北师大版九年级数学上册《1.4 角平分线》教学设计(1)

角平分线
一、内容与分析
本节课学习的主要内容是角平分线的性质和判定定理，指的是在学习了直角三角形全等的判定定理及已有公理和学过的定理的基础上进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论，其核心是探索证明这两个定理的方法。

在以前学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，学习角平分线的画法，并还能说明所作的射线是角平分线的理由，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质。

角平分线定理是几何证明的一个重要定理，其画法也是尺规作图的基础。

教学重点是角平分线性质和判定定理的证明，解决的关键是利用好直角三角形全等的判定方法。

二、目标与分析
教学目标：
1、理解角平分线的性质定理和的判定定理的证明。

2、会用尺规作已知角的角平分线。

目标分析：理解角平分线的性质定理和的判定定理的证明是指在探索的基础上，会使用以前学过的定理找到证明角平分线上点到角两边距离相等的方法，达到复习巩固的作用；会用尺规作出角平分线是尺规作图的基本要求，要求会作出任一个已知角的平分线。

三、问题诊断分析
本节课学生可能遇到的主要问题是学生往往不能正确区分出角平分线的性质定理和判定定理，因此要通过分析定理的题设和结论帮学生正确认识。

学生习惯用于找全等三角形的方法去解决问题，而不注重利用刚学过的定理来解决，这实际上是对定理的重复证明，这一点在教学时要注意。

四、教学过程分析
问题1：我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：
从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，即角平分线上的点到角两边的距离相等．
你能证明它吗?
师生活动：请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
证明：∵∠1=∠2，OP=OP，
∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．
(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)
2
1
E
D
C
P
O
B
A
我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理，我们再来一起陈述：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
问题2：我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题，你能写出这个定理的逆命题吗?
师生活动：我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题：如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上。

此时有学生提问：“我觉得这个命题是假命题，角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点。

”
教师肯定这位同学思考问题很仔细，并加以解释。

事实上，从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而“角的内部”通常是指其中小于180°的角的内部，其余部分为角的外部．如上图所示，到∠AOB两边距离相等的点的集合应是射线OC、OD、OE、OF，但其中只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件．
再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题。

在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。

问题3：它是真命题吗?你能证明它吗?
证明如下：
已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，
求证：点P在么AOB的角平分线上．
证明：PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理)．
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。

问题4：你能用什么办法平分一个已知角呢?能利用角平分线的性质定理和判定定理平分一个角吗？请在小组内交流．
已知：∠AOB(如图)
求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC．
作法：1、在OA和OB上分别分别截取OD、OE，使OD=OE．
2．分别以D、E为圆心，以大于1
2
DE的长为半径作弧，两弧在么AoB
内交于点C．。