果 a>0，b>0，我们用__a__，__b__分别代替 a，b 可得 a＋b≥_2___a_b_， 通常我们把上式写作 ab≤a＋2 b(a>0，b>0)．
(2)基本不等式的文字叙述 两个非负数的算术平均数_不__小__于__它们的几何平均数． (3)意义 ①几何意义：半径_不__小__于___半弦． ②数列意义：两个正数的_等__差___中项不小于它们的__等__比__中项．
思考：(1)不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)成立吗？如何证明？
[提示] 成立，证明如下：由 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
规律方法 利用基本不等式证明不等式的注意点 (1)在利用基本不等式证明时，要注意查看基本不等式成立的条件
是否满足，若所证明的不等式中含有等号，还要注意等号是否能成立． (2)在证明过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项，或恒
等地变形配凑成适当的数、式，以便利用基本不等式．
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3.4基本不等式：
引入新课 提问1：我们把“风车”造型抽象成下图.
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为a、b， 那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
D GF C A HE
B
引入新课
提问1：我们把“风车”造型抽象成下图.
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为a、b， 那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
提问2：那4个直角三角形的面积和是多
少呢？
D
GF C
A HE
B
引入新课
提问3：根据观察4个直角三角形的面积
和正方形的面积，我们可得容易得到一个
不等式
，什么时候这两部
分面积相等呢？
D GF C A HE
B
讲授新课
一般地，对于任意实数a、b，我们有 ，当且仅当a＝b时，等号
成立.
提问4：你能给出它的证明吗？
讲授新课 注意：
讲授新课 提问5：观察右图，你能得到不等式
的几何解释吗？
讲授新课
讲授新课
例1.
讲授新课
例1.
练习.
讲授授新课
例4.
讲授新课
例5.
讲授新课
例5.
练习.教材P.100练习第1、2题.
课堂小结
比较两个重要不等式的联系和区别：
课后作业
1. 阅读教材P.97-P.100； 2.《习案》作业三十一.
引入新课 提问1：我们把“风车”造型抽象成下图.
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为a、b， 那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
D GF C A HE
B
引入新课
提问1：我们把“风车”造型抽象成下图.
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为a、b， 那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
提问2：那4个直角三角形的面积和是多
少呢？
D
GF C
A HE
B
引入新课
提问3：根据观察4个直角三角形的面积
和正方形的面积，我们可得容易得到一个
不等式
，什么时候这两部
分面积相等呢？
D GF C A HE
B
讲授新课
一般地，对于任意实数a、b，我们有 ，当且仅当a＝b时，等号
成立.
提问4：你能给出它的证明吗？
讲授新课 注意：
讲授新课 提问5：观察右图，你能得到不等式
的几何解释吗？
讲授新课
讲授新课
例1.
讲授新课
例1.
练习.
讲授授新课
例4.
讲授新课
例5.
讲授新课
例5.
练习.教材P.100练习第1、2题.
课堂小结
比较两个重要不等式的联系和区别：
课后作业
1. 阅读教材P.97-P.100； 2.《习案》作业三十一.