北京市海淀区2013-2014高三上学期期中考试数学理含答案
2013-2014海淀第一学期高二期末数学试题理课及答案
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）2014.01一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）抛物线22y x =的准线方程是 ( ) （A ） 12x =（B ）12y = （C ）12x =- （D ）12y =-（2）若直线10x ay ++=与直线20x y ++=平行，则实数a = ( )（A ）12-（B ）2- （C ）12 （D ）2（3）在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点. 设OA = a , OB = b ，OC =c ，那么向量AP用基底{,,}a b c 可表示为（ ）（A ）111222-+a +b c（B ）1122-+a +b c （C ）1122+a +b c（D ）111222+a +b c（4）已知直线l ，平面α.则“l α^”是“$直线m αÌ，l m ^”的 （ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）若方程22(2)1mx m y +-=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）(1,)+∞ （B ）(0,2)（C ）(1,2)（D ）(0,1)（6）已知命题:p 椭圆的离心率(0,1)e ∈，命题:q 与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切线，那么 （ ）（A ）p q ∧是真命题 （B ）()p q ∧⌝是真命题 （C ）()p q ⌝∨是真命题 （D ）p q ∨是假命题（7）若焦距为4的双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的实轴长为 （ ） （A ）（B ） 4 （C ）（D ） 2（8）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．则下列命题中假命题．．．是 （ ） OABCP F ED 1C 1B 1A 1DCBA（A ）存在点E ，使得11A C //平面1BED F （B ）存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F （C ）对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F （D ）对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）在空间直角坐标系中，已知(2,1,3)=-a ，(4,2,)x =-b .若^a b ，则x = . （10）过点(1,1)且与圆2220x x y -+=相切的直线方程是 .（11）已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，P 是C 上一点. 若OPF ∆是等腰三角形，则PO = .（12）已知点12,F F 是双曲线C 的两个焦点，过点2F 的直线交双曲线C 的一支于,A B 两点，若1ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为 .（13）如图所示，已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11A D 上的一个动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值是 .（14）曲线C 是平面内与定点(2,0)F 和定直线2x =-的距离的积等于4的点的轨迹.给出下列四个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于x 轴对称； ③曲线C 与y 轴有3个交点；④若点M 在曲线C 上，则MF的最小值为1). 其中，所有正确结论的序号是___________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点 (4 0)A ，，动点M 在y 轴上的正射影为点N ，且满足直线MO NA ⊥. （Ⅰ）求动点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）当π6MOA ∠=时，求直线NA 的方程.1A(16)（本小题共11分）已知椭圆C ：22312x y +=，直线20x y --=交椭圆C 于,A B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的焦点坐标及长轴长； （Ⅱ）求以线段AB 为直径的圆的方程.(17)（本小题共11分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB BC ⊥，PD DC ⊥，且PC =（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；（Ⅲ）棱PD 上是否存在一点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30 ？若存在，求PE 的长；若不存在，请说明理由．(18)（本小题共12分）已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>经过如下五个点中的三个点：1(1,)2P --，2(0,1)P，31(,22P，4P ，5(1,1)P . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设点A 为椭圆M 的左顶点，, B C 为椭圆M 上不同于点A 的两点，若原点在ABC ∆的外部，且ABC ∆为直角三角形，求ABC ∆面积的最大值.AB CDP海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准2014．01 一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（9）103（10）10y-=（11）32或1（12（13（14）①②④注：（11）题少一个答案扣2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设(,)M x y，则(0,)N y，(,)OM x y=，(4,)NA y=-.……………………2分因为直线MO NA⊥，所以240OM NA x y⋅=-=，即24y x=. ………………………4分所以动点M的轨迹C的方程为24y x=（0x≠）. ………………………5分（Ⅱ）当π6MOA∠=时，因为MO NA⊥，所以π3NAO∠=.所以直线AN的倾斜角为π3或2π3.当直线AN的倾斜角为π3时，直线NAy--=；……………8分当直线AN的倾斜角为2π3时，直线NA0y+-=.…………10分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）原方程等价于221412x y+=.由方程可知：212a=，24b=，2228c a b=-=，c=……………………3分所以椭圆C的焦点坐标为(0,，(0,-，长轴长2a为……………5分（Ⅱ）由2231220x yx y⎧+=⎨--=⎩，，可得:220x x--=.解得：2x=或1x=-.所以 点,A B 的坐标分别为(2,0)，(1,3)--. ………………………7分 所以 ,A B 中点坐标为13(,)22-，||AB ==……………9分所以 以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为13(,)22-，半径为2. 所以 以线段AB 为直径的圆的方程为22139()()222x y -++=. …………………11分 （17）（本小题满分11分）（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，CD AD ⊥.因为CD PD ⊥，AD PD D = ，所以 CD ⊥平面PAD ． ………………………1分 因为 PA ⊂平面PAD ，所以 CD PA ⊥． ………………………2分 同理，BC PA ⊥． 因为 BC CD C = ，所以 PA ⊥平面ABCD ． ………………………3分 （Ⅱ）解：连接AC ，由（Ⅰ）知PA ⊥平面ABCD ．因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 PA AC ⊥． ………………………4分 因为PC =AC =，所以 1PA =．分别以AD ，AB ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 由题意可得：(0,1,0)B ，(1,0,0)D ，(1,1,0)C ，(0,0,1)P ．所以 (0,1,0)DC = ，(1,0,1)DP =- ，(1,1,0)BD =- ，(0,1,1)BP =-．设平面PDC 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DC DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即0,0.y x z =⎧⎨-+=⎩令1x =，得1z =. 所以 (1,0,1)=n ． 同理可求：平面PDB 的一个法向量(1,1,1)=m ． ………………………6分所以cos ,⋅<>===n m n m |n ||m |．所以 二面角B PD C --………………………8分 （Ⅲ）存在．理由如下：若棱PD 上存在点E 满足条件，设(,0,)PE PD λλλ==-，[0,1]λ∈．所以 (1,1,1)(,0,)(1,1,1)EC PC PE λλλλ=-=---=--．…………………9分因为 平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)AP =．所以|cos ,|EC APEC AP EC AP⋅<>==令1sin 30,2==解得：1λ=经检验1[0,1]2λ=-∈． 所以 棱PD 上存在点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30 ，此时PE 的长为1． ………………………11分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由22222222222222221222(1)1112a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+<+=+<+知，31(,)22P 和5(1,1)P 不在椭圆M 上，即椭圆M经过1(1,2P --，2(0,1)P，4(1,2P . 于是222,1a b ==.所以 椭圆M 的方程为：2212x y +=. ………………………2分 （Ⅱ）①当90A ∠=︒时，设直线:BC x ty m =+，由2222,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得222(2)2(2)0t y tmy m +++-=.设1122(,),(,)B x y C x y ，则2216880m t ∆=-+>，12221222,22. 2tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以AB AC k k ===1==-.于是3m =-，此时21616809t ∆=-+>，所以直线:3BC x ty =-.因为12216902y y t =-<+，故线段BC 与x轴相交于(3M -，即原点在线段AM 的延长线上，即原点在ABC ∆的外部，符合题设. ………………………6分所以12121||||||23ABC S AM y y y y ∆=⋅-=-====89.当0t =时取到最大值89. ………………………9分 ②当90A ∠≠︒时，不妨设90B ∠=︒.设直线:0)AB x ty t =≠，由2222,x y x ty ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得22(2)0t y +-=.所以 0y =或y =.所以B ，由AB BC ⊥，可得直线:BC y tx =-+.由223222,,2x y y tx t ⎧+=⎪⎨=-+⎪+⎩得22222328(1)(2)(21)02t t t t y y t +++--=+.所以 222228(1)0(2)(21)B C t t y y t t +=-<++. 所以 线段BC 与x轴相交于22(,0)2N t +. 显然原点在线段AN 上，即原点在ABC ∆的内部，不符合题设. 综上所述，所求的ABC ∆面积的最大值为89. ……………………12分 注：对于其它正确解法，相应给分.。
2013-2014学年度上学期高三第十次月考--数学理
2013—2014学年度上学期高三一轮复习数学（理）单元验收试题（10）【新课标】命题范围：计数原理、二项式定理、概率与统计 说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。
1． （2013年大纲版数学（理））()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．168 2．（2013年山东数学（理）试题）用0,1,……,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）A ．243B ．252C ．261D ．279 3．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么（ ）A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 4．（2013年安徽数学（理）试题）某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ ）A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 5．（2013年高考陕西卷（理））如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（ ）A ．14π-B ．12π-C ．22π- D ．4π6．在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两个变量有关系的可能性就（ ）A ．越大B ．越小C ．无法判断D ．以上都不对7．小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（ ）A.30％B.10％C.3％D.不能确定 8．（2013年重庆数学（理）试题）以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)甲组 乙组 9 0 9x 2 1 5y 8 7424已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则,x y 的值分别为（ ） A ．2,5B ．5,5C ．5,8D ．8,89．在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）A ．－1B ．0C ．12 D ．110．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A ．4π B ．22π- C ．6π D ．44π-11．满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．10 12．（2013年高考湖北卷（理）如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X ,则X 的均值为()E X =（ ）A ．126125B ．65C ．168125D ．75第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。
北京市海淀区2013-2014学年高二下学期期中考试数学理试题 扫描版含答案
海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准 2014．04一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.（8）讲评提示：考察函数ex . 二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9）(2,)+ （10）4π （11）16（12）2（13）111111()2321n n n +++++<+∈-N* ，12k + （注：每空2分）（14）20(,0)a b （注：回答出20(,0)a b 给4分；答案为0(,0)ab b 或20(,0)b b 或22(,0)2a bb +给3分；其它答案酌情给1~2分；未作答，给0分）三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分10分）证明：（Ⅰ）连接AC 交BD 于点O ，连接OE . 在矩形ABCD 中，AO OC =. 因为 AE EP =，所以 OE ∥PC . ………………………2分 因为 PC Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ， 所以 PC ∥平面BDE . ………………………5分 （Ⅱ）在矩形ABCD 中，BC CD ^. 因为 PD BC ^，CDPD D =，PD Ì平面PDC ，DC Ì平面PDC ，所以 BC ^平面PDC . ………………………8分 因为 PC Ì平面PDC ，所以 BC PC ^.OAEBCDP即 PBC ∆是直角三角形. ………………………10分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）因为 ()332f x ax x =++，所以 2'()33f x ax =+. ………………………2分 因为 函数()f x 的一个极值点是1, 所以 '(1)330f a =+=.解得：1a =-. ………………………4分 经检验，1a =-满足题意. 所以 (2)0,'(2)9f f ==-.所以曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是9(2)y x =--，即9180x y +-=. ………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：2'()33f x x =-+.令'()0f x =，得 121,1x x =-=. ………………………7分 当x 在[2,3]-上变化时，()'(),f x f x 的变化情况如下表………………………10分 所以 函数()f x 在[2,3]-上的最大值为4，最小值为-16. ………………………11分（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为()e a xg x x -=，x ∈R ，所以'()(1)ea xg x x -=-． ………………………2分令'()0g x =，得1x =．当x 变化时，()g x 和'()g x 的变化情况如下：故()g x 的单调递减区间为；单调递增区间为． ………………………5分 （Ⅱ）因为 ()e a x h x x -=+， 所以 '()1ea xh x -=-. ………………………6分令'()0h x =，得x a =．当x 变化时，()h x 和'()h x 的变化情况如下：即()h x 的单调递增区间为；单调递减区间为． ………………………8分 所以()h x 的最小值为()1h a a =+.①当10a +>，即1a >-时，函数()h x 不存在零点.②当10a +=，即1a =-时，函数()h x 有一个零点. ………………………10分 ③当10a +<，即1a <-时，(0)e 0ah =>， 下证：(2)0h a >.令()e 2x m x x =-，则'()e 2x m x =-. 解'()e 20x m x =-=得ln 2x =.当ln 2x >时，'()0m x >，所以 函数()m x 在[)ln 2,+∞上是增函数. 取1ln 2x a =->>，得：ln2()e 2e 2ln 222ln 20a m a a --=+>-=->. 所以 (2)e 2()0a h a a m a -=+=->.结合函数()h x 的单调性可知，此时函数()h x 有两个零点.综上，当1a >-时，函数()h x 不存在零点；当1a =-时，函数()h x 有一个零点；当1a <-时，函数()h x 有两个零点. ………………………12分 （18）（本小题满分11分） （Ⅰ）解：（1）不是，因为线段12A B 与线段12A A 不垂直；（2）不是，因为线段23B B 与线段23A A 不垂直. ………………………2分（Ⅱ）命题“对任意n ∈N 且2n >，总存在一条折线12n C A A A ---：有共轭折线”是真命题.理由如下：当n 为奇数时，不妨令21,2,3,4,n k k =-=，取折线1221k C A A A ----：.其中(,)(1,2,,21)i i i A a b i k =-，满足211(1,2,,21),0(1,2,,),i i a i i k b i k -=-=-==21(1,2,,1)i b i k ==-.则折线C 的共轭折线为折线C 关于x 轴对称的折线.如图所示.当n 为偶数时，不妨令2,2,3,4,n k k ==，取折线122k C A A A ---：.其中(,)(1,2,,2)i i i A a b i k =，满足22121(1,2,,21),2,0(1,2,,),1(1,2,,)i k i i a i i k a k b i k b i k -=-=-=====.折线C的共轭折线为折线122'k C B B B ---：.其中(,)(1,2,,2)i i i B x y i k =满足22212211(1,2,,23),21,21,2,0(1,2,,1),i k k k i x i i k x k x k x k y i k ---=-=-=-=+===-2222121(1,2,,2),3,1,1i k k k y i k y y y --=-=-=-=-=.如图所示. ………………………7分注：本题答案不唯一.（Ⅲ）证明：假设折线1234B B B B ---是题设中折线C 的一条共轭折线（其中11B A =，44B A =），设1(,)t t t t B B x y += (1,2,3t =)，显然,t t x y 为整数. 则由11t t t t B B A A ++⊥，得：11223312312330,30,30,9,1. x yx yx yx x xy y y+=⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪++=⎪⎪++=⎩①②③④⑤由①②③式得11223,,.3333 y x y x y x=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩这与⑤式矛盾，因此，折线C无共轭折线. ………………………11分注：对于其它正确解法，相应给分.。
北京市海淀区2024届高三上学期期中考试数学含答案
2023北京海淀高三（上）期中数 学2023.11本试卷共6页，150分，考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合{}2A x x =<，{}1,2B =，则A B =(A)(),2−∞ (B) (2],−∞ (C){}1(D){}1,2(2)若复数z 满足2i 1iz ⋅=+，则z = (A)1i −− (B) 1i −+ (C) 1i −(D) 1i +(3)下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞ 上单调递增的是 (A)ln y x = (B)3y x = (C)tan y x =(D)2x y =(4)已知向量a ，b 满足)1(2a =，，12()b −=−， ，则a b ⋅= (A)-5 (B)0 (C)5(D)7(5)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且515S =，则24·a a 的最大值为 (A)94(B)3 (C)9(D)36(6)设4log 6a =，2log 3b =，32c =，则 (A)a b c >> (B)c b a >> (C)b a c >>(D)b c a >>(7)“sin tan 0θθ+>”是“θ为第一或第三象限角”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(8)在ABC ∆中，sin sin 2B A =，2c a =，则|(A)B ∠为直角 (B) B ∠为钝角 (C) C ∠为直角(D) C ∠为钝角(9)古典吉他的示意图如图所示.0A ，B 分别是上弦枕、下弦枕，121(9)i i A =⋅⋅⋅，，是第i 品丝.记i a 为i A 与1i A −的距离，i L 为i A 与0A 的距离，且满足1L i i X L aM−−=，i =1，2，…，19，其中L X 为弦长(0A 与B 的距离)，M 为大于1的常数，并规定00L =.则 (A)数列1219,,,a a a ⋅⋅⋅是等差数列，且公差为2LX M− (B)数列1219,,,a a a ⋅⋅⋅是等比数列，且公比为1M M − (C)数列1219,,,L L L ⋅⋅⋅是等比数列，且公比为21M M − (D)数列1219,,,L L L ⋅⋅⋅是等差数列，且公差为2(1)LM X M −(10)在等腰直角三角形ABC 中，AB =2，M 为斜边BC 的中点，以M 为圆心，MA 为半径作AC ̂，点P 在线段BC 上，点Q 在AC ̂上，则AP MQ + 的取值范围是(A)[0(B)[02+，(C)[2(D)2[−+第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2014年高考理科数学全国卷2(含详细答案)
数学试卷 第1页（共42页） 数学试卷 第2页（共42页） 数学试卷 第3页（共42页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）理科数学使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、西藏注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|(1)4,}M x x x =-<∈R ,{1,0,1,2,3}N =-,则MN = ( )A .{0,1,2}B .{1,0,1,2}-C .{1,0,2,3}-D .{0,1,2,3} 2.设复数z 满足(1i)2i z -=,则z =( )A .1i -+B .1i --C .1i +D .1i -3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知32110S a a =+,59a =,则1a =( )A .13B .13-C .19D .19-4.已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l m ⊥,l ⊥n ,l α⊄,l β⊄,则( )A .αβ∥且l α∥B .αβ∥且l β⊥C .α与β相交,且交线垂直于lD .α与β相交,且交线平行于l5.已知5(1)(1)ax x ++的展开式中的2x 的系数为5,则a =( )A .4-B .3-C .2-D .1-6.执行如图的程序框图,如果输入的10N =,则输出的S = ( ) A .11112310++++B .11112!310++++！！C .11112311++++ D .11112311++++！！！7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为 ( )8.设3log 6a =,5log 10b =,7log 14c =,则( )A .c b a >>B .b a c >>C .a c b >>D .a b c >>9.已知0a >,x ,y 满足约束条件1,3,(3).x x y y a x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥若2z x y =+的最小值为1,则a = ( )A .14B .12C .1D .210.已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是( )A .0x ∃∈R ,0()0f x =B .函数()y f x =的图象是中心对称图形C .若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D .若0x 是()f x 的极值点,则0()0f x '=11.设抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,||5MF =.若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( )A .24y x =或28y x = B .22y x =或28y x = C .24y x =或216y x =D .22y x =或216y x =12.已知点(1,0)A -,(1,0)B ,(0,1)C ,直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是( )A .(0,1)B .21(1,)22-C .21(1,]23-D .11[,)32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =________. 14.从n 个正整数1,2,,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n =________.15.设θ为第二象限角,若π1tan()42θ+=,则sin cos θθ+=________. 16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知100S =,1525S =,则n nS 的最小值为________.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）ABC △在内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cos sin a b C c B =+.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b =,求ABC △面积的最大值.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共42页）数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）18.（本小题满分12分）如图,直棱柱111ABC A B C -中,D ,E 分别是AB ,1BB 的中点,122AA AC CB AB ===. （Ⅰ）证明：1BC ∥平面1A CD ； （Ⅱ）求二面角1D AC E --的正弦值.19.（本小题满分12分）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t 该产品获利润500元,未售出的产品,每1t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以X (单位：t ,100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. （Ⅰ）将T 表示为X 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的频率),利润T 的数学期望.20.（本小题满分12分） 平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M :22221(0)x y a b a b+=>>右焦点的直线30x y +-=交M 于A ,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.（Ⅰ）求M 的方程；（Ⅱ）C ,D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AD ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数()e ln()xf x x m =-+.（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时,证明:()0f x >.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做，则按做的第一题积分.作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,CD 为ABC △外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D ,E ,F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且BC AE DC AF =,B ,E ,F ,C 四点共圆.（Ⅰ）证明：CA 是ABC △外接圆的直径；（Ⅱ）若DB BE EA ==,求过B ,E ,F ,C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P ,Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上,对应参数分别为=t α与=2t α(02π)α<<,M 为PQ 的中点.（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲设a ,b ,c 均为正数,且1a b c ++=.证明： （Ⅰ）13ab bc ca ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a++≥.0,M N={1,的公共元素，即可确定出两集合的交集．3/ 14；；110⨯⨯，110!S++，从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，【考点】循环结构的程序框图．【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图象为下图：则它在平面zOx上的投影即正视，故选A．4225/ 14．直线2267 / 14轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为，则1(),2AE =，2(2,BD =-2AE BD =．82为坐标原点，CA的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz．)1,1,0，E，(1,1,0CD=，(0,2,1CE=，12,0,2(CA=设11,(,n x y z=是平面A1CD10,0,n CDn CA⎧=⎪⎨=⎪⎩即10,+20.z=⎧⎨=⎩可取1,(,11n=--同理，设m是平面10,0,m CEm CA⎧=⎪⎨=⎪⎩可取2,1(,m=-3cos,3||||n mm nn m<>==，故6,3m n<>=D－A1C－E的正弦值为3（步骤4）为坐标原点，CA的方向为，11,(,n x y z=CD的法向量，同理，设3,3||||n mm nn m<>==，故6sin,3m n<>=9/ 14108|||AB=96．．（步骤5）代入直线可解得C．设CD即可得到关于|||【考点】椭圆的方程、椭圆的简单几何性质、点差法的应用和直线与椭圆的位置关系．11/ 14=DB BA DB213 / 143DB D DA B =（步骤3）2DB BA DB =【考点】弦切角，圆内接四边形的性质．【答案】（1）x y ⎧⎨⎩22x y +=。
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编31：几何证明(.
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编31:几何证明一、选择题1 .(北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题如图,PC 与圆O 相切于点C ,直线PO 交圆O 于,A B 两点,弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中,错误..的结论是( A .BEC ∆∽DEA ∆ B .ACE ACP ∠=∠C .2DE OE EP =⋅D .2PC PA AB =⋅2 .(顺义区2013届高三第一次统练数学理科如图,AC AB ,分别与圆O 相切于点ADE C B ,,是⊙O 的割线,连接CE BE BD CD ,,,.则(A .DE AD AB ⋅=2B .CE AC DE CD ⋅=⋅ C .CE BD CD BE ⋅=⋅ D .CD BD AE AD ⋅=⋅3 .(2012北京理5.如图.90=∠ACB ,AB CD ⊥于点D ,以BD 为直径的圆与BC 交于点E .则(A .DB AD CB CE ⋅=⋅ B .AB AD CB CE ⋅=⋅C .2CD AB AD =⋅ D .2CD CB CE =⋅4 .(北京市石景山区2013届高三一模数学理试题如图,直线AM 与圆相切于点M , ABC 与ADE 是圆的两条割线,且AD BD ⊥,连接EC MD ,.则下面结论中,错误..的结论是 ( A .90=∠ECAB .DBA DMA CEM ∠+∠=∠C .AE AD AM ⋅=2D .BC AB AE AD ⋅=⋅5 .(北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学(理试题如图,已知AB 是⊙O 的一条弦,点P 为AB 上一点, PC OP ⊥,PC 交⊙O 于C ,若4AP =, 2PB =,则PC 的长是(A .3B.C .2D6 .(2011年高考(北京理如图,,,AD AE BC 分别于圆O 切于点,,D E F ,延长AF 与圆O 交于点G ,给出下列三个结论:①AD AE AB BC CA +=++;②AF AG AD AE ⋅=⋅; ③AFB ∆∽ADG ∆,其中正确的结论的序号是 ( A .①② B .②③ C .①③ D .①②③BABCOP7 .(2013北京房山二模数学理科试题及答案如图,,,,A B C D 是⊙O 上的四个点,过点B 的切线与DC 的延长线交于点E .若110BCD ︒∠=,则DBE ∠= (A .75︒B .70︒C .60︒D .55︒二、填空题D C B PAO9. (2013北京丰台二模数学理科试题及答案如图,已知⊙O 的弦AB 交半径OC 于点D ,若4=AD ,3=BD ,4=OC ,则CD 的长为______.19.(海淀区北师特学校13届高三第四次月考理如图,BC 是半径为2的圆O 的直径,点P 在BC 的延长线上,PA 是圆O 的切线,点A 在直径BC 上的射影是OC 的中点,则ABP ∠= ;PB PC ⋅= .14. (2013北京朝阳二模数学理科如图,PC 切圆O 于点C ,割线PAB 经过圆心O ,,4=PC 8=PB ,则=∠COP tan _______,△OBC 的面积是_________.F26.(2013届北京丰台区一模理科如图,已知直线PD 切⊙O 于点D ,直线PO 交⊙O 于点F E ,.若21PF PD =+=,则⊙O的半径为 ;EFD ∠= .27.(2013北京高考数学(理如图,AB 为圆O 的直径,PA 为圆O 的切线, PB 与圆O相交于D.若3=PA ,916PD DB =::,则PD =_________;AB =___________.(20题图等22. (2013北京昌平二模数学理科圆O 于点A ,AC 为圆北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编31:几何证明参考答案一、选择题 1. 【答案】D解:由切割线定理可知2PC PA PB =⋅,所以D 错误,所以选D.2. 答案C 由切线长定理知2AB AD AE =⋅,所以A 错误.选C.3. 【解析】在ACB ∆中,∠ACB=90º,CD ⊥AB 于点D,所以DB AD CD ∙=2,由切割线定理的CB CE CD ∙=2,所以CE ·CB=AD ·DB.【答案】A 4. D 5. B6. 【答案】A【命题立意】本题考查了平面几何问题,圆以及圆的切线问题的研究,通过圆的切线所具有的性质反映出平面几何中的转化思想以及三角形的相似关系.【解析】因为,,AD AE BC 都是圆的切线,所以B D B E=,CE CF =,所以A B B C C A A++=+++,所以①正确;因为,,AD AE BC 都是圆的切线,所以AD AE =,由切割线定理得2AF AG AD AD AE ⋅==⋅,所以②正确; 由切线定理知ACD BDF BFD ∠=∠=∠,ABF BDF BFD ∠=∠+∠,所以③错误,选择A. 7. B二、填空题8. 2459. 2; 11. 【答案】5【解析】取BD 的中点,连结OM ,则O M B D ⊥,因为8BD =,所以4,549DM MB AM ===+=,所以22290819OM AO AM =-=-=,所以半径5OB ====,即5OC =。
北京市2013届高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题：立体几何(含答案)
北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：立体几何一、选择题1 ．（2013届北京大兴区一模理科）已知平面βα,，直线nm,，下列命题中不．正确的是（）A．若α⊥m，β⊥m，则α∥βB．若m∥n，α⊥m，则α⊥nC．若m∥α，n=βα ，则m∥nD．若α⊥m，β⊂m，则βα⊥．2 ．（2013届北京海滨一模理科）设123,,l l l为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：①i iA l∃∈(1,2,3)i=，使得123A A A∆是直角三角形；②i iA l∃∈(1,2,3)i=，使得123A A A∆是等边三角形；③三条直线上存在四点(1,2,3,4)iA i=，使得四面体1234A A A A为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是（）A．①B．①②C．①③D．②③3 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（）A．2B．22C．3D．324 ．（2013届北京西城区一模理科）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．6B．12（7题图）轨迹是（）A．线段B．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分6 ．（2013届房山区一模理科数学）某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）A．B．8C．D．837 ．（2013届门头沟区一模理科）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（）A．21B．13C．65D．18 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题）已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（）A．B．C．D．9 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题）平面α∥平面β的一个充分条件是（）A．存在一条直线a aααβ，∥，∥B．存在一条直线a a aαβ⊂，，∥C．存在两条平行直线a b a b a bαββα⊂⊂，，，，∥，∥D．存在两条异面直线a b a b a bαββα⊂⊂，，，，∥，∥10．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1（）A．43πB．2πC．83πD．103π正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图主视图左视图俯视图11．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）A．B．C．D．12．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）一个几何体的三视图如图所示，该几何 体的表面积是（ ）A．16+B．12+C．8+D．4+13．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）如图，正（主）视图 侧（左）视图俯视图直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）A B．C．1 D．214．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为（）A．10+B．10+．14+D．14+15．（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A B C．34D．116．（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点1P ，2P 分别是线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是 （ ）A ．124 B ．112C ．16D ．1217．（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ18．（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 （ ）A ．38B ．4C ．2D ．3419．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是（ ）A．C．6+二、填空题20．（2013届北京丰台区一模理科）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_______.21．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．22．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________.23．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且PA r =（0r <<），记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1()2f =______________;关于r 的方程()f r k =的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）. 三、解答题24．（2013届北京大兴区一模理科）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，ABC D 是等边三角形，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：A 1B //平面ADC 1；（Ⅱ）若AB=BB 1=2，求A 1D 与平面AC 1D 所成角的正弦值．25．（2013届北京丰台区一模理科）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ∥MD ，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求证：AM ∥平面BCN;（Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求MEMN的值..26．（2013届北京海滨一模理科）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4PA AB ==，120CDA ∠= ，点N 在线段PB 上，且PN =（Ⅰ）求证：BD PC ⊥；（Ⅱ）求证：//MN 平面PDC ; （Ⅲ）求二面角A PC B --的余弦值．ABCD P -的底面27．（2013届北京市延庆县一模数学理）如图，四棱锥ABCD 为菱形， 60=∠ABC ，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD .(Ⅰ)设AB 的中点为Q ，求证：⊥PQ 平面ABCD （Ⅱ）求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值；（Ⅲ）在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角C BD M --的大小为 60，求CPCM的值.28．（2013届北京西城区一模理科）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？证明你的结论．29．（2013届东城区一模理科）如图，已知ACDE 是直角梯形，且//ED AC ，平面ACDE ⊥平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，AB AC AE ==2=，12ED AB =， P 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：//DP 平面EAB ；（Ⅱ）求平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角大小的余弦值．30．（2013届房山区一模理科数学）在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ， ABCD 为直角梯形，BC //AD ，90ADC ∠=︒，112BC CD AD ===，PA PD =，E F ,为AD PC,的中点．（Ⅰ）求证：P A //平面BEF ；（Ⅱ）若PC 与AB 所成角为45︒，求PE 的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A 的余弦值．31．（2013届门头沟区一模理科）在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，12AD BC =，60ABC ∠= ，N 是BC 的中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90 ，得到梯形ABC D ''（如图）．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面ABC '； （Ⅱ）求证：//C N '平面AD D '； （Ⅲ）求二面角A C N C '--的余弦值．DFECBAPADD 'C '32．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点．（1）求证：PC AD ⊥；（2）求证：//FG 平面BCP ；（3）线段AD 上是否存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ，若存在，求出AR 的长；若不存在，请说明理由．33．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知几何体A —BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角 三角形，正视图为直角梯形． （Ⅰ）求此几何体的体积V 的大小;（Ⅱ）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； （Ⅲ）试探究在棱DE 上是否存在点Q ，使得 AQ ⊥BQ ，若存在，求出DQ 的长，不存在说明理由.侧视图俯视图正视图F G P D CB A34．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，在菱形ABCD 中，60DAB ∠=，E 是AB的中点， MA ⊥平面ABCD ，且在矩形ADNM中，2AD =，7AM =． （Ⅰ）求证：AC ⊥BN ；（Ⅱ）求证：AN // 平面MEC ； （Ⅲ）求二面角M EC D --的大小.学）如35．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数图所示，正方形D D AA 11与矩形ABCD 所在平面互相垂直，22==AD AB ,点E 为AB 的中点。
【解析版】北京市西城区2014届高三上学期期末考试试题(数学 理
北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科） 第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B = （ ）（A ）(0,1) （B ）(0,1] （C ）(1,2) （D ）[1,2)2.已知复数z 满足2i=1i z +，那么z 的虚部为（ ）（A ）1- （B ）i - （C ） （D ）3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（ ）（A ）4 （B（C ）3 （D4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）（A）34（B）45（C）56（D）5.已知圆22:(1)(1)1C x y++-=与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧»AB的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（）（A）2y x=+-（B）1y x=+-（C）2y x=-+（D）1y x=+-6.若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（ ） （A ）22a b > （B ）11a b < （C ）0a b << （D ）0b a <<7.．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（ ）（A ）116-（B ） 18- （C ） 14-（D ）8.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D 【解析】试题分析：棱长为，故体对角线1BD =6，根据对称性，只需研究[1,3]x ∈，函数()y f x =的值域，连接11,,AB B C AC ，则1BD ⊥面1AB C ，此时2BP =，当1BP =时，截面周长为截面1AB C 周长的一半，即，当3BP =时，即当截面过体对角线1BD 中点时，此时截面为正六边形，其顶点为个棱的中点，如图所示，截面周长为.，所以函数()y f x =的值域为.考点：1、直线和平面垂直的判定；2、截面周长. 第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k = _____．【答案】4 【解析】试题分析：=1,3(3OA AB =- （），，k-3)，因为OA AB ⊥ ，故0OA AB ⋅= ，即-3+3(k-3)=0，解得4k =.考点：1、向量的坐标运算；2、向量垂直.10.若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++= ______．11.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示， 那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12.甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）13.如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点.若2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB =______．14.在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y =+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v .（1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是 ； （2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．考点：1、映射的概念；2、不等式组表示的平面区域.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()f α=[π,π]α∈-，求α的值；（Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16.（本小题满分13分） 以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示． （Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值； （Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．所以X 的数学期望221115()01234993993E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．甲组 乙组 891 a822考点：1、平均数；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列和期望. 17.（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60=∠BAD ，四边形BDEF是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF=3， H 是CF 的中点. （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.又因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 ED AC ⊥. 因为 ED BD D = ，所以AC ⊥平面BDEF .（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得13()22BH =- ，(2,0,0)DB =.设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即111130,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩令11z =，得(0,=n . 由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-，则1cos ,2ED ED ED⋅<>===-n n n . 由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60.考点：1、直线和平面垂直的判定定理；2、直线和平面所成的角；3、二面角. 18.（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.【答案】（Ⅰ）()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得，()(1)e x f x x a '=++，因为0x e >，所以'()0f x >的解集为(1,)a --+∞，即单调递增区间；'()0f x <的解集为(,1)a -∞--，即单调递减区间；（Ⅱ）函数2()x a g x xe x -=-，令()0g x =，得()0x ax e x --=，显然0x =是一个零点，记()e x a F x x -=-，求导得()e 1x a F x -'=-，易知(,)x a ∈-∞时()F x 递减；(,)x a ∈+∞时()F x 递增，故()F x 的最小值min ()()1F x F a a==-，又1a <，故10a ->，即()0F x >，所以函数()g x 的零点个数1个.试题解析：（Ⅰ）解：因为()()e x f x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e xf x x a '=++．令()0f x '=，得1x a =--．当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：故()f x的单调减区间为(,1)a-∞--；单调增区间为(1,)a--+∞．19.（本小题满分14分）已知,A B是抛物线2:W y x=上的两个点，点A的坐标为(1,1)，直线AB的斜率为k，O为坐标原点.（Ⅰ）若抛物线W的焦点在直线AB的下方，求k的取值范围；（Ⅱ）设C为W上一点，且AB AC⊥，过,B C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，求OD的最小值.【答案】（Ⅰ）34k；【解析】考点：1、直线的方程；2、直线和抛物线的位置关系；3、导数的几何意义.20.（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T .（Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ；（Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<.（Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N **挝.【答案】（Ⅰ）,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥；（Ⅱ）答案详见解析；（Ⅲ）答案详见解析.（Ⅱ）证明：因为201421()n T n n =+≤，所以113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤.因为[] n nb a=，所以1[3,4)a∈，2014[2,3)(2) na n∈≤≤.由21aqa=，得1q<.因为201220142[2,3)a a q=∈，所以20122223qa>≥，所以2012213q<<，即120122()13q<<.考点：1、等比数列的通项公式；2、数列前n项和；3、充要条件.。
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海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科) 2013.11一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B =( A )A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D.{2}2.下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C ) A. ()f x x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D.()tan f x x =3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( B ) A.55B.55-C.255D.255-4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( C ) A. 2-B. 12-C.12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（B ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)n n a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（B ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7.已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（D ） A. 2[,0)3- B.[1,0)- C.[2,3) D. (0,)+∞8.已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：①π是()f x 的一个周期； ②()f x 的图象关于直线x 4π=对称； ③()f x 在(,0)2π-上单调递减.其中，正确结论的个数为（C ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.10(21)d x x +=⎰___________.210. 已知数列{}n a 为等比数列，若13245,10a a a a +=+=，则公比q =____________.2 11. 已知23log 5,23,log 2b a c ===，则,,a b c 的大小关系为____________. a b c >>12.函数π()2sin()(0,||)2f x x =+><ωϕωϕ的图象如图所示，则ω=______________，ϕ=__________.2π3,π613.已知ABC ∆是正三角形，若AC AB λ=-a 与向量AC 的夹角大于90，则实数λ的取值范围是__________.2λ>14.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，()1|2|f x x =--；②(3)3()f x f x =.设关于x 的函数()()F x f x a =-的零点从小到大依次为12,,,,n x x x .若1a =，则123x x x ++=；若(1,3)a ∈，则122n x x x +++=________________.答案：14；6(31)n -三、解答题: 本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。
15.（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,60A =,32,b c =332ABC S ∆=. （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求sin B 的值.解：（Ⅰ）由60A =和332ABC S ∆=可得133sin 6022bc =, ---------------------------2分所以6bc =， --------------------------------------3分又32,b c =所以2,3b c ==. ------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A =,xyO31由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分2222367a =+-=，即7a =. ------------------------------------9分由正弦定理sin sin a bA B=可得------------------------------------11分 72sin sin 60B =，------------------------------------12分 所以21sin 7B =.------------------------------------13分 16. （本小题满分14分）已知函数2π()3cos42cos (2)14f x x x =-++. （I ）求()f x 的最小正周期；（II ）求()f x 在区间ππ[,]64-上的取值范围.解：（I ）π()3cos4cos(4)2f x x x =-+------------------------------------2分3cos4sin 4x x =+------------------------------------4分π2sin(4)3x =+------------------------------------6分()f x 最小正周期为πT 2=，------------------------------------8分（II ）因为ππ64x -≤≤，所以ππ4π4333x -≤+≤-----------------------------------10分所以3πsin(4)123x -≤+≤-----------------------------------12分 所以π32sin(4)23x -≤+≤， -----------------------------------13分所以()f x 取值范围为[3,2]-. ------------------------------------14分 17.（本小题满分13分）如图，已知点(11,0)A ，直线(111)x t t =-<<与函数1y x =+的图象交于点P ，与x 轴交于点H ，记APH ∆的面积为()f t . （I ）求函数()f t 的解析式； （II ）求函数()f t 的最大值.解：（I ）由已知11,1AH t PH t =-=+ -------------------------------------1分xyH AOP所以APH ∆的面积为1()(11)1,1112f t t t t =-+-<<. ---------------------4分 （II ）解法1. 111'()1(11)2221f t t t t =-++⨯-⨯+ 3(3)41t t -=+ -------------------------------------7分由'()0f t =得3t =， -------------------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况下表：t(1,3)-3 (3,11)'()f t + 0 -()f t↗极大值↘-----------------------------------12分所以当3t =时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分 解法2.由211()(11)1(11)(1),11122f t t t t t t =-+=-+-<< 设2()(11)(1),111g t t t t =-+-<<， -------------------------------------6分 则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t =--++-=--++=--.-------7分 函数()g t 与'()g t 在定义域上的情况下表：t(1,3)-3 (3,11)'()g t + 0 -()g t↗极大值↘------------------------------------11分所以当3t =时，函数()g t 取得最大值， -----------------------------------12分 所以当3t =时，函数()f t 取得最大值1(3)82g =.------------------------------------13分18.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足：①20a >；②对于任意正整数,p q 都有2p q p q a a +⋅=成立. （I ）求1a 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式；（III ）若2(1)n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和.解：（I ）由②可得2112a a ⋅=，3122a a ⋅= -------------------------------2分由①可得12a =. -------------------------------3分（II ）由②可得112n n a a +⋅=， ------------------------------6分所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. ------------------------------7分 （III ）由（II ）可得21(1)421n n n n b a +=+=++，易得1{4},{2}n n +分别为公比是4和2的等比数列，------------------------------8分由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123n n n n n S n n ++--=++=-++--.--13分19.（本小题满分14分）已知函数2()2(1)2ln (0)f x x a x a x a =-++>.（I ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）求()f x 的单调区间；（III ）若()0f x ≤在区间[1,e]上恒成立，求实数a 的取值范围.解：（I ）因为1a =，2()42ln f x x x x =-+,所以2242'()(0)x x f x x x-+=>, ------------------------------1分 (1)3f =-，'(1)0f =, ------------------------------3分 所以切线方程为3y =-. ------------------------------4分(II ）222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x-++--==>, ----------------------------5分 由'()0f x =得12,1x a x ==, ------------------------------6分 当01a <<时，在(0,)x a ∈或(1,)x ∈+∞时'()0f x >，在(,1)x a ∈时'()0f x <,所以()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ； ---------------7分 当1a =时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x ≥，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞；-----8分 当1a >时，在(0,1)x ∈或(,)x a ∈+∞时'()0f x >，在(1,)x a ∈时'()0f x <.所以()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a . ---------------10分(III ）由（II ）可知()f x 在区间[1,e]上只可能有极小值点，所以()f x 在区间[1,e]上的最大值在区间的端点处取到，-------------------------12分即有(1)12(1)0f a =-+≤且2(e)e 2(1)e 20f a a =-++≤,解得2e 2e2e 2a -≥-. ---------------------14分20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的首项1,a a =其中*a ∈N ，*1*,3,,31,3,.nn n nn a a l l a a a l l +⎧=∈⎪=⎨⎪+≠∈⎩N N 令集合*{|,}n A x x a n ==∈N .（I ）若4a 是数列{}n a 中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；（II ）求证：{1,2,3}A ⊆；（III ）当2014a ≤时，求集合A 中元素个数()Card A 的最大值.解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3. --------------------------------------3分 （II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3k k k k a a a a ++=+=+；若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13k k a a +≤++；若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,3123k k a a +≤+； 所以3123k k a a +≤+，所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=- 所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”. 因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！）若3m a =,则121,2m m a a ++==；若2m a =,则123,1m m a a ++==,若1m a =,则122,3m m a a ++==, 由递推关系易得{1,2,3}A ⊆. ---------------------------------------8分（III ）集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21.由已知递推关系可推得数列{}n a 满足：当{1,2,3}m a ∈时，总有3n n a a +=成立，其中,1,2,n m m m =++.下面考虑当12014a a =≤时，数列{}n a 中大于3的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为{}n b ，由（I ）可得16b =或9， 由（II ）的证明过程可知数列{}n b 的项满足：3n n b b +>，且当n b 是3的倍数时，若使3n n b b +-最小，需使2112n n n b b b ++=-=-，所以，满足3n n b b +-最小的数列{}n b 中，34b =或7，且33332k k b b +=-，所以33(1)13(1)k k b b +-=-，所以数列3{1}k b -是首项为41-或71-的公比为3的等比数列， 所以131(41)3k k b --=-⨯或131(71)3k k b --=-⨯，即331k k b =+或3231k k b =⨯+， 因为67320143<<，所以，当2014a ≤时，k 的最大值是6，所以118a b =，所以集合A 重元素个数()Card A 的最大值为21.---------------13分。