高中数学必修二平面

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高中数学必修二 8 4 1 平面(含答案)

第八章立体几何初步8.4.1 平面一、基础巩固1．下列命题的符号语言中，不是公理的是（） A ．a α⊥，b a b α⊥⇒∥ B ．P α∈，且P l βαβ∈⇒=，且P l ∈C ．∈A l ，B l ∈，且A α∈，B l αα∈⇒⊂D ．a b ∥，a c b c ⇒∥∥ 【答案】A 【详解】A 不是公理，在B 中，由公理三知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故B 是公理．在C 中，由公理一知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故C 是公理；在D 中，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故D 是公理； 2．如图所示，用符号语言可表达为（）A ．m n A m A n αβα=⊂⊂⊂，，，B ．m n A m A n αβα=∈∈∈，，，C ．m n m n A αβα=⊂=，，D ．m n m n A αβα=∈=，，【答案】C 【详解】结合图形可以得出平面,αβ相交于一条直线m ，直线n 在平面α内，直线,m n 相交于点A ，结合选项可得C 正确；3．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1,AB CC 的中点，则在平面11ADD A 内与平面1D EF 平行的直线( )A ．不存在B ．有1条C ．有2条D ．有无数条【答案】D 【详解】平面11ADD A 与平面1D EF 有公共点1D ，由公理3知平面11ADD A 与平面1D EF 必有过1D 的交线l ，在平面11ADD A 内与l 平行的直线有无数条，且它们都不在平面1D EF 内，由线面平行的判定定理可知它们都与平面1D EF 平行. 4．下列说法正确的是（） A ．任意三点确定一个平面 B ．梯形一定是平面图形C ．平面α和β有不同在一条直线上的三个交点D ．一条直线和一个点确定一个平面【答案】B 【解析】A 选项，不共线的三点确定一个平面，A 错．C 选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线，如没有公共点，则两平面平行，C 错．D 选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面．B 选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行，故B 对， 5．如图，四棱锥P ABCD -，ACBD O =，M 是PC 的中点，直线AM 交平面PBD 于点N ，则下列结论正确的是（）A ．,,,O N P M 四点不共面B ． ,,,O N M D 四点共面C ． ,,O N M 三点共线D ． ,,P N O 三点共线【答案】D 【详解】直线AC 与直线PO 交于点O ，所以平面PCA 与平面PBD 交于点O ，所以必相交于直线PO ，直线AM 在平面PAC 内，点N AM ∈故N ∈面PAC ，故O N P M ，，，四点共面，所以A 错．点D 若与M,N 共面，则直线BD 在平面PAC 内，与题目矛盾，故B 错．O,M 为中点，所以OM //PA ，ON PA P ⋂=，故ON OM O ⋂=，故C 错．6．下列图形中不一定是平面图形的是（） A ．三角形 B ．平行四边形 C ．梯形 D ．四边相等的四边形【答案】D 【详解】利用公理2可知：三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形，而四边相等的四边形可能是空间四边形不一定是平面图形．7．在空间四边形ABCD 的各边AB BC CD DA 、、、上的依次取点E F G H 、、、，若EH FG 、所在直线相交于点P ，则（）A ．点P 必在直线AC 上B ．点P 必在直线BD 上C ．点P 必在平面DBC 外D ．点P 必在平面ABC 内【答案】B 【详解】如图：连接EH 、FG 、BD ， ∵EH 、FG 所在直线相交于点P ， ∴P ∈EH 且P ∈FG ，∵EH ⊂平面ABD ，FG ⊂平面BCD ， ∴P ∈平面ABD ，且P ∈平面BCD ，由∵平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴P ∈BD ，故选B ．8．平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（） A ．平行 B ．相交C ．平行或相交D ．垂直【答案】C 【详解】由题意，若三点分布在平面β的同侧，此时平面//α平面β；若三点分布于平面β的两侧时，此时平面α与平面β相交，综上可知，平面α与平面β平行或相交，故选C ．9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详解】取1DD 中点F ，连接1,AF C F ．平面1AFC E 为截面．如下图：10．在正方体1111ABCD A B C D 中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11C D 的中点，那么正方体过P ，Q ，R 的截面图是（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形【答案】D 【详解】解：延长PQ 交CD 的延长线与E ,连ER 交1DD 于T ,则T 为1DD 的中点, 延长TR 交1CC 的延长线与F ,延长QP 交CB 的延长线与G ,连接FG 交1BB 于M ,交11B C 于S ,则易得M ,S 分别为1BB ,11B C 的中点, 连接,,QT RS PM ,则截面为正六边形PQTRSM 为所求截面. 如图所示:11．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确是( )A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面【答案】A 【详解】连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ， ∴A 1，C 1，A ，C 四点共面， ∴A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∵M ∈A 1C ，∴M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1， ∴M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上． ∴A ，M ，O 三点共线．12．下列说法中正确的个数是（）①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面； ②平行四边形可以确定一个平面；③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等； ④若,A A αβ，且l αβ=，则A 在l 上.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】对于①，两两相交的三条直线，若相交于同一点，则不一定共面，故①不正确；对于②，平行四边形两组对边分别平行，则平行四边形是平面图形，故②正确；对于③，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故③不正确；对于④，由公理可得，若,,A A l αβαβ∈∈⋂=，则∈A l ，故④正确. 二、拓展提升13．如图所示，在空间四面体ABCD 中，,E F 分别是AB ，AD 的中点，,G H 分别是BC ，CD 上的点，且11,33CG BC CH DC ==.求证：（1）,,,E F G H 四点共面；（2）直线FH EG AC ，，共点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】（1）连接EF ，GH ，E F ，分别是AB AD ，的中点，EF BD ∴∥.又11,33CG BC CH DC ==，GH BD ∴∥，EF GH ∴，,,,E F G H ∴四点共面.（2）易知FH 与直线AC 不平行，但共面，∴设FH AC M ⋂=，则M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . ∵平面EFHG ⋂平面ABC EG =，M EG ∴∈，∴直线FH EG AC ，，共点. 14.已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．【答案】(1)证明见解析；(2) 45°. 【详解】(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线． (2)解：取CD 的中点G ，连结EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°. 15．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D 中，E 为AB 的中点，F 为1AA 的中点.求证：（1）1,,,E C D F 四点共面；（2）1,,CE D F DA 三线共点. 【答案】（1）见证明（2）见证明【详解】证明：（1）连接11,,EF A B D C .∵E F ，分别是AB 和1AA 的中点， ∴111,2EF A B EF A B =∥. 又11111111,A D B C BC A D B C BC ∥∥==， ∴四边形11A D CB 是平行四边形， ∴11A BCD ，∴1EF CD ∥，∴EF 与1CD 确定一个平面， ∴1,,,E C D F 四点共面．（2）由（1）知，1EF CD ∥，且112EF CD =， ∴直线1D F 与CE 必相交，设1D FCE P =.∵1D F ⊂平面11AA D D ，1P D F ∈， ∴P ∈平面11AA D D .又CE ⊂平面ABCD ，P EC ∈，∴P ∈平面ABCD ，即P 是平面ABCD 与平面11AA D D 的公共点，又平面ABCD 平面11AA D D AD =，∴P AD ∈，∴1,,CE D F DA 三线共点．。

高中数学必修二-第一章立体几何初步知识点整理

底面为三角形、四边形、五边形„„的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥„„，
其中三棱锥又叫四面体。
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正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质： ①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形； ②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。（4）棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其它各面叫做棱台的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点；当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段叫做棱台的高。由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的性质： ①各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形；②两底面以及平行于底面的截面是相似多边形；③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；④两底面中心连线、侧棱和两底面外接圆相应半径组成一个直角梯形；⑤正棱台的上下底面中心的连线是棱台的一条高；⑥正四棱台的对角面是等腰梯形。
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②在已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′ 轴的线段。
③在已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一半。
用斜二测法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点。因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形。
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。平行投影的投影线是平行的。在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。

高中数学必修二专题08 空间直线与平面与平面与平面的垂直(重难点突破)(含答案)

专题08 空间直线与平面、平面与平面的垂直一、考情分析二、考点梳理考点一直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理考点二平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理考点三知识拓展1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.四、题型分析重难点题型突破1 线面垂直例1. （河北省石家庄二中2019届期中）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( )A.若m⊂α，则m⊥βB.若m⊂α，n⊂β，则m⊥nC.若m⊄α，m⊥β，则m∥αD.若α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α 【答案】C【解析】对于A ：若m ⊂α，则m 与平面β可能平行或相交，所以A 错误；对于B ：若m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行、相交或异面，所以B 错误；对于C ：若m ⊄α，m ⊥β，则m ∥α，C 正确；对于D ：α∩β＝m ，n ⊥m ，则n 不一定与平面α垂直，所以D 错误.【变式训练1-1】、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A.若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ⊥nB.若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥βC.若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD.若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 【答案】B【解析】若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； ∵m ⊥α，m ∥n ，∴n ⊥α，又∵n ∥β，∴α⊥β，故B 正确；若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C 错误；若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 或m ，n 异面，故D 错误.例2.如图所示，在四棱锥PABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．求证：(1) PH ⊥平面ABCD ； (2) EF ⊥平面PAB.【证明】 (1) 因为AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥AB. 因为PH 为△PAD 中边AD 上的高，所以PH ⊥AD.因为AB∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD. (2) 如图，取PA 的中点M ，连结MD ，ME.因为E 是PB 的中点，所以ME ＝12AB ，ME ∥AB.又因为DF ＝12AB ，DF ∥AB ，所以ME ＝DF ，ME ∥DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD.因为PD＝AD，所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因为PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.重难点题型突破2 面面垂直例3. （安徽省合肥三中2019届高三质检）如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC【答案】D【解析】因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE，因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．【变式训练3-1】、（江西鹰潭一中2019届高三调研）如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③【答案】C【解析】①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′FED的体积达到最大，故选C.例4．（上海格致中学2019届高三模拟）如图1，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB 边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图2所示)，连接AP，PF，其中PF＝2 5.(1)求证：PF⊥平面ABED；(2)求点A到平面PBE的距离．【解析】(1)证明：在题图2中，连接EF，由题意可知，PB＝BC＝AD＝6，PE＝CE＝CD－DE＝9，在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，所以PF⊥BF.在题图1中，连接EF，作EH⊥AB于点H，利用勾股定理，得EF＝62＋（12－3－4）2＝61，在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF，因为BF∩EF＝F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，所以PF⊥平面ABED.(2)如图，连接AE，由(1)知PF⊥平面ABED，所以PF 为三棱锥P ABE 的高．设点A 到平面PBE 的距离为h ，因为V A PBE ＝V P ABE ，即13×12×6×9×h ＝13×12×12×6×25，所以h ＝853，即点A 到平面PBE 的距离为853. 【变式训练4-1】、 (2018·北京高考)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD .证明：(1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形，所以BC ∥AD ，所以PE ⊥BC .(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD . 又因为PA ⊥PD ，AB ∩PA ＝A ，所以PD ⊥平面PAB . 因为PD ⊂平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 的中点G ，连接FG ，DG . 因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以FG ∥BC ，FG ＝12BC .因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形．所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .。

高中数学人教版必修二2.1.3,2.14空间中直线与平面,平面与平面之间的位置关系

①若a∥b，b，则a∥ ②若a∥，b∥，则
a∥b ③若a∥b，b∥，则a∥ ④若a∥，
b，则a∥b 新疆王新敞奎屯
其中正确命题的个数是
（ A）
（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
巩固练习:
3.已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥ 平面，∩=l，则l （ C ）（A）与m，n都相交（B）与m，n中至少一条相交（C）与m，n都不相交（D）与m，n中一条相交
a
/ /
a
/
/
面//面
线//面
④ 1、下列正确的有
：
①直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线，则 l∥α；
②若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α；
③若直线 a∥b，直线 b⊂α，则 a∥α；
④若直线 a∥b，b⊂α，那么直线 a 就平行于平面 α 内的无数条直线．
B 2、若直线 a 不平行于平面 α 且 a α 内,则下列结论成立的是（）
∨ 任意一条直线都没有公共点。（）
复习引入： 1、空间两直线的位置关系（1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4的内容是什么? 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 3.等角定理的内容是什么? 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。新疆
王新敞奎屯
4.等角定理的推论是什么? 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
X X X
例4、判断下列命题的正确
（1）若直线 l上有无数个点不在平面内，
则 l// 。（）
（2）若直线l与平面平行，则l与平面内的任
意一条直线都平行。（
）
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行。（）

高中数学必修二《平面与平面平行的判定》PPT

问题与探究
三角板的一边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何？
根据平面与平面平行的定义可知，判定面面平行的关键在于判定它们有没有公共点。若一个平面内的所有直线都与另一平面平行，那么这两个平面一定平行。否则，这两个平面就会有公共点，这样在一个平面内通过这个公共点的直线就不平行另一平面了。
对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义．
对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理．
所以只有③④正确，选择D.
规律总结：
判断两个平面平行的方法有四种：
（1）利用定义；（2）利用面面平行的判定定理；（3）利用面面平行判定定理的推论；（4）利用面面平行的传递性。对于考查定义的问题，只需要找出一个反例就行，没必要把每个选项都正面推导一次。
直线与平面平行来证明平面与平面平行．通常我们将其记为：线面平行，则面面平行。因此处理面面平行(即空间问题) 转化为处理线面平行，进一步转化为处理线线问题(即平面问题)来解决，以后证明平面与平面平行，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面平行即可．面面平行判定定理的推论：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线对应平行，则这两个平面平行．
【例2】如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1，
求证：平面AB1D1//平面C1BD。 .
【分析】
只要证一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行即可
跟踪练习2
棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为棱 A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点.

新版高中数学必修2课件：8.4.1平面

平面个数是 1 或 3，如果交于不共线的三点，可以确定的平面个数是 1，所以空间两两相交的三条直线，可以确定的平面个数是 1 或
3. 答案：B
2．如图所示的两个相交平面，其中画法正确的是( )
解析：对于①，图中没有画出平面 α 与平面 β 的交线，另外图中的实线、虚线也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同样的道理，可知②③的画法不正确，④中画法正确．
方法归纳证明三点共线，可以证明三点都在两平面的交线上或第三点在两点所确定的直线上．
微点 2 线共点问题例 3 在四面体 ABCD 中，E，G 分别是 BC，AB 的中点，点 F 在 CD 上，点 H 在 AD 上，且 DF:FC＝DH:HA＝2:3.求证：EF，GH， BD 交于一点．
证明：如图，连接 GE、HF 因为 E，G 分别是 BC，AB 的中点，所以 GE∥AC，GE＝12AC. 又 DF:FC＝DH:HA＝2:3，所以 FH∥AC，FH＝25AC，所以 FH∥GE，FH≠GE，所以 E，F，H，G 四点共面，且四边形 EFHG 是一个梯形．延长 GH 和 EF 交于一点 O，因为 GH⊂平面 ABD，EF⊂平面 BCD，所以 O∈平面 ABD，O∈平面 BCD，所以点 O 在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是 BD，且交线只有这一条，所以点 O 在直线 BD 上．所以 EF，GH，BD 交于一点．
(3)根据已知符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
跟踪训练 1 根据如图所示，在横线上填入相应的符号或字母： A___∈_____平面 ABC，A____∉____平面 BCD，BD___⊄_____平面 ABC，平面 ABC∩平面 ACD＝___A__C___.

全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用笔记重点大全

全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用笔记重点大全单选题1、已知向量a⃑,b⃑⃑满足|a⃑|=2,|b⃑⃑|=1,a⃑⋅(a⃑−2b⃑⃑)=2，则a⃑与b⃑⃑的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°答案：B分析：由题意，先求出a⃑⋅b⃑⃑，然后根据向量的夹角公式即可求解.解：因为a⃑⋅(a⃑−2b⃑⃑)=a⃑2−2a⃑⋅b⃑⃑=|a⃑|2−2a⃑⋅b⃑⃑=4−2a⃑⋅b⃑⃑=2，所以a⃑⋅b⃑⃑=1，设a⃑与b⃑⃑的夹角为θ，则cosθ=a⃑⃑⋅b⃑⃑|a⃑⃑||b⃑⃑|=12，因为θ∈[0°,180°]，所以θ=60°，故选：B.2、锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=7、b=8，m⃑⃑⃑=(12,cosA)，n⃑⃑=(sinA，−√32)，且m⃑⃑⃑⊥n⃑⃑，则△ABC的面积为（）A．√3B．3√3C．5√3D．10√3答案：D分析：先由向量垂直得到A=π3，利用余弦定理求出c=3或c=5，利用锐角三角形排除c=3，从而c=5，利用面积公式求出答案.由题意得：12sinA−√32cosA=0，故tanA=√3，因为A∈(0,π2)，所以A=π3，由余弦定理得：cosA=64+c 2−492×8c =12，解得：c=3或c=5，当c=3时，最大值为B，其中cosB=49+9−642×7×3<0，故B为钝角，不合题意，舍去；当c=5时，最大值为B，其中cosB=49+25−642×7×5>0，故B为锐角，符合题意，此时S△ABC=12bcsinA=12×8×5×√32=10√3.故选：D3、已知向量|a⃑|=2,|b⃑⃑|=4，且a⃑,b⃑⃑不是方向相反的向量，则|a⃑−b⃑⃑|的取值范围是（）A．(2,6)B．[2,6)C．(2,6]D．[2,6]答案：B分析：直接由||a⃑|−|b⃑⃑||≤|a⃑−b⃑⃑|<|a⃑|+|b⃑⃑|求解即可.由已知必有||a⃑|−|b⃑⃑||≤|a⃑−b⃑⃑|<|a⃑|+|b⃑⃑|，则所求的取值范围是[2,6)．故选：B.4、我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求职公式，即△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则△ABC的面积S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2].已知在△ABC中，accosB=6,b=2√2，则△ABC面积的最大值为（）A．√33B．2√33C．2D．4 答案：D分析：由条件accosB=6,b=2√2得a2+c2=20，由基本不等式得ac≤10，再由S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2]可求解.∵accosB=ac·a2+c2−b22ac =a2+c2−b22=6，又∵b=2√2，a2+c2=12+b2=20.∴ac≤a2+c22=10（当且仅当a=c=√10时取等号）.∴S△ABC=√14[a2c2−(a2+c2−b22)2]=√14(a2c2−62)≤√14×(102−62)=4，∴△ABC面积的最大值为4.故选：D5、已知不共线的平面向量a⃗,b⃑⃗,c⃗两两所成的角相等，且|a⃗|=1,|b⃑⃗|=4,|a⃗+b⃑⃗+c⃗|=√7，则|c⃗|=（）A．√2B．2C．3D．2或3答案：D分析：先求出θ=2π3，转化|a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗|=√(a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗)2=√7，列方程即可求出.由不共线的平面向量a ⃗，b ⃑⃑，c ⃑两两所成的角相等，可设为θ，则θ=2π3.设|c ⃑|=m. 因为|a ⃗|=1，|b ⃑⃗|=4，|a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗|=√7，所以|a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗|2=7，即a ⃗2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+b ⃑⃗2+2b ⃑⃗⋅c ⃗+2a ⃗⋅c ⃗+c ⃗2=7，所以12+2×1×4cos 2π3+42+2×4×mcos 2π3+2×1×mcos 2π3+m 2=7即m 2−5m +6=0，解得：m =2或3.所以|c ⃑|=2或3故选：D6、若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足3AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑－AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑－AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑＝0→，则△ABM 与△ABC 的面积之比为（） A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．2∶5答案：B分析：由平面向量的加法结合已知可得M 为AD 的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得. 如图，D 为BC 边的中点，则AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) 因为3AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑－AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑－AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑＝0→所以3AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 所以S △ABM =23S △ABD =13S △ABC .故选：B7、《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形ABCDEFGH 的边长为2√2，点P 是正八边形ABCDEFGH 的内部（包含边界）任一点，则AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的取值范围是（）A ．[−4√2,4√2]B ．[−4√2,8+4√2]C ．[8−4√2,8+4√2]D ．[−4√2,8−4√2]答案：B分析：先求出AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑在AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向上的投影的取值范围，再由数量积的定义求出AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的取值范围即可.如图，作AM ⊥GH 的延长线于M ，BN ⊥DC 的延长线于N ，根据正八边形的特征，可知AM =BN =2，于是AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑在AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向上的投影的取值范围为[−2,2√2+2]，结合向量数量积的定义可知，AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑等于AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的模与AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑在AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向上的投影的乘积，又|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=2√2，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为2√2×(2√2+2)=8+4√2，AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最小值为2√2×(−2)=−4√2．则AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的取值范围是[−4√2,8+4√2]. 故选：B ．8、已知向量a ⃗,b ⃑⃗满足|a ⃗|=2，|b ⃑⃗|=3，|a ⃗−2b ⃑⃗|=2√13则a ⃗与b⃑⃗的夹角为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6答案：C分析：先对|a ⃗−2b ⃑⃗|=2√13平方，代入已知条件整理得a ⃗⋅b⃑⃗=−3，再利用数量积公式可求得.∵|a ⃗−2b ⃑⃗|=2√13，∴|a ⃗−2b ⃑⃗|2=a ⃗2−4a ⃗⋅b⃑⃗+4b ⃑⃗2=52，又|a ⃗|=2，|b ⃑⃗|=3，∴a ⃗⋅b⃑⃗=−3，设a ⃗与b⃑⃗的夹角为θ， ∴cosθ=a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|a ⃑⃗||b ⃑⃗|=−12，从而θ=2π3，所以a ⃗与b ⃑⃗的夹角θ=2π3.故选：C9、向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(7,−5)，将AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑按向量a ⃑=(3,6)平移后得到向量A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑的坐标形式为（）A ．(10,1)B ．(4,−11)C ．(7,−5)D ．(3,6)答案：C分析：由向量平移可知，A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑与AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同且长度相等，即可得A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑的坐标.因为平移后，A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑与AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同且长度相等，故A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(7,−5). 故选：C10、下列说法正确的是（）A ．向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑//CD⃑⃑⃑⃑⃑⃑就是AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑所在的直线平行于CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．若a ⃑=b ⃑⃑,b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑D ．共线向量是在一条直线上的向量答案：C分析：根据共线向量的定义可判断A ，D ；由相等向量的定义可判断B ，C ；进而可得正确选项.对于A ：根据共线向量的定义可知向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑//CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑就是AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑所在的直线与CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑所在的直线平行或重合，故选项A 不正确；对于B ：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B 不正确；对于C ：若a ⃑=b ⃑⃑,b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑，故选项C 正确；对于D ：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D 不正确；故选：C.填空题11、若向量a ⃑，b ⃑⃑不共线，且|a ⃑|=4，|b ⃑⃑|=7，则|a ⃑+b⃑⃑|的取值范围是______．答案：(3,11)分析：设向量a ⃑，b ⃑⃑的夹角为θ，利用|a ⃑+b ⃑⃑|=√(a ⃑+b ⃑⃑)2展开计算，再将−1<cosθ<1代入，写出|a ⃑+b⃑⃑|的范围. 设向量a ⃑，b ⃑⃑的夹角为θ，因为|a ⃑|=4，|b⃑⃑|=7，所以|a ⃑+b ⃑|=√(a ⃑+b ⃑)2=√|a ⃑|2+2|a ⃑||b ⃑|cosθ+|b ⃑|2=√16+2×4×7×cosθ+49=√65+56cosθ，又向量a⃑，b ⃑⃑不共线，所以−1<cosθ<1，所以3<√65+56cosθ<11，即3<|a⃑+b ⃑⃑|<11. 所以答案是：(3,11).12、在直角坐标系中，O 为原点,O 、A 、B 不共线，xOA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yOB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则x +y =________ 答案：0解析：根据向量的线性运算求出(x +2)OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+(y −2)OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃗，根据对应关系求出x +y 的值即可．∵ xOA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yOB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴xOA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yOB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2(OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)，∴(x +2)OA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+(y −2)OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃗， ∴x =−2，y =2，x +y =0.所以答案是：0．13、在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =2√3 ，AD =5 ，∠A =30° ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE =BE ，则BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑=__________. 答案：−1.分析：建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．建立如图所示的直角坐标系，则B(2√3,0)，D(5√32,52)．因为AD ∥BC ，∠BAD =30°，所以∠CBA =150°，因为AE =BE ，所以∠BAE =∠ABE =30°，所以直线BE 的斜率为√33，其方程为y =√33(x −2√3)，直线AE 的斜率为−√33，其方程为y =−√33x ．由{y =√33(x −2√3),y =−√33x得x =√3，y =−1，所以E(√3,−1)．所以BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(√32,52)·(√3,−1)=−1．小提示：平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便．解答题14、康平滕龙阁，位于康平县中央公园中心，建在有“敖包朝霞”之称的敖包山旧址上，是老百姓心中的祥瑞之地.如图，小明同学为测量滕龙阁的高度，在滕龙阁的正东方向找到一座建筑物AB ，高为8米，在地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）测得楼顶A ，滕龙阁顶部C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得阁顶部C 的仰角为30°，试替小明求滕龙阁的高度？（精确到0.01米）答案：37.86米分析：在△ACM 中，利用正弦定理求得CM ，然后在Rt △CDM 中，由CD =CMsin60°求解.解：由题意得，在Rt △ABM 中，AM =AB sin15°，在△ACM 中，∠CAM =30°+15°=45°，∠AMC =180°−15°−60°=105°，所以∠ACM =30°，由正弦定理AM sin∠ACM =CM sin∠CAM ，得CM =sin∠CAM sin∠ACM ⋅AM =√2AB sin15°，又sin15°=sin(45°−30°)=√22×√32−√22×12=√6−√24，在Rt△CDM中，CD=CMsin60°=√6AB2sin15°=√62×√6−√24=24+8√3≈37.86.答：滕龙阁的高度约为37.86米.15、如图，为测量河对岸A，B两点的距离，在河的这边取C，D两点观察，测得CD=√3km，∠ADB=45°，∠ADC=30°，∠ACB=75°，∠DCB=45°（A，B，C，D在同一平面内），求A，B两点之间的距离．答案：√5km分析：由题意，先计算得∠DBC=60°，∠DCA=120°，∠DAC=30°，由正弦定理计算BD,AD，再由余弦定理计算AB∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠DCB﹣∠ACB＝30°，∠DBC＝180°﹣∠DCB﹣∠ADC﹣∠ADB＝60°在△ADC中由正弦定理得：DCsin∠DAC =ADsin(∠DCB+∠ACB)∴AD=sin(∠DCB+∠ACB)×DCsin∠DAC=3在△CDB中由正弦定理得：DCsin∠DBC =BDsin∠DCB∴BD=DCsin∠DBC×sin∠DCB=√2在△ADB中由余弦定理得：AB2＝DB2+AD2﹣2DB×AB cos∠ADB＝2+9﹣2×√2×3×√22＝5 ∴AB＝√5km答：A、B两点间的距离为√5km。

高中数学人教必修二平面与平面垂直的判定定理

练习
思考
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
2.平面与平面垂直的判定
(1) 定义法：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作
a

a

(2) 面面垂直的判定定理：
若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．注2：① a , a ②该定理作用：“线面垂直面面垂直” ③应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.
练在正方体ABCD—A1B1C1D1中, (1)求证：平面A1C⊥平面B1D (2)E、F分别是AB、BC的中点，求证：平面A1C1FE⊥平面B1D (3)G是BB1的中点，求证：平面A1C1G⊥平面B1D
总结: 直线A1C1 ⊥平面B1D，则过直线 A1C1 的平面都垂直于平面B1D D1 A1 A D F E Ｂ G G G G C
A' A
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上
l
B'
O' B
O
②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱
1.二面角的概念
(4) 二面角的平面角
A A
l
O B
注1： ①当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°； ②平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两个平面互相垂直.
A B C
ABC为直角三角形，ABC=90，则O为斜边AC的中点. 由PO 面PAC，PO 面ABC，可得面PAC 面ABC.
变式1 在三棱锥P-ABC中，PA PB PC，ABC=90，求证 : 面PAC 面ABC.
P

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§2.1.1平面
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。

【学习目标】
1．掌握平面的表示法，点、直线与平面的关系，有关平面的三个公理；2．会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系；
【重点】
1.与平面有关的三个公理；
【难点】
2.三个公理的理解和应用；
一、自主学习
（一）复习回顾
阅读课本P40的“思考？”内容；
（二）导学提纲
阅读课本P40-43，并完成下列问题：
1.生活里的“平面”和几何里的“平面”的概念一样吗？
2.平面怎么画？怎么表示？
3.公理1：
公理2：
公理3：
4.你能举出生活中应用三个公理的例子吗？
二、基础过关
例1：用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。

变式1：用符号表示下列语句
（1）点A 在平面α内，点B 在平面α外（2）直线l 经过平面α外的一点M
例2 不共面的四点可以确定几个平面？共点的三条直线可以确定几个平面？
变式2：判断正误
1.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（）
2.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（）
方法、规律总结：
三、拓展研究
例3. 画出同时满足下列条件的图形：
l =βα ，α⊂AB ，β⊂CD ，AB ∥l ，CD ∥l
变式训练：
如右图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线:
（1） AB 没有被平面α遮挡；
（2）画出AB 被平面α遮挡；
方法、规律总结
四、课堂小结 1. 知识
2. 数学思想、方法
3. 能力
五、课后巩固
（一）完成课本P51第3题：（二）完成以下试题
1．空间中ABCDE 五点中，ABCD 在同一平面内，BCDE 在同一平面内，那么这五点（）
A 共面
B 不一定共面
C 不共面
D 以上都不对 2. 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（）Ａ．异面直线Ｂ．相交直线Ｃ．不相交直线Ｄ．不平行直线 3. 三条直线相交于一点，可能确定的平面有（）Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．1个或3个
4．直线12l l ∥，在1l 上取3点，2l 上取2点，由这5点能确定的平面有（）Ａ．9个Ｂ．6个Ｃ．3个Ｄ．1个 5．给出下列命题：
和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内；三条两两相交的直线在同一平面内；
有三个不同公共点的两个平面重合；两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是（）Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
6．已知下列四个命题：
① 很平的桌面是一个平面； ② 一个平面的面积可以是4m 2； ③ 平面是矩形或平行四边形；
④ 两个平面叠在一起比一个平面厚．其中正确的命题有（）Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．3个
7.解答题：
已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11D C ，
C B 的中点，AC
BD P =，
11
A C EF Q =．求证：
（１）D ，B ，F ，E 四点共面；
（２）若1A C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R。