几种简单形状刚体的转动惯量22页PPT
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第22讲+转动惯量
rL2 (x2 y2 z2 ) (x cos y cos z cos )2 考虑到 cos2 cos2 cos2 1 ，有 rL2 (x2 y2 z2 )(cos2 cos2 cos2 ) (x cos y cos z cos )2
rz
A
O
z
x
rz
y
x
y
图2
§1 转动惯量的概念
4.极转动惯量(对极坐标原点的转动惯量)
对于平面薄板，使平板表面重合于坐标平面Oxy（如图3），
如果薄板内各点的坐标 z 可以忽略，则式简写成
J x my2
z
此时有
J y mx2
Jz m(x2 y2 )
Jz Jx Jy
图7
d
A
C
O' O
z
y′
x
y
y x′ x
J z JCz md 2
因而yC′=0。于是得关系式 转动惯量的平行轴定理: 刚体对任一轴的转动惯量，等于它对该轴相平行
且通过质心的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两个轴之间距离平方的乘积。
§3 转动惯量的平行轴定理
例题 4
1. 已知杆长l，质量是m。求通过杆端A并与轴z平行的轴z1的转动惯量。
m(x2 y2)cos2 2 myz cos cos 2mzx cos cos 2mxy cos cos
（a）
课外阅读 §4 刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴
J mrL2 m( y2 z2 ) cos2 m(z2 x2 ) cos2
O
l
C1
A
r
刚体的转动惯量
L I 常量
平动动能 1 m 2
2
力的功 A
F dr
ab
动能定理
A
1 2
m 2
1 2
m02
转动动能 1 I 2
2
力矩的功 A
Md
0
动能定理
A
1 2
I 2
1 2
I02
刚体动力学规律旳应用举例
例1：如图，质量m，长为L旳匀质细杆，可绕水 平旳光滑轴在竖直平面内转动，转轴O在杆旳A端。 若使杆于水平位置从静止开始向下摆动，求杆摆 到铅直位置时旳角速度。
一、刚体旳运动
不论在多大外界作用下，物体旳形状和大小均 不发生变化，这么旳物体称为刚体。
各质点间旳相对位置永不发生变化旳质点系。
1、平动 刚体在运动中，其上任意两点旳连线一直保持平行。
A
A
B
A
B
B 平动中刚体上旳各点都有相同旳轨迹、位移、 速度及加速度。用质心运动讨论。
2、定轴转动 刚体上各点均绕同一固定直线旋转旳运动，
M d（I)
dt
措施四：应用机械能守恒定律（见下一种例题 ）
例2：质量m，长为L旳均匀细棒，可绕过其一端旳水平
轴O转动。现将棒拉到水平位置（OA’）放手，棒下
摆到铅直位置（OA）时，与水平面A处旳质量为M旳
物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一
段距离s后停止。设物体与水平面间旳摩擦系数到处
r2dm
转动定律 M I
动量 m，冲量
t Fdt
动量定理
F
t0 dP
dt
角动量 L I,冲量矩
t
Mdt
t0
角动量定理 M dL dt
五、质点与刚体力学规律对照表（续）
平动动能 1 m 2
2
力的功 A
F dr
ab
动能定理
A
1 2
m 2
1 2
m02
转动动能 1 I 2
2
力矩的功 A
Md
0
动能定理
A
1 2
I 2
1 2
I02
刚体动力学规律旳应用举例
例1：如图，质量m，长为L旳匀质细杆，可绕水 平旳光滑轴在竖直平面内转动，转轴O在杆旳A端。 若使杆于水平位置从静止开始向下摆动，求杆摆 到铅直位置时旳角速度。
一、刚体旳运动
不论在多大外界作用下，物体旳形状和大小均 不发生变化，这么旳物体称为刚体。
各质点间旳相对位置永不发生变化旳质点系。
1、平动 刚体在运动中，其上任意两点旳连线一直保持平行。
A
A
B
A
B
B 平动中刚体上旳各点都有相同旳轨迹、位移、 速度及加速度。用质心运动讨论。
2、定轴转动 刚体上各点均绕同一固定直线旋转旳运动，
M d（I)
dt
措施四：应用机械能守恒定律（见下一种例题 ）
例2：质量m，长为L旳均匀细棒，可绕过其一端旳水平
轴O转动。现将棒拉到水平位置（OA’）放手，棒下
摆到铅直位置（OA）时，与水平面A处旳质量为M旳
物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一
段距离s后停止。设物体与水平面间旳摩擦系数到处
r2dm
转动定律 M I
动量 m，冲量
t Fdt
动量定理
F
t0 dP
dt
角动量 L I,冲量矩
t
Mdt
t0
角动量定理 M dL dt
五、质点与刚体力学规律对照表（续）
常见刚体的转动惯量
174
习题答案
第一章
F (h − 3r ), M y = 3 F (r + h ), M z = − Fr . 1-3 4 4 2 2 bc ab ca a ab M ξ = −513.36 N ⋅ m . 1-4 M x = M − F ，My = M + F ，Mz = M， k1 k1 k1 2k 2 2k 2 abc 2 2 2 2 2 2 F. 其中： k1 = (ab ) + (bc ) + (ca ) ， k2 = a + b / 4 + c . 1-5 M τ = rAB b 2 + c 2
ρz =
3 r 10 3 (4r 2 + l 2 ) 80
ρx = ρy
=
圆环
3 J z = m( R 2 + r 2 ) 4
ρ z = R2 + r2
3 4
Jz =
椭圆形 薄 板
m 2 (a + b2 ) 4 m J y = a2 4 m J y = b2 4
1 2 a + b2 2 a ρx = 2 b ρy = 2
附录常见几种均质物体的转动惯量和回转半径物体的转动惯量简图回转半径形状m为物体的质量m2ljlzzcc1223细直杆m2ljzlz33薄壁2jmrr圆筒zz12rjmrzz22jj圆柱xyxym221223rl3rl1212空心m22122jzrrzrr圆柱22薄壁222jzmrzr空心球33222实心球jzmrzr55171323jzmrzr1010jj圆锥体xyxy322322m4rl4rl8080232232圆环jzmrrzrr44m22122jzabzab42椭圆形m2ajyax薄板42m2bjyby42m22122jzabzab1212m22122长方体jyacxac1212m22122jy12bcy12bcm22jz12ab122zab矩形m212ja薄板y120289axm20289bjbyy12172参考书目1朱照宣周起钊殷金生编
习题答案
第一章
F (h − 3r ), M y = 3 F (r + h ), M z = − Fr . 1-3 4 4 2 2 bc ab ca a ab M ξ = −513.36 N ⋅ m . 1-4 M x = M − F ，My = M + F ，Mz = M， k1 k1 k1 2k 2 2k 2 abc 2 2 2 2 2 2 F. 其中： k1 = (ab ) + (bc ) + (ca ) ， k2 = a + b / 4 + c . 1-5 M τ = rAB b 2 + c 2
ρz =
3 r 10 3 (4r 2 + l 2 ) 80
ρx = ρy
=
圆环
3 J z = m( R 2 + r 2 ) 4
ρ z = R2 + r2
3 4
Jz =
椭圆形 薄 板
m 2 (a + b2 ) 4 m J y = a2 4 m J y = b2 4
1 2 a + b2 2 a ρx = 2 b ρy = 2
附录常见几种均质物体的转动惯量和回转半径物体的转动惯量简图回转半径形状m为物体的质量m2ljlzzcc1223细直杆m2ljzlz33薄壁2jmrr圆筒zz12rjmrzz22jj圆柱xyxym221223rl3rl1212空心m22122jzrrzrr圆柱22薄壁222jzmrzr空心球33222实心球jzmrzr55171323jzmrzr1010jj圆锥体xyxy322322m4rl4rl8080232232圆环jzmrrzrr44m22122jzabzab42椭圆形m2ajyax薄板42m2bjyby42m22122jzabzab1212m22122长方体jyacxac1212m22122jy12bcy12bcm22jz12ab122zab矩形m212ja薄板y120289axm20289bjbyy12172参考书目1朱照宣周起钊殷金生编
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体、转动动能、转动惯量(共23张PPT)
I r2dm －质量连续分布
d l －线分布λ ＝m/L
dm
d
s
－面分布σ ＝m/S
d V －体分布ρ ＝m/V
15二–、8决定多转普动勒惯效量应的三因素
1、刚体的总质量； 2、刚体的质量分布； （如圆环与圆盘的不同）；
3、刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
故刚体的动能：
E ki n11 2 m iri2 21 2(i n1 m iri2) 2
1质5量–不8连续多分普布勒（离效散应）
Ek
1( n 2 i1
miri2)2
质量连续分布 mi 0
第十五章 机械波
v
ri
i
m
i
M
Ek
lim mi 0 n
或：
IB
Ic
m( L)2 2
IA Ic mh2
15平–行8轴定多理普：勒刚体效对应任一轴A的转动惯第量十IA五和章通机过械质波
心并与A轴平行的转
动惯量Ic有如下关系：
IA ICmd2
m 为刚体的质量、
d
A
C
M
d 为轴A与轴C之间的垂直距离
正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）
Iz Ix Iy
vc为质心的速度
O
X
1一5、–转8动多动普能 勒效应
第十五章 机械波
刚体绕定轴以角速度旋转
刚体的动能应为各质元动能之和，
为此将刚体分割成很多很小的质
v
ri
i
m
i
M
元
m 1, m 2 m i m n
任取一质元 m i 距转轴 r i ，则该质元动能：
d l －线分布λ ＝m/L
dm
d
s
－面分布σ ＝m/S
d V －体分布ρ ＝m/V
15二–、8决定多转普动勒惯效量应的三因素
1、刚体的总质量； 2、刚体的质量分布； （如圆环与圆盘的不同）；
3、刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
故刚体的动能：
E ki n11 2 m iri2 21 2(i n1 m iri2) 2
1质5量–不8连续多分普布勒（离效散应）
Ek
1( n 2 i1
miri2)2
质量连续分布 mi 0
第十五章 机械波
v
ri
i
m
i
M
Ek
lim mi 0 n
或：
IB
Ic
m( L)2 2
IA Ic mh2
15平–行8轴定多理普：勒刚体效对应任一轴A的转动惯第量十IA五和章通机过械质波
心并与A轴平行的转
动惯量Ic有如下关系：
IA ICmd2
m 为刚体的质量、
d
A
C
M
d 为轴A与轴C之间的垂直距离
正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）
Iz Ix Iy
vc为质心的速度
O
X
1一5、–转8动多动普能 勒效应
第十五章 机械波
刚体绕定轴以角速度旋转
刚体的动能应为各质元动能之和，
为此将刚体分割成很多很小的质
v
ri
i
m
i
M
元
m 1, m 2 m i m n
任取一质元 m i 距转轴 r i ，则该质元动能：
刚体的定轴转动及转动定律PPT学习教案
；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法
向加速度 .
解：
（1）
5π rads , 1
t = 30 s 时，
0
0.
设 t= 0s
时，
.飞轮做匀减速运动
0 0
0 0 5π rad s1 π rad s2
t
30
6
飞轮 30 s 内rad 2 2 (π 6)
解：
dm dV 2 r h dr
其中：
m m
V r 2 h
所以：
J r 2 dv m
R 2rh r 2dr
0
1 mR2
2
第24页/共28页
第25页/共28页
四 平行轴定理 质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量 为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量为：
0.105
m s2
an r 2 0.2´ (4 π)2 m ×s2 31.6 m ×s2
第10页/共28页
例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截
面后通，过其中转心速的达轴到转18动00.0开r·m始in时-1，. 已它知的转角子速的度角加0 速度0与，时经间3成00正s 比
第12页/共28页
一 力矩 刚体上P点的力 对转轴 Z 的力矩为：
大小： 方向：右手定则
例
F
M rF
M
M Fr sin Fd
F
F
Fi 0 , Mi 0
F
F
z
M
r
O
d
F *P
Fi 0 , Mi 0
第13页/共28页
讨论 1）若力 不在转动平面内
则：
第四章 刚体的转动
1 1 2 2 E k＝ E ki mi ri ＝ 2 2
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
刚体的转动
J miri
i
例 如图
I m1r12 m2r22 m3r32
m2
可视为 质点
r1
m1
r2 r3
m3
转轴
•质量连续分布的物体
J rdm dm d 或 ds 或 dV
线积分
面积分
体积分
（记住：棒、圆盘和圆柱体的I）
例题 5-2
例题 5-3
例题 5-4
（4）以上三式联立，可得物体下落的加速度和速度：
a m g mM 2
V 2ah 4mgh 2m M
这时滑轮转动的角速度为 V 1 4mgh
R R 2m M
例题:质量M=1.1kg，半径=0.6m的匀质圆盘，可绕通过其
中心且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动。圆盘边缘绕有
看成质点 水平飞行
刚体作平动，其上所有点的速度、加速度相等，运动 轨迹都相同，整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿 定律。
转动 刚体运动时，如果刚体中所有质点都绕着一直线 作圆周运动，则这刚体的运动称为转动，这条直 线称为转轴。转轴固定的转动叫定轴转动。
转轴
地球仪转动
一般情况下，刚体十分复杂，同时存在平动和 转动；可以证明，刚体的一般运动可以当作由一平 动和一绕瞬时轴的转动组合而成。
F
ds
F
cos
ds
Ft rd
Md
The total work done during a finite angular displacement
is then
W 0 M d
(5-18)
In the special case of M is a constant
i
例 如图
I m1r12 m2r22 m3r32
m2
可视为 质点
r1
m1
r2 r3
m3
转轴
•质量连续分布的物体
J rdm dm d 或 ds 或 dV
线积分
面积分
体积分
（记住：棒、圆盘和圆柱体的I）
例题 5-2
例题 5-3
例题 5-4
（4）以上三式联立，可得物体下落的加速度和速度：
a m g mM 2
V 2ah 4mgh 2m M
这时滑轮转动的角速度为 V 1 4mgh
R R 2m M
例题:质量M=1.1kg，半径=0.6m的匀质圆盘，可绕通过其
中心且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动。圆盘边缘绕有
看成质点 水平飞行
刚体作平动，其上所有点的速度、加速度相等，运动 轨迹都相同，整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿 定律。
转动 刚体运动时，如果刚体中所有质点都绕着一直线 作圆周运动，则这刚体的运动称为转动，这条直 线称为转轴。转轴固定的转动叫定轴转动。
转轴
地球仪转动
一般情况下，刚体十分复杂，同时存在平动和 转动；可以证明，刚体的一般运动可以当作由一平 动和一绕瞬时轴的转动组合而成。
F
ds
F
cos
ds
Ft rd
Md
The total work done during a finite angular displacement
is then
W 0 M d
(5-18)
In the special case of M is a constant
力矩转动定律转动惯量ppt
物理学教程 （第二版）
* 例4 如图一斜面长 l = 1.5m, 与水平面的夹角 = 5o.
有两个物体分别静止地位于斜面的顶端, 然后由顶端沿
斜面向下滚动, 一个物体是质量 m1 = 0.65kg、半径为R1 的实心圆柱体, 另一物体是质量为 m2 = 0.13 kg 、半径 R2 = R1 = R 的薄壁圆柱筒. 它们分别由斜面顶端滚到斜 面底部各经历多长时间?
直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰
动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.
试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角
速度.
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用，由转动定律得
1 mgl sin J
2
m FN
l2
l oP
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
圆盘绕圆心转动
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
物理学教程 （第二版）
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋 转 , 力 F 作用在刚体上点 P ,
且在转动平面内,
矢.
r
为由点O 到力的作用点 P 的径 M
F
对转轴Z
的力矩
M rF
M Frsin Fd
例2 有一半径为R质量为 m 匀质圆盘, 以角速度ω0绕
通过圆心垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相
同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘,故而有正压
力N 均匀地作用在盘面上, 从而使其转速逐渐变慢.设正
压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出.试
问经过多长时间圆盘才停止转动?