实变函数第三版复习要点及习题

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(完整版)《实变函数》期末复习提要

《实变函数》期末复习提要内容包括集合、n R 中的点集、勒贝格测度、勒贝格可测函数、勒贝格积分等方面的知识。

第一章集合1．考核要求：⑴了解集合的表示，子集，理解集合的并、交、差、补等概念，特别是一列集合的并与交的概念；⑵掌握集合的运算律，会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限； ⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法（互为子集）并会具体应用；⑷了解单射、满射、双射及对等的概念，知道基数相等与大小的定义，会用伯恩斯坦定理；⑸理解可列集的定义及等价条件（可排成无穷序列的形式），了解可列集的运算性质，理解有理点集是可列集；⑹了解常见的连续集和连续集的运算，知道基数无最大者。

2．练习题单元练习题一、单项选择题1.)\(\)\(C B A C B A = 成立的充分必要条件是（）．(A) B A ⊂ (B) A B ⊂(C) C A ⊂ (D) A C ⊂2. A B B A = )\(成立的充分必要条件是（）．(A) B A = (B) ∅=B(C) B A ⊂ (D) A B ⊂二、填空题1.设)1,1(n n n n A n ++-=，则=∞= 1n n A ，=∞= 1n n A ． 2.设)1,1(++-=n n n n A n ，则=∞= 1n n A ，=∞= 1n n A ． 3.设]11,0(nA n +=，则=∞→n n A lim ，=∞→n n A lim ．4.设),2,1(,]211,0[,]1212,0[212 =+=--=-n nA n A n n ，则=∞→n n A lim ，=∞→n n A lim ．三、证明题1.设)(x f 是1R 上的实值函数，证明对任意实数a ，有∞=+<≤==1}1)({})({n n a x f a x a x f x 2.设)(x f 是1R 上的实值函数，对任意实数a ，证明：∞=+<∈=≤∈111}1)(,{})(,{n n a x f R x x a x f R x x 第二章 n 维空间中的点集1．考核要求：⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念，会求简单集合的内核、导集和闭包，理解聚点的定义及其等价条件；⑵掌握波尔查诺——维尔斯特拉斯定理的条件和结论；⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质，开集与闭集互为补集，掌握直线上开集的构造；⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论；⑸理解康托集的构造及其性质。

实变函数论课后答案第三版

1. 证明：()B A A B -=的充要条件是A B ⊂.证明：若()B A A B -=，则()A B A A B ⊂-⊂，故A B ⊂成立. 反之，若A B ⊂，则()()B A A B A B B -⊂-⊂，又x B ∀∈，若x A ∈，则()x B A A ∈-，若x A ∉，则()x B A B A A ∈-⊂-.总有()x B A A ∈-.故()B B A A ⊂-，从而有()B A A B -=。

证毕2. 证明c A B A B -=.证明：x A B ∀∈-，从而,x A x B ∈∉，故,c x A x B ∈∈，从而x A B ∀∈-，所以c A B A B -⊂.另一方面，c x A B ∀∈，必有,c x A x B ∈∈，故,x A x B ∈∉，从而x A B ∈-，所以 c A B A B ⊂-.综合上两个包含式得c A B A B -=. 证毕3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理9.证明：定理4中的（3）：若A B λλ⊂（λ∈∧），则A B λλλλ∈∧∈∧⊂.证：若x A λλ∈∧∈，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ⊂（∀λ∈∧）成立知x A B λλ∈⊂，故x B λλ∈∧∈，这说明A B λλλλ∈∧∈∧⊂.定理4中的（4）：()()()A B A B λλλλλλλ∈∧∈∧∈∧=.证：若()x A B λλλ∈∧∈，则有'λ∈∧，使 ''()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧∈⊂.反过来，若()()x A B λλλλ∈∧∈∧∈则x A λλ∈∧∈或者x B λλ∈∧∈.不妨设x A λλ∈∧∈，则有'λ∈∧使'''()x A A B A B λλλλλλ∈∧∈⊂⊂.故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧∈∧∈∧⊂.综上所述有()()()A B A B λλλλλλλ∈∧∈∧∈∧=.定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧∈∧=.证：()c x A λλ∈∧∀∈，则x A λλ∈∧∉，故存在'λ∈∧ ，'x A λ∉所以'c c x A A λλλ∈∧∉⊂从而有()c c A A λλλλ∈∧∈∧⊂.反过来，若c x A λλ∈∧∈，则'λ∃∈∧使'c x A λ∉，故'x A λ∉，x A λλ∈∧∴∉，从而()c x A λλ∈∧∈()c c A A λλλλ∈∧∈∧∴⊃. 证毕定理9：若集合序列12,,,,n A A A 单调上升，即1n n A A +⊂（相应地1n n A A +⊃）对一切n 都成立，则 1lim n n n A ∞→∞==（相应地）1lim n n n A ∞→∞==.证明：若1n n A A +⊂对n N ∀∈成立，则i m i mA A ∞==.故从定理8知11liminf n i m n m i mm A A A ∞∞∞→∞=====另一方面,m n ∀，令m i i mS A ∞==，从1m m A A +⊂对m N ∀∈成立知11111()()m i mi m i i m i mi m i m i m S A A A A A A S ∞∞∞∞++==+=+=+==⊂==.故定理8表明1111limsup liminf n i m m n n n m i mm m A A S S A A ∞∞∞∞→∞→∞=========故1lim limsup liminf n n n m n n n m A A A A ∞→∞→∞→∞====.4. 证明()()A B B A B B -=-的充要条件是B =∅. 证：充分性若B =∅，则()()A B B A A A A A -=-∅∅=-∅==∅=∅-∅必要性若()()A B B A B B -=-，而B ≠∅则存在x B ∈.所以()()x A B B A B B ∈-=-即所以,x A B x B ∈∉这与x B ∈矛盾，所以x B ∈.4. 设{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,4S A ==,求()F A .又如果1;1,2,3,,S n n⎧⎫==⎨⎬⎩⎭01;A n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为奇数,{}1111,,,,321A i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭,问()()01,F A F A 是什么. 解:若{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,4S A ==,则(){}{}{}{},1,2,3,4,1,2,3,4F A =∅.若011111;1,2,3,,;1,,,,3521S n A nni ⎧⎫⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭为奇数, 则从1111111,,,,,,,3521242ci i ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭, 易知()111111,,1,,,,,,,,3521242F A S i i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=∅⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭. {}1111,,,,321A i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭. 令11;1,2,,;1,2,212B i C i i i⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭. {}{}{}1,F A S AK A B K C K A =∅==∅为的子集，或.证明: 因为{}111,,,,,321A B i ⎧⎫⎧⎫∈⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭的任何子集()1F A .所以有()1B F A ∈,而c B C =,故()1C F A ∈,又()1F A ∅∈. 任取B 的一子集A ,()1A A F A ∅=∈,且()1A C F A ∈. 显S A ∈,故只用证A 的确是一个σ-域.(1) ,c c S S A ∅==∅∈,且B ∀的子集A ,若K =∅,则,c KA A A C ∅==(B A -是B 的子集,故()()cc A A C F A ∅=∈)又B ∀的子集A ,()cc c c A C A C A B ==. 显然是B 的子集,所以()()cc A C A B A =∅∈.又若n A 为B 的子集()1,2,3,,n n K C ==或∅. 则()111nn n n n n n A K A K A K ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.这里1n n A A B ∞==⊂是B 的子集.1n n K K C ∞===或∅.所以()1n n n A K A ∞=∈.若n A 中除B 的子集外,还有S ,则()1n n n A K S A ∞==∈.若n A 中有∅,不影响1n n A B ∞=⊂.故A 是σ-域,且()1F A A =. 证毕.6.对于S 的子集A ，定义A 的示性函数为()10A x Ax x A ϕ∈⎧=⎨∉⎩证明：（1）()()liminf liminf nnA A x x ϕϕ=（2）()()limsup limsup nnA A x x ϕϕ=证明：x S ∀∈，若()liminf nA x x ϕ∈则()liminf 1nA x ϕ=。

实变函数总结

篇一：实变函数复习提纲实变函数复习提纲第一章集合2006-7-14一、基本概念：集合、并集、交集、差集、余集；可数集合、不可数集合；映射、一一映射（对应）；集合的对等，基合的基数（势、浓度）．二、基本理论：1、集合的运算性质：并、交差、余集的运算性质；德一摩根公式；2、集合对等的性质；3、可数集合的性质、基数：n?a、q?a（a＞0）；4、不可数数集合的基数：r?c（c>a>0）．三、基本题目1、集合对等的判定、求基合的基数例证明i=（－1，1）和r=（－∞，+∞）是对等的，并求i. 证：作映射ф：??x??tan因??x??tan?2x，x∈（－1，1），其值域为r=（－∞，+∞）、?2x，在（－1，1）∴?：??x??tan?2x是（－1，1）到r上的一一对应, 即 i= (-1,1)1?1?(x)?tanx2由对等的定义知：i～r.∵i～r∴i?r，又r?c，∴i?c. 2 集合的运算，德。

摩根律的应用 3 可数数集合的判定(??,??)=r第二章点集一、基本概念：距离、度量空间、n维欧氏空间；聚点、内点、界点,开核、导集、闭包；开集、闭集、完备集；构成区间二、基本理论1、开集的运算性质；2、闭集的运算性质3、直线上开集的构造；4、直线上闭集的构造三、基本题目1 求集合的开核、导集、闭包，判定开集、闭集例设e为[0，1]上的有理数点的全体组成的集1）求e，e，e； 2）判定e是开集还是闭集，为什么？解：1）对于?x?e，x的任意邻域u(x)内有无数个无理点,∴u(x)?e，∴x不是_e的内点，由x的任意性，知e无内点,∴e??.对于?x??0,1?，?u(x)内都有无数多个有理点，即有无数多个e的点,∴x为e的聚点.又在[0，1]外的任一点都不是e的聚点. ∴e???0,1?. ∵e?e?e??e??0,1???0,1? ，∴2）e 不是开集，也不是闭集.因为e??，而e是非空的，∴e?e, ∴e不是开集.因为e???0,1?，而[0，1]中的无理点不在e内，即e??e，∴由定义知，e不是闭集. 2 直线上开集、闭集的构造__e??0,1?.第三章测度论引入：把区间的长度、平面图形的面积、空间立体图形的体积推广到点集的度量—测度．一、基本概念：勒贝格外测度，l测度，可测集，可测集类1勒贝格外测度的定义：设e为r中任一点集，对于每一列覆盖e的开区间uii?e，i?1n?作出它的体积和?? ?ii?1?i（?可以等于+∞，不同的区间列一般有不同的?），所有这一切的?组成一个下方有界的数集，它的下确量（由e完全确定）称为e的勒贝格外测度，简称外测度或外测度，记为m*e，即：m*e?infe???ii???i??i? ?i?1?注：由定义1知：r 中的任一点集都有外测度（一个非负数）. 2勒贝格测度、可测集的定义：设e为r中点集，若对任一点集t都有nnm*t?m*(t?e)?m*(t?ce)（1）则称e为l可测的，这时e的l外测度m*e就称为e的l测度，记为me，条件（1）称为卡拉泰奥多里条件，也简称卡氏条件.l可测集的全体记为?.3可测集类1）零测度集类： 2）一切区间i（开、闭、半开半闭）都是可测集合，且mi?i 3）凡开集、闭集皆可测 4）凡博雷尔集都是可测的二、基本理论1勒贝格外测度的性质（1）m*e≥0，当e 为空集时m*e=0（即m*??0）；（非负性）；（2）设a?b，则m*a≤m*b；（单调性） ??（3）m*(uai)≤m*ai?1?i；（次可数可加性） i?12 勒贝格测度、可测集的性质及可测性 1）（定理1）集合e可测←→对任意的a?e，b?[ce，总有m*(a?b)?m*a?m*b 2）余集的可测性：s可测←→cs可测3）并集的可测性：若s1，s2都可测，则s1∪s2也可测； 4）交集的可测性：若s1，s2都可测，则s1∩s2也可测； 5）差集的可测性：若s1，s2都可测，则s1－s2也可测；6）可列可加性：设?s?i?是一列互不相交的可测集，则u?1si也是可测的，且im(us??i)??msii?i?17）可列交的可测性：设?si??是一列可测集合，则?si也是可测集合；i?18）递增的可测集列的极限的测度：设?si?是一列递增的可测集合：s1?s2???sn?，?令s=?s? 则ms?limi?1ilimn??snn??msn9）递减的可测集列的极限的测度：设?si?是一列递减的，可测集合： s1?s2???sn ??令s??i?1si?limn??sn，则当它ms1＜∞时，ms?limn??msn.三基本题目1、试述l外测度的定义.（答案见第三章1定义1） 2、试给l测度的定义（答案见第三章2定义1）3、设点集e?rn，m*e?0，证明e是可测集，并求me.证：只须证明卡氏条件成立，即对?t?rn，有m*t?m*(t?e)?m*(t?ce)∵t?(t?e)?(t?ce)∴m*t≤m*(t?e)?m*(t?ce) （外测度的次可数可加性）①另一方面：∵(t?e)?e，∴m*(t?e)≤m*e（单调性）∵已知m*e?0，m*(t?e)≥0，∴0≤m*(t?e)≤0，必有m*(t?e)=0 又：t?(t?ce) ∴m*t≥m*(t?ce)（单调性）∴m*t≥m*(t?ce)+m*(t?ce) ②由①、②可知：m*t=m*(t?ce)+m*(t?ce)，此即卡氏条件成立；∴ e是可测的，∴ me?m*e?0.n4、证明可数点集e?r的外测度m*e?0iii证明：e为可数点集，∴e??e1,e2,e3,?,em,? ?，其中ei?(e1i,e2,e3,?,en)?rn，i?1,2,3,?,m,?对于任意给定的?＞0，不妨设? 1，作开区间????ii??(x1,x2,x3,?,xn)eij?i?1ij＜eij?i?1,j?1,2,3,?,n?22??ii?(因?2)n?i?2i,i?1,2,3,?,n?ii?1?i??ei?e，由外测度的单调性及次可列可加性得：i?1?1??m*e?m*(?ii)??m*ii??ii??i????1i?1i?1i?1i?121?2???又由ε的任意性及m*e≥0得：m*e=0，得证.注：本题可当作定理.5、设q为有理数集合，求m*q，mq. 解：∵q为一可数集合，∴m*q=0. 对于?t，∵t?(t?q)?(t?cq)∴m*t?m*(t?q)?m*(t?cq) （外测度的次可列可加性）①另一方面，∵(t?q)?q，∴m*(t?cq)?m*q?0（单调性），m*(t?q)?0，∴m*(t?q)?0。

实变函数第一章复习题及解答（2）

实变函数第一章复习题及解答（2）第一章复习题（二）一、判断题1、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ=?P Q =。

（× ）2、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ>。

（× ）3、设123,,n P P P R ∈，则121323(,)(,)(,)PP P P P P ρρρ≥+。

（× ） 4、设点P 为点集E 的内点，则P E ∈。

（√ ）5、设点P 为点集E 的外点，则P E ?。

（√ ）6、设点P 为点集E 的边界点，则P E ∈。

（× ）7、设点P 为点集E 的内点，则P 为E 的聚点，反之P 为E 的聚点，则P 为E 的内点。

（× ）8、设点P 为点集E 的聚点，则P 为E 的边界点。

（× ）9、设点P 为点集E 的聚点，且不是E 的内点，则P 为E 的边界点。

（√ ）10、设点P 为点集E 的孤立点，则P 为E 的边界点。

（√ ）11、设点P 为点集E 的外点，则P 不是E 的聚点，也不是E 的边界点。

（√ ）12、开集中的每个点都是内点，也是聚点。

（√ ）13、开集中可以含有边界点和孤立点。

（× ）14、E 是开集?E E =的内部（开核）。

（√ ）15、任意多个开集的并集仍为开集。

（√ ）16、任意多个开集的交集仍为开集。

（× ）17、有限个开集的交集仍为开集。

（√ ）18、闭集中的每个点都是聚点。

（× ）19、E '和E 都是闭集。

（√ ）20、E 是闭集?E E '?。

（√ ）21、任意多个闭集的交集仍为闭集。

（√ ）22、任意多个闭集的并集仍为闭集。

（× ）23、有限个闭集的并集仍为闭集。

（√ ）24、E 是开集?cE 是闭集。

（√ ）25、E 是完全集（完备集）?E E '=E ?是无孤立点的闭集。

（√ ）二、填空题1、设1n R R =，1E 是[0,1]上的全部有理点，则1E '=[0,1]；1E 的内部= 空集；1E =[0,1]。

实变函数论课后答案第三版.doc

证明：将全体有理数排成一列r1, r2L rnL，则平面上的有理点
QQ
r , s ; r
Q, s
Q
U Aj，其中
Aj
ri, rj
; i
1,2,L nL
为可列集，
j1
故作为可数个
Aj的并QQ
U Aj为可数集。（第
20页定理
5）。
j1
2.以直线上的互不相交的开区间为元素的任意集合至多只有可数多个元素.
证明：设
k
k
1 m 1 i m
使得i m
1
，令i
，，利用条件
时，fix0a
k
lim fix0
f
x0
，有
i
fx0a1，再令k，得fx0a，所以x0E x; fxa，
k
所以I U I E x; fix
1
aE x; f x a
k 1 m 1 i m
k
故（2）得证。
注意：实际上有：对E撒谎能够任何实函数列fnx有
,3,4.
若S
1
; n
1,2,3,L
, A0
1
;为奇数
1,
1
,
1
,L
1
,L,
n
n
3
5
2i
1
则从1,1,1,L
1,L
c
1,1,L
1,L,
3
5
2i
1
2
4
2i
易知F A
, S, 1,1,1,L
2i
1,L ,1,1,L
1,L.
3
5
1
2
4
2i
A
1 ,
1

实变函数第三章复习题及解答

第三章复习题一、判断题1、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，如果对任意实数a ，都有[()]E x f x a >为可测集，则()f x 为E 上的可测函数。

（√ ）2、设()f x 是定义在可测集nE R ⊆上的实函数，如果对某个实数a ，有[()]E x f x a >不是可测集，则()f x 不是E 上的可测函数。

（√ ）3、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对某个实数a ， [()]E x f x a ≥为可测集。

（× ）4、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a ， [()]E x f x a =为可测集。

（× ）5、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a ， [()]E x f x a ≤为可测集。

（√ ）6、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a 和b （a b <）， [()]E x a f x b ≤<为可测集。

（× ）7、设E 是零测集，()f x 是E 上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数。

（√ ）8、若可测集E 上的可测函数列{()n f x }在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x ，则{()n f x }在E 上“基本上”一致收敛于()f x 。

（× ）9、设()f x 为可测集E 上几乎处处有限的可测函数，则()f x 在E 上“基本上”连续。

（√ ）10、设E 为可测集，若E 上的可测函数列()()n f x f x ⇒（x E ∈），则{()n f x }的任何子列都在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x 。

（× ）11、设E 为可测集，若E 上的可测函数列()()n f x f x →..a e 于E ，则()()n f x f x ⇒（x E ∈）。

实变函数答案第三版第二章点集精编版

第二章点集1、证明：'0P E ∈的充要条件是在任意含有0P 的领域(),P δ⋃（不一定以0P 为中心）中，恒有异于0P 的点1P 属于E （事实上，这样的1P 还有无穷多个）；0oP E ∈ 的充要条件则是有含有0P 的领域(),P δ⋃（同样，不一定以0P 为中心）存在，使(),P E δ⋃⊂.()()()'00100010101001001'0010000:min ,,,,..oP E d P P d P P P P E P E P E P E P E P E E δδδδδδδδ∈⋃=-⋃⊂⋃⋃∈⋃∈⋃∈⋃∈∈∈⋃∈⋃ 证明若，对任意含有P 的领域(P,)，取则(P ,)(P,),而(P ,)中含有异于的点，所以(P ,）中存在异于P 的点若任意一个含有P 的领域(P,)中有异于P 的点，则任一（P ）也有异于P 的点，故若，则存在（P ），使（P ()()()0100010=min ,,,.o d P P d P P E P E δδδδδδ⋃∈⋃⊂=-⋃⊂⋃⊂∈ ）（P ，）即得证.若P (P,)E ，取，则有(P ,)(P,)，从而4、设3E 是函数1sin ,0,0,0x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩当当的图形上的点所作成的集合，在2R 内讨论'333oE E 的E 与.(){}'33=0y 11.oE y E φ⋃-≤≤=解：E ，8.x -+a f ∞∞≥设（）是（，）上的实值连续函数，则对于任意常数,E={x|f(x)>a}是一开集，而E={x|f(x)a}总是一闭集。

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第一章集合
 集合的运算（尤其集合列的交集与并集的运算；
 集合列极限的计算；
 基数（或势）的概念；
 可数集的概念、性质及判别方法（会证明），常见的可数集；
 不可数集（具有连续基数）的概念、性质，常见的具有连续基数的集合。
 课后习题：7,9,10,11,12,13,15,17
第二章点集
 集合间的距离；
 几种特殊的点及其之间的关系、求法：聚点、内点、界
点、孤立点；
 几种特殊的点集的概念、性质及计算：开核、边界、导
集、闭包；
 开集、闭集、完备集的概念、性质，会证明一个集合是
开集或闭集；
 直线上开集构造定理；
 康托集（Cantor）的概念、性质；
 课后习题：1,2,3,4,5,6,7,8,11
第三章测度论
 外测度的概念及性质；
 测度的概念及性质；
 常见的可测集类；
 可测集与开集、闭集、型集和型集的关系
 可测集相关理论的证明
 一些特殊可测集测度的计算
 课后习题：1,2,5,6,8
第四章可测函数
 可测函数的定义及性质
 常见的可测函数
 可测函数与简单函数、连续函数的关系
 三大收敛及其之间的关系
 可测函数相关理论的证明
 课后习题：1,4,6,7,8,9,10,11
第五章积分论
 勒贝格积分的背景、定义方法
 勒贝格积分的性质：注意条件和结论
 勒贝格可积的条件
 三大极限定理：Levi定理；Fatou引理；
Lebesgue控制收敛定理
 三大极限定理的应用
 Lebesgue积分的几何意义及Fubini定理
 习题：2,3,5,6,7,11,12,20
计算题