2020年北京朝阳高三一模数学试卷及答案
朝阳区高三一模有答案
朝阳区高三一模有答案数学试卷（理工类） 2020.3（考试时刻120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i12i=- A. 42i -+ B. 42i - C. 24i - D. 24i +2. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1ab ，则向量a 与b 的夹角为A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n N *=-∈，则5a =A. 16-B. 16C. 31D. 324. 已知平面α，直线,,a b l ，且,a b αα⊂⊂，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳固.技术人员对它们进行一一测试， 直到2件不稳固的产品全部找出后测试终止，则恰好3次就终止测试的方法种数是（ ）A. 16B. 24C. 32D. 486.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是 A.0 B. 0或12-C. 14-或12-D. 0或14- 7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收治理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品 征收销售额的%x 的治理费（即销售100元要征收x 元），因此该产品定价每件比第一年增加了70%1%x x ⋅-元，估量年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的治理费许多于14万元，则x 的取值范畴是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 108.已知点集{}22(,)48160A x y x y x y =+--+≤，{}(,)4,B x y y x m m 是常数=≥-+，点集A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为,M N .若点(,4)D m 在点集A 所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN 的面积的最大值是A. 1B. 2C.D. 4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.9. 已知双曲线的方程为2213x y -=，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为 .10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图） （第11题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .12.在极坐标系中，曲线ρθ=和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则线段AB 的中点E 到极点的距离是 .13.已知函数213(),2,()24log ,0 2.x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范畴是 .14.已知△ABC 中， 90,3,4C AC BC ∠=︒==.一个圆心为M ，半径为14的圆在△ABC正视图 侧视图内，沿着△ABC 的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中，圆M 至少与△ABC 的一边相切，则点M 到△ABC 顶点的最短距离是 ，点M 的运动轨迹的周长是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解承诺写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上. 15. （本小题满分13分） 已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若()10f α=，求sin 2α的值； （II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16. （本小题满分13分）某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数； （Ⅲ）在（II ）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参 加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X ，求X 的分布列与数学期望.17. （本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB ，==1EB EF ，=BC ，且M 是BD 的中点.（Ⅰ）求证：EM//平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小； （Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P， 使得CP 与AF 所成的角为30︒？ 若存在，求出BP 的长度；若不 存在，请说明理由.18. （本小题满分13分）设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；CA FEBMD（Ⅱ）求函数)(x f 单调区间. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1(F ，2F .点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点N 的坐标为(3,2)，点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠.过点M 任作直线l 与椭圆 C 相交于A ，B 两点，设直线AN ，NP ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若 1322k k k +=，试求,m n 满足的关系式.20．（本小题满分13分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a ()n *∈N ，满足00a =，1n a a n ++=．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为数列00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++．设1()i i A T A +=，0,1,2i =．（Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ； （Ⅱ）证明存在唯独的数列0A ，通过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n 个；（Ⅲ）若数列0A ，通过有限次T 变换，可变为数列,0,0,,0n n 个．设1m m m n S a a a +=+++，1,2,,m n =，求证[](1)1mm m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m Sm +的最大整数． 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 2020.3一、选择题：三、解答题：（15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为π()cos()410f αα=-=， 因此(cos sin )210αα+=， 因此 7cos sin 5αα+=. 平方得，22sin 2sin cos cos αααα++=4925， 因此 24sin 225α=.……………6分 （II ）因为()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+ =(cos sin )(cos sin )22x x x x +⋅- =221(cos sin )2x x - =1cos 22x . ……………10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 因此，当0x =时，()g x 的最大值为12； 当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ……………13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，0.0451000200,0.025*******a b =⨯⨯==⨯⨯=. ……………4分 （Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则350300100401000x ++=，解得：x =30， 即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………7分（Ⅲ）依题意，X 的取值为0，1，2，2102403(0)52C P X C ===，1110302405(1)13C C P X C ===，23024029(2)52C P X C ===， 因此X 的分布列为350125213522EX =⨯+⨯+⨯=，因此X 的数学期望为2. ……………13分（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）取AD 的中点N ，连接MN,NF .在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，因此1=2MN//AB,MN AB ， 又因为1=2EF//AB,EF AB ，因此MN//EF 且MN =EF .因此四边形MNFE 为平行四边形，因此EM//FN .又因为FN ⊂平面ADF ，⊄EM 平面ADF ，故EM//平面ADF . …………… 4分 解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB BD ⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz . ……………1分 由已知可得 (0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),B A D3(3,-2,0),(,0,0)2C E F M （Ⅰ）3=(,0,-3)(3,-2,0)2EM ,AD=， 设平面ADF 的一个法向量是()x,y,z n =. 由0,0,AD AF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得32x -y =0,=0.⎧⎪⎨⎪⎩令y=3，则n =. 又因为3(=3+0-3=02EM n ⋅=⋅，因此EM n ⊥，又EM ⊄平面ADF ，因此//EM 平面ADF . ……………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF 的一个法向量是n =. 因为EB ⊥平面ABD ，因此EB BD ⊥.又因为AB BD ⊥，因此BD ⊥平面EBAF . 故(3,0,0)BD =是平面EBAF 的一个法向量. 因此1cos <=2BD BD,BD n n n⋅>=⋅，又二面角D-AF -B 为锐角， 故二面角D-AF -B 的大小为60︒. ……………10分NCA F EBMD（Ⅲ）假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒. 不妨设(0,0,t)P（0t ≤≤，则=(3,-2,-),=PC AF t .因此2cos <2PC AF PC,AF PC AF ⋅>==⋅，2=， 化简得35-=， 解得0t =<. 因此在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.…………14分 （18）（本小题满分13分）解：因为2e (),1ax f x x =+因此222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.（Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,因此(0)1,f = (0)1f '=.因此曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.因此函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分 （2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，现在0∆>.由()0fx '>得1x a <,或1x a+>；由()0f x '<x <<.因此函数()f x单调递增区间是(-∞和)+∞,单调递减区间. ……………9分②当1a ≥时，现在0∆≤.因此()0f x '≥，因此函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，现在0∆>.由()0f x '>得11x a a +-<<； 由()0f x '<得1x a <,或1x a->.因此当10a -<<时,函数()f x单调递减区间是1(,a +-∞和1()a +∞,单调递增区间. ……………12分④当1a ≤-时, 现在0∆≤，()0f x '≤，因此函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞. …………13分（19）（本小题满分14分） 解:（Ⅰ）依题意，c =1b =，因此a == 故椭圆C 的方程为2213x y +=. ……………4分 （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y ==.不妨设(1,3A，(1,3B -，因为132233222k k +=+=，又1322k k k +=，因此21k =，因此,m n 的关系式为213n m -=-，即10m n --=. ………7分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+. ………9分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-. 因此12122113121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k kk k -⨯-+⨯++++=--⨯+++ 222(126)2.126k k +==+………12分 因此222k =，因此2213n k m -==-，因此,m n 的关系式为10m n --=.………13分 综上所述，,m n 的关系式为10m n --=. ………14分 （20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ； 4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． ………4分（Ⅱ）先证存在性，若数列001:,,,n A a a a 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T -，变换1T -将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+---．易知1T -和T 是互逆变换． ………5分 关于数列,0,0,,0n 连续实施变换1T -（一直不能再作1T -变换为止）得,0,0,,0n 1T -−−→1,1,0,,0n -1T -−−→2,0,2,0,,0n -1T -−−→3,1,2,0,,0n -1T -−−→1T-−−→01,,,n a a a ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T -）．反过来对01,,,n a a a 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n ，因此存在数列0A 满足条件．下用数学归纳法证唯独性：当1,2n =是明显的，假设唯独性对1n -成立，考虑n 的情形． 假设存在两个数列01,,,n a a a 及01,,,n b b b 均可通过有限次T 变换，变为,0,,0n ，那个地点000a b ==，1212n n a a a b b b n +++=+++=若0n a n <<，则由变换T 的定义，不能变为,0,,0n ；若n a n =，则120n a a a ====，通过一次T 变换，有0,0,,0,n T−−→1,1,,1,0由于3n ≥，可知1,1,,1,0（至少3个1）不可能变为,0,,0n ．因此0n a =，同理0n b =令01,,,n a a a T−−→121,,,,na a a '''，01,,,n b b b T−−→121,,,,nb b b '''，则0n n a b ''==，因此1211n a a a n -'''+++=-，1211nb b b n -'''+++=-． 因为110,,,n a a -''T−−−−→有限次-1,0,,0n ，110,,,n b b -''T−−−−→有限次-1,0,,0n ，故由归纳假设，有i i a b ''=，1,2,,1i n =-．再由T 与1T -互逆，有01,,,n a a a T−−→111,,,,0n a a -''，01,,,n b b b T−−→111,,,,0nb b -''，因此i i a b =，1,2,,i n =，从而唯独性得证． ………9分（Ⅲ）明显i a i ≤(1,2,,)i n =，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a 通过变换，不能变为0．由变换T 的定义可知数列0A 每通过一次变换，k S 的值或者不变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n 时，有0m S =，1,2,,m n =，因此m m S mt =(m t 为整数)，因此1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤， 因此m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1m m m S a S m m =-++．………13分。
北京市朝阳区2020届高三数学第一次模拟考试试题(含解析)
北京市朝阳区2020届高三第一次模拟考试数学试题（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}13,5A =,，{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ，则A B =（ ）A. {}3B. {}1,3C. {}1,2,3,5D.{}1,2,3,4,5【答案】C 【解析】化简集合B ，再根据并集定义进行计算即可得到. 【详解】因为{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z {2,3}=， 所以A B ={1,2,3,5}.故选：C【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的并集运算，属于基础题. 2.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x = B. 21y x =-+ C. 2log y x = D. ||2x y =【答案】D 【解析】根据函数的奇偶性和单调性，对四个函数逐一判断可得答案.【详解】函数3y x =是奇函数，不符合；函数21y x =-+是偶函数，但是在(0,)+∞上单调递减，不符合；函数2log y x =不是偶函数，不符合；函数||2x y =既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增，符合. 故选：D【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3.在等比数列{}n a 中，11a =，48a =-，则{}n a 的前6项和为（ ） A. 21- B. 11C. 31D. 63【答案】A 【解析】利用11a =，48a =-求出公比2q =-，再根据等比数列的前n 项和公式计算可得. 【详解】因为11a =，48a =-，设公比为q ，则341a qa =881-==-，所以2q =-， 所以6616(1)1[1(2)]2111(2)a q S q -⨯--===----， 故选：A【点睛】本题考查了等比数列通项公式的基本量的计算，考查了等比数列的前n 项和公式，属于基础题.4.如图，在ABC 中，点D ，E 满足2BC BD =，3CA CE =.若DE x AB y AC =+(,)x y R ∈，则x y +=（ ）A. 12- B. 13- C.12 D.13【答案】B 【解析】利用平面向量的线性运算可得DE 1126AB AC =-+，再根据平面向量基本定理可得11,26x y =-=，从而可得答案.【详解】因为DE AE AD =-23AC AB BD =--2132AC AB BC =-- 21()32AC AB AC AB =--- 1126AB AC =-+，又DE x AB y AC =+，所以11,26x y =-=， 所以111263x y +=-+=-.故选：B【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理，属于基础题. 5.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD l ⊥于D .若4AF =，60DAF ∠=︒，则抛物线C 的方程为（ ） A. 28y x = B. 24y x = C. 22y x = D. 2y x =【答案】B 【解析】根据抛物线的定义求得4=AD ，然后在直角三角形中利用60DAF ∠=︒可求得2p =，从而可得答案.【详解】根据抛物线的定义可得4AD AF ==， 又60DAF ∠=︒，所以12AD p AF -=， 所以42p -=，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =. 故选：B【点睛】本题考查了抛物线的定义，利用定义得4AD AF ==是解题关键，属于基础题. 6.现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（ ）A.23B.25C.35D.910【答案】D 【解析】根据古典概型的概率公式计算出所求事件的对立事件的概率，再用对立事件的概率公式即可求出结果.【详解】甲、乙、丙至多有2种被选取的对立事件为：甲、乙、丙都被选取，记此事件为A ， 依题意所有基本事件为：（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10种，其中事件A 所包含的事件数为1， 所以根据古典概型的概率公式可得1()10P A =， 再根据对立事件的概率公式可得所求事件的概率为191()11010P A -=-=. 故选：D【点睛】本题考查了对立事件的概率公式，考查了古典概型的概率公式，属于基础题. 7.在ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒.若以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为,a c ，根据双曲线的定义可得2AC BC a -=，根据余弦定理可得AC =，再根据离心率公式即可求得结果. 【详解】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为,a c ， 因为120ABC ∠=︒，所以AC BC >， 因为以A ，B 为焦点的双曲线经过点C 所以2AC BC a -=，2AB BC c ==，在三角形ABC 中由余弦定理得222cos1202AB BC AC AB BC+-=⨯⨯，所以222214428c c AC c+--=，解得2212AC c =，所以AC =，所以22c a -=，所以12c a =， 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了余弦定理，考查了双曲线的离心率，属于基础题.8.已知函数()=)(>0)f x ωx φω的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6π=ϕ”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A根据相邻两个最高点的距离为π求出2ω=，可得())f x x ϕ=-，再根据正弦函数的对称轴的性质以及充分不必要条件的概念可得答案. 【详解】依题意得T π=，所以2ππω=，所以2ω=，所以())f x x ϕ=-，当3x π=，6π=ϕ时，())36f x ππ=⨯-2π==，所以()f x 的图象关于直线3x π=对称；当3x π=，76ϕπ=时，7()))362f x πππ=⨯-=-=，此时()f x 的图象也关于直线3x π=对称，所以“6π=ϕ”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的充分不必要条件， 故选：A【点睛】本题考查了三角函数的周期性，对称性，考查了充分不必要条件的概念，属于中档题.9.已知函数222,1,()2ln , 1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()2af x ≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. (-∞B. 3[0,]2C. [0,2]D.【答案】C对x 进行分类讨论，使得x 与a 分离，再转化为关于x 的函数的最值，进而求出a 的范围. 【详解】（1）当1x ≤时，由()2a f x ≥得23(2)2x a x ≥-， 当314x <≤时，2322x a x ≤-232()4x x =-恒成立，因为222333933()()()42416443332()2()2()444x x x x x x x -+-+-+==---913316()32442()4x x =-++- 令34t x =-，则104t <≤，令193()2164y t t =++，则219(1)216y t'=-0<， 所以193()2164y t t =++在1(0,]4上递减，所以11938()212444164y ≥++==⨯， 即913316()32442()4x x -++-的最小值为2， 所以此时2a ≤，当34x ≤时，2322x a x ≥-913316()32442()4x x =-++-1393[()]324416()4x x =--++-恒成立， 因为1393[()]324416()4x x --++-1324≤-⨯0=，当且仅当0x =时取等， 所以0a ≥，（2）当1x >时，由()2a f x ≥得21ln 2xa x ≤+恒成立， 令21ln 2x y x =+(1)x >，则22ln 11(ln )2x y x -'=+，由0y '>得12x e >，由0y '<得121x e <<，所以函数21ln2x yx=+12(1,)e上递减，在12(,)e+∞上递增，所以x e=时，min2222ey e==+，所以2a e≤，综上所述：02a≤≤.故选：C【点睛】本题考查了分离参数法，等价转化思想，分类讨论思想，构造法，考查了由导数研究函数的单调性，求函数的最值，考查了基本不用等式，属于中档题.10.如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，M，N分别是棱AB，1BB的中点，点P在对角线1CA上运动.当△PMN的面积取得最小值时，点P的位置是（）A. 线段1CA的三等分点，且靠近点1A B. 线段1CA的中点C. 线段1CA的三等分点，且靠近点C D. 线段1CA的四等分点，且靠近点C 【答案】B将问题转化为动点P到直线MN的距离最小时，确定点P的位置，建立空间直角坐标系，取MN的中点Q，通过坐标运算可知PQ MN⊥，即||PQ是动点P到直线MN的距离，再由空间两点间的距离公式求出||PQ后，利用二次函数配方可解决问题.【详解】设正方体的棱长为1，以A为原点，1,,AB AD AA分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44Q ，1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1(1,1,1)AC =-， 设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---， 由1AC 与PC 共线，可得11111t t z---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，因为2221||(1)(10)(0)2PM z z z =--+--+-25334z z =-+2221||(11)(10)()2PN z z z =--+--+-25334z z =-+所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离， 由空间两点间的距离公式可得22231||(1)(10)()44PQ z z z =--+--+-29338z z =-+2133()28z =-+所以当12c =时，||PQ 6P 为线段1CA 的中点， 由于2||4MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点. 故选：B【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11.若复数21iz =+，则||z =________. 【答案】2根据||||z z =以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.【详解】因为21i z =+，所以2||||||1z z i==+22|1|11i ===++. 故答案为：2【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________，它的体积为________.【答案】 (1). 5 (2). 4根据三视图画出直观图，根据三视图中的数据得到直观图中的数据，再计算可得答案. 【详解】如图所示是三棱锥的直观图：其中AF ⊥平面BCD ，垂足为F ，根据三视图可知，2BE ED ==，2CE EF ==，3AF =，所以BF DF BC CD ====AB AD ===，5AC ===，比较可知该三棱锥的最长棱的长为5AC =， 它的体积为1113424332BCD AF S ∆⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 故答案为：（1）5 （2）4【点睛】本题考查了由三视图还原直观图，考查了三棱锥的体积公式，属于基础题. 13.某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动. 【答案】15 【解析】先求出需要增加中签率为0.71，再用0.71除以0.05得14.2，取15即可得到答案.【详解】因为摇号的初始中签率为0.19，所以要使中签率超过0.9，需要增加中签率0.90.190.71-=，因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05， 所以至少需要邀请0.714.20.05=，所以至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动. 故答案为：15【点睛】本题考查了阅读理解能力，解题关键是求出需要增加的中签率，属于基础题. 14.已知函数()cos2xf x x π=.数列{}n a 满足()(1)n a f n f n =++（*n N ∈），则数列{}n a 的前100项和是________.【答案】100 【解析】根据三角函数知识，利用n 为奇数时，()0f n =，2n 为奇数时时，()f n n =-，2n为偶数时，()f n n =，可求出1234100,,,,,a a a a a ，再相加即可得到答案.【详解】因为()cos2xf x x π=，所以(1)(3)(5)(101)0f f f f =====，(2)2,(6)6,(10)10,,(98)98f f f f =-=-=-=-，(4)4,(8)8,(12)12,,(100)100f f f f ====，所以12(2)2a a f ===-，34(4)4a a f ===，56(6)6a a f ===-，78(8)8a a f ===，，99100(100)100a a f ===， 所以1234567899100a a a a a a a a a a +++++++++2[(2)(4)(6)(8)(100)]f f f f f =+++++2(24681012100)=-+-+-+-+2252100=⨯⨯=.故答案为： 100【点睛】本题考查了特殊角的余弦函数值和诱导公式，考查了数列的前n 项和，考查了分组求和，属于基础题.15.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；2的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是________. 【答案】①②【解析】将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=也成立得①正确；1≤，故②正确；联立22322()4y xx y x y =±⎧⎨+=⎩得四个交点，满足条件的最小正方形是以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故③不正确.【详解】对于①，将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=得22322()4y x y x +=成立，故曲线C 关于直线y x =对称，故①正确；对于②，因为22322222()()44x y x y x y ++=≤，所以221x y +≤1≤， 所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确；对于③，联立22322()4y x x y x y=±⎧⎨+=⎩得2212x y ==，从而可得四个交点(22A ，()22B -，(22C --，22D -， 依题意满足条件的最小正方形是各边以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故不存在一个的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界），故③不正确. 故答案为：①②【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.在△ABC 中，sin cos()6b A a B π=-. （1）求B ； （2）若5c =，.求a . 从①7b =，②4Cπ这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【答案】（1）3π（2）7b =时，8a =；4C π时，535a【分析】（1）利用正弦定理边化角得sin cos()6B Bπ，再根据两角和与差的正弦、余弦公式变形可得sin()03Bπ，再根据角的范围可得结果；（2）若选①7b =，根据余弦定理可得结果；若选②4C π，先求出sin A ，再根据正弦定理可得结果.【详解】（1）因为sin cos()6b A a B π=-，sin sin a b A B=， 所以sin sin sin cos()6B A A Bπ. 又因为sin 0A ≠，所以sin cos()6BBπ，即31sin cos sin 2B B B . 所以sin()03B π.又因为2333B πππ-<-<，所以03B π，所以3B π=.（2）若选①7b =，则在△ABC 中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得25240a a --=，解得8a =或3a =-（舍）.所以8a =. 若选②4Cπ，则62sin sin()sin cos cos sin3434A B C ππππ，由正弦定理sin sin a cA C=， 622，解得535a . 所以535a. 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦公式，考查了正弦定理、余弦定理，属于基础题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，四边形11ACC A 是正方形，点D ，E 分别是棱BC ，1BB 的中点，4AB =，12AA =，BC =（1）求证：1AB CC ⊥；（2）求二面角1D AC C --的余弦值； （3）若点F 在棱11B C 上，且1114B C B F ，判断平面1AC D 与平面1A EF 是否平行，并说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）13（3）平面1AC D 与平面1A EF 不平行；详见解析 【解析】 【分析】（1）根据平面ABC ⊥平面11ACC A 和1CC AC ⊥得1CC ⊥平面ABC .，得1AB CC ⊥； （2）以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -，根据两个半平面的法向量可求得结果； （3）根据平面1AC D 的法向量与向量1A E 不垂直可得结论.【详解】（1）证明：因为四边形11ACC A 是正方形，所以1CC AC ⊥. 又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC平面11ACC A AC =，所以1CC ⊥平面ABC 又因为AB平面ABC ，所以1AB CC ⊥.（2）由（1）知，1CC AB ⊥，11//AA CC ，所以1AA AB ⊥. 又4AB =，12AC AA ==，25BC =， 所以222AB AC BC +=.所以AC AB ⊥.如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -. 所以(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(0,0,2)C ，1(0,2,0)A .则有(2,0,1)D ，1(0,2,2)C ，(4,1,0)E ， 平面1ACC 的一个法向量为(1,0,0)u =. 设平面1AC D 的一个法向量为(,,)v x y z =， 又(2,0,1)AD，1(0,2,2)AC ，由10,0.v AD v AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,220.x z y z +=⎧⎨+=⎩ 令1x =，则2z =-，2y =.所以(1,2,2)v.设二面角1D AC C --的平面角为θ，则||11|cos |||||133u v u v . 由题知，二面角1D AC C --为锐角，所以其余弦值为13. （3）平面1AC D 与平面1A EF 不平行.理由如下： 由（2）知，平面1AC D 的一个法向量为(1,2,2)v ，1(4,1,0)A E，所以120A E v，所以1A E 与平面1AC D 不平行.又因为1A E ⊂平面1A EF ， 所以平面1AC D 与平面1A EF 不平行.【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，考查了线面垂直的性质，考查了二面角的向量求法，考查了用法向量判断面面平行，属于中档题.18.某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：（1）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率； （2）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X 表示检测结果为阳性的患者人数，利用（1）中所得概率，求X 的分布列和数学期望； （3）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5？并说明理由. 【答案】（1）1920（2）详见解析（3）此人患该疾病的概率未超过0.5，理由见解析 【解析】（1）直接用古典概型的概率公式计算可得答案；（2）可知随机变量X 服从二项分布，即~(,)X B n p ，其中3n =，1920p =，根据二项分布的概率公式可得分布列和数学期望；（3）根据患病率为0.01可知10万人中由99000人没患病，1000人患病，没患病检测呈阳性的有990人，患病的检测呈阳性的950人，共有990+950=1450人呈阳性，所其中只有950人患病，所以患病率为9500.51450<，由此可得答案. 【详解】（1）由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性. 所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为76198020=. （2）由题意可知~(,)X B n p ，其中3n =，1920p =. X 的所有可能的取值为0，1，2，3.0331911(0)()()20208000P X C ==⨯=， 112319157(1)()()20208000P X C ==⨯=，22131911083(2)()()20208000P X C ==⨯=，33031916859(3)()()20208000P X C ==⨯=. 所以X 的分布列为故X 的数学期望1957()32020E X np ==⨯=. （3）此人患该疾病的概率未超过0.5.理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为119990001000990950194010020⨯+⨯=+=，其中患者人数为950. 若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为9509700.519401940<=. 所以此人患该疾病的概率未超过0.5.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了二项分布的概率公式、分布列、数学期望，属于中档题.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆222:O x y r +=（O 为坐标原点）.过点(0,)b 且斜率为1的直线与圆O 交于点(1,2)，与椭圆C 的另一个交点的横坐标为85-. （1）求椭圆C 的方程和圆O 的方程；（2）过圆O 上的动点P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若直线1l 的斜率为(0)k k ≠且1l 与椭圆C 相切，试判断直线2l 与椭圆C 的位置关系，并说明理由.【答案】（1）2214x y +=；225x y +=（2）直线2l 与椭圆C 相切，详见解析【解析】（1）根据圆O 过点(1,2)可得圆O 的方程为：225x y +=，根据过点(0,)b 且斜率为1的直线过点(1,2)，可得1b =，可得直线与椭圆相交的另一个交点坐标为83(,)55--，将其代入椭圆方程可得椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）设圆O 上的动点000(,)(2)P x y x ≠±，所以22005x y +=，设直线1l ：00()y y k x x -=-，将其代入2214x y +=，得2220000(14)8()4()40k x k y kx x y kx ++-+--=，利用判别式为0，可得2220000(1)2(1)0y k x y k y -++-=，设直线2l ：001()y y x x k-=--，将其代入2214x y +=，利用判别式为0可证直线2l 与椭圆C 相切. 【详解】（1）因为圆O 过点(1,2)，所以圆O 的方程为：225x y +=. 因为过点(0,)b 且斜率为1的直线方程为y x b =+， 又因为过点(1,2)，所以1b =.因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为83(,)55--，所以22283()()5511a --+=，解得24a =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）直线2l 与椭圆C 相切.理由如下：设圆O 上的动点000(,)(2)P x y x ≠±，所以22005x y +=. 依题意，设直线1l ：00()y y k x x -=-.由220044,()x y y kx y kx ⎧+=⎨=+-⎩得2220000(14)8()4()40k x k y kx x y kx ++-+--=. 因为直线1l 与椭圆C 相切，所以2220000[8()]4(14)[4()4]0k y kx k y kx ∆=--+--=.所以220014()k y kx +=-.所以2220000(4)2(1)0x k x y k y -++-=.因为22005x y +=，所以220041x y -=-.所以2220000(1)2(1)0y k x y k y -++-=.设直线2l ：001()y y x x k-=--， 由220044,1()x y y y x x k ⎧+=⎪⎨-=--⎪⎩得220000248(1)()4()40x x x y x y k k k k +-+++-=. 则222100001116[(4)()2()(1)]x x y y k k ∆=--+-+-2220000216[(4)2(1)]x kx y y k k =--+- 2220000216[(1)2(1)]y kx y y k k =--+- 2220000216[(1)2(1)]0y k kx y y k =--++-=.所以直线2l 与椭圆C 相切.【点睛】本题考查了由椭圆上点的坐标求椭圆方程，考查了由圆上的点的坐标求圆的方差，考查了直线与椭圆相切的位置关系，考查了运算求解能力，利用判别式为0是解题关键，属于中档题.20.已知函数()11xx f x e x +=--. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；（3）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线也是曲线ln y x =的切线.【答案】（1）320x y -+=（2）()f x 有且仅有两个零点，详见解析（3）证明见解析 【解析】（1）根据导数的几何意义可求得结果；（2）根据单调性和零点存在性定理可得()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上各有唯一一个零点，由此可得答案；（3）根据导数的几何意义求出曲线xy e =在点00(,)xx e 处的切线为0000e e e x x x y x x =-+，设曲线ln y x =在点33(,)x y 处的切线斜率为0e x ，根据导数的几何意义求出切线方程为00e 1x y x x =--，根据0x 是()f x 的一个零点，可证两条切线重合.【详解】（1）因为()11xx f x e x +=--， 所以001010)2(e f -=+=-，()2(1)2e xx f x -'=+，02(01)203e ()f -'==+.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=. （2）函数()f x 有且仅有两个零点.理由如下： ()f x 的定义域为{|,1}x x R x ∈≠.因为22()e 0(1)xf 'x x =+>-，所以()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增.因为(0)20f =>，21(2)3e 0f --=-<，所以()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x .因为2e (2)30f =->，545()e 904f =-<，所以()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x . 综上，()f x 有且仅有两个零点.（3）曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线方程为00()-=-x x y e e x x ，即0000e e e x x x y x x =-+.设曲线ln y x =在点33(,)x y 处的切线斜率为0e x ，则031e x x =，031e x x =，30y x =-，即切点为001(,)ex x -. 所以曲线ln y x =在点001(,)e x x -处的切线方程为 0001e ()ex x y x x +=-，即00e 1x y x x =--. 因为0x 是()f x 的一个零点，所以00011x x e x +=-. 所以00000000011e e e (1)(1)1x x x x x x x x x -+-+=-=-=--.所以这两条切线重合 所以结论成立.【点睛】本题考查了根据导数的几何意义求切线的斜率，考查了用导数研究函数的单调性，考查了利用零点存在性判断零点个数，属于中档题. 21.设数列12:,,,n A a a a （3n ≥）的各项均为正整数，且12n a a a ≤≤≤.若对任意{3,4,,}k n ∈，存在正整数,(1)i j i j k ≤≤<使得k i j a a a =+，则称数列A 具有性质T .（1）判断数列1:1,2,4,7A 与数列2:1,2,3,6A 是否具有性质T ；（只需写出结论） （2）若数列A 具有性质T ，且11a =，22a =，200n a =，求n 的最小值； （3）若集合123456{1,2,3,,2019,2020}S S S S S S S ==，且i j S S =∅（任意,{1,2,,6}i j ∈，i j ≠）.求证：存在i S ，使得从i S 中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质T 的数列.【答案】（1）数列1A 不具有性质T ；数列2A 具有性质T （2）n 的最小值为10（3）证明见解析 【解析】（1）47a =不满足存在正整数,(1)i j i j k ≤≤<使得k i j a a a =+，故数列1A 不具有性质T ；根据定义可知数列2A 具有性质T ；（2）由题可知22a =，3224a a ≤=，4328a a ≤≤，，872128a a ≤≤，所以9n ≥，再验证可知9n =时，数列A 不具有性质T ，10n =时，数列A 具有性质T ，从而可知n 的最小值为10；（3）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,,6)i S i =都有：若正整数,,i a b S a b ∈<，则i b a S -∉，再根据定义推出矛盾，从而可证结论正确.【详解】（1）数列1A 不具有性质T ；数列2A 具有性质T . （2）由题可知22a =，3224a a ≤=，4328a a ≤≤，，872128a a ≤≤，所以9n ≥.若9n =，因为9200a =且982a a ≤，所以8128100a ≥≥.同理，765436450,3225,1612.5,8 6.25,4 3.125.a a a a a ≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥ 因为数列各项均为正整数，所以34a =.所以数列前三项为1,2,4.因为数列A 具有性质T ，4a 只可能为4,5,6,8之一，而又因为48 6.25a ≥≥， 所以48a =.同理，有567816,32,64,128a a a a ====. 此时数列为1,2,4,8,16,32,64,128,200.但数列中不存在19i j ≤≤<使得200i j a a =+，所以该数列不具有性质T . 所以10n ≥.当10n =时，取:1,2,4,8,16,32,36,64,100,200A .（构造数列不唯一） 经验证，此数列具有性质T . 所以，n 的最小值为10.（3）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,,6)i S i =都有：若正整数,,i a b S a b ∈<，则i b a S -∉.否则，存在i S 满足：存在,i a b S ∈，a b <使得i b a S -∈，此时，从i S 中取出,,a b b a -：当a b a <-时，,,a b a b -是一个具有性质T 的数列； 当a b a >-时，,,b a a b -是一个具有性质T 的数列； 当a b a =-时，,,a a b 是一个具有性质T 的数列.（i ）由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个， 不妨设此集合为1S ，从1S 中取出337个数，记为12337,,,a a a ，且12337a a a <<<.令集合1337{|1,2,,336}i N a a i S =-=⊆.由假设，对任意1,2,,336i =，3371i a a S -∉，所以234516N S S S S S ⊆.（ii ）在23456,,,,S S S S S 中至少有一个集合包含1N 中的至少68个元素，不妨设这个集合为2S ， 从21S N 中取出68个数，记为1268,,,b b b ，且1268b b b <<<.令集合628{|1,2,,67}i N b i b S ==-⊆.由假设682i b b S -∉.对任意1,2,,68k =，存{1,2,,336}k s ∈使得337k k s b a a =-.所以对任意1,2,,67i =，686868337337()()i i i s s s s b b a a a a a a -=---=-，由假设681i s s a a S -∉，所以681i b b S -∉，所以6812i b b S S -∉，所以23456N S S S S ⊆.（iii ）在3456,,,S S S S 中至少有一个集合包含2N 中的至少17个元素，不妨设这个集合为3S ， 从23S N 中取出17个数，记为1217,,,c c c ，且1217c c c <<<.令集合137{|1,2,,16}i N c c i S -==⊆.由假设173i c c S -∉.对任意1,2,,17k =，存在{1,2,,67}k t ∈使得68k t k c b b =-.所以对任意1,2,,16i =，1717176868()()i i i t t t t c c b b b b b b -=---=-，同样，由假设可得1712i t t b b S S -∉，所以17123i c c S S S -∉，所以3456N S S S ⊆.（iv ）类似地，在456,,S S S 中至少有一个集合包含3N 中的至少6个元素，不妨设这个集合为4S ，从34S N 中取出6个数，记为126,,,d d d ，且126d d d <<<，则6456{|1,2,,5}i d d i S S N -⊆==.（v ）同样，在56,S S 中至少有一个集合包含4N 中的至少3个元素，不妨设这个集合为5S ， 从45S N 中取出3个数，记为123,,e e e ，且123e e e <<，同理可得153326{,}e e e e S N --=⊆.（vi ）由假设可得2131326()()e e e e e e S -=---∈/. 同上可知，1245123S S S e e S S -∈/，而又因为21e e S -∈，所以216e e S -∈，矛盾.所以假设不成立. 所以原命题得证.【点睛】本题考查了对新定义的理解和运用能力，考查了反证法，考查了集合的并集运算，准确理解定义和运用定义解题是解题关键，属于难题.。
朝阳区2020届高三一模数学(理)试题及答案(word版)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． i 为虚数单位，复数2i 1i+= A ．1i - B ．1i -- C ．1i -+ D ．1i +2． 已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}20N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð 3．>e e a b>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．42 B ．19 C ．8 D ．35．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,.a b c若222()tan a c b B +-=，则角B 的值为A ． 3πB ． 6πC ． 233ππ或 D ． 566ππ或6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误．．的是 A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1B. 结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同(第4题图)（注：结余=收入-支出）7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A ．13B ．12C ．1D ．328．若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点，则半径r 的取值范围是 A．0r << B．0r <<C．0r << D．0r <<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9． 二项式251()x x+的展开式中含4x 的项的系数是 （用数字作答）．10．已知等差数列}{n a (n *∈N )中，11=a ，47a =，则数列}{n a 的通项公式n a = ；2610410n a a a a +++++=L ______．月23415689 10 7111258(第7题图)正视图侧视图俯视图11．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为222x y +=，曲线2C 的参数方程为2,(x t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲 线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 ． 12．不等式组0,,290x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为D ．若直线(1)y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．13．已知M 为ABC ∆所在平面内的一点，且14AM AB nAC =+u u u u r u u u r u u u r．若点M 在ABC ∆的内部(不含边界)，则实数n 的取值范围是____．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i （1,2,,12i =L ）项能力特征用i x 表示，0,1i i x i ⎧=⎨⎩如果某学生不具有第项能力特征，，如果某学生具有第项能力特征.若学生,A B 的十二项能力特征分别记为1212(,,,)A a a a =L ，1212(,,,)B b b b =L ，则,A B 两名学生的不同能力特征项数为 （用,i i a b 表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数21()sin 22x f x x ωω=+0ω>． （Ⅰ）若1ω=，求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()13f π=，求()f x 的最小正周期T 的表达式并指出T 的最大值．16．（本小题满分13分）为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差21s 与女学生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需 写出结论）．17．（本小题满分14分）如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11//A B AB ，11122AB AA A B ===．直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B ．M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点．（Ⅰ）求证：11A C AP ⊥；（Ⅱ）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值；（Ⅲ）是否存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ？请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；AMPCBA 1C 1B 1（Ⅲ）试问过点(13)P ，可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．19．（本小题满分14分）已知点P 和椭圆:C 22142x y +=． （Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，试求12PF F ∆的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线:l 20(0)y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，直线PA ，PB 与x轴分别交于M ，N 两点，求证：PM PN =．20．（本小题满分13分）已知等差数列}{n a 的通项公式31()n a n n *=-∈N .设数列{}n b 为等比数列,且n n k b a =.（Ⅰ）若11=2b a =,且等比数列{}n b 的公比最小， （ⅰ）写出数列{}n b 的前4项； （ⅱ）求数列{}n k 的通项公式；（Ⅱ）证明：以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个.北京市朝阳区2020学年度第二学期高三年级统一考试数学答案（理工类）一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当1ω=时，21()sin 22x f x x =1sin 22x x =+ sin()3x π=+．令22,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ．解得22,66k x k k 5πππ-≤≤π+∈Z ．所以()f x 的单调递增区间是[2,2],66k k k 5πππ-π+∈Z .……………………7分（Ⅱ）由21()sin 22x f x x ωω=+-1sin 2x x ωω=+ sin()3x ωπ=+．因为()13f π=，所以sin()133ωππ+=．则2332n ωπππ+=π+，n ∈Z ．解得162n ω=+． 又因为函数()f x 的最小正周期2T ωπ=，且0ω>，所以当ω12=时，T 的最大值为4π． ………………………………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4 ． 由题意可知，13+41()128P A ⨯⨯=⨯4分（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0,1,2,3,4．由题意可得44481(0)70C P X C ===； 134448168(1)7035C C P X C ====； 2244483618(2)7035C C P X C ====； 314448168(3)7035C C P X C ====；44481(4)70C P X C ===． 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值0123427070707070EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………10分 （Ⅲ）21s >22s ．…………………………………………………………………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知1190A AB A AC ∠=∠=︒，且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，所以90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥． 又因为1AC AA ⊥且1AB AA A =I ，所以AC ⊥平面11AA B B ．由已知11//A C AC ，所以11A C ⊥平面11AA B B ． 因为AP ⊂平面11AA B B ，所以11AC AP ⊥．…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1,,AC AB AA 两两垂直．分别以1,,AC AB AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示． 由已知 11111222AB AC AA A B AC =====， 所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),A B C 1(0,1,2)B ，1(0,0,2)A ．因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点，所以3(1,1,0),(0,,1)2M P ．易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)=m ． 设平面APM 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由 0,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u rn n 得0, 30. 2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2y =，得(2,2,3)=--n ．由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角，所以cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n ． 所以二面角P AM B --9分 （Ⅲ）存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ．设111(,,)P x y z ，且1BP BB λ=u u u r u u u r，[0,1]λ∈，则111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-，所以1110,2,2x y z λλ==-=．所以(0,2,2)AP λλ=-u u u r．设平面AMP 的一个法向量为0000(,,)x y z =n ，由 000,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u rn n 得00000, (2)20. x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩ 取01y =，得02(1,1,)2λλ-=-n （显然0λ=不符合题意）．又1(2,0,2)AC =-u u u r ，若1A C //平面AMP ，则10AC ⊥u u u rn ． 所以10220AC λλ-⋅=--=u u u r n ．所以23λ=． 所以在线段1BB 上存在点P ，且12BPPB =时，使得直线1A C //平面AMP ．…………14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >．()1a x af x x x+'=+=． （1）当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）当0a <时， 令()0f x '=，得x a =-．当0x a <<-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当x a >-时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -，单调递增区间为(+)a -∞，． ……………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，min ()(1)1f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零； （2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1a -，上为减函数，在(],2a - 上为增函数，所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-．依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->，解得e a >-，所以21a -<<-． （3）当2a -≥时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数， 所以min ()(2)2+ln 2f x f a ==．依题意有min ()2+ln 20f x a =>，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-． 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零．………………8分 （Ⅲ）设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率01a k x =+， 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-． 因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-． 即001(ln 1)20a x x +--=． ………………① 令1()(ln 1)2g x a x x =+-- (0)x >，则 2211(1)()()a x g x a x x x-'=-=． （1）当0a <时，在区间(0,1)上，()0g x '>， ()g x 单调递增；在区间(1,)+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<． 故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式． 因此当0a <时，切线的条数为0．（2）当0a >时, 在区间(0,1)上，()0g x '<，()g x 单调递减，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<．取21+1ee ax =>，则221112()(1e 1)2e 0aa g x a a a----=++--=>．故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点．取2-1-21e <e a x =，则221122()(1e 1)2e 24a a g x a a a a ++=--+--=--212[e 2(1)]a a a+=-+． 设21(1)t t a=+>，()e 2t u t t =-，则()e 2t u t '=-． 当1t >时，()e 2e 20t u t '=->->恒成立．所以()u t 在(1,)+∞单调递增，()(1)e 20u t u >=->恒成立．所以2()0g x >．故()g x 在(0,1)上存在唯一零点．因此当0a >时，过点P (13)，存在两条切线．（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点P (13)，的切线．综上所述，当0a >时，过点P (13)，存在两条切线；当0a ≤时，不存在过点P (13)，的切线．…………………………………………………13分19．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由题意可知，24a =，22b =，所以22c =．因为P 是椭圆C 上的点，由椭圆定义得124PF PF +=．所以12PF F ∆的周长为4+．易得椭圆的离心率=c e a =．………………………………………………………4分 (Ⅱ)由2220,1,42y m x y -+=⎨+=⎪⎩得22480x m ++-=． 因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点P ，所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<． 设11(,)A x y ，22(,)B x y，则12x x +=，21284m x x -=, 112m y +=，222m y +=．显然直线PA 与PB 的斜率存在，设直线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +=+211)(1)(x x -+-===28)(m m ----+=2=220==． 因为120k k +=，所以PMN PNM ∠=∠． 所以PM PN =． ………………………………………………………14分。
北京市朝阳区2020届高考数学一模试卷 (含答案解析)
北京市朝阳区2020届高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设集合A ={1,2，4，6}，集合B ={1,5}，则A ∪B 等于( )A. {1,3，5}B. {5}C. {1,2，4，5，6}D. {1}2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)上单调递减的是( )A. y =x 12B. y =2x +12x C. y =x 43 D. y =log 12|x |+1 3. 已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 1=1，a 2a 3=−8，则S 6=( )A. 1283B. −24C. −21D. 114. 在ΔOAB 中，点C 满足AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1x +1y=( ) A. 13B. 23C. 92D. 295. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，M 是C 上的一点，点M 关于l 的对称点为N ，若∠MFN =90°且|MF|=12，则p 的值为( )A. 18B. 12C. 6D. 6或18 6. 从甲、乙、丙、丁四人中，随机选取两名作为代表，则甲被选中的概率为( )A. 12B. 13C. 14D. 237. 已知双曲线C ：x 24−y 2b 2=1经过点(4,3)，则双曲线C 的离心率为( )A. 12B. √32C. √72D. √132 8. “φ=3π4”是“函数y =cos2x 与函数y =sin(2x +φ)在区间[0,π4]上的单调性相同”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知定义在R 上的函数满足f(x +1)=f(x −1)，f(x)={2x −5,0<x ≤1ln x−1e5,1<x ≤2，若关于x 的不等式f(x)+a(x −2018)≤0在(2018,2020]上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,2]B. (−∞,2)C. (−∞,52]D. (−∞,52)10. 如图，在棱长为3的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，则点B 到平面AMN 的距离是( )A. 92B. √3C. 6√55D. 2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 复数21+i 的模等于__________．12. 如图是某四面体的三视图，则该几何体最长的棱长为__________．13. 张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为________． 14. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，函数f(x)=2x−1x+1，a n =log 2f(n+1)f(n)，则S 2013=______．15. 已知曲线C 的方程是x 4+y 2=1.关于曲线C 的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线y =x 对称； ③曲线C 所围成的区域的面积大于π． 其中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，．(1)求角B; (2)若，求b ．17.如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM//AC．(1)求证：平面MOE//平面PAC；(2)求证：平面PAC⊥平面PCB；(3)设二面角M−BP−C的大小为θ，求cosθ的值．18.某研究机构为了调研当代中国高中生的平均年龄，从各地多所高中随机抽取了40名学生进行年龄统计，得到结果如下表所示：年龄(岁)[15,16)[16,17)[17,18)[18,19)[19,20]数量6101284(1)若同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批学生的平均年龄；(2)若在本次抽出的学生中随机挑选2个年龄在[15,17)间的学生人数记为X，求X的分布列及数学期望．19.已知圆O：x2+y2=4，若焦点在x轴上的椭圆x2a2+y2b2=1过点p(0,−1)，且其长轴长等于圆O的直径．(1)求椭圆的方程；(2)过点P作两条互相垂直的直线l1与l2，l1与圆O交于A、B两点，l2交椭圆于另一点C．(Ⅰ)设直线l1的斜率为k，求弦AB长；(Ⅱ)求△ABC面积的最大值．20.求曲线y=f(x)=12x2−3x+2lnx在(3,f(3))处切线的斜率及切线方程．21.若数列{a n}的前n项和为S n，a1=2且S n+1=4a n−2(n=1,2，3…)．(I)求a2，a3；(II)求证：数列{a n−2a n−1}是常数列；(III)求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解题的关键．根据A与B，求出两集合的并集即可．解：∵A={1,2，4，6}，B={1,5}，∴A∪B={1,2，4，5，6}.故选C．2.答案：D解析：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，熟悉常见函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，属于基础题．分别判断各函数的奇偶性和单调性即可得到结论．解：A：y=x12定义域为[0,+∞)，为非奇非偶函数，不满足条件．B：y=2x+12x ，f(−x)=2−x+12−x=2x+12x=f(x)，则f(x)为偶函数，f(1)=2+12=52，f(2)=4+14=174，则f(1)<f(2)，则函数在(1,2)上不是减函数，不满足条件．C：y=x43，f(−x)=(−x)43=[(−x)2]23=x43=f(x)，则f(x)是偶函数，f(1)=1，f(2)=√163，则f(1)<f(2)，则函数在(1,2)上不是减函数，不满足条件．D：，，则f(x)为偶函数，由于为减函数，所以在(1,2)上是减函数，满足条件．故选D．3.答案：C解析：本题考查等比数列的求和公式和通项公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．由题意易得数列的公比q=−2代入求和公式计算可得．解：设等比数列{a n}公比为q，a1=1，a2a3=−8，则a2a3=a12q3=q3=−8，解得q=−2，∴S6=1×[1−(−2)6]1+2=−21，4.答案：C解析：本题主要考查平面向量的基本定理与应用，属于一般题． 解析：解：∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故x =13,y =23⇒1x +1y =92， 故选C5.答案：C解析：本题考查抛物线的性质及定义，考查转换思想，属于中档题． 构造直角三角形，根据抛物线的性质，即可求得p 的值． 解：直线MN 交准线x =−p2于点D ，l 交x 轴于点H ，∴∠MFN =90°，则|DM|=|MF|=|DF|=12， 则∠MDF =60°，∠FDH =30°， ∴|HF|=6，即p =6，6.答案：A解析：解：从甲、乙、丙、丁四人中，随机选取两名作为代表，基本事件总数n=C42=6，甲被选中包含的基本事件个数m=C11C31=3，∴甲被选中的概率为p=mn =36=12．故选：A．基本事件总数n=C42=6，甲被选中包含的基本事件个数m=C11C31=3，由此能求出甲被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：C解析：本题考查双曲线方程的求法，离心率的求法，考查计算能力，求出双曲线的方程，然后求解离心率．解：双曲线C：x24−y2b2=1经过点(4,3)，可得424−32b2=1，解得b2=3，双曲线C：x24−y23=1，可得a=2，c=√a2+b2=√4+3=√7，e=ca =√72．故选C．8.答案：A解析：解：函数y=cos2x在区间[0,π4]上单调递减．“φ=3π4”时，函数y=sin(2x+3π4)，x∈[0,π4]，可得2x+3π4∈[3π4,5π4]，∴函数y=sin(2x+3π4)，在区间[0,π4]上单调递减．而φ=3π4+2π时，函数y=sin(2x+3π4)，在区间[0,π4]上单调递减．因此“φ=3π4”是“函数y=cos2x与函数y=sin(2x+φ)在区间[0,π4]上的单调性相同”的充分不必要条件．故选：A．函数y=cos2x在区间[0,π4]上单调递减．“φ=3π4”时，函数y=sin(2x+3π4)，x∈[0,π4]，可得2x+。
2024北京朝阳高三一模数学试题及答案
2024北京朝阳高三一模数 学2024.4（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集{1,2,3,4},{|2}U A x U x ==∈<，则UA =（A ）{1} （B ）{1,2}（C ）{3,4} （D ）{2,3,4}（2）复数i3i+在复平面内对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）在ABC △2sin b A =，则B ∠=（A ）6π （B ）6π或65π （C ）3π（D ）3π或32π （4）已知a ∈R ，则“01a <<”是“函数3()(1)f x a x =−在R 上单调递增”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知直线60x −+=222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r =（A ）2（B）（C ）4（D）（6）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12341,4a a a a =++=，则6S =（A ）9（B ）16（C ）21（D ）25（7）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的右焦点为F ，过点F 作垂直于x 轴的直线l ，,M N 分别是l与双曲线C 及其渐近线在第一象限内的交点．若M 是线段FN 的中点，则C 的渐近线方程为 （A ）y x =±（B）y = （C）y = （D）y = （8）在ABC △中，2,AB AC BC ===P 在线段BC 上．当PA PB ⋅取得最小值时，PA =（A（B（C ）34（D ）74（9）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，,,E F G 分别为棱11,,AA BC CC 的中点，动点H 在平面EFG 内，且1DH =．则下列说法正确的是 （A ）存在点H ，使得直线DH 与直线FG 相交G1A（B ）存在点H ，使得直线DH ⊥平面EFG （C ）直线1B H 与平面EFG 所成角的大小为π3（D ）平面EFG （10）已知n 个大于2的实数21,,,n x x x ，对任意(1,2,),i n x i =，存在2i y ≥满足i i y x <，且i i y x i i x y =，则使得12115n n x x x x −+++≤成立的最大正整数n 为（A ）14（B ）16 （C ）21 （D ）23第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市朝阳区2020届高三第一次模拟考试数学试题
北京市朝阳区高三年级高考练习一数 学 2020.4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{}1,3,5A =，{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ，则A B =U （ ） A ．{}3 B ．{}1,3 C ．{}1,2,3,5 D ．{}1,2,3,4,5 （2）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．3y x =B ．21y x =-+C ．2log y x =D ．||2x y = （3）在等比数列{}n a 中，11a =，48a =-，则{}n a 的前6项和为A ．21-B ．11C ．31D ．63（4）如图，在ABC △中，点D ，E 满足2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r ．若DE x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r(,)x y ∈R ，则x y +=（ ）A ．12-B ．13-C ．12D ．13（5）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD l ⊥于D ．若4AF =，60DAF ∠=︒，则抛物线C 的方程为（ ）A ．28y x =B ．24y x =C ．22y x =D ．2y x =（6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（ ）EDCB AA ．23 B ．25 C ．35 D ．910（7）在ABC △中，AB BC =，120ABC ∠=︒．若以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率为（ ） A．2B．2 C．12D（8）已知函数()=)(>0)f x ωx φω-的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6πϕ=”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（9）已知函数222,1,()2ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()2af x ≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A．(,-∞ B ．3[0,]2C ．[0,2] D．[0,（10）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动．当PMN △的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB ．线段1CA 的中点C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点CD ．线段1CA 的四等分点，且靠近点CPM NA BC DD 1C 1B 1A 1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． （11）若复数21z i=+，则||z =________． （12）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________，它的体积为 ．（13）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05．为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动． （14）已知函数()cos2xf x x π=．数列{}n a 满足()(1)n a f n f n =++（*n ∈N ），则数列{}n a 的前100项和是________．（15）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）．给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；③存在一个以原点为中心、边长为2的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）． 其中，正确结论的序号是________．俯视正（主）侧（左）32 2 2 2注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）（本小题14分）在ABC △中，sin cos()6πb A a B =-． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若5c =， ．求a ． 从①7b =，②4C π=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．（17）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，四边形11ACC A 是正方形，点D ，E 分别是棱BC ，1BB 的中点，4AB =，12AA =，BC =（Ⅰ）求证：1AB CC ⊥；（Ⅱ）求二面角1D AC C --的余弦值；（Ⅲ）若点F 在棱11B C 上，且1114B C B F =，判断平面1AC D 与平面1A EF 是否平行，并说明理由．0A BB 1ECC 1A 1DF某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：（Ⅰ）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；（Ⅱ）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X 表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设该地区有10万人，患病率为0.01．从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5？并说明理由．（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆222:O x y r +=（O 为坐标原点）．过点(0,)b 且斜率为1的直线与圆O 交于点(1,2)，与椭圆C 的另一个交点的横坐标为85-． （Ⅰ）求椭圆C 的方程和圆O 的方程；（Ⅱ）过圆O 上的动点P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若直线1l 的斜率为(0)k k ≠且1l 与椭圆C 相切，试判断直线2l 与椭圆C 的位置关系，并说明理由．已知函数()11e xx x f x -+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；（Ⅲ）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线e x y =在点00(,e )xx 处的切线也是曲线ln y x =的切线．（21）（本小题14分）设数列12:,,,n A a a a L （3n ≥）的各项均为正整数，且12n a a a ≤≤≤L ．若对任意{3,4,,}k n ∈L ，存在正整数,(1)i j i j k ≤≤<使得k i j a a a =+，则称数列A 具有性质T ．（Ⅰ）判断数列1:1,2,4,7A 与数列2:1,2,3,6A 是否具有性质T ；（只需写出结论） （Ⅱ）若数列A 具有性质T ，且11a =，22a =，200n a =，求n 的最小值；（Ⅲ）若集合123456{1,2,3,,2019,2020}S S S S S S S ==L U U U U U ，且i j S S =∅I （任意,{1,2,,6}i j ∈L ，i j ≠）．求证：存在i S ，使得从i S 中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质T 的数列．北京市朝阳区高三年级高考练习一数学参考答案2020.4第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）B （6）D （7）C （8）A （9）C （10）B第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11 （12）5:4 （13）15 （14）100 （15）①② 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （16）（本小题14分）解：（1）因为sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，sin sin a b A B =．所以sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．又因为sin 0A ≠，所以sin cos 6B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，即1sin cos sin 22B B B =+． 所以sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又因为2333B πππ-<-<，所以03B π-=，所以3B π=． （Ⅱ）若选①7b =，则在ABC △中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得25240a a --=，解得8a =或3c =-（舍）．所以8a =．若选②4c π=，则sin sin()A B C =+=sincoscossin34344ππππ+=， 由正弦定理sin sin a cA C=，得2=，解得a =所以a =（17）（本小题14分）解：（1）因为四边形11ACC A 是正方形， 所以1CC AC ⊥．又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ， 平面ABC ⋂平面11ACC A AC =， 所以1CC ⊥平面ABC ． 又因为AB ⊂平面ABC ， 所以1AB CC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1CC AB ⊥，11AA CC ∥， 所以1AA AB ⊥．又4AB =，12AC AA ==，BC = 所以222AB AC BC +=． 所以AC AB ⊥．如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -．所以(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(0,0,2)C ，1(0,2,0)A ． 则有(2,0,1)D ，1(0,2,2)C ，(4,1,0)E ，平面1ACC 的一个法向量为(1,0,0)u =r．设平面1AC D 的一个法向量为(,,)v x y z =r，又(2,0,1)AD =u u u r，1(0,2,2)AC =u u u u r ，由10,0.v AD v AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r 得20,220.x z y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则2z =-，2y =．所以(1,2,2)v =-r．设二面角1D AC C --的平面角为θ，则||11|cos |133||||u v u v θ⋅===⨯r rr r ． 由题知，二面角1D AC C --为锐角，所以其余弦值为13． （Ⅲ）平面1AC D 与平面1A EF 不平行．理由如下：由（Ⅱ）知，平面1AC D 的一个法向量为(1,2,2)v =-r，1(4,1,0)A E =-u u u r ， 所以120A E v ⋅=≠u u u r r ，所以1A E 与平面1AC D 不平行． 又因为1A E ⊂平面1A EF ，所以平面1AC D 与平面1A EF 不平行． 14分 （18）（本小题14分）（Ⅰ）由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性．所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为76198020=． （Ⅱ）由题意可知~(,)X B n p ，其中3n =，1920p =． X 的所有可能的取值为0，1，2，3．03031911(0)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 121319157(1)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21231911083(2)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3331916859(3)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以X 的分布列为故X 的数学期望57()20E X np ==． （Ⅲ）此人患该疾病的概率未超过0.5．理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为11999000100010020⨯+⨯9909501940=+=，其中患者人数为950．若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为9509700.519401940<=． 所以此人患该疾病的概率未超过0.5． 14分 （19）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为圆O 过点(1,2)，所以圆O 的方程为：225x y +=．因为过点(0,)b 且斜率为1的直线方程为y x b =+， 又因为过点(1,2)，所以1b =．因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为83,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以222835511a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得24a =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）直线2l 与椭圆C 相切．理由如下：设圆O 上动点()00,P x y ()02x ≠±，所以22005x y +=．依题意，设直线()100:l y y k x x -=-．由()220044,x y y kx y kx ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． 因为直线1l 与椭圆C 相切，所以()()()22200008414440k y kx ky kx ⎡⎤∆=--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 所以()220014k y kx +=-．所以()()22200004210x k x y k y -++-=． 因为22005x y +=，所以220041x y -=-． 所以()()22200001210y k x y k y -++-=． 设直线()2001:l y y x x k-=--， 由()220044,1,x y y y x x k ⎧+=⎪⎨-=--⎪⎩得2200002481440x x x y x y k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ()()222100*********x x y y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∆=--+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()()2220000216421x kx y y k k⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()2220000216121y kx y y k k⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()22200002161210y k kx y y k ⎡⎤=--++-=⎣⎦． 所以直线2l 与椭圆C 相切． 14分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为1()1x x f x e x +=-， 所以001(0)201f e +=-=-，22()(1)x f x e x '=+-，022(0)3(01)f e '=+=-． 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=．（Ⅱ）函数()f x 有且仅有两个零点．理由如下：()f x 的定义域为{|,1}x x x ∈≠R ． 因为22()0(1)x f x e x '=+>-， 所以()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增．因为(0)20f =>，21(2)03f e --=-<， 所以()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x ．因为2(2)30f e =->，545904f e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， 所以()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x ．综上，()f x 有且仅有两个零点．（Ⅲ）曲线x y e =在点()00,x x e 处的切线方程为()000x x y e e x x -=-，即0000x x x y e x x e e =-+．设曲线ln y x =在点()33,x y 处的切线斜率为0x e ， 则031x e x =，031e x x =，30y x =-，即切点为001,x x e ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 所以曲线ln y x =在点001,x x e ⎛⎫-⎪⎝⎭处的切线方程为 y 0001x x y x e x e ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即001x y e x x =--．因为0x 是()f x 的一个零点，所以00011x x e x +=-． 所以()()00000000011111x x x x x e e e x x x x +-+=-=-=---． 所以这两条切线重合．所以结论成立． 15分（21）（本小题14分）解：（Ⅰ）数列1A 不具有性质T ；数列2A 具有性质T ．（Ⅱ）由题可知22a =，3224a a =„，4328a a 剟，…，872128a a 剟， 所以9n …． 若9n =，因为9200a =且982a a „，所以8128100a 厖． 同理，76450a 厖，63225a 厖，51612.5a 厖，48 6.25a 厖，34 3.125a 厖． 因为数列各项均为正整数，所以34a =．所以数列前三项为1，2，4．因为数列A 具有性质T ，4a 只可能为4，5，6，8之一，而又因为48 6.25a 厖， 所以4=8a ．同理，有516a =，632a =，764a =，8128a =．此时数列为1，2，4，8，16，32，64，128，200．但数列中不存在19i j <剟使得200i j a a =+，所以该数列不具有性质T ． 所以10n …． 当10n =时，取A ：1，2，4，8，16，32，36，64，100，200．（构造数列不唯一）经验证，此数列具有性质T ．所以，n 的最小值为10．（Ⅲ）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,,6)i S i =L 都有：若正整数,i a b S ∈，a b <，则i b a S -∉．否则，当a b a <-时，a ，b a -，b 是一个具有性质T 的数列；当a b a >-时，b a -，a ，b 是一个具有性质T 的数列；当a b a =-时，a ，a ，b 是一个具有性质T 的数列．（ⅰ）由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个，不妨设此集合为1S ，从1S 中取出337个数，记为12337,,,a a a L ，且12337a a a <<<L ．令集合3137|{1,2,,336}i N a a i S =-=⊆L ．由假设，对任意33711,2,,336,i i a a S =-∉L ，所以123456N S S S S S ⊆⋃⋃⋃⋃． （ⅱ）在2S ，3S ，4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含1N 中的至少68个元素，不妨设这个集合为2S ，从21S N ⋂中取出68个数，记为1268,,,b b b L ，且8162b b b <<<L ．令集合{}268|1,2,,67i N b b i S =-=⊆L ．由假设682i b b S -∉．对任意1,2,,68k =L ，存在{1,2,,336}k s ∈L 使得337k k s b a a =-．所以对任意1,2,,67i =L ，()()686868337337i i i s s s s b b a a a a a a -=---=-，由假设681i s s a a S -∉，所以681i b b S -∉，所以6812i b b S S -∉⋃，所以23456N S S S S ⊆⋃⋃⋃．（ⅲ）在3S ，4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含N 中的至少17个元素，不妨设这个集合为3S ，从32S N ⋂中取出17个数，记为1217,,,c c c L ，且1217c c c <<<L ．令集合{}317|1,2,,16i N c c i S =-=⊆L ．由假设173i c c S -∉．对任意1,2,,17k =L ，存在{1,2,,67}k t ∈L 使得68k k t c b b =-．所以对任意1,2,,16i =L ，()()1717176868i i t t t t i c c b b b b b b -=---=-，同样，由假设可得1712i t t b b S S -∉⋃，所以17123i c c S S S -∉⋃⋃，所以3456N S S S ⊆⋃⋃．（ⅳ）类似地，在4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含3N 中的至少6个元素，不妨设这个集合为4S ，从43S N ⋂中取出6个数，记为126,,,d d d L ， 且126d d d <<<L ，则{}4665|1,2,,5i N d d i S S =-=⊆⋃L ． （ⅰ）同样，在5S ，6S 中至少有一个集合包含4N 中的至少3个元素， 不妨设这个集合为5S ，从54S N ⋂中取出3个数，记为123,,e e e ，且123e e e <<， 同理可得{}153326,N e e e e S =--⊆．（ⅰ）由假设可得()()2131326e e e e e e S -=---∉． 同上可知，2112345e e S S S S S -∉⋃⋃⋃⋃，而又因为21e e S -∈，所以216e e S -∈，矛盾． 所以假设不成立．所以原命题得证． 14分。
2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷(含答案解析)
2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合3，，，则A. B.C. 2，3，D. 2，3，4，2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是A. B. C. D.3.在等比数列中，，，则的前6项和为A. B. 11 C. 31 D. 634.如图，在中，点D，E满足，若，则A.B.C.D.5.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，于若，，则抛物线C的方程为A. B. C. D.6.现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为A. B. C. D.7.在中，，若以A，B为焦点的双曲线经过点C，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.8.已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为，则“”是“的图象关于直线对称”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知函数若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围为A. B. C. D.10.如图，在正方体中，M，N分别是棱AB，的中点，点P在对角线上运动．当的面积取得最小值时，点P的位置是A. 线段的三等分点，且靠近点B. 线段的中点C. 线段的三等分点，且靠近点CD. 线段的四等分点，且靠近点C二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.复数，则______．12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为______，它的体积为______．13.某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下：摇号的初始中签率为；当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加为了使中签率超过，则至少需要邀请______位好友参与到“好友助力”活动．14.已知函数数列满足，则数列的前100项和是______．15.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C：被称为“四叶玫瑰线”如图所示给出下列三个结论：曲线C关于直线对称；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1；存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线C在此正方形区域内含边界．其中，正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.在中，．Ⅰ求B；Ⅱ若，求a．从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．17.如图，在三棱柱中，平面平面ABC，四边形是正方形，点D，E分别是棱BC，的中点，，，．Ⅰ求证：；Ⅱ求二面角的余弦值；Ⅲ若点F在棱上，且，判断平面与平面是否平行，并说明理由．18.某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区人数众多随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如表：患者的检测结果人数阳性76阴性4非患者的检测结果人数阳性1阴性99Ⅰ从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；Ⅱ从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X表示检测结果为阳性的患者人数，利用Ⅰ中所得概率，求X的分布列和数学期望；Ⅲ假设该地区有10万人，患病率为从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过？并说明理由．19.已知椭圆，圆O：为坐标原点过点且斜率为1的直线与圆O交于点，与椭圆C的另一个交点的横坐标为．Ⅰ求椭圆C的方程和圆O的方程；Ⅱ过圆O上的动点P作两条互相垂直的直线，，若直线的斜率为且与椭圆C相切，试判断直线与椭圆C的位置关系，并说明理由．20.已知函数．Ⅰ求曲线在点处的切线方程；Ⅱ判断函数的零点的个数，并说明理由；Ⅲ设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．21.设数列A：，，，的各项均为正整数，且若对任意4，，，存在正整数i，使得，则称数列A具有性质T．Ⅰ判断数列：1，2，4，7与数列：1，2，3，6是否具有性质T；只需写出结论Ⅱ若数列A具有性质T，且，，，求n的最小值；Ⅲ若集合2，3，，2019，，且任意i，2，，，求证：存在，使得从中可以选取若干元素可重复选取组成一个具有性质T的数列．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，2，3，，故选：C．先求出集合B，再利用集合并集的运算即可算出结果．本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.答案：D解析：解：若函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称，所以C错；由偶函数的定义：，故A错；在上递减，故B错；显然，故该函数是偶函数，当时，是增函数，故D对．故选：D．根据幂函数、对数函数、以及二次函数的单调性规律和奇偶性的定义判断即可．本题考查奇偶性、单调性的定义与性质，注意转化思想在解题中的应用．属于基础题．3.答案：A解析：解：设公比为q，由，可得，前6项和，故选：A．先由，求出公比q，再代入前n项和公式求和．本题主要考查等比数列基本量的运算，属于基础题．4.答案：B解析：解：中，点D，E满足，．，又，，．故选：B．在中，，因为，通过转化的思想，将用和表示，求出x和y的值，计算即可．本题主要考查平面向量的基本定理，属基础题，解题时需认真审题，注意向量线性运算的合理性．5.答案：B解析：解：如图所示，由抛物线的定义可知，，，为等边三角形，，，，轴，，即，，抛物线的方程为，故选：B．由抛物线的定义可知，，从而确定为等边三角形，于是得到，，再结合平行关系和三角函数即可求得p的值，进而得解．本题考查抛物线的方程、定义与几何性质，熟练运用抛物线的几何性质是解题的关键，考查学生的观察力和计算能力，属于基础题．6.答案：D解析：解：甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，基本事件总数，甲、乙、丙至多有2种被选取包含的基本事件个数，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率．故选：D．基本事件总数，甲、乙、丙至多有2种被选取包含的基本事件个数，由此能求出其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：C解析：解：设，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，在三角形OBC中，，，所以，，所以双曲线的离心率为：．故选：C．设，取AB的中点为O，由余弦定理可得AC，通过双曲线的定义，求解离心率即可．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．8.答案：A解析：解：函数的图象上相邻两个最高点的距离为，，解得．的图象关于直线对称，，解得，解得．则“”是“的图象关于直线对称”的充分不必要条件．故选：A．函数的图象上相邻两个最高点的距离为，可得，解得根据的图象关于直线对称，可得，解得，即可判断出结论．本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：当时，，的对称轴为，开口向上．当时，在递减，递增，当时，有最小值，即，解得；当时，在上递减，当时，有最小值，即，．综合得：当时，；当时，，，当时，，在上递增，，，此时；当，即时，在上递增，同理可得；当，即时，在递减，递增，，，解得．综合得：当时，；关于x的不等式在R上恒成立，，故选：C．当时，，分、两类讨论，可求得；当时，，分、、三类讨论，可求得；取其公共部分即可得到答案．本题考查分段函数的应用，考查不等式恒成立问题，着重考查分类讨论思想和等价转化思想，考查导数的运用，考查运算求解能力和推理能力，属于难题．10.答案：B解析：解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1，P为上的动点，设，其中，，0，，，，，为等腰三角形，底边，设底边MN上的高为h，则有．，时的面积取得最小值，此时P为的中点．故选：B．以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的面积取得最小值时，P为的中点．本题考查点的位置瓣判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.答案：解析：解：复数．．故答案为：．利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．12.答案：5 4解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为等腰直角三角形，，高．最长棱为，体积．故答案为：5；4．由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为等腰直角三角形，，高再由勾股定理求最长棱的长，由棱锥体积公式求体积．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．13.答案：15解析：解：某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下：摇号的初始中签率为；当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加．为了使中签率超过，设至少需要邀请n位好友参与到“好友助力”活动，则，解得．为了使中签率超过，则至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动．故答案为：15．为了使中签率超过，设至少需要邀请n位好友参与到“好友助力”活动，则，由此能求出结果．本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：100解析：解：由题意，当，时，．设数列的前n项和为，则．故答案为：100．本题先根据余弦函数的周期性可计算出当，时，，，，连续四项和的值，可发现为固定值2，然后设数列的前n项和为，然后代入进行整理转化，利用周期性得到的规律即可计算出结果．本题主要考查数列的三角函数的综合问题．考查转化与化归思想，整体思想，余弦函数的周期性的应用，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．15.答案：解析：解：对，用替换方程中的，方程形式不变，所以曲线C关于直线对称，正确；对，设点是曲线上任意一点，则，则点P到原点的距离为，由，解得，正确；对，由可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1，所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为2，所以不正确；故答案为：．根据曲线的方程以及图象逐个判断3个结论即可得出．本题主要考查函数曲线的性质应用，意在考查学生的直观想象能力和分析能力，属于中档题．16.答案：解：Ⅰ在中，由正弦定理得，得，又，即，，又，．Ⅱ若选，则在中，由余弦定理，可得，解得，或舍去，可得．若选，则，由正弦定理，可得，解得．解析：Ⅰ由正弦定理得，与由此能求出B．Ⅱ若选，由余弦定理可得，即可解得a的值；若选，利用两角和的正弦函数公式可求sin A的值，由正弦定理即可解得a的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.答案：Ⅰ证明：四边形是正方形，，又平面平面ABC，平面平面，平面ABC，又平面ABC，；Ⅱ解：由Ⅰ知，，，．又，，，，得．以A为坐标原点，分别以AB，，AC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则0，，0，，0，，2，，0，，2，，1，，，．平面的一个法向量，设平面的一个法向量为．由，取，得．设二面角的平面角为，则．由题意，二面角为锐角，则其余弦值为；Ⅲ解：平面与平面不平行．理由如下：由Ⅱ知，平面的一个法向量，．，与平面不平行．又平面，平面与平面不平行．解析：Ⅰ由题意，结合平面平面ABC，由平面与平面垂直的性质可得平面ABC，进一步得到；Ⅱ解：由Ⅰ知，，得到，求解三角形得，以A为坐标原点，分别以AB，，AC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值；Ⅲ由Ⅱ知，平面的一个法向量，，由数量积不为0可得与平面不平行，即可得到平面与平面不平行．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18.答案：解：Ⅰ由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性，所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为．Ⅱ由题意，可知，，，，，的分布列为：X 0 1 2 3P．Ⅲ此人患该疾病的概率未超过．理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为，其中患者人数为950，若某人检测结果为阳性，则他患该疾病的概率为，此人患该疾病的概率未超过．解析：Ⅰ位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性，从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，能估计结果为阳性的概率．Ⅱ由题意，可知，由此能求出X的分布列和．Ⅲ如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，结果为阳性的人数为，其中患者人数为950，由此能求出此人患该疾病的概率未超过．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：Ⅰ因为圆O过点，所以圆O的方程为：，因为过点且斜率为1的直线方程为，又因为过点，所以，所以直线方程为：，因为直线与椭圆C的另一个交点的横坐标为，所以纵坐标为，所以，解得：，所以椭圆C的方程为：；Ⅱ直线与椭圆C相切，理由如下：设圆O上动点，所以，依题意，设直线的方程为：，联立方程，消去y得：，因为直线与椭圆C相切，所以，所以，所以，因为，所以，所以，设直线的方程为：，联立方程，消去y得：，所以，所以直线与椭圆C相切．解析：Ⅰ把点代入圆O的方程，即可求出r，得到圆O的方程，再求出直线方程，得到与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，即可求出椭圆C的方程；Ⅱ设圆O上动点，所以，设直线的方程为：，与椭圆方程联立利用得到，设直线的方程为：，与椭圆方程联立，把上式代入化简，所以直线与椭圆C相切．本题主要考查了圆的方程，考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．20.答案：解：Ⅰ因为，所以，所以，，故切线方程为：．Ⅱ函数有且仅有两个零点．易知的定义域为，且，且，所以在，上是增函数．因为，，所以在上有唯一零点；又因为，所以在上有唯一零点；综上，有且仅有两个零点．Ⅲ易知，曲线在点处的切线为，即．再设曲线在点处的切线斜率为，则，即切点为．所以曲线的切线方程为，即．因为是的一个零点，所以，，故两条切线重合，结论成立．解析：Ⅰ求出处的导数，利用点斜式写出切线方程即可；Ⅱ研究函数的单调性、极值的符号等求解；Ⅲ只需要说明零点处的切线重合即可．本题考查导数的几何意义和综合应用，同时考查了学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养．属于较难的题目．21.答案：解：Ⅰ，，3，4，7不具有性质P；，，，，2，3，5具有性质P，即数列不具有性质T，数列具有性质T．Ⅱ由题意可知，，，，，，．若，且，，同理，，，，，，数列各项均为正整数，，数列前三项为1，2，4．数列A具有性质T，只可能为4，5，6，8之一，而又，，同理，有，，，，此时数列为1，2，4，8，16，32，64，128，200．但数列中存在，使得，该数列不具有性质T，．当时，取A：1，2，4，8，16，32，36，64，100，构造数列不唯一，A：1，2，4，8，16，32，36，64，100，200，经验证，此数列具有性质T，的最小值为10．Ⅲ假设结论不成立，即对任意2，，都有：若正整数a，，，则，否则，当时，a，，b是一个具有性质T的数列；当时，，a，b是一个具有性质T的数列；当时，a，a，b是一个具有性质T的函数．由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个，不妨设此集合为，从中取出337个数，记为，，，且，令集合2，，．由假设，对任意，2，，336，，，在，，，，中至少有一个集合包含中的至少68个元素，不妨设这个集合为，从中取出68个数，记为，，，，且，令集合2，，．由假设，对任意，2，，68，存在2，，使得，对任意，由假设，，，．在，，，中至少有一个集合包含中的至少17个元素，不妨设这个集合为，从中取出17个数，记为，，，，且，令集合2，，，由假设，对任意，2，，17，存在2，，使得，对任意，同样，由假设可得，，．同样，在，中至少有一个集合包含中的至少3个元素，不妨设这个集合为，从中取出3个数，记为，，，且，同理可得．由假设可得，同上可知，，而又，，矛盾．假设不成立，原命题得证．解析：Ⅰ根据，可知1，3，4，7不具有性质P，由，，，可知1，2，3，5具有性质P；Ⅱ由数列A具有性质T，结合条件可知，然后分别考虑，，时是否符合条件，进一步得到n的最小值；Ⅲ假设结论不成立，即对任意2，，都有：若正整数a，，，则，否则，当时，a，，b是一个具有性质T的数列；当时，，a，b是一个具有性质T的数列；当时，a，a，b是一个具有性质T的函数，然后找出矛盾结论，从而证明结论成立．本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系和不等式的性质，考查了考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．。
2020 朝阳一模(答案版)
北京市朝阳区高三年级高考练习一数学参考答案 2020.04第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）B （6）D （7）C （8）A （9）C （10）B第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11 （12）5:4 （13）15 （14）100 （15）①② 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （16）（本小题14分）解：（1）因为sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，sin sin a b A B =．所以sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．又因为sin 0A ≠，所以sin cos 6B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，即1sin cos sin 22B B B =+． 所以sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又因为2333B πππ-<-<，所以03B π-=，所以3B π=． （Ⅱ）若选①7b =，则在ABC △中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得25240a a --=，解得8a =或3c =-（舍）．所以8a =．若选②4c π=，则sin sin()A B C =+=sincoscossin3434ππππ+=， 由正弦定理sin sin a cA C=，得2=，解得a =所以52a =． （17）（本小题14分）解：（1）因为四边形11ACC A 是正方形， 所以1CC AC ⊥．又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ， 平面ABC ⋂平面11ACC A AC =， 所以1CC ⊥平面ABC ． 又因为AB ⊂平面ABC ， 所以1AB CC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1CC AB ⊥，11AA CC ∥， 所以1AA AB ⊥．又4AB =，12AC AA ==，BC = 所以222AB AC BC +=． 所以AC AB ⊥．如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -．所以(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(0,0,2)C ，1(0,2,0)A ． 则有(2,0,1)D ，1(0,2,2)C ，(4,1,0)E ，平面1ACC 的一个法向量为(1,0,0)u =． 设平面1AC D 的一个法向量为(,,)v x y z =， 又(2,0,1)AD =，1(0,2,2)AC =，由10,0.v AD v AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,220.x z y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则2z =-，2y =．所以(1,2,2)v =-． 设二面角1D AC C --的平面角为θ，则||11|cos |133||||u v u v θ⋅===⨯．由题知，二面角1D AC C --为锐角，所以其余弦值为13． （Ⅲ）平面1AC D 与平面1A EF 不平行．理由如下：由（Ⅱ）知，平面1AC D 的一个法向量为(1,2,2)v =-，1(4,1,0)A E =-， 所以120A E v ⋅=≠，所以1A E 与平面1AC D 不平行． 又因为1A E ⊂平面1A EF ，所以平面1AC D 与平面1A EF 不平行． 14分 （18）（本小题14分）（Ⅰ）由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性．所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为76198020=． （Ⅱ）由题意可知~(,)X B n p ，其中3n =，1920p =． X 的所有可能的取值为0，1，2，3．03031911(0)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 121319157(1)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21231911083(2)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3331916859(3)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以X 的分布列为故X 的数学期望57()20E X np ==． （Ⅲ）此人患该疾病的概率未超过0.5．理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为11999000100010020⨯+⨯9909501940=+=，其中患者人数为950．若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为9509700.519401940<=． 所以此人患该疾病的概率未超过0.5． 14分 （19）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为圆O 过点(1,2)，所以圆O 的方程为：225x y +=．因为过点(0,)b 且斜率为1的直线方程为y x b =+， 又因为过点(1,2)，所以1b =．因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为83,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以222835511a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得24a =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）直线2l 与椭圆C 相切．理由如下：设圆O 上动点()00,P x y ()02x ≠±，所以22005x y +=．依题意，设直线()100:l y y k x x -=-．由()220044,x y y kx y kx ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． 因为直线1l 与椭圆C 相切， 所以()()()22200008414440k y kx ky kx ⎡⎤∆=--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 所以()220014k y kx +=-．所以()()22200004210x k x y k y -++-=．因为22005x y +=，所以220041x y -=-． 所以()()22200001210y k x y k y -++-=． 设直线()2001:l y y x x k-=--， 由()220044,1,x y y y x x k ⎧+=⎪⎨-=--⎪⎩得2200002481440x x x y x y k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ()()222100001116421x x y y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∆=--+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()2220000216421x kx y y k k⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()2220000216121y kx y y k k⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()22200002161210y k kx y y k⎡⎤=--++-=⎣⎦． 所以直线2l 与椭圆C 相切． 14分 （20）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为1()1xx f x ex +=-， 所以001(0)201f e +=-=-，22()(1)x f x e x '=+-，022(0)3(01)f e '=+=-． 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=． （Ⅱ）函数()f x 有且仅有两个零点．理由如下：()f x 的定义域为{|,1}x x x ∈≠R ．因为22()0(1)xf x e x '=+>-， 所以()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增．因为(0)20f =>，21(2)03f e --=-<， 所以()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x ．因为2(2)30f e =->，545904f e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x ． 综上，()f x 有且仅有两个零点．（Ⅲ）曲线xy e =在点()00,x x e处的切线方程为()000x x y ee x x -=-，即0000x x xy e x x e e =-+．设曲线ln y x =在点()33,x y 处的切线斜率为0x e ，则031x e x =，031e x x =，30y x =-，即切点为001,x x e ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 所以曲线ln y x =在点001,x x e ⎛⎫-⎪⎝⎭处的切线方程为 y 0001xx y x e x e ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，即001x y e x x =--．因为0x 是()f x 的一个零点，所以00011x x e x +=-． 所以()()0000000011111xx x x x e ee x x x x +-+=-=-=---． 所以这两条切线重合．所以结论成立． 15分 （21）（本小题14分）解：（Ⅰ）数列1A 不具有性质T ；数列2A 具有性质T ．（Ⅱ）由题可知22a =，3224a a =，4328a a ，…，872128a a ， 所以9n ．若9n =，因为9200a =且982a a ，所以8128100a ．同理，76450a ，63225a ，51612.5a ，48 6.25a ，34 3.125a ． 因为数列各项均为正整数，所以34a =．所以数列前三项为1，2，4．因为数列A 具有性质T ，4a 只可能为4，5，6，8之一，而又因为48 6.25a ， 所以4=8a ．同理，有516a =，632a =，764a =，8128a =． 此时数列为1，2，4，8，16，32，64，128，200．但数列中不存在19i j <使得200i j a a =+，所以该数列不具有性质T ． 所以10n ．当10n =时，取A ：1，2，4，8，16，32，36，64，100，200．（构造数列不唯一） 经验证，此数列具有性质T ． 所以，n 的最小值为10．（Ⅲ）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,,6)i S i =都有：若正整数,i a b S ∈，a b <，则i b a S -∉．否则，当a b a <-时，a ，b a -，b 是一个具有性质T 的数列； 当a b a >-时，b a -，a ，b 是一个具有性质T 的数列；当a b a =-时，a ，a ，b 是一个具有性质T 的数列．（ⅰ）由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个，不妨设此集合为1S ，从1S 中取出337个数，记为12337,,,a a a ，且12337a a a <<<．令集合3137|{1,2,,336}i N a a i S =-=⊆．由假设，对任意33711,2,,336,i i a a S =-∉，所以123456N S S S S S ⊆⋃⋃⋃⋃．（ⅱ）在2S ，3S ，4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含1N 中的至少68个元素，不妨设这个集合为2S ，从21S N ⋂中取出68个数，记为1268,,,b b b ，且8162b b b <<<．令集合{}268|1,2,,67i N b b i S =-=⊆．由假设682i b b S -∉． 对任意1,2,,68k =，存在{1,2,,336}k s ∈使得337k k s b a a =-．所以对任意1,2,,67i =，()()686868337337i i i s s s s b b a a a a a a -=---=-，由假设681i s s a a S -∉，所以681i b b S -∉，所以6812i b b S S -∉⋃， 所以23456N S S S S ⊆⋃⋃⋃．（ⅲ）在3S ，4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含N 中的至少17个元素，不妨设这个集合为3S ，从32S N ⋂中取出17个数，记为1217,,,c c c ，且1217c c c <<<．令集合{}317|1,2,,16i N c c i S =-=⊆．由假设173i c c S -∉． 对任意1,2,,17k =，存在{1,2,,67}k t ∈使得68k k t c b b =-．所以对任意1,2,,16i =，()()1717176868i i t t t t i c c b b b b b b -=---=-，同样，由假设可得1712i t t b b S S -∉⋃，所以17123i c c S S S -∉⋃⋃， 所以3456N S S S ⊆⋃⋃．（ⅳ）类似地，在4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含3N 中的至少6个元素，不妨设这个集合为4S ，从43S N ⋂中取出6个数，记为126,,,d d d ，且126d d d <<<，则{}4665|1,2,,5i N d d i S S =-=⊆⋃．（ⅰ）同样，在5S ，6S 中至少有一个集合包含4N 中的至少3个元素，不妨设这个集合为5S ，从54S N ⋂中取出3个数，记为123,,e e e ，且123e e e <<， 同理可得{}153326,N e e e e S =--⊆．（ⅰ）由假设可得()()2131326e e e e e e S -=---∉． 同上可知，2112345e e S S S S S -∉⋃⋃⋃⋃， 而又因为21e e S -∈，所以216e e S -∈，矛盾． 所以假设不成立．所以原命题得证． 14分。
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率为
（A） 5 2
（B） 7 2
（C） 3 1 2
（D） 3
（8）已知函数 f (x) = 3sin(ωx -φ) (ω > 0) 的图象上相邻两个最高点的距离为 ，则“ ”是“ f x
6 的图象关于直线 x 对称”的
3
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
动．当 △PMN 的面积取得最小值时，点 P 的位置是 （A）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 A1
（B）线段 CA1 的中点
（C）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 C
（D）线段 CA1 的四等分点，且靠近点 C
（第 10 题图）
高三数学试卷 第 2页（共 6页）
第二部分（非选择题 共 110 分）
高三数学试卷 第 4页（共 6页）
（18）（本小题 14 分） 某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某
地区（人数众多）随机选取了 80 位患者和100 位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：
患者的检测结果 阳性 阴性
人数 76 4非患者的检测结果阳性 阴性人数 1 99
（Ⅰ）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率； （Ⅱ）从该地区患者中随机选取 3 人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以 X 表示检测结
果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求 X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）假设该地区有10 万人，患病率为 0.01 .从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测
③ 存在一个以原点为中心、边长为 2 的正方形，
使得曲线 C 在此正方形区域内（含边界）．
其中，正确结论的序号是________．
（第 15 题图）
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分。
高三数学试卷 第 3页（共 6页）
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题 14 分）
（1）C
（2）D
（3）A
（4）B
（5）B
（6）D
（7）C
（8）A
（9）C
（10）B
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11） 2
（12） 5 ； 4
（13）15
（14） 100
（15）①②
三、解答题（共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过 0.5 ？并说明理由.
（19）（本小题 14 分）
已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) ，圆 O : x2
y2
r2 （O
为坐标原点）.过点 (0,b) 且斜率为1的
直线与圆 O 交于点 (1, 2) ，与椭圆 C 的另一个交点的横坐标为 8 . 5
在 △ ABC 中， bsin A = a cos(B - ) ． 6
（Ⅰ）求 B ；
（Ⅱ）若 c = 5 ，
．求 a .
从① b = 7 ，
②C =
这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
4
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
（17）（本小题 14 分） 如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，平面 ACC1A1 ^ 平面 ABC ，四边形 ACC1A1 是正方形，点 D ， E
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）若复数
z
1
2
i
，则
|
z
|
________．
（12）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________，它的体积为
．
3
2
2
正（主）视图
22 侧（左）视图
俯视图
（第 12 题图）
（13）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定
存在正整数 i, j(1 i j k) 使得 ak ai a j ，则称数列 A 具有性质 T ． （Ⅰ）判断数列 A1 :1, 2, 4,7 与数列 A2 :1, 2,3,6 是否具有性质 T ；（只需写出结论） （Ⅱ）若数列 A 具有性质 T ，且 a1 1 ， a2 2 ， an 200 ，求 n 的最小值； （Ⅲ）若集合S {1, 2,3,, 2019, 2020} S1 S2 S3 S4 S5 S6 ，且Si S j （任意i, j {1, 2,,6} ，
x 1 （Ⅰ）求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； （Ⅱ）判断函数 f (x) 的零点的个数，并说明理由；
（Ⅲ）设 x0 是 f (x) 的一个零点，证明曲线 y ex 在点 (x0 , ex0 ) 处的切线也是曲线 y ln x 的切线．
（21）（本小题 14 分） 设数列 A : a1, a2 ,, an （ n 3 ）的各项均为正整数，且 a1 a2 an ．若对任意 k {3, 4,, n}，
（1）已知集合 A 1,3,5 ， B x Z | (x 1)(x 4) 0 ，则 A B
（A） 3
（B） 1, 3
（C） 1, 2, 3, 5
（2）下列函数中，既是偶函数又在区间 (0, ) 上单调递增的是
（D） 1, 2, 3, 4, 5
（A） y x3
（B） y x2 1 （C） y log2 x
（9）已知函数
f
(x)
x 2
2ax
2a,
x 1, 若关于 x 的不等式 f (x) a 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范
2x a ln x, x 1.
2
围为
（A） (, 2 e]
（B）[0, 3] 2
（C）[0, 2]
（D）[0, 2 e]
（10）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， M ， N 分别是棱 AB ， BB1 的中点，点 P 在对角线 CA1 上运
i j ）．求证：存在 Si ，使得从 Si 中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质 T 的数列．
高三数学试卷 第 6页（共 6页）
北京市朝阳区高三年级高考练习一
数学 参考答案
2020.4
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程和圆 O 的方程；
（Ⅱ）过圆 O 上的动点 P 作两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ，若直线 l1 的斜率为 k(k 0) 且 l1 与椭圆 C 相切，
试判断直线 l2 与椭圆 C 的位置关系，并说明理由.
高三数学试卷 第 5页（共 6页）
（20）（本小题 15 分）
已知函数 f x ex x 1 ．
所以 A(0,0,0) ，B(4,0,0) ，C(0,0,2) ，A1(0, 2,0) ．
则有 D(2,0,1) ， C1(0, 2, 2) ， E(4,1,0) ，
平面 ACC1 的一个法向量为 u = (1,0,0) ．
设平面 AC1D 的一个法向量为 v = (x, y, z) ，
uuur
uuur
（B） 1 3
（C） 1 2
（D） 1 3
（第 4 题图）
（5）已知抛物线 C ： y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，准线为 l ，点 A 是抛物线 C 上一点， AD l 于 D .
若 AF 4 ， DAF 60 ，则抛物线 C 的方程为
（A） y2 8x
（B） y2 4x
若选② C = ，则 sin A = sin(B + C) = sin cos + cos sin = 6 + 2 ，
4
34
34
4
由正弦定理 a = c ， sin A sin C
得
a 6+
= 5 ，解得 a = 5 3 + 5 ．
22
2
4
2
高三数学参考答案 第 1页（共 8页）
所以 a = 5 3 + 5 ． 2
f
(x)
x cos x 2
．数列 {an } 满足 an
f
(n)
f
(n 1) （ n N* ），则数列{an } 的前100 项和
是________．
（15）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 C : (x2 y2 )3 4x2 y2 被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.
给出下列三个结论：
① 曲线 C 关于直线 y x 对称； ② 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过1；
分别是棱 BC ，BB1 的中点， AB = 4 ， AA1 = 2 ，BC = 2 5 ． （Ⅰ）求证： AB ^ CC1 ； （Ⅱ）求二面角 D - AC1 -C 的余弦值； （Ⅲ）若点 F 在棱 B1C1 上，且 B1C1 = 4B1F ，判断平面 AC1D
与平面 A1EF 是否平行，并说明理由．
又因为 - < B - < ，所以 B - = 0 ，所以 B = ．
3
33
3
3
（Ⅱ） 若选① b = 7 ，则在 △ ABC 中，由余弦定理 b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ，
得 a2 -5a - 24 = 0 ，解得 a = 8 或 a =-3（舍）．所以 a = 8 ．