刚体的定轴转动 普物解析
第4章刚体的定轴转动剖析
质量dm=dS
ω
R r dr M
常用的几个刚体的转动惯量
质点： I Mr2
rM
均匀圆环： Ic mR 2
CR M
均匀圆盘：
J c垂 直
1 2
mR 2
CR M
均匀杆：
Ic
1 12
ML2
I
A
1 3
ML2
C A
M
ll 22
关于转动惯量的性质
可加
I Ii
i
平行轴定理
4.1刚体的运动
刚体：任何情况下形状和体积都不改变的物体 （理想化模型）。 说明：
*刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对 位置保持不变。
*有关质点系的规律均可用于刚体，且表达 形式较一般的质点系简单。
4.1刚体的运动
刚体的平动
在运动中，连接刚体内任意两点的直线在各个 时刻的位置都彼此平行
平动时，刚体上所有点运动都相同。
d( dt
ri mi vi )
d dt
(ri
mi vi
)
ri
ddt(mi
vi
)
ri Fi//
Miz M z
z
vi
O ri
Fi //
i
mi
刚体
刚体角动量定理
Mz
dLz dt
Lz＝Iz
刚体定轴转动定理
Mz
dLz dt
d (I z)
dt
Iz
对于确定的刚体角加速度与合力矩成正比
[例4－5]在图示的装置中求 ：T1, T2, a, β.
列方程
m1g T1 =m1a T2 m 2g = m2 a
刚体的定轴转动定律解析
刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中 所有质点的位移都是相同的。而且在任何时刻， 各个质点的速度和加速度也都是相同的。所以刚 体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的 运动。因此，此时可将刚体视为一个质点。
➢ 定轴转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.
定轴转动的刚体上各点都绕同一转轴 作不同半径的圆周运动，且具有相同的角 位移、角速度和角加速度，但是，线速度 、切向加速度和法向加速度不同。即角量 相同而线量不同。因此，定轴转动的刚体 通常要用角量来描述。
四、角量与线量的关系
d
dt
d
dt
d 2
d2t
v r
a
an
r
a
v
a r an r 2
a
r
r
2
n
r
v
v
r
a
r
五、力矩
z
M Or
d
F
P
M Fd Frsin d: 力臂
FM对 转r轴
z F
的力矩
讨论
若力
F
不在转动平面内，把力分解为
平行和垂直于转轴方向的两个分量
F Fz F
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全
大都分布于外轮缘？
？
刚体定轴转动的转动定律的应用
例、如图所示，一个质量为M， 半径为R的圆盘形定滑轮，上面 绕有细绳，绳子一端固定在滑轮 上，另一端悬挂一个质量为m的 物体而下垂，忽略轴处的摩擦， 绳子与滑轮间无相对滑动，求物 体m下落的加速度。直棒，其一端固定在光滑 水平轴上，因而可以在竖直平面内转动，假设最初棒处于水 平位置，求棒从初始位置下摆到时的角速度和角加速度。
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律1. 介绍刚体是物理学中的一个重要概念，它指的是在运动过程中形状和大小保持不变的物体。
刚体的定轴转动定律是描述刚体绕固定轴线转动的规律和性质，对于我们理解刚体的运动和应用相关物理问题具有重要意义。
2. 刚体的转动惯量2.1 定义刚体绕轴线转动时，其转动惯量是衡量刚体抵抗转动运动的特性。
转动惯量的大小取决于刚体的质量分布以及轴线的位置和方向。
2.2 转动惯量的计算方法转动惯量可以通过积分计算得到，对于一个质量为m的刚体，其转动惯量可以用以下公式表示： [ I = r^2 dm ] 其中，r是质量元dm到转轴的距离。
对于一些常见的简单形状的刚体，转动惯量可以通过一些公式直接计算得到，例如：- 细杆绕直线轴线转动：[ I = mL^2 ] - 球体绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ] - 圆环绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ]3. 定轴转动的角动量3.1 定义角动量是描述物体转动的物理量，刚体的角动量可以通过转动惯量和角速度的乘积得到。
3.2 角动量的守恒对于一个孤立系统，如果没有外力矩作用，刚体的角动量将保持不变，这就是角动量守恒定律的内容。
3.3 角动量定理角动量定理描述了外力矩对刚体角动量的影响，它可以表示为以下公式： [ = ] 其中，()是作用在刚体上的外力矩，(L)是刚体的角动量。
4. 牛顿第二定律与角加速度4.1 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了刚体转动的加速度与作用力的关系，其公式为： [ = I] 其中，()是作用在刚体上的合外力矩，(I)是刚体的转动惯量，()是刚体的角加速度。
4.2 角加速度的计算对于旋转轴与力矩不垂直的情况，我们可以通过以下公式计算刚体的角加速度：[ = ] 其中，()是力矩与旋转轴之间的夹角。
5. 定轴转动的动能5.1 定义刚体的转动动能是由于其转动而具有的能量，它可以通过转动惯量和角速度的平方的乘积得到。
5.2 动能定理动能定理描述了外力对刚体转动动能的影响，它可以表示为以下公式： [ W = K ] 其中，(W)是作用在刚体上的合外力所做的功，(K)是刚体的转动动能。
物理课件2.91刚体的定轴转动力矩转动定律转动惯量
目录
• 刚体的定轴转动 • 力矩 • 转动定律 • 转动惯量
01
刚体的定轴转动
刚体的定义
刚体
在任何力的作用下，其形状和大 小都不会发生变化的物体。刚体 是一个理想化的物理模型，用于 简化对物理现象的研究。
刚体的特点
刚体在力的作用下，只发生平动 或定轴转动，不会发生形变。在 刚体的定轴转动中，其上任意两 点之间的距离保持不变。
刚体的定轴转动
定轴转动
刚体绕某一固定轴作转动。
定轴转动的特点
刚体在定轴转动中，其上任意一点都绕同一固定轴作圆周运动，且各点的角速 度相同。
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律
转动惯量
刚体绕固定轴转动的角动量守恒。即 刚体在不受外力矩作用时，其角动量 保持不变。
描述刚体转动惯性的物理量，等于刚 体质量与质心到转轴距离平方的乘积 。
转动惯量
描述刚体绕定轴转动的惯性大小的物理量。
转动惯量的定义公式
I = Σ (m * r^2)，其中I是转动惯量，m是质量， r是质点到转轴。
转动惯量的计算
对于细杆，若其质量分布均匀，则其 转动惯量等于质量与质心到转轴距离 平方的乘积。
对于质量分布不均匀的刚体，需要将 刚体分割成若干微元，然后对每个微 元应用转动惯量的定义公式进行计算 。
对于质量分布均匀的圆盘，其转动惯 量等于圆盘质量与半径平方的乘积。
转动惯量的应用
在动力学问题中，转动惯量是描 述刚体转动状态的重要物理量， 可以用于计算刚体的角速度、角
加速度等物理量。
在振动问题中，转动惯量可以影 响刚体的振动频率和振幅。
在陀螺仪和电机控制等领域，转 动惯量也是重要的参数之一。
刚体定轴转动(公式)
旋转木马通常配备安全带、护栏等安全措施，以确保乘客安全。
儿童游乐设施
旋转木马是儿童游乐场常见的设施之一，为儿童提供娱乐和刺激。
电风扇的转动
电风扇的工作原理
电风扇通过电机驱动叶片 旋转，产生风流，实现送 风效果。
风力调节
电风扇通常配备调速器， 可调节电机转速，从而调 节风力大小。
维护保养
定期清洗电风扇叶片和外 壳，检查电线和开关是否 正常，以确保安全和正常 使用。
04
刚体定轴转动的实例分析
匀速转动的飞轮
01
02
03
飞轮的转动
飞轮在匀速转动时，其角 速度保持恒定，不受外力 矩作用。
动能与势能转换
飞轮在转动过程中，动能 和势能之间相互转换，但 总能量保持不变。
平衡状态
在匀速转动状态下，飞轮 的合力矩为零，处于平衡 状态。
旋转木马的转动
旋转木马的转动原理
旋转木马通过电机驱动，使木马旋转，当木马旋转时，离心力作 用使木马保持稳定。
力矩平衡方程
合力矩=0，即所有作用在刚体上的力对旋转轴产生的力矩之和为零。
注意事项
在应用力矩平衡方程时，需要明确各个力的作用点和方向，并计算其对旋转轴产生的力矩。同时，需要注意力的 方向和力臂的长度对力矩的影响。
如何应用动量矩守恒定律？
动量矩守恒定律
在没有外力矩作用的情况下，刚体的动量矩是守恒的。
05
刚体定轴转动的常见问题与解决方案
如何计算转动惯量？
转动惯量计算公式
I=mr^2，其中m是刚体的质量，r是质心到旋转轴的距离。
注意事项
在计算转动惯量时，需要明确旋转轴的位置，并计算质心到旋转轴的距离。同时 ，需要考虑刚体的质量分布情况，因为不同位置的质量对转动惯量的贡献不同。
刚体定轴转动知识点总结
刚体定轴转动知识点总结1. 刚体的转动定轴刚体的转动定轴是指固定不动的直线，沿其进行转动的刚体的每一个质点所受的力矩的代数和等于零。
在实际中，通常通过支点来实现转动定轴，比如钟摆、摇摆、旋转的转轴等。
2. 刚体的角位移、角速度和角加速度在刚体定轴转动中，刚体围绕定轴线进行旋转，其角位移、角速度和角加速度是非常重要的物理量。
角位移表示刚体在围绕定轴线旋转的过程中所经过的角度变化量，通常用θ表示；角速度表示刚体围绕定轴线旋转的速度，通常用ω表示；角加速度表示刚体围绕定轴线旋转的加速度，通常用α表示。
3. 牛顿第二定律在刚体定轴转动中的应用牛顿第二定律也适用于刚体定轴转动的情况。
在刚体定轴转动中，外力会给刚体带来转动运动，根据牛顿第二定律，刚体的角加速度与作用在其上的外力矩成正比。
因此，可以根据力矩的大小和方向来分析刚体的转动运动。
4. 转动惯量和转动动能在刚体定轴转动中，转动惯量是一个非常重要的物理量。
转动惯量描述了刚体围绕定轴线旋转的难易程度，其大小与刚体的质量分布和轴线的位置有关。
转动动能是刚体围绕定轴线旋转的能量，其大小取决于刚体的转动惯量和角速度。
5. 转动定律和角动量守恒定律在刚体定轴转动中，转动定律和角动量守恒定律是非常重要的定律。
转动定律描述了刚体受力矩产生的角加速度与所受力矩的关系，角动量守恒定律描述了刚体转动过程中角动量的守恒规律。
6. 平衡条件和稳定性分析在刚体定轴转动中，平衡条件和稳定性分析是非常重要的内容。
通过平衡条件，可以分析刚体围绕定轴线旋转的平衡状态。
稳定性分析则是分析刚体在平衡状态下的稳定性，通常通过刚体的势能函数和平衡位置的稳定性来进行分析。
7. 应用领域刚体定轴转动的理论和方法在工程技术、航空航天、机械制造、物理学等领域都有重要的应用价值。
比如在机械制造中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计机械装置；在航空航天中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计飞行器的运动控制系统。
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律一、前言刚体的定轴转动定律是物理学中的重要概念之一，它描述了刚体在绕固定轴进行运动时的物理规律。
本文将从定义、公式、特点和应用四个方面来全面介绍刚体的定轴转动定律。
二、定义刚体的定轴转动指的是一个刚体在绕一个固定轴进行旋转运动时，其各个部分都沿着圆周运动，且旋转轴不发生移动。
而刚体的定轴转动定律则是描述这种运动状态下物理量之间关系的规律。
三、公式1. 角加速度公式角加速度指的是角速度随时间变化率，通常用符号α表示。
根据牛顿第二定律和角动量守恒原理，可以得到以下公式：Iα = τ其中，I表示刚体绕固定轴旋转时所具有的惯性矩，τ表示作用在刚体上的扭矩。
2. 角位移公式角位移指的是一个物体在绕某一点旋转时所经过的角度变化量，通常用θ表示。
根据定义可以得到以下公式：θ = s / r其中，s表示弧长，r表示绕定轴旋转的半径。
3. 角速度公式角速度指的是一个物体在绕某一点旋转时所具有的单位时间内经过的角度变化量，通常用符号ω表示。
根据定义可以得到以下公式：ω = Δθ / Δt其中，Δθ表示角位移变化量，Δt表示时间变化量。
4. 动能公式刚体绕定轴旋转时所具有的动能可以通过以下公式计算：E = 1/2 Iω²其中，I表示刚体绕固定轴旋转时所具有的惯性矩，ω表示角速度。
四、特点1. 惯性矩与扭矩之间存在直接关系。
根据牛顿第二定律和角动量守恒原理可以得到Iα = τ这一公式，表明惯性矩与扭矩之间存在直接关系。
当扭矩增大时，刚体的角加速度也会增大；当惯性矩增大时，则需要更大的扭矩来产生相同大小的角加速度。
2. 角加速度与扭矩之间存在反比关系。
根据Iα = τ这一公式可以看出，当惯性矩不变时，角加速度与扭矩之间存在反比关系。
也就是说，当扭矩增大时，角加速度会减小；当扭矩减小时，角加速度会增大。
3. 角速度与角位移之间存在直接关系。
根据定义可以得到ω = Δθ / Δt这一公式，表明角速度与角位移之间存在直接关系。
53刚体定轴转动定律解析课件
Fz
F
O r
F
M z rF sin θ
2）合力 矩等 于各 分力 矩的矢量和。 M M1 M2 M3
注意：合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。2
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
3） 刚体内，作用 力和反作用力的力 矩互相抵消。
M = rF sinθ = Fd M ij M ji
ml 2
O
绕杆的一端转动惯量为：
O´
l
J
1
ml
2
m
l
2
1 ml 2
12
2 3
刚体绕质心轴的转动惯量最小。
17
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：如图所示，求：刚体对经过棒端且与棒垂直的 轴的转动惯量？( 棒长为L、圆半径为R ）
J L1
1 3
mL L2，
JO
1 2
mO R2
mO
mL O’•
3）系统中既有转动物体又有平动物体时，则： 对转动物体按转动定律列方程； 对平动物体按牛顿定律列方程。
27
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：滑轮半径为r 。 （设绳与滑轮间无相对滑动） 求：1）当m2与桌面间的摩擦系数为μ时，物体的
JO= m l 2 + m l 2 = 2ml 2
l
l
m
·c
r
m
ol
= m l 2 + (3m) r 2 = 2ml 2
11
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面 的质心轴转动，求：转动惯量 J。
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§5-1 刚体的运动
Motions of a Rigid Body
E
1.刚体运动的分类
平动——刚体上任何两点的连线始终保持平行的运动。
平动时所有质元 的运动完全相同，可 用刚体的质心的运动 代替整个刚体的运动。 质心服从质心运动定 理。
E
定轴转动——刚体上所有质元都绕同一条固定直线做圆
周运动；且各质元的角速度相同。 转轴
（1）求角加速度α和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N；
（2）求制动开始后t=25 s时飞轮的角速度；
（3）设飞轮的半径r=1m，求在t=25s时边缘上一点的速度和 加速度。
解 （1）设初角度为0，方向如 图所示，量值为
0=21500/60=50 rad/s，对于 匀变速转动，可以应用以角量表
示的运动方程，在t=50 s时刻
0 t 50 25rad / s 25rad / s 78.5rad / s
的方向与 0相同 ；
E
（3）t=25 s 时飞轮边缘上一点P的速度 可由
v
r
求得。所以
v
v
r sin
r sin 900
r
78.5m / s
v 的方向垂直于 和 r 构成的平面，如图所示
相应的切向加速度和向心加速度分别为
at r 3.14m / s2
an r 2 6.16 10 3 m / s2
E
边向缘相上反，该点a的n 的加方速向度指a向轮a心n ，aat
其中 at 的方向与
的大小为
v
的方
a at2 an2 (6.16 103 )2 3.142 m / s2
6.16 103 m / s2
a的方向几乎和
转轴的转动惯量
d
C mO
J JC md 2
J Jc
E
证明：
rciC
d
ri
O
mi
J
miri2
miri ri
mi (rci d) (rci d)
mirc2i
mid 2 2
mirci d
JC md2 2
mirci d
E
例1 一质量为 m、长为 l 的均匀细长棒，求
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v
2 0
2a(x
x0 )
2
2 0
2 (
0)
E
例 一飞轮在时间t内转过角度＝at+bt3-ct4，式中a、 b、c都是常量。求它的角加速度。
解：飞轮上某点角位置可用表示为 ＝at+bt3-ct4将此式 对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为
第五章 刚体的定轴转动
Rotation about a Fixed Axis of a Rigid Body
E
本章主要内容
§5-1 刚体的运动 §5-2 刚体定轴转动定律 §5-3 转动惯量的计算 §5-4 刚体定轴转动定律的应用 §5-5 转动中的功和能 §5-6 对定轴的角动量守恒 §5-7 进动
i
i
E
（2）质量连续分布 J r 2dm
m
对质量线分布的刚体： dm dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体： dm dS
：质量面密度
对质量体分布的刚体：dm dV
：质量体密度
E
（3）平行轴定理
质量为m 的刚体，
如果对其质心轴的转动
惯量为 JC ，则对任一与
该轴平行，相距为 d 的
an
相同
0
O
an r
a
at
v
E
§5-2 刚体的角动量和转动惯量
Law of Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis
E
角动量：
Li
riR
pi
ri
pi
riz
pi
Liz ri pi
Liz
Liz ri pi mirivi miri2
陀螺旋进
定点转动——刚体上的只有一点始终保持不动。
E
平面平行运动——刚体上所有质元都限定在平面里运
动。
平面平行运动 = 质心运动 +质心系中定轴转动 绕过质心垂直于平面的定轴
E
+ 刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动
E
２.描述刚体转动的角量
角速度——刚体上任一质元圆周运动的角速度。
角加速度——刚体上任一质元圆周运动的角加速度。
pi
z
Li
O
ri
riR
riz
轴向总角动量：
OR
Lz i Liz i miri2
对于Z轴的转动惯量
E
意义：转动惯量是对刚体转动时惯性大小的量度。
特性：（1）与质量有关。
（2）与质量对轴的分布有关。 J
mi ri 2
i
（3）与转轴的位置有关。
计算：（1）质点系 J miri2 mi (xi2 yi2 )
=0 ，代入方程= 0+ α t得
0
O
an r
a
at
v
E
0 50 rad / s2
t
50
3.14 rad / s2
从开始制动到静止，飞轮的角位移及转数N分别为
0
0t
1 2
at 2
50
50
1 2
50 2
1250 rad
N 时飞轮的角速度
E
第五章 刚体的定轴转动
任何物体可以视为质点系。刚体是一种特殊的质点系， 是不同于质点的一种理想模型。
刚体——在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物
体 .（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）。
分割刚体得到的可当作质点考虑的物块称为质元。刚体
上任意两质元的距离在任何情况下不变。 质元的运动服从质点的运动规律。 刚体上各质元的相对位置和运动是有相互联系的。
d (at bt 3 ct 4 ) a 3bt 2 4ct 3
dt
角加速度是角速度对t的导数，因此得
a d d (a 3bt 2 4ct 3 ) 6bt 12ct 2
dt dt
由此可见飞轮作的是变加速转动。
E
例题 一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀地减速，经 t=50 s后静止。
通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为
处的质量元 dm dr dJ r2dm r2dr
J 2 l /2 r 2dr 1 l3
d ——角位移
dt
d
dt
d 2
dt 2
角量与线量的关系：
z
Ori
mi
rj
m j
v r
at r, an r 2
E
匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at