一模材料+常州市第二中学+模拟试卷

常州市第二中学2013年高考数学模拟试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在题中横线上． 1．已知复数z满足23izi，则复数z的实部与虚部之和为 ． 2．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为60颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为 ．

3．设,xy满足约束条件52420yxyxx，则yxz2的最大值是 ．

4．全集RU，2{|2}Axyxx，{|lg11}Bxx则BA ____． 5．已知向量0,1,(1,3),(,)OAOBOCmm，若//ABAC，则实数m= . 6．根据右面的框图，如果打印的数据是62，则输入的正整数k ____________．

7．已知双曲线中心在原点，渐近线方程为2xy，一个焦点为 )0,5(F，抛物线)0(22ppxy的焦点为双曲线的一个顶点，

则p ____________． 8．设nm,是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题

①//////；②mm//；

③//mm；④////mnnm； 其中正确的命题是 _________． 9.已知角的终边经过点)1,1(P，点),(),,(2211yxByxA是函数)0)(sin()(xxf图象上的任意两点，若2)()(21xfxf时，21xx的最小值为3，则)2(f的值是 .

10.若过点)1,2(P的直线l与圆0742:22yxyxC相交于两点BA、，且060ACB（其中C为圆心），则直线l的方程为 ____________．

11．已知函数221,0,()2,xxfxxxx≤0.若函数()()gxfxm有3个零点，则实数m的取值范围是 ．

n≤k 开始 输入正整数k

n←1,S←0 S←S+2n

输出S 结束

是 否

n←n+1 12如图，已知椭圆C的方程为： 22221xyab(0)ab，B是它的下顶点，F是其右焦 点，BF的延长线与椭圆及其右准线分别交于P、Q两点， 若点P恰好是BQ的中点，则此椭圆的离心率是 .

13.数列na满足111,1(1)nnnaaaa，()nN，且

122012111aaa=2，则201314aa的最小值为 ．

14．在腰长为1的等腰直角三角形ABC的腰AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上．AD的长度的最小值为 ____________． 二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. （本题满分14分）

ABC 中，内角,,ABC的对边分别是,,abc，已知,,abc成等比数列，且3cos5B （1）求coscosAC的值； （2）求tantanAC值。

16. （本题满分14分） 如图，在长方体1111ABCDABCD中，点E在棱1CC的延长线上，且

11112CCCEBCAB．

（Ⅰ）求证：1DE∥平面1ACB； （Ⅱ）求证：平面11DBE平面1DCB； （Ⅲ）求四面体11DBAC的体积．

17.（本题满分14分） 已知数列{}na的前n项和为nS．

（Ⅰ）若数列{}na是等比数列，满足23132aaa， 23a是2a，4a的等差中项，求数列na的通项公式；

B E A D C

1A1B1C1

D

x y O F B

Q P

第12题 （Ⅱ）是否存在等差数列{}na，使对任意*nN都有22(1)nnaSnn？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由．

18.（本题满分16分） 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE（抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内），D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，0)，单位：米． （Ⅰ）求助跑道所在的抛物线方程； （Ⅱ）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？ （注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．）

19.（本题满分16分） 平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，－c），F2（0，c），A（3c，0）三点，其中c＞0． （1）求⊙M的标准方程（用含c的式子表示）； （2）已知椭圆22221(0)yxabab（其中222abc）的左、右顶点分别为D、B， ⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧． ①求椭圆离心率的取值范围； ②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1

与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若

不是，请说明理由．

20.（本题满分16分） 已知函数xaxxfln)(，),1(ex，且)(xf有极值．

24yOxED

CB

A（1）求实数a的取值范围； （2）求函数)(xf的值域； （3）函数2)(3xxxg，证明：),1(1ex，),1(0ex，使得)()(10xfxg 成立．

常州市第二中学2013年高考数学模拟试卷参考答案 1．2 2．19.2 3． 3 4．2,1 5． -1 6．5 7．54 8．①③ 9． 22 10． 05342yxx或 11． （0，1） 12． 33 13． 27 14．12 15. 解：（1）∵,,abc成等差数列 ∴2bac ∴由正弦定理得2sinsinsinABC ∵3cos5B ∴4sin5B ∴16sinsin25AC ………… 2分

又∵coscosACB ∴3cos5AC，3coscossinsin5ACAC ∴1coscos25AC …………… 7分

（2）sinsinsinsincoscossinsintantan20coscoscoscoscoscoscoscosACACACACBACACACACAC… 14分 16.（本题满分14分） 解：（Ⅰ）证明：连1ADEBBCAD111////

四边形11EDAB是平行四边形 ……2分

则11//ABED 又1AB平面CAB1，ED1平面CAB11DE//平面1ACB …5分 （Ⅱ） 由已知得221214CEEBCB则CBEB11 ……6分 由长方体的特征可知：CD平面BCEB1而EB1平面BCEB1， 则EBCD1…9分 EB1平面1DCB 又EB1平面11DBE

平面11DBE平面1DCB ………10分

（Ⅲ）四面体D1B1AC的体积 11111

DCBAABCDV

111DBAAV1ACBBV111DCBCV1ACDDV

32421211312 ………14分 17.解：（Ⅰ）设等比数列na的首项为1a，公比为q， 依题意，有).2(2,32342231aaaaaa即)2(.42)()1(,3)2(2131121qaqqaqaqa……3分 由 )1(得 0232qq，解得1q或2q. 当1q时，不合题意舍； 当2q时，代入(2)得21a，所以，nnna2221 . …………………7分 （Ⅱ）假设存在满足条件的数列{}na，设此数列的公差为d，则

211

(1)[(1)][]2(1)2nnandandnn，得

222222111

331()()222222dnaddnaaddnn对*nN恒成立，

则22122112,232,2310,22daddaadd …………………10分 解得12,2,da或12,2.da此时2nan，或2nan． 故存在等差数列{}na，使对任意*nN都有22(1)nnaSnn．其中2nan， 或2nan． …………………14分

18.解：（Ⅰ）设助跑道所在的抛物线方程为2000()fxaxbxc，

依题意： 00000004,420,931,cabcabc ………………3分 解得，01a，04b，04c， ∴助跑道所在的抛物线方程为2()44fxxx． ………………5分 （Ⅱ）设飞行轨迹所在抛物线为2()gxaxbxc（0a），

依题意：(3)(3),'(3)'(3),fgfg得931,62,abcab解得26,95,baca…………………7分