2014高考调研理科数学课本讲解_7-1 不等式与不等关系
2014届高考数学一轮复习 第七章不等式7.1不等关系与不等式教学案 理 新人教A版
第七章 不等式 7.1 不等关系与不等式考纲要求1．了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．掌握不等式的性质，会用不等式的性质进行不等式的运算、证明和比较数或式的大小．1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a －b ＞0⇔________；a －b ＝0⇔________；a －b ＜0⇔________. 23(1)倒数性质①a ＞b ，ab ＞0⇒1a __________1b；②a ＜0＜b ⇒1a __________1b；③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c __________b d；④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b __________1x __________1a.(2)有关分数的性质 若a ＞b ＞0，m ＞0，则①真分数的性质：b a __________b ＋m a ＋m ，b a __________b －ma －m (b －m ＞0)．②假分数的性质：a b __________a ＋m b ＋m ，a b __________a －mb －m(b －m ＞0)．4．(1)若a ＞0，则|x |＜a ⇔__________. (2)若a ＞0，则|x |＞a ⇔__________.1．若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是( )． A ．1a ＜1bB ．a 2＞b 2C ．a c 2＋1＞b c 2＋1D ．a |c |＞b |c |2．下面的推理过程⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒ac >bc c >d ⇒bc >bd ⇒ac ＞bd ⇒a d ＞bc ，其中错误之处的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．33．设a ＞0，b ＞0，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则1a ＋1b的最小值是( )．A ．1B ．2C ．4D ．2 24．若x ＞y ，a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ；②a ＋x ＞b ＋y ；③ax ＞by ；④x －b ＞y －a ；⑤a y ＞bx这五个式子中，恒成立的不等式的序号是__________．一、用不等式(组)表示不等关系【例1】某蔬菜收购点租用车辆，将100 t 新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆大卡车载重8 t ，运费960元，每辆农用车载重2.5 t ，运费360元，总运费不超过13 000元，据此安排两种车型，应满足哪些不等关系，请列出来．方法提炼体积、面积、长度、重量、时间等均为非负实数．请做演练巩固提升4二、比较实数(或代数式)的大小【例2－1】已知在等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5a 5的大小． 【例2－2】已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：ea －c ＞eb －d.方法提炼比较大小的方法 1．作差法其一般步骤是：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方和式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．2．作商法其一般步骤是：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论． 3．特例法若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路．4．注意：a ＞b ⇔1a ＜1b和a ＞b ⇔a n ＞b n(n ∈N ，且n ＞1)成立的条件．请做演练巩固提升2,5错用不等式性质求范围致误【典例】设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．错解：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤f－，2≤f ，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2， ①2≤a ＋b ≤4. ②①＋②得32≤a ≤3，②－①得12≤b ≤1.由此得4≤f (－2)＝4a －2b ≤11. ∴f (－2)的取值范围是[4,11]．正解：法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m 、n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10. 即5≤f (－2)≤10.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f －＝a －b ，f ＝a ＋b ， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －＋f ，b ＝12[f－f －∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 即5≤f (－2)≤10. 答案：[5,10]答题指导：利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，要特别注意．错因在于运用同向不等式相加这一性质时，不是等价变形，导致f (－2)的取值范围扩大．另外，本题也可用线性规划求解，题中a 、b 不是相互独立的，而是相互制约的，故不可分割开来．先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等式关系的运算求得待求整体的范围是避免错误的一条途径．1．若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“b ＜1a”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．比较大小：a a b b __________a b b a(a ＞0，b ＞0且a ≠b )．3．已知12＜a ＜60,15＜b ＜36，则a －b ，a b的取值范围分别是__________，__________. 4．已知一个三边分别为15,19,23个单位长度的三角形，若把它的三边分别缩短x 个单位长度且构成钝角三角形，试用不等式写出x 满足的不等关系__________．5．已知a 、b 、c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．a ＞b a ＝b a ＜b2．b ＜a a ＞c a ＋c ＞b ＋d ac ＞bc ac ＜bc a ＋c ＞b ＋d ac ＞bd ＞0 a n ＞b nna ＞n b3．(1)①＜ ②＜ ③＞ ④＜ ＜ (2)①＜ ＞ ②＞ ＜ 4．(1)－a ＜x ＜a (2)x ＜－a 或x ＞a 基础自测1．C 解析：解法一：(特殊值法)令a ＝1，b ＝－2，c ＝0，代入A ，B ，C ，D 中，可知A ，B ，D 均错．故选C. 解法二：(直接法) ∵a ＞b ，c 2＋1＞0，∴a c 2＋1＞bc 2＋1.故选C. 2．D 解析：①a ＞bac ＞bc ，②c ＞d bc ＞bd ，③ac ＞bda d ＞b c. 3．B 解析：lg a ＋lg b ＝lg ab ＝0，ab ＝1，1a ＋1b ≥21ab＝2.当且仅当a ＝b 时“＝”成立．4．②④ 解析：若x ＞y ，a ＞b ，则－x ＜－y ，∴a －y ＞b －x . 若x ＞y ，a ＞b ，则－b ＞－a ， ∴x －b ＞y －a ，若x ＞y ，a ＞b ，则推不出ax ＞by . 若x ＞y ，a ＞b ，推不出a y ＞b x.综上，①③⑤错误，②④正确． 考点探究突破【例1】 解：设租用大卡车x 辆，农用车y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋2.5y ≥100，24x ＋9y ≤325，0≤x ≤10，0≤y ≤20，x ，y ∈N .【例2－1】 解：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5.当q ＞0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q ) ＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q4＜0， 所以有S 3a 3＜S 5a 5.综上可知S 3a 3＜S 5a 5.【例2－2】 证明：∵c ＜d ＜0， ∴－c ＞－d ＞0.∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0.∴1a －c ＜1b －d . 又∵e ＜0，∴ea －c ＞eb －d.演练巩固提升1．D 解析：∵0＜ab ＜1，∴a ，b 同号．当a ，b 同正时，由0＜ab ＜1易得b ＜1a；当a ，b 同负时，由0＜ab ＜1易得b ＞1a.因此0＜ab ＜1b ＜1a ； 反过来，由b ＜1a得，b －1a＜0， 即ab －1a ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ab <1或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，ab >1.因此b ＜1a0＜ab ＜1.综上知“0＜ab ＜1”是“b ＜1a”的既不充分也不必要条件．2．＞ 解析：根据同底数幂的运算法则，采用作商法．a ab b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b， 当a ＞b ＞0时， 即ab ＞1，a －b ＞0， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ＞1，于是a a b b ＞a b b a； 当b ＞a ＞0时，0＜ab＜1，a －b ＜0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ＞1，于是a a b b ＞a b b a . 综上，a a b b ＞a b b a.3．(－24,45) ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4 解析：欲求a －b 的取值范围，应先求－b 的取值范围；欲求a b 的取值范围，应先求1b的取值范围．∵15＜b ＜36，∴－36＜－b ＜－15. 又12＜a ＜60，∴12－36＜a －b ＜60－15. ∴－24＜a －b ＜45. 又136＜1b ＜115，∴1236＜a b ＜6015.∴13＜ab＜4. 4．⎩⎪⎨⎪⎧15－x >0，15－x ＋19－x >23－x ，(23－x )2>(15－x )2＋(19－x )25．解：方法一：(作差法) ∵a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca ) ＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 方法二：(函数法)记t ＝a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca ) ＝a 2－(b ＋c )a ＋b 2＋c 2－bc ，∵Δ＝(b ＋c )2－4(b 2＋c 2－bc )＝－3b 2－3c 2＋6bc ＝－3(b －c )2≤0， ∴t ≥0对a ∈R 恒成立，即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .。
探究高中数学中的不等式与不等关系
探究高中数学中的不等式与不等关系数学是一门抽象而又具有逻辑性的学科，而不等式与不等关系作为数学中的一个重要概念，在高中数学中占据着重要的地位。
不等式与不等关系不仅仅是一种数学工具，更是一种思维方式和解决问题的方法。
本文将探究高中数学中的不等式与不等关系，分析其应用和意义。
一、不等式与不等关系的基本概念不等式是数学中比较两个数大小关系的一种表示方法，常用的不等关系有大于、小于、大于等于、小于等于等。
例如，a > b表示a大于b，a < b表示a小于b，a ≥ b表示a大于等于b，a ≤ b表示a小于等于b。
通过不等式与不等关系，我们可以比较两个数的大小关系，进而进行数值的比较和运算。
二、不等式与不等关系的性质及运算规则不等式与不等关系具有一些重要的性质和运算规则，这些性质和规则对于解决不等式问题具有重要的指导意义。
1. 不等式的传递性：如果a > b，b > c，那么可以推出a > c。
这个性质告诉我们，如果两个数之间存在大小关系，那么通过传递性可以推出更多的大小关系。
2. 不等式的加减乘除性质：对于不等式a > b，c > 0，有以下性质：- 加法性质：a + c > b + c- 减法性质：a - c > b - c- 乘法性质：a × c > b × c（当c > 0时）- 除法性质：a ÷ c > b ÷ c（当c > 0时）通过这些性质，我们可以对不等式进行加减乘除运算，从而得到新的不等式。
三、不等式的解集与图像表示解不等式就是找到满足不等式条件的数的集合，这个集合被称为不等式的解集。
不等式的解集可以用图像表示，从而更直观地理解不等式的解集。
对于一元一次不等式，我们可以通过构建不等式的解集来表示。
例如，对于不等式2x + 3 > 5，我们可以通过移项得到2x > 2，进而得到x > 1。
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.1 不等关系与不等式课件 文
已知 a＞0，b＞0，则 aabb 与 abba 的大小关系为( ) A．aabb≥abba B．aabb＜abba C．aabb≤abba D．与 a，b 的大小有关
解：不妨设 a≥b＞0，则ab≥1，a－b≥0.aaabbbba
＝aba－b≥1，即 aabb≥abba.同理当 b＞a＞0 时，
自查自纠：
1．＞0 ＝0 ＜0 2．(1)b<a (2)a>c (3)> (5)a＋c>b＋d (7)ac>bd (10)an>bn(n∈N 且 n≥2)
(4)ac>bc
ac<bc
n (11)
n a>
b(n∈N
且
n≥2)
(2014·山东)已知实数 x，y 满足 ax＜ay(0＜a＜1)，则下列 关系式恒成立的是( )
※(9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒1a＜1b； (10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________； (11)不等式的开方：a>b>0⇒______________． ※注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减； 2．(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式 可相除．
• 7.1 不等关系与不 等式
1．两个实数大小的比较 (1)a＞b⇔a－b________； (2)a＝b⇔a－b________； (3)a＜b⇔a－b________. 2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔__________； (2)传递性：a>b，b>c⇒__________； (3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c； (4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________， 不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________； (5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________； ※(6)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d； (7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒__________； ※(8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒ac＞bd；
2014高考数学总复习第六章第一节《不等关系与不等式》课件理
A．0
B. 1
C．2
D．3
解
析
：
对
于
①
，
由
不
等
式
的
性
质
得
c a
－
d b
＝
bc－abad，因为 ab>0，bc－ad>0，
∴bc－abad>0，即ac－db>0，故该命题是真命题．类
似可推得命题②③也是真命题．故正确命题的个数为
三个．故选 D.
答案：D
变式探究
1．若a>b>0，则 ( )
A．a－b>1 C．lg(a－b)>0
解析：取特殊值．如 a＝2，b＝1，m＝ n＝1，则ba＝12，ab＝2，ba＋ ＋mm＝23，ab＋＋nn＝32.
∴ab>ab＋ ＋nn>ab＋＋mm>ba. 答案：ab>ab＋ ＋nn>ab＋＋mm>ba
考点探究
考点一 不等式的性质的运用
【例1】已知a，b，c，d均为实数，有下列命题： ① ② ③若若若aabbbc－>>00a，，d>bac0c－，－aacddb>－0>，0db则，>则a0c，b－c则－aadbbd>>>000.；； 其中正确命题的个数是( )
当x≥2(x∈N*)，即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅 行社．
变式探究
4．(1)已知4枝郁金香和5枝丁香的价格最多22元，而6 枝郁金香和3枝丁香的价格不小于24元，设每枝郁金香的价 格为x元，每枝丁香的价格为y元，则满足上述所有不等关系 的不等式组为______________．
(2)某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万 本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少 2 000本．若把提价后杂志的定价设为x元，用不等式表示销 售的总收入仍不低于20万元为______________．
不等式不等关系与不等
2023不等式不等关系与不等式ppt•不等式的定义和分类•不等式的性质和证明•不等式的解法和求解技巧•不等式不等关系的建立和应用目•不等式在数学和实际生活中的应用录01不等式的定义和分类不等式是指用不等号（如“$<$”,“$>$”,“$\leqslant$”,“$\geqslant$”）连接两个数或表达式的数学式子。
不等式的定义不等式可以用数学符号表示为$a < b$或$a \geqslant b$等，其中$a$和$b$是两个数学表达式或数值。
不等式的表达不等式的含义和表达不等式的分类不等式可以分为严格不等式和广义不等式。
不等式的相互关系不等式可以传递性、加法逆元、乘法逆元、正值性和正值传递性的关系。
不等式的分类及相互关系不等式在优化问题中的应用不等式可以用来描述限制条件，如时间、资源、成本等，在优化问题中起到重要作用。
不等式在数学建模中的应用不等式可以用来描述客观世界中的不等关系，如物理学、经济学、工程学等领域中的问题，通过数学建模的方法可以解决这些问题。
不等式在实际问题中的应用02不等式的性质和证明1不等式的性质和定理23如果`a>b`和`b>c`，那么`a>c`。
传递性如果`a>b`且`b>a`，那么`a=b`。
反对称性如果`a>b`，那么`a+c>b+c`。
可加性通过代数运算和代数式变形来证明不等式。
不等式的证明方法代数证明通过几何图形和几何性质来证明不等式。
几何证明通过三角函数的性质和变换来证明不等式。
三角函数证明最值问题优化问题理论证明利用不等式优化生产、分配、消费等实际问题。
利用不等式证明数学理论中的一些重要结论。
03不等式的应用举例02 01利用不等式求函数的最值。
03不等式的解法和求解技巧不等式的解法及步骤求解不等式化简合并同类项理解不等式的定义和性质移项观察不等式中未知数的系数和常数项利用不等式的性质简化不等式将不等式中的未知数分离出来构造函数或方程利用单调性或极值求解不等式的求解技巧不等式解的应用举例求最值比较大小求解概率统计问题解决实际问题04不等式不等关系的建立和应用不等式不等关系是指两个或多个数值或变量之间存在的不平等关系，这种关系通常用不等号（如“<”、“>”、“≤”、“≥”）来表示。
不等关系与不等式的性质
2023-11-06CATALOGUE 目录•不等关系•不等式•不等式的解法•不等式在实际问题中的应用•不等式的扩展知识01不等关系不等关系是数学中的一个基本概念，它描述了两个数或量之间的大小关系。
在日常生活中，不等关系也广泛存在，例如人的身高、体重、年龄等都可以用不等式来表示。
引言如果对于任意两个实数a和b，可以用一个大于号（>）或者小于号（<）来表示它们之间的关系，那么就说a与b之间存在不等关系。
特别地，当a=b时，称a与b相等；当a>b时，称a大于b；当a<b时，称a小于b。
如果a>b且b>c，那么a>c。
不等关系的传递性如果a>b，那么b<a；如果a<b，那么b>a。
不等关系的逆向性如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
不等关系的可加性如果a>b且c>d，那么ac>bd（当c>0时）；如果a>b且c<d，那么ac<bd（当c<0时）。
不等关系的可乘性02不等式用不等号(“>”、“<”、“≥”、“≤”或“≠”)连接两个数的式子，称为不等式。
不等式的定义严格不等式非严格不等式用严格不等号“≠”连接两个数的式子，称为严格不等式。
用“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数的式子，称为非严格不等式。
03不等式的定义0201极值定理对称性如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b。
加法单调性也就是不等式方向不变。
乘法单调性积大于每一个因数。
任何数都有大于、小于、等于它自身的关系，这是自然界的普遍规律。
反身性传递性如果a>b，b>c，那么a>c。
如果f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上的最大值与最小值之差为零。
不等式的性质一元不等式只含有一个未知数的不等式。
线性不等式未知数是线性组合的不等式。
高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 71 不等关系与不等式课件 文
1，所以 P<Q.故选 D.
[答案] D
12/9/2021
第三十二页，共四十二页。
2．(2016·北京卷)已知 x，y∈R，且 x>y>0，则( )
A.1x－1y>0
B．sinx－siny>0
C.12x－12y<0
D．lnx＋lny>0
12/9/2021
第三十三页，共四十二页。
[解析] 由 x>y>0, 得1x<1y，即1x－1y<0，故选项 A 不正确；由 x>y>0 及正弦函数的单调性，可知 sinx－siny>0 不一定成立，故 选项 B 不正确；由 0<12<1，x>y>0，可知12x<12y，即12x－12y<0， 故选项 C 正确；由 x>y>0，得 xy>0，xy 不一定大于 1，故 lnx＋lny ＝lnxy>0 不一定成立，故选项 D 不正确．故选 C.
第十一页，共四十二页。
3．已知 a∈R，则“a2<a”是“a<1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由 a2<a，可得 0<a<1，所以“a2<a”是“a<1”的充分不 必要条件．
[答案] A
12/9/2021
第十二页，共四十二页。
4．在所给的四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0 中，能推出1a<1b成立的有( )
[答案] D
12/9/2021
第十页，共四十二页。
不等关系与不等式介绍
不等关系与不等式介绍不等关系是数学中常用的一种关系，用于描述两个数之间的大小关系，即比较两个数的大小。
在数学中,不等关系可以表示为"大于"、“小于”、“大于等于”、“小于等于”。
不等关系可以形成不等式，不等式是含有不等号的数学式子。
不等关系是不等式的基础，而不等式则是对不等关系进行了约束。
在不等关系中，常常使用符号“>”（大于）、“<”（小于）、“≥”（大于等于）、“≤”（小于等于）来表示。
为方便表达，我们将两个数用变量表示，一般用字母x或y来表示。
例如，若x>y，表示x比y大；若x<y，表示x比y小；若x≥y，表示x大于等于y；若x≤y，表示x小于等于y。
不等关系可以直接表示两个数之间的大小关系，而不等式则将不等关系进行了约束，通过不等式可以表示一系列满足条件的数的范围。
不等式可以分为一元不等式和二元不等式。
一元不等式是只含有一个未知数的不等式，二元不等式是含有两个未知数的不等式。
解不等式即求不等式的解集，即满足不等式条件的变量值的范围。
解不等式的方法与解方程的方法有些相似，但由于不等式的特殊性，有一些注意事项。
对于一元不等式，可以通过将不等式化简为等价的形式，然后求解，在不等式两边施以同一个正数或同一个负数时，不等号的方向会发生改变。
例如，对于不等式2x-5>7，我们可以将其化简为2x>12，再除以2得到x>6，所以该不等式的解集为{x，x>6}。
当不等式左右两边均含有未知数，即为二元不等式时，需要绘制不等式的图形来找出解集。
一般将不等式转化为一元不等式的形式，取出一个未知数，再通过绘制图形来求解。
例如，对于二元不等式2x+3y≤8，我们可以将其转化为一元不等式2x≤8-3y，再通过绘制图形求解。
在绘制图形时，将不等式转化为等式，将未知数看作坐标轴上的变量，找出所有使等式成立的点，再根据不等式的符号来确定图形中的哪些点属于解集。
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请注意！
以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函 数、数列、几何、实际问题等相结合进行综合命题.
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1．两个实数的大小比较 (1)a>b⇔ a－b>0 . 2 a＝b⇔ a－b＝0 . ( ) 3 a<b⇔ a－b<0 . ( )
【答案】 (x2＋y2)(x－y) x2－y2)(x＋y) > (
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2 已知 a， x， 均 正 数且 ( ) b， y 为 实 ， 的大小关系是________． 【解析】 法一(作差法)
bx－ay x y ∵ － ＝ ， x＋a y＋b x＋ay＋b 1 1 又 > 且 a、b∈R＋， a b ∴b>a> 又 x>y>0，∴bx>ay. 0 . bx－ay x y ∴ >0，即 > . x＋ay＋b x＋a y＋b 法二(作商法) 略
思考题 3 若二次函数 y＝f(x)的图像过原点，且 1≤f(－ 1)≤2 ≤f( ≤4，求 f(－2)的范围． 2 , 1 )
【解析】 由题意可得 f(x)＝ax2＋bx， 设 f(－2)＝mf(－1)＋nf( 1 ( ) m，n 为待定系数)，
z＝2x－3y 的取值范围是________．(答 用 间 示 案区表
【解析】 方法一 设 2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y) ＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y， 1 λ＋μ＝2， λ＝－2， 对应系数相等，则 ⇒ λ－μ＝－3 μ＝5. 2 1 5 ∴2x－3y＝－2(x＋y)＋2(x－y)∈( 8 3 ) ,
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1．若 a<5，则一定有 2 A．aln < n 5 l 3 2 C．|aln n 5 < l| 3
答案 D
( 2 B．|a| < n n l 5 l 3 2 3
)
2 3 2 | 3
2 2 D．a| |<5 | n l n| l 3 3
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b＋1)．
a>b 且 c≤0，则 ac≤bc，即
“b>－1”．
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1 例 2 1 已知 a≠1 且 a∈R，试比较 ( ) 与 1＋a 的大小． 1－a 2 1 a 【解析】 ∵ －(1＋a)＝ ， 1－a 1－a
a2 1 ①当 a＝0 时， ＝0，∴ ＝1＋a. 1－a 1－a a2 1 ②当 a<1，且 a≠0 时， >0，∴ >1＋a. 1－a 1－a a2 1 ③当 a>1 时， <0，∴ <1＋a. 1－a 1－a
a>b 不能得
出 a>b＋1，因此，使 a>b 成立的充分不必要条件是 a>b＋1， 选 A.
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4．知 个 件 已四条， 1 1 能推出 < 成立的有 a b A．1 个 C．3 个
答案 C
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①b> a； 0 > ②0>a>b； 0 b； ③a> > ④a>b>0， ( B．2 个 D．4 个 )
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－1<x＋y<4， 由 2<x－y<3
方法三
确定的平面区域如图阴影部
2 z 分．目标函数 z＝2x－3y 可化为 y＝3x－3 ，由线性规划知识可 求出．
【答案】 8 3 ( ) ,
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1 1 解析 运用倒数法则，a>b，ab>0⇒ < ，②、④正确．又 a b 正数大于负数，所以①正确．故选 C.
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5．(1 22 0·
四川)设 a，b 为正实数．现有下列命题：
①若 a2－b2＝1，则 a－b<1； 1 1 ②若 － ＝1，则 a－b<1； b a ③若| a－ b|＝1，则|a－b| ； < 1 ④若|a3－b3 |＝1，则|a－b|. < 1 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)
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思考题 2 1 设 x<y<0，比 ( ) 试较 ＋y)的大小．
(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2() x ·
【解析】 ∵(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2] ＝(x－y)(－2xy) ， > 0 ∴(x2＋y2)(x－y) x2－y2)(x＋y)． > (
2 1 1 于②，取 a＝2，b＝ ，有 － ＝1，此时 a－b>1，因此②不正 3 b a 确．对于③，取 a＝9，b＝4，有| a－ b|＝1， 此 但时 5 ，因此③不 确 对 > 1 正．于 |a－b|＝
④，由|a3 －b3|＝1，得|a－b|(a2 ＋ab
＋b2)＝1，|a－b|(a2＋ab＋b2> a－b|(a2－2ab＋b2)＝|a－b|3，于 ) | 是有|a－b|3<1，|a－b| ，因此④正确． < 1
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例 1 对于实数 a，b，c，判断下列命题的真假． 1 若 a>b，则 ac>bc； ( ) 2 若 a>b，则 ac2>bc2； ( ) 3 若 a<b<0，则 a2>ab>b2； ( ) 1 1 4 若 a<b<0，则 > ； ( ) a b b a 5 若 a<b<0，则 > . ( ) a b
【讲评】 本题的目的在于讲清①，由 a>b⇒a2>b2 成立的 1 1 条件是 a>b≥0；②由 a>b⇒ < 成立的条件是 ab> 即 a、b 同 0 ( a b 1 1 1 1 号时，若 a>b，则 < ；a、b 异号时，若 a>b，则 > )． a b a b
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2．不 式 性 等的质 (1)对 性 ：a>b⇔ b<a . 称 (2)传 性 ：a>b，b>c⇒a>c. 递 (3)可 性 ：a>b⇔a＋c > b＋c； 加 a>b，c>d⇒ a＋c>b＋d . (4)可 性 ：a>b，c>0⇒ac > bc； 乘 a>b，c<0⇒ac < bc； a>b>0，c>d>0⇒ac > bd.
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．
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方法二
a＝x＋y， 令 b＝x－y，
a＋b x＝ ， 2 ∴ a－b y＝ 2 . ．
a＋b a－b a 5 ∴2x－3y＝2 8 3 ) , －3 2 ＝－2＋2b∈( 2
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1 1 x y > ， x>y， 则 与 a b x＋a y＋b
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x y 【答案】 > x＋a y＋b
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例 3 20 (1 0·
辽宁理)已知－1＜x＋y＜4 且 2＜x－y＜3，则 )
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2．(课本习题改编)已知 a＜b＜0，c＞0， 下 空 处 在列白填 上恰当的不等号： ①若 ad＞bd，则 d________0； ②(a－2)c________(b－2)c； ③ |a|________ |b|； c c ④ ________ . a b
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探究 3 由 a<f1(x，y)<b，c<f2(x，y)<d，求 g(x，y)的取值 范，利待系法决即 围可用定数解，设 g(x，y)＝λf1(x，y)＋μf2(x，
y)，求得 λ，μ，再利用不等式的性质求出 g(x，y)的范围．
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(5)可方性：a>b>0，n∈N＋⇒an > bn； a>b>0，n∈N＋⇒ a > n n b.