2015年北京西城高三一模数学(理科)试题及答案
2015年1月北京市西城区高三数学(理科)期末试卷
4 •执行如图所示的程序框图，输出的x值为（(A)4(B)5(C)6(D)75.设函数f(x) 3x bcosx, x R，则"b0 ”是“函2015年1月北京市西城区高三数学（理科）期末试卷第I卷（选择题共40 分）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合 A { 1,0,1} , B2{x| x x2}, 则集合41B ()(A) {1,0,1}(B) { 1,0}(C){0,1}(D) { 1,1}2.设命题p : 平面向量a和b , |a b| |a| |b| ,则p为（)(A) 平面向量a和b , |a b|> |a||b|(B)平面向量a 和b , |a b | | a ||b|(C) 平面向量a和b , |a b| |a||b|(D)平面向量 a 和b , | a b | > | a| |b|3.在锐角ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若a 2b , sinB 辽，则()4(C) sin A 32(D) si nA -33f （x）为奇函数”的（）俯视图27.已知抛物线C: y 4x ，点P(m,0)，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得x 产1,8.设D 为不等式组 2x y > 1,表示的平面区域，点 B(a,b)为坐标平面xOy 内一点，若对于区域 Dx 2y <1(A) 2(A )充分而不必要条件 (C )充分必要条件(B) 必要而不充分条件 (D )既不充分也不必要条件6•—个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是()(A )最长棱的棱长为..6 (B )最长棱的棱长为3(C) 侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 (D) 侧面四个三角形都是直角三角形■-—1 - 则实数m 的取值范围是((A) (4,8) (C) (0,4) )(B )(4-'X') (D) (8厂0C )b 的最大值等(B ) 1(D) 3侧(左)视图OQP 二 90，内的任一点1成立，则a(C) 0、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.复数z 乙丄，则|z| ___ •1 2i2 2x y10 .设F1, F2为双曲线C: 1(a 0)的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，如果a 16|PF i| IPF2I 4，那么双曲线C的方程为___________ ;离心率为11•在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z __________ .12.如图，在ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB , AC于点AFE , F，且AC 2AE，那么____ ; A _______ .ABB13•现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是 ___________14. 设P, Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转)角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有____ .15. (本小题满分13分)XX x已知函数f (x) 2、-3sin cos cos , x€ R的部分图象如图所示.4 4 2(I)求函数f (x)的最小正周期和单调递增区间；(n) 设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，求tan BAO的值.16. (本小题满分13分)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：2x3y a32 1258z A第3页共12页(I)当p时，求q 的值；4(n)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中 至少有一人获利的概率大于 4，求p 的取值范围；5(川)丙要将家中闲置的 10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方1 ■ 1案中选择一种，已知 p , q，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学26期望较大？给出结果并说明理由. 17. (本小题满分14分)如图，在四棱柱 ABCD AB 1C 1D 1 中，AA 底面 ABCD , BAD 90 , AD//BC ,且(1投资股市(2)购买基金:AA AB AD 2BC2，点E在棱AB上，平面AEC与棱GD!相交于点F.(I)证明：AF(n)若E是棱AB的中点，求二面角A EC D的余弦值;(川)求三棱锥B, AEF的体积的最大值18.(本小题满分13分)已知函数f(x) 2ax bx(a 0)和g(x) In x的图象有公共点P,且在点P处的切线相同D1 D(I)若点P 的坐标为(1, 1),求a, b 的值; e(n)已知a b ，求切点P 的坐标.19.(本小题满分14分)2 2已知椭圆C : —— 1的右焦点为F ，右顶点为A ,离心率为e ,点P(m,O)(m 4)满足条件16 12(I)求m 的值;(n)设过点F 的直线I 与椭圆C 相交于M,N 两点，记 PMF 和PNF 的面积分别为S 1, S 2 ,求证：S-|fMI S 2| PN |20.(本小题满分13分)设函数f (x) x(9 x)，对于任意给定的m 位自然数 心 為玄皿1帀a ?a 1 (其中a 是个位数字，a ?是 十位数字，•••)，定义变换 A : A(n 0) f(aj f(aj 卅f(a m ).并规定A(0) 0 .记q A(nJ , n 2 A(nJ , , n k A(n k 1),.(I)若 n2015，求 n 2015 ;(n)当m 3时，证明：对于任意的 m(m N *)位自然数n 均有A(n) 10m 1;(川)如果rb 10m (m N *, m 3)，写出n m 的所有可能取值•(只需写出结论)|FA| |AP|e .……13分第6页共12页北京市西城区2014 —2015学年度第一学期期末高三数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题:本大题共8小题，每小题2. D 5分，共40分.4. C1.C3. A5.C6. D7. B8. A、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 110.2 2x- I 1、5 4 16171n 112. ——423 139614. 13三、解答题:本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.3sin - cos-2 2x n=2sin(2 6)，4 n.故函数f (x)的最小正周期为4 n.由题意，得2k n - 2k n2 2 64 n 2 n解得4k n x < 4k:+^^,3 3所以函数f(x)的单调递增区间为［4k n解：如图过点B作线段BC垂直于x轴于点C . y 1.由题意，得AC 3T 3 n, BC 2 ,4BC所以tan BAO2/ O C 、■^^AAC3n2015.115.(1)解：因为f (x) 23si.x xsin cos- 44x cos22分4分6分9分10分第7页共12页16.(本小题满分13分)(I)解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”种投资结果相互独立，1所以卩+严=1.i又因为p -，4件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利” 贝V c 二 A B L A B IJ AB ，且 A , B 独立• 由上表可知，P(A)丄，P(B) p.2所以 P (c )二 P(A B) " P(A B )— P(AB)因为 p (c )二 1—^p 〉42 2 5所以p 〉3.z5所以随机变量X 的分布列为:X 42P11 3 2889分1 1 3 5 则 EX 4 - 0 - ( 2)--.2 88 4“不赔不赚”、“亏损”三种，且三(□)解：记事件A 为“甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事又因为 二 1，q >0 , 所以 p < -.所以3〈 p < 2.5 ' 3(川)解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记................... 8分X 为丙投资股票的获利金额(单位：万元)第11页共12页假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记 Y 为丙购买基金的获利金额(单位：万元)所以随机变量Y 的分布列为：Y2 0111 1 P236................ 11分则 EY 2 - 0 - ( 1) -5. ................ 12 分2 3 6 6因为EX EY ,所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大. .......13分17. (I)证明：因为ABCD A 1B 1C 1D 1是棱柱，所以平面 ABCD //平面A 1B 1C 1D 1. EC ,平面 AB 1C 1D 1PI 平面 AECF AF ,所以 AF // EC .令 z 1,得 m (2, 2,1).又因为平面 ABCD^j 平面A 1ECF又因为A,F 平平面BQE ，所以AF//平面BQE(H)解：因为AA 1 底面ABCD ,BAD 90 ,所以AA , AB , AD 两两垂直，以A 为原点，以AB , y 轴和z 轴,如图建立空间直角坐标系则 A(0,0,2) , E(1,0,0), (1,0, 2), ACC(2,1,0), 所以(2,1, 2). 设平面A ,ECF 的法向量为0, AC m 0,0, 2z 0.m (x, y,z),又因为平面DEC 的法向量为n (0,0,1),8分6分第12页共12页所以cosm, n由图可知，二面角 A EC D 的平面角为锐角,1所以二面角A EC D 的余弦值为丄.3过点F 作FM A B !于点M ,10分(出)解:因为平面 A i ABB i 平面A 1B 1C 1D 1, FM 平面ABQ 1D 1, 所以FM 平面A ABB ,1所以 V B 1 “mFV F 81曙-S A 1B 1EFM312分FM因为当F 与点D 1重合时，FM 取到最大值2 (此时点E 与点B 重合)，4 所以当F 与点D 1重合时，三棱锥 B 1 AEF 的体积的最大值为 一 318.(本小题满分13分) 1 a b(I)解：由题意，得f(-)笃b 1,e e e 厂 1 且f (x) 2ax b , g(x)x 1 1 2a 由已知，得f (―) g (―)，即仝b e ,e e e解得 a 2e 2, b 3e .1(n)解：若 a b ，则 f (x) 2ax a , g (x) 一 ,x14分设切点坐标为(s, t)，其中s 0,由题意，得 as 2 as In s ,①c1 2as as②由②，得a一，其中s -，s(2s 1)2所以m 8.5分第13页共12页所以当x 1时，F(x)取到最大值F(1) 0，且当x1,1)IJ 1,因此，当且仅当x 1时F(x) 0. 所以方程(*)有且仅有一解s 1. 于是t In s 0,因此切点P 的坐标为(1,0).19.(本小题满分14分)2 2(I)解：因为椭圆C 的方程为—1 ,16 12所以 a 4, b 2,3, c a 2 b 2 2,................... 2分 ................... 3分则ec 丄 a 2,|FA| 2, |AP| m 4.因为 |FA|2 1|AP|m 42代入①, 因为a 得三丄2s 11In s .(*)所以ss(2s 2 .设函数 F(x) 则 F (x) 2x 1 (4x1)(x x(2x 1)2 In x ,1)令 F (x)0 ，解得x 1或x9分10分1(舍).当x 变化时，F (x)与F(x)的变化情况如下表所示,...................... 12分)时 F(x) 0.13分(n)解：若直线1的斜率不存在， 则有 S S 2, | PM | | PN |，符合题意6分4，若直线1的斜率存在，则设直线1的方程为yk(x 2)， M (X i , y 1)， N(X 2，y 2).2 2x y “ 由 1, 16 12 y k(x 2),2 2 2 得(4k 3)x16k x16k 2 48， 可知0恒成立，且 x 1 x 216k 2产,x1x216k 2 4824k 23因为k PM k PNx 1 8 x8x 18 X 282)(X 2 8) k(x 22)(X 8)(X 1 8)(X 2 8)2kx 1X 2 10k(X 1 X 2)32 k(X 1 8)( X 2816k24816k 22k2-10k2324k 34k 3(X 1 8)(X 2 8)k(x 1 2) k(x 2 2) y i y 2 0，10分所以MPF NPF .12分因为 PMF 和 PNF 的面积分别为 S 11|PF | | PM |sin MPF ，1|PF | | PN| sinNPF ，13分所以乞 S 2 | PM ||PN|14分20.(本小题满分 13 分) (I)解：n 1 14 0 20 42 , n 2 20 1434 , n 3 18 20 38 , n 418 8 26 ,n 5 14 18 32 , n 6 18 14 32 ,所以门2015 32 . (n)证明：因为函数f (x) x (9x)(x 9)2 812所以对于非负整数x ，知f (x) x(9 x)< 20.(当 x 第11页共12页4或5时，取到最大值)…4分因为A(n) f(a i) f®)卅 f (a m),所以A(n戶20m . .............. 6分令g(m) 10m 1 20m，贝V g(3) 103 1 20 3 0 .m m 1 m 1当m>3时，g(m 1) g(m) 10 20(m 1) 10 20m 9 10 20 0 ,所以g(m 1) g(m) 0,函数g(m) , ( m N，且m》3)单调递增.故g(m)>g(3) 0，即10m 1 20m》A(n).所以当m》3时，对于任意的m位自然数n均有A(n) 10m 1. ...................... 9分（川）答：n m的所有可能取值为0, 8, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 32, 36, 38.14分第15页共12页。
北京市西城区2014-2015学年度高三第一学期期末试数学理-含答案
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1{}A -=，2{|2}B x x x =-<，则集合A B =（ ）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin B =，则（ ） （A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（ ）（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b （D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b5．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域D内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0（D ）36．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A（B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 （D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP?o ，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(4,8) （B ）(4,)+? （C ）(0,4)（D ）(8,)+?侧(左)视图正(主)视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i12iz -=+，则||z = _____．10．设12,F F 为双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12． 如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB=____；A ∠= _____．13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ） 设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当4p =时，求q 的值； （Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围； （Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p =，16q =，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面A B CD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.18．（本小题满分13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-，求,a b 的值； （Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||S PM S PN =.B CDA B 1C 1E FA 1 D 1设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++. 并规定(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，， 1()k k n A n -=，．（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<； （Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1 10．221416x y -=11．17412．12 π313．9614．13注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+cos 22x x=+ ……………… 2分=π2sin()26x +， ……………… 4分所以 2π4π12T ==. 故函数()f x 的最小正周期为4π. ……………… 6分由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤， 解得4π2π4π4π+33k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z . ……………… 9分（Ⅱ）解：如图过点B 作线段BC 垂直于x由题意，得33π4TAC ==，2=BC ， 所以2tan 3πBC BAO AC ∠==.16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立， 所以p +13+q =1. ……………… 2分 又因为14p =， 所以q =512． ……………… 3分 （Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分则C AB AB AB =U U ，且A ，B 独立. 由上表可知， 1()2P A =，()P B p =.所以()()()()P C P AB P AB P AB =++ ……………… 5分 111(1)222p p p =?+?? 1122p =+. ……………… 6分因为114()225P C p =+>，所以35p >. ……………… 7分 又因为113p q ++=，0q ≥，所以23p ≤.所以3253p ≤<. ……………… 8分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X 的分布列为：…………… 9分则113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=. ……………10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y 的分布列为：…………… 11分则111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯=. …………… 12分因为EX EY >，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A B C D 平面11A ECF A F =，所以1A F ∥EC . …………………2分 又因为1A F ⊄平面1B CE ，EC ⊂平面1B CE ，所以1A F ∥平面1B CE . …………………4分 （Ⅱ）解：因为1AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ， 所以 1(1,0,2)A E =-,1(2,1,2)AC =-. 设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z = 由10A E m ⋅=，10AC m ⋅=, 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =,得(2,2,1)m =-. …………………7分 又因为平面DEC 的法向量为(0,0,1)n =， …………………8分所以1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角，所以二面角1A EC D --的余弦值为13. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,因为平面11A ABB ⊥平面1111A B C D ，FM ⊂平面1111A B C D , 所以FM ⊥平面11A ABB ,所以11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯ …………………12分1222323FM FM ⨯=⨯⨯=. 因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合）， 所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为43. ………………14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得21()1e e ea bf =-=-， …………………1分 且()2f x ax b '=-，1()g x x'=， …………………3分 由已知，得11()()e ef g ''=，即2e eab -=， 解得22e a =，3e b =. …………………5分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………6分 由②，得 1(21)a s s =-，其中12s ≠，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………7分因为 10(21)a s s =>-，且0s >，所以 12s >. …………………8分 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞， 则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………9分 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………10分当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………12分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <.因此，当且仅当1x =时()0F x =. 所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c =, ………………2分 则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为||21||42FA AP m ==-， 所以 8m =. ………………5分（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在， 则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N . 由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分因为 8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分 )8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k)8)(8(32)(102212121--++-=x x kx x k x kx0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ，所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分 因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠， ……………… 13分 所以12||||S PM S PN =. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……所以 201532n =． ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+，所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分 因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++，所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分 令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->， 所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增． 故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分 （Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…………………14分。
北京市西城区北京四中2015届高三数学摸底测试卷(理)-含答案
北京四中2015届高三数学摸底测试卷（理）试卷满分150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1．已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为 A ．{3} B ．{3,4} C ．{1,2} D ．{2,3}2．已知平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，60BAD ∠=，则AC AB ⋅=A ．1BC ．2D ．3．命题甲：()f x 是R 上的单调递增函数；命题乙：1212,()()x x f x f x ∃<<，则甲是乙的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，则数列{}n b 的前10项和等于 A ．130 B ．120 C ．55 D ．505．在ABC ∆中，4ABC π∠=，AB =，3BC =，则sin BAC ∠=A B C D6．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ,若记向量()m n ，a =与向量(12)=-，b 的夹角为θ,则θ为锐角的概率是A ．536 B ．16 C ．736 D ．297．已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23x f x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为A ．2或7-B ．2或8-C ．或7-D ．或8-8．如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为θ（090θ<<）的平面所截，截面是一个椭圆，当θ为30o 时，这个椭圆的离心率为 A ．12 B． CD ． 23二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9 如图，在复平面内，复数z 对应的向量为OA uu r，则复数i ⋅z =_________ .10．二项式61(2+)x x展开式中的常数项为_________ .11．曲线1x =，2x =，1y x=，0y =所围成的图形的面积等于_________ .12．小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具， 作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买文具的钱不少于买科普书的钱．那么最多可以买的科普书与文具的总数是_________ .13．若m 是2和8的等比中项，则m =_________ ，圆锥曲线221+=y x m的离心率是_________ .14．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,∈x x D ，当12<x x 时，都有12()()≥f x f x ，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0=f ；②1()()32=x f f x ；③(1)1()-=-f x f x ，则1()6f =______；11()()47f f +=_____ . 三、填空题：本大题共6小题，共80分 15．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当5[,]126x ππ∈-时，求函数()f x 的取值范围.16．（本小题满分13分）期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩，如下表：（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。
北京市西城区-第一学期期末考试高三数学理及答案
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1{}A -=，2{|2}B x x x =-<，则集合A B =（ ）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin B =，则（ ） （A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin 3A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（ ）（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b （D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b5．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域D内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0（D ）36．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A（B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 （D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP ，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(4,8) （B ）(4,) （C ）(0,4)（D ）(8,)侧(左)视图正(主)视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i12iz -=+，则||z = _____．10．设12,F F 为双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12． 如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB=____；A ∠= _____．13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）2 x3ya321258zE FCB A已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ） 设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当4p时，求q 的值； （Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围； （Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p，16q ，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.18．（本小题满分13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-，求,a b 的值； （Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||S PM S PN =.B CDA B 1C 1E FA 1 D 1设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++. 并规定(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，， 1()k k n A n -=，．（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<； （Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1 10．221416x y -=11．17412．12 π313．9614．13注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+cos 22x x=+ ……………… 2分=π2sin()26x +， ……………… 4分所以 2π4π12T ==. 故函数()f x 的最小正周期为4π. ……………… 6分由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤， 解得4π2π4π4π+33k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z . ……………… 9分（Ⅱ）解：如图过点B 作线段BC 垂直于x由题意，得33π4TAC ==，2=BC ， 所以2tan 3πBC BAO AC ∠==.16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立， 所以p +13+q =1. ……………… 2分 又因为14p， 所以q =512． ……………… 3分 （Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分则CAB AB AB ，且A ，B 独立.由上表可知， 1()2P A ，()P B p .所以()()()()P C P AB P AB P AB ……………… 5分111(1)222p pp1122p . ……………… 6分 因为114()225P C p ， 所以35p. ……………… 7分 又因为113p q ，0q ≥，所以23p ≤.所以3253p ≤. ……………… 8分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X 的分布列为：…………… 9分则113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=. ……………10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y 的分布列为：…………… 11分则111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯=. …………… 12分因为EX EY >，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A B C D 平面11A ECF A F =，所以1A F ∥EC . …………………2分 又因为1A F ⊄平面1B CE ，EC ⊂平面1B CE ，所以1A F ∥平面1B CE . …………………4分 （Ⅱ）解：因为1AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ， 所以 1(1,0,2)A E =-,1(2,1,2)AC =-. 设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z = 由10A E m ⋅=，10AC m ⋅=, 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =,得(2,2,1)m =-. …………………7分 又因为平面DEC 的法向量为(0,0,1)n =， …………………8分所以1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角，所以二面角1A EC D --的余弦值为13. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,因为平面11A ABB ⊥平面1111A B C D ，FM ⊂平面1111A B C D , 所以FM ⊥平面11A ABB ,所以11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯ …………………12分1222323FM FM ⨯=⨯⨯=. 因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合）， 所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为43. ………………14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得21()1e e ea bf =-=-， …………………1分 且()2f x ax b '=-，1()g x x'=， …………………3分 由已知，得11()()e ef g ''=，即2e eab -=， 解得22e a =，3e b =. …………………5分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………6分 由②，得 1(21)a s s =-，其中12s ≠，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………7分因为 10(21)a s s =>-，且0s >， 所以 12s >. …………………8分 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞， 则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………9分 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………10分 当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………12分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <. 因此，当且仅当1x =时()0F x =.所以方程（*）有且仅有一解1s =.于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c =, ………………2分 则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为 ||21||42FA AP m ==-， 所以 8m =. ………………5分（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在， 则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分 因为 8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分 )8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k )8)(8(32)(102212121--++-=x x k x x k x kx 0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ， 所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分 因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠， ……………… 13分 所以12||||S PM S PN =. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……所以 201532n =． ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+，所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分 因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++，所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分 令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->， 所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增．故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分 （Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…………………14分。
2015北京市西城区高三(一模)数学(理科)
B 与 C 必须相
邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有
种 . （用数字作答）
14．如图，四面体 ABCD的一条棱长为 x，其余棱长均为 1 ，记四面体 ABCD的体积为 F x ，
则函数 F x 的单调增区间是
；最大值为
.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满Байду номын сангаас 13 分）
设函数
（Ⅰ）当
， 时，求函数 f ( x) 的值域；
（Ⅱ）已知函数 y = f ( x) 的图象与直线 y =1有交点，求相邻两个交点间的最短距离．
16．（本小题满分 13 分） 2014 年 12 月 28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．
2 / 13
（不
则a =
.
12．若数列 an 满足 a1
- 2，且对于任意的 m, n N＊，都有 am n am an , 则 a3
；
数列
an
前 10 项的和 S10
.
13．某种产品的加工需要 A, B, C , D, E五道工艺，其中 A必须在 D的前面完成（不一定相
邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，
D．既不充分也不必要条件
f ( x)
6． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是
()
7． 已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元，而 4 枝玫瑰与 4 枝康乃馨的价格之
和小于 20 元，那么 2 枝玫瑰和 3 枝康乃馨的价格的比较结果是 (
)
A． 2 枝玫瑰的价格高
2015年1月北京市西城区高三数学(理科)期末试卷
2015年1月北京市西城区高三数学(理科)期末试卷D第 2 页共 22 页第 3 页共 22 页第 4 页 共 22 页（A ）3A π= （B ）6A π= （C）sin A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件第 5 页 共 22 页8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域D 内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（ ） （A ）2（B ）16．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ）（A（B ）最长棱的棱长为3 （C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形（D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线2:4C yx=，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）(4,8) （B ）(4,) （C ）(0,4)（D ）(8,)侧正俯视第 6 页 共 22 页（C ）0 （D ）3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 复数2i12i z -=+，则||z = _____．10．设12,F F 为双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12． 如图，在ABC∆中，以BC为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB =____；A ∠= _____．13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那第 7 页 共 22 页么演出顺序的排列种数是______14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.15．（本小题满分13分）已知函数()23cos cos442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ） 设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资获利不赔亏损AxBOy第 8 页 共 22 页（2）购买基金：（Ⅰ）当14p时，求q 的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p，16q，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．17．（本小题满分14分） 如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥BD A B C EF A 1第 9 页 共 22 页底面ABCD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.18．（本小题满分13分） 已知函数2()(0)f x axbx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-，求,a b 的值； （Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标. 19．（本小题满分14分） 已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N第 10 页 共 22 页两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||SPM SPN =.20．（本小题满分13分） 设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++. 并规定(0)0A =．记1()n A n =，21()n A n =，， 1()kk n A n -=，． （Ⅰ）若02015n =，求2015n ；（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n均有1()10m A n -<； （Ⅲ）如果*010(,3)m nm m <∈≥N ，写出mn 的所有可能取值.（只需写出结论）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．D 3．A 4．C5．C 6．D 7．B 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．110．221416x y -=11．17412．12 π313．9614．13 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（Ⅰ）解：因为()cos cos442x x xf x =+cos22x x=+ ……………… 2分=π2sin()26x +，……………… 4分所以2π4π12T ==.故函数()f x 的最小正周期为4π. (6)分由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤， 解得4π2π4π4π+33k x k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z .（Ⅱ）解：如图过点B 由题意，得34TAC ==所以2tan 3πBC BAO AC ∠==. (13)分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p +13+q =1. ……………… 2分 又因为14p， 所以q =512． ……………… 3分 （Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分则CABABAB ，且A ，B 独立.由上表可知， 1()2P A ，()P B p .所以()()()()P C P AB P AB P AB ………………5分111(1)222p pp1122p .……………… 6分 因为114()225P C p ，所以35p.……………… 7分 又因为113pq ，0q ≥， 所以23p ≤. 所以32p≤. 53………………8分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X的分布列为：……………9分则113540(2)EX=⨯+⨯+-⨯=.2884……………10分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y的分布列为：……………11分则111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯=.…………… 12分 因为EX EY >，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分 17．（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A B C D 平面11A ECF A F=， 所以1A F∥EC.…………………2分又因为1A F ⊄平面1B CE ，EC ⊂平面1B CE ，所以1A F ∥平面1B CE . ……4分（Ⅱ）解：因为1AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 标系……5分则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ，所以 1(1,0,2)A E =-,1(2,1,2)AC =-.设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z =由10A E m ⋅=，10AC m ⋅=,得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =,得(2,2,1)m =-. …………………7分又因为平面DEC的法向量为(0,0,1)n =， …………………8分 所以1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角， 所以二面角1A EC D--的余弦值为13. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,因为平面11A ABB ⊥平面1111A B C D ，FM ⊂平面1111A B C D ,所以FM ⊥平面11A ABB ,所以11111113B A EF F B A E A B E V V S FM--∆==⨯⨯ …………………12分1222323FM FM ⨯=⨯⨯=.因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合），所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为43. ………………14分 18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得21()1e e ea bf =-=-， …………………1分 且()2f x ax b'=-，1()g x x'=， …………………3分由已知，得11()()e e f g ''=，即2e eab -=， 解得22e a =，3eb =. …………………5分（Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s-=， ①12as a s-=，② …………………6分 由②，得 1(21)a s s =-，其中12s ≠， 代入①，得1ln 21s s s -=-.（*） …………………7分 因为 1(21)a s s =>-，且0s >，所以12s >.…………………8分 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞， 则2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-.…………………9分 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………10分当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………12分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <.因此，当且仅当1x =时()0F x =. 所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，因此切点P的坐标为(1,0). …………………13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为2211612x y +=，所以4a =,b =,2c ==, ………………2分则12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分因为 ||21||42FA AP m ==-， 所以8m =.………………5分（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在， 则有21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x得2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知>∆恒成立，且34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分因为8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ………………10分)8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k)8)(8(32)(102212121--++-=x x kx x k x kx)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ， 所以MPF NPF∠=∠.……………… 12分因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠，21||||sin 2S PF PN NPF=⋅⋅∠，……………… 13分所以12||||S PM S PN =.……………… 14分 20．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n=+=，3182038n=+=，418826n =+=，5141832n=+=，6181432n=+=，……所以 201532n =．……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+，所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分因为12()()()()m A n f a f a f a =+++，所以 ()20A n m≤．……………… 6分 令1()1020m g m m-=-，则31(3)102030g -=-⨯>．当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200mm m g m m m m --+-=-+-+=⨯->，所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增． 故g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分（Ⅲ）答：mn 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…………………14分。
北京市2015届高三模拟考试数学(理)专题01命题与条件(附答案)
命题与条件
1.【北京市朝阳区高三年级第二次综合练习】已知命题p ：复数1i i
z +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是( )
（A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧
2．【北京市西城区2014年高三二模试卷】设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ）
（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
3. 【昌平区2014年高三年级第二次统一练习】“1,1a b >>”是“1ab >”的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
4. 【北京市顺义区2014届高三4月第二次统练（二模）】“0ϕ=”是“函数sin()y x ϕ=+为奇函数”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件。
【精品】2014-2015年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(理科)与答案
13． （5 分）现要给 4 个唱歌节目和 2 个小品节目排列演出顺序，要求 2 个小品 节目之间恰好有 3 个唱歌节目， 那么演出顺序的排列种数是 答） 14． （5 分）设 P，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线 PQ 旋 转 θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线 PQ 有 条． ． （用数字作
曲线 C 上一点，如果||PF1|﹣|PF2||=4，那么双曲线 C 的方程为 率为 ．
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11． （5 分）在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差
数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么 x+y+z= 2 y x a z 3
．
12． （5 分）如图，在△ABC 中，以 BC 为直径的半圆分别交 AB，AC 于点 E，F， 且 AC=2AE，那么 = ；∠A= ．
面 xOy 内一点， 若对于区域 D 内的任一点 A（x， y） ，都有 的最大值等于（ A．2 B．1 ） D．3
成立，则 a+b
C．0
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9． （5 分）复数 ，则|z|= ． =1（a＞0）的左、右焦点，点 P 为双 ；离心
10． （5 分）设 F1，F2 为双曲线 C：
第 1 页（共 22 页）
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6． （5 分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正
确的是（
）
A．最长棱的棱长为 B．最长棱的棱长为 3 C．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 D．侧面四个三角形都是直角三角形 7． （5 分）已知抛物线 C：y2=4x，点 P（m，0） ，O 为坐标原点，若在抛物线 C 上存在一点 Q，使得∠OQP=90°，则实数 m 的取值范围是（ A． （4，8） B． （4，+∞） C． （0，4） D． （8，+∞） 8． （5 分）设 D 为不等式组 表示的平面区域，点 B（a，b）为坐标平 ）
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2015年北京西城高三一模数学（理科）试题及答案
北京市西城区2015 年高三一模试卷
数学（理科）2015.4
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至6 页，共150 分。
考试时长120 分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答
题纸一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共40 分）
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项。
＝，则实数a的取值范围是（）1．设集合A ={0，1}，集合B ={x | x > a}，若A B
A．a≤1 B．a≥1 C．a≥0 D．a≤0
2．复数z 满足z ⋅i = 3 − i，则在复平面内，复数z 对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．在极坐标系中，曲线ρ = 2cosθ 是（）
A．过极点的直线B．半径为2 的圆
C．半于极点对称的图形D．关于极轴对称的图形
4．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．设函数f (x)的定义域为R，则“∀x∈R，f (x +1) > f (x) ”是“函数f (x)为增函数”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是 ( )
7． 已知6 枝玫瑰与3 枝康乃馨的价格之和大于24 元，而4 枝玫瑰与4 枝康乃馨的价格之
和小于20 元，那么2 枝玫瑰和3 枝康乃馨的价格的比较结果是 ( )
A ．2 枝玫瑰的价格高
B ．3 枝康乃馨的价格高
C ．价格相同
D ．不确定
8． 已知抛物线所围成的封闭曲线如图所示，给定点 A (0，a )，若 在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是 ( )
A ．(1，3)
B ．(2，4)
C ．（32，3）
D ．（52
，3） 第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
9． 已知平面向量a , b 满足a = (1, −1), (a + b ) ⊥ (a − b ),那么｜b ｜＝ .
10．已知双曲线()22
2210x y a b a b
=>>0－，的一个焦点是抛物线 y 2 = 8x 的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为 .
11．在△ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,若
则a = .
12．若数列{a n }满足a 1 = 2，且对于任意的m , n ∈N ＊，都有m n m n a a a +=+ , 则3a = ； 数列{ a n } 前10 项的和S 10 = .
13．某种产品的加工需要A, B, C , D, E五道工艺，其中A必须在D的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相
邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有种. （用数字作答）
14．如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为F(x)，则函数F(x)的单调增区间是；最大值为.
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
15．（本小题满分13 分）
设函数
（Ⅰ）当，时，求函数f (x)的值域；
（Ⅱ）已知函数y = f (x)的图象与直线y =1有交点，求相邻两个交点间的最短距离．
16．（本小题满分13 分）
2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不
考虑公交卡折扣情况）
已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．
（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人，试估计此
人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；
（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记X 为这2
人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车
所花交通费也是5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，
试写出s 的取值范围．（只需写出结论）
17．（本小题满分14 分）
如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD是边长为 4 的正方形，EF∥AD ，平面ADEF ⊥
平面ABCD，且BC = 2EF ，AE = AF ，点G 是EF 的中点。
（1）证明： AG ⊥平面ABCD 。
（2）若直线BF 与平面ACE 所成角的正弦值为69
，求AG 的长。
（3）判断线段AC 上是否存在一点M ，使MG ∥平面ABF ？若存在，求出
AM MC 的值；若不存在，说明理由。
18．（本小题满分13 分）
设n ∈N *，函数，函数，x ∈(0，+∞)，
（1）当n =1时，写出函数 y = f (x ) −1零点个数，并说明理由；
（2）若曲线 y = f (x )与曲线 y = g (x )分别位于直线l : y =1的两侧，求n 的所有可能取值。
19．（本小题满分14 分）
设F 1 ，F 2分别为椭圆()22
221x y a b a b
+=>>0的左、右焦点，点P （1，32） 在椭圆E 上，且点 P 和F 1 关于点C （0，34
） 对称。
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过右焦点F 2 的直线l 与椭圆相交于 A ，B 两点，过点P 且平行于 AB 的直线与椭圆交于 另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形P ABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方 程；若不存在，说明理由。
20．（本小题满分13 分） 已知点列 (k ∈N *，k ≥2)满足P 1（1，1），
中有且只有一个成立．
⑴写出满足k = 4且P 4（1，1）的所有点列；
⑵证明：对于任意给定的k (k∈N*，k≥2)，不存在点列T ，使得；
⑶当k = 2n −1且时，求的最大值．。