82_空间几何体的表面积、体积方法技巧专题(共63张PPT)精讲
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空间几何体的表面积PPT教学课件
底面多边形的中心的棱锥叫做正棱锥。
•正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面
和底面之间的部分叫做正棱台。
高，斜高，侧棱及射影的关系
2020/12/12
3
1、直棱柱的展开图
h
c
直棱柱侧面展开图有什么特点？
S直 棱 柱 侧ch
2020/12/12
4
2、正棱锥的展开图
c
h’
正棱锥侧面展开图有什么特点？
得到侧面积的公式；这是一种非常重要 的思想：
立体
平面 ；复杂
简单。
2020/12/12
8
正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系：
c’=c
c’=0
S正棱柱 侧 ch' S正棱台 12侧 c'ch'
1 S正棱锥侧2ch'
2020/12/12
10
例１、粉碎机上的下料斗是正四棱台形（图４）， 它的两底面边长分别是80mm和440mm ，高是 200mm。计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积 （保留两位有效数字）。
O`
G C
O
B
2020/12/12
S圆 台 侧 1 2c'cl(rr')l
14
圆柱、圆锥和圆台的侧面积的关系：
O`
G
C
O
c’=c
B
c’=0
O`
C B
O
S圆柱侧ch
S圆台侧12c'cl
S圆锥侧
1 2
cl
2020/12/12
15
例2
一个直角梯形上底、下底和高之比为
2: 4: 5 ，将此直角梯形以垂直于
S正棱锥侧
1ch' 2
•正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面
和底面之间的部分叫做正棱台。
高，斜高，侧棱及射影的关系
2020/12/12
3
1、直棱柱的展开图
h
c
直棱柱侧面展开图有什么特点？
S直 棱 柱 侧ch
2020/12/12
4
2、正棱锥的展开图
c
h’
正棱锥侧面展开图有什么特点？
得到侧面积的公式；这是一种非常重要 的思想：
立体
平面 ；复杂
简单。
2020/12/12
8
正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系：
c’=c
c’=0
S正棱柱 侧 ch' S正棱台 12侧 c'ch'
1 S正棱锥侧2ch'
2020/12/12
10
例１、粉碎机上的下料斗是正四棱台形（图４）， 它的两底面边长分别是80mm和440mm ，高是 200mm。计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积 （保留两位有效数字）。
O`
G C
O
B
2020/12/12
S圆 台 侧 1 2c'cl(rr')l
14
圆柱、圆锥和圆台的侧面积的关系：
O`
G
C
O
c’=c
B
c’=0
O`
C B
O
S圆柱侧ch
S圆台侧12c'cl
S圆锥侧
1 2
cl
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例2
一个直角梯形上底、下底和高之比为
2: 4: 5 ，将此直角梯形以垂直于
S正棱锥侧
1ch' 2
空间几何体的表面积和体积复习ppt课件
16 角边AB旋转一周所成的几何体的体积为_______
1、注意底面积、侧面积、表面积 含义的区别；
2、求体积一般要用底面积和高计 算（球除外）；
3、四面体的底面可以改变，注意 选择合适的面做底面。
11、锥体的体积：V __1_S__h__(S是底面积，h是柱体的高） 12、台体的体积：V _1_(3_S_/ ___S_S_/ __S_)_h_(S /、S是上下底面
面积，h是台体的高3)
例1、求各边长均为1的正四面体的表面积和 体积。
S
A
C
O
D
B
例2、圆台的上下底面半径分别是10cm和20cm,它 的侧面展开图的扇环的圆心是1800，那么圆台的表 面积和体积分别是多少？
2
2
为扇形圆心角，l为弧长）
3、棱柱、棱锥、棱台的表面积等于各个面的面积 _之__和_
cl 4、正棱柱的侧面积：S侧 ____(c是底面周长，l是侧棱长)
5、正棱锥的侧面积：S侧
1__c_h_/ (c是底面周长, h/是斜高)
2
6、正棱台的侧面积：S侧 1__(_c_/ __c_)_h_/ (c/和c是上下底面周长，
20
15cm
15
ห้องสมุดไป่ตู้15
1、一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，
俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）C
A、
B、5
4
4
C、
D、3
2
2、已知圆锥的全面积是底面积的3倍，则圆锥的侧面展开
图扇形的圆心角为
( C)
A、900 B、120 0
C、180 0
D、270 0
3、在RtABC中，AB 3, BC 4, AC 5,将三角形绕直
1、注意底面积、侧面积、表面积 含义的区别；
2、求体积一般要用底面积和高计 算（球除外）；
3、四面体的底面可以改变，注意 选择合适的面做底面。
11、锥体的体积：V __1_S__h__(S是底面积，h是柱体的高） 12、台体的体积：V _1_(3_S_/ ___S_S_/ __S_)_h_(S /、S是上下底面
面积，h是台体的高3)
例1、求各边长均为1的正四面体的表面积和 体积。
S
A
C
O
D
B
例2、圆台的上下底面半径分别是10cm和20cm,它 的侧面展开图的扇环的圆心是1800，那么圆台的表 面积和体积分别是多少？
2
2
为扇形圆心角，l为弧长）
3、棱柱、棱锥、棱台的表面积等于各个面的面积 _之__和_
cl 4、正棱柱的侧面积：S侧 ____(c是底面周长，l是侧棱长)
5、正棱锥的侧面积：S侧
1__c_h_/ (c是底面周长, h/是斜高)
2
6、正棱台的侧面积：S侧 1__(_c_/ __c_)_h_/ (c/和c是上下底面周长，
20
15cm
15
ห้องสมุดไป่ตู้15
1、一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，
俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）C
A、
B、5
4
4
C、
D、3
2
2、已知圆锥的全面积是底面积的3倍，则圆锥的侧面展开
图扇形的圆心角为
( C)
A、900 B、120 0
C、180 0
D、270 0
3、在RtABC中，AB 3, BC 4, AC 5,将三角形绕直
空间几何体的表面积和体积1(共82张1)PPT课件
①直棱柱：设棱柱的高为h，底面多边形的周长为c， 则
S直棱柱侧＝ ch.（类比矩形的面积）
②圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么
S圆柱侧＝ 2πr.（l 类比矩形的面积）
把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h
cb
a
h
h
a
bc
S 直 棱 ＝ 拄 a （ 侧 bc)hch
r1
l
r2
扇环
S 圆＝ 台 S 扇 侧 ＝ 环 （ r1 r2)l
精选PPT课件
24
S(r'2r2r'lrl)
r' x
r xl
x 2r'
r 'O’
2r
l
rxr'xr'l
rO
S 侧 r ( l x ) r 'x ( r l r x r 'x )
(r'l rl)
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
有什么关系？
扇形
R扇＝ l
l扇＝
nl
180
l
r
S圆 精选P锥 P＝ T课S 件侧 扇 ＝ n 3l6 20 11 2 8 l扇 lrl
2r
l
圆锥的侧面展开图是扇形
rO
S r2 r l r(r l)
(3)台体的侧面积
①正棱台：设正n棱台的上底面、棱台的侧面积公
别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台
的侧面积.
分析：关键是 求出斜高，注
A1 O1 C1 B1 D1 C
意图中的直角 梯形
A
O ED
B
精选PPT课件
28
S直棱柱侧＝ ch.（类比矩形的面积）
②圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么
S圆柱侧＝ 2πr.（l 类比矩形的面积）
把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h
cb
a
h
h
a
bc
S 直 棱 ＝ 拄 a （ 侧 bc)hch
r1
l
r2
扇环
S 圆＝ 台 S 扇 侧 ＝ 环 （ r1 r2)l
精选PPT课件
24
S(r'2r2r'lrl)
r' x
r xl
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l
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rO
S 侧 r ( l x ) r 'x ( r l r x r 'x )
(r'l rl)
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
有什么关系？
扇形
R扇＝ l
l扇＝
nl
180
l
r
S圆 精选P锥 P＝ T课S 件侧 扇 ＝ n 3l6 20 11 2 8 l扇 lrl
2r
l
圆锥的侧面展开图是扇形
rO
S r2 r l r(r l)
(3)台体的侧面积
①正棱台：设正n棱台的上底面、棱台的侧面积公
别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台
的侧面积.
分析：关键是 求出斜高，注
A1 O1 C1 B1 D1 C
意图中的直角 梯形
A
O ED
B
精选PPT课件
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高中数学PPT：第1讲空间几何体及其表面积和体积
3＝
3 3 π.
索引
考点三 多面体与球的切、接问题
///////
【例3】 (经典母题)(2021·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积 9
为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是____2_π___. 解析 由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
个半圆，则此圆锥的体积为( A )
3 A. 3 π
3 B. 3
C. 3π
解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
D. 3
由πl＝2πr，得l＝2r，
又S＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝3π，
所以r2＝1，解得r＝ห้องสมุดไป่ตู้， 所以圆锥的高为 h＝ l2－r2＝ 22－12＝ 3，
所以圆锥的体积为 V＝13πr2h＝13π×12×
1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是 作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或 “切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题. 2.若球面上四点P，A，B，C且PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两 两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接球问题.
图(3)
索引
探究提高
1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放 在已知几何体的某一面上. 2.求不规则几何体的体积：常采用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为 规则几何体以易于求解.
索引
【跟踪演练2】 (1)(2021·杭州二模)已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一
图(2)
索引
法三 如图(3)，延长BC至点M，使得CM＝2，延长EF至点 N，使得FN＝1，连接DM，MN，DN，得到直三棱柱ABEDMN，所以所求几何体的体积等于直三棱柱ABE-DMN 的体积减去四棱锥D-CMNF的体积. 因为 VABE-DMN＝12×2×2×4＝8， VD-CMNF＝131＋2 2×2×2＝2， 所以所求几何体的体积为VABE-DMN－VD-CMNF＝8－2＝6.
空间几何体的表面积与体积PPT教学课件
单的几何体，研究空间几何体的表面积
和体积，应以柱、锥、台、球的表面积
和体积为基础.那么如何求柱、锥、台、
球2的020/12表/12 面积和体积呢？
2
2020/12/12
3
知识探究（一）柱体、锥体、台体的表面积
思考1:面积是相对于平面图形而言的， 体积是相对于空间几何体而言的.你知道 面积和体积的含义吗？
2020/12/12
21
2020/12/12
22
知识探究（一）:球的体积
思考1:从球的结构特征分析，球的大小 由哪个量所确定？
思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥 的体积分别是什么？
V柱 R3
V锥
1
3
R3
2020/12/12
23
思考3:如图，对一个半径为R的半球，其 体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小 关系？
思考4:圆柱的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆柱的底面半径为r，母线长 为l，那么圆柱的表面积公式是什么？
S2r(rl)
2020/12/12
6
思考5:圆锥的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆锥的底面半径为r，母线长 为l，那么圆锥的表面积公式是什么？
Sr(rl)
2020/12/12
7
思考6:圆台的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆台的上、下底面半径分别 为r′、r，母线长为l，那么圆台的表面 积公式是什么？
17
例3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽 共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已 知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm， 内孔直径为10mm，，高为10mm，问这堆 螺帽大约有多少个？
V≈2956（mm3） =2.956（cm3）
空间几何体的表面积与体积ppt课件
尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,
米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5
尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为
1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有 ( )
A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
【答案】 B
如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,
A.26π
B.27π
C.24π
D.32π
【 答 案 】 B 【 解 析 】 设 球 的 直 径 为 d,则 d232323227. S球4πR2πd227π.
9.(2011新课标Ⅱ卷)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和
底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积
的 3 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值 16
OC1 R 2 r12 R 2 5, OC2 R 2 r22 R 2 8,
R 2 5 R 2 8 1.解这个方程得R 2 9, S球 4πR 2 36π(cm2 ).
球的表面积是36πcm2.
13.(2015新课标Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的
数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五
1、我们是青年团，不是畸人，也不是愚人，应当给自己把幸福争过来。——屠格涅夫 19、使这个世界灿烂的不是阳光，而是女生的微笑。——俞敏洪
11、.教人法经：不问住题千教言学【 ，法树、解 经材不料析 住分千析】 斧法。、 合作圆 探究柱 法 侧 面 积 S 2 π r l 2 π 1 1 2 π .
D. 2
.3 3
空间几何体的表面积和体积课件-ppt
解答： V≈2956（mm3）=2.956
（cm3）
5.8×1000÷7.8×2.956
≈252（个）
1.3.2
球的体积和表面积
球
球的表面积
球的体积
球面距离
球的体积和表面积
设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式
V 4 R3
A
3
R
O
S 4R2
B
H h
S1
R
4 3
R3
V球
1 3
4 3
R3
,V柱
R2
2R
2 R3
2
V球 3 V柱
S球 4 R2 , S 圆柱侧 =2 R 2R 4 R2
S球 S圆柱侧
球面距离
球面距离 即球面上两点间的最短距离， 是指经过这两点和球心的大圆的劣 弧的长度.
球心O
O
B
A
B
大圆劣弧的圆心角为α弧
度，半径为R，则弧长为
解：由圆台的表面积公式得一个花
盆外壁的表面积
20
S [(15)2 15 15 20 15] (1.5)2
22 2
2
1000(cm 2 ) 0.1(m 2 )
15
所以涂100个花盆需油漆：
0.1100100=1000(毫升）.
空间几何体的体积
体积:几何体所占空间的大小
棱柱的表面积=2 底面积+侧面积 侧面积是各个侧面面积之和
棱锥的表面积=底面积+侧面积
棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积
例1．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积 ．
（cm3）
5.8×1000÷7.8×2.956
≈252（个）
1.3.2
球的体积和表面积
球
球的表面积
球的体积
球面距离
球的体积和表面积
设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式
V 4 R3
A
3
R
O
S 4R2
B
H h
S1
R
4 3
R3
V球
1 3
4 3
R3
,V柱
R2
2R
2 R3
2
V球 3 V柱
S球 4 R2 , S 圆柱侧 =2 R 2R 4 R2
S球 S圆柱侧
球面距离
球面距离 即球面上两点间的最短距离， 是指经过这两点和球心的大圆的劣 弧的长度.
球心O
O
B
A
B
大圆劣弧的圆心角为α弧
度，半径为R，则弧长为
解：由圆台的表面积公式得一个花
盆外壁的表面积
20
S [(15)2 15 15 20 15] (1.5)2
22 2
2
1000(cm 2 ) 0.1(m 2 )
15
所以涂100个花盆需油漆：
0.1100100=1000(毫升）.
空间几何体的体积
体积:几何体所占空间的大小
棱柱的表面积=2 底面积+侧面积 侧面积是各个侧面面积之和
棱锥的表面积=底面积+侧面积
棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积
例1．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积 ．
空间几何体表面积与体积课件.ppt
内切球：r 1 AH 4
利用等体积法求半径 B
oD
H
a
C
1、几何体的侧面积和全面积
几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全 面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记 忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留 意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相 关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可 用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形， 此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底 面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角 的大小．
知识梳理
一、空间简单几何体的侧面展开图的形状
几何体名称
侧面展开图 形状
圆柱 矩形
圆锥 扇形
圆台 扇环
侧面展开图
几何体 名称
侧面展 开图 形状
直棱柱 矩形
正n棱锥
正n棱台
n个全等的等腰 n个全等的等腰
三角形
梯形
侧面展 开图
二、空间简单几何体的侧面积和表面积
圆柱 圆锥
圆台 直棱柱 正棱锥 正棱台
球
3、注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、 转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计 算常用的方法，应熟练掌握．
4、等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱 锥的底面．
① 求体积时，可选择容易计算的方式来计算；
② 利用“等积法”可求“点到面的距离”．
例 1、斜三棱柱 ABC A1B1C1 的底面是边长为 a 的正三角形，
4、长方体的性质:
① BD1 与相邻三个平面（如平面 A1 ABB1 、平面 ABCD、
平面 B1BCC1 ）所成的角分别为, , ， D1
C1
cos2 cos2 cos2 2
利用等体积法求半径 B
oD
H
a
C
1、几何体的侧面积和全面积
几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全 面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记 忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留 意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相 关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可 用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形， 此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底 面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角 的大小．
知识梳理
一、空间简单几何体的侧面展开图的形状
几何体名称
侧面展开图 形状
圆柱 矩形
圆锥 扇形
圆台 扇环
侧面展开图
几何体 名称
侧面展 开图 形状
直棱柱 矩形
正n棱锥
正n棱台
n个全等的等腰 n个全等的等腰
三角形
梯形
侧面展 开图
二、空间简单几何体的侧面积和表面积
圆柱 圆锥
圆台 直棱柱 正棱锥 正棱台
球
3、注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、 转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计 算常用的方法，应熟练掌握．
4、等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱 锥的底面．
① 求体积时，可选择容易计算的方式来计算；
② 利用“等积法”可求“点到面的距离”．
例 1、斜三棱柱 ABC A1B1C1 的底面是边长为 a 的正三角形，
4、长方体的性质:
① BD1 与相邻三个平面（如平面 A1 ABB1 、平面 ABCD、
平面 B1BCC1 ）所成的角分别为, , ， D1
C1
cos2 cos2 cos2 2
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课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 ·高三数学（理）
1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3，则这 个圆锥的全面积为________．
答案
3π
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 ·高三数学（理）
解析
已知正三角形的面积求其边长，然后利用圆锥的母
线，底面半径与轴截面三角形之间的关系，根据圆锥的全面积公 3 2 式可求．如图所示，设圆锥轴截面三角形的边长为 a，则 4 a ＝ 3，∴a2＝4，∴a＝2. a2 a ∴圆锥的全面积为 S＝π(2) ＋π·2· a＝3π.
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 ·高三数学（理）
4．如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形， 俯视图为正三角形，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为 ( )
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授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 ·高三数学（理）
A．14 3 C．12＋2 3
答案 C
B．6＋ 3 D．16＋2 3
2 2
56.
【答案】 92 56
课前自助餐
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探究 1 求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中 的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的 直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知 量与已知量间的关系，进行求解．
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例 2 如图所示，在直径 AB＝4 的半圆 O 内作一个内接直 角三角形 ABC，使∠BAC＝30° ，将图中阴影部分，以 AB 为旋 转轴旋转 180° 形成一个几何体，求该几何体的表面积及体积．
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【答案】 16π－16
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例 3 (1)已知正方体 AC1 的棱长为 a，E，F 分别为棱 AA1 与 CC1 的中点，求四棱锥 A1－EBFD1 的体积．
【解析】 因为 EB＝BF＝FD1＝D1E＝ 5 a2 a ＋2 ＝ 2 a，
业
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2 4π R (5)球的表面积为
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.
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2．几何体的体积 (1)V 柱体＝ Sh . 1 (2)V 锥体＝ 3Sh . 1 2 2 1 π( r ＋ r r ＋ r h 1 1 2 2)· ( S ′＋ SS ′＋ S ) h 3 (3)V 台体＝ 3 ， V 圆台＝ ， 4 3 V 球＝ 3πR (球半径是 R)．
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1 ∴V＝2(V 球－V 锥上－V 锥下)
10 14 3 1 2 ＝23πR －3πCD AD＋BD＝ 3 π.
10 【答案】 S 表＝(11＋ 3)π V＝ 3 π
探究 2 此类题只需根据图形的特征求出所需元素(半径、 高 等)，然后代入公式计算即可．
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第 2 课时
空间几何体的表面积、体积
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2014•考纲下载
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征．能正 确描述现实生活中简单物体的结构． 2． 了解球、 棱柱、 棱锥、 台的表面积和体积的计算公式． (不 要求记忆台体的体积公式)
【答案】 C
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(2)(2013· 辽宁)某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体 积是________．
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【解析】 由三视图可知该几何体是一个底面半径为 2 的圆 柱体，中间挖去一个底面棱长为 2 的正四棱柱，故体积为 π·22· 4 －2×2×4＝16π－16.
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思考题 1
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(1)(2013· 北京)某四棱锥的三视图如图所示，该
四棱锥的体积为________．
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【解析】 由三视图知该四棱锥底面为正方形， 其边长为 3， 1 四棱锥的高为 1， 根据体积公式 V＝3×3×3×1＝3， 故该棱锥的 体积为 3.
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【解析】 ∵SC 是球 O 的直径，
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∴∠CAS＝∠CBS＝90° . ∵BA＝BC＝AB＝1，SO＝2，∴AS＝BS＝ 3. 取 AB 的中点 D，显然 AB⊥CD，AB⊥CS. ∴AB⊥平面 CAB. 3 11 在△CDS 中，CD＝ 2 ，DS＝ 2 ，SC＝2，利用余弦定理 CD2＋SD2－SC2 1 可得 cos∠CDS＝ ＝－ . 2CD· SD 33 4 2 故 sin∠CDS＝ . 33
解析 由题意知，该几何体为正三棱柱，易知正三棱柱的高 3 h＝2.设正三棱柱的底面边长为 a，则有 2 a＝ 3，即 a＝2.∴S 表 1 ＝3×2×2＋2×2×2× 3＝12＋2 3.故选 C.
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5. (2014· 高考调研原创题)一个半径为 2 的球体经过切割之 后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ________．
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2．正三棱锥的底面边长为 2，侧面均为直角三角形，则此 三棱锥的体积为________．
答案
解析
2 3
本题考查几何体体积的求法， 易知正三棱锥的侧棱长
1 2 3 为 2，则其体积为6( 2) ＝ 3 . (若一个三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且侧棱长分别为 a、 1 b、c，则其体积为6abc)．
【答案】 3
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(2)(2012· 课标全国)已知三棱锥 S－ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，△ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径， 且 SC＝2，则此棱锥的体积为( 2 A. 6 2 C. 3 ) 3 B. 6 2 D. 2
【答案】 A
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探究 3
(1)分割法：通过对不规则几何体进行分割，化为规
则几何体，分别求出体积后再相加即得所求几何体体积． (2)补体法：通过补体构造出一个规则几何体，然后进行计 算． (3)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任 意一个顶点都可以作为顶点，任何一个面都可以作为棱锥的底 面，常常需要对其顶点和底面进行转换，以方便求解．
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∵AA1＝CC1， 易知∠D1BD 为截面与底面 ABCD 所成的二面 角的平面角． ∴∠D1BD＝45° . ∵AB＝1，∴BD＝ 2，DD1＝ 2. ∴正四棱柱 ABCD－A2B1C2D1 的体积 V＝1× 2＝ 2. 2 ∴所求多面体的体积为 2 .
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例 1 (2012· 安徽改编)某几何体的三视图如图所示，该几何 体的表面积是________，体积是________．
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【解析】 由三视图可知，该几何体为底面是直角梯形且侧 1 棱垂直于底面的棱柱， 该几何体的表面积为 S＝2×2×(2＋5)×4 2＋5×4 ＋[2＋5＋4＋ 4 ＋5－2 ]×4＝92，体积为 V＝ ×4＝ 2
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3. (2012· 浙江)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示， 则该三棱锥的体积等于________．
答案
1
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1 3 解析 由图可知三棱锥底面积 S＝2×1×3＝2(cm2)， 三棱锥 1 1 3 的高 h＝2 cm， 根据三棱锥体积公式， V＝3Sh＝3×2×2＝1(cm3)．
答案
16π
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解析
1 由三视图，可知该几何体是一个球体挖去4之后剩余
3 的部分，故该几何体的表面积为球体表面积的4与两个半圆面的 3 1 2 面积之和，即 S＝4×(4π×2 )＋2×(2π×22)＝16π.