高中数学人教A版2003课标版必修2探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积(共24张PPT)

由祖暅原理可得：
V柱体=Sh 其中S 是柱体的底面积， h是柱体的高。
例: 如图，是某几何体的三视图。由祖暅原理知：“幂势既 同，则积不容异”。已知某不规则几何体与如图所示的几 何体满足“幂势同”，求该不规则几何体的体积。(图中所 给长度均为厘米) 解：
V V正方体 - V半个圆柱
23 - 1 12 2
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.
祖暅,字景烁，祖冲之之子， 范阳郡蓟县人（今河北省涞源县 人），南北朝时代的伟大科学家。 祖暅在数学上有突出贡献，他在 实践的基础上，于5世纪末提出 了体积的计算原理。祖暅原理： “幂势既同，则积不容异”。
“势”即是高，“幂”即是面积。
祖暅原理 “幂势既同，则积不容异”
夹在两个平行平面之间的两个几何体， 被平行于这两个平面的任意平面所截，如 果截得的两个截面的面积总相等，那么这 两个几何体的体积相等。
积。即
1
V锥体 3 sh
例：三个直角三角形如图放置，它们围绕 固定直线旋转一周形成几何体，求出该几 何体的体积（图中的长度单位是厘米）。
先研究半球的体积 思考：
如何找到一个与半球等体积的“替代品”呢？
结论 半径为R的球 的体积公式是
V球
4 R3
3
例: 一个正四面体的所有棱长都2 是 厘米， 四个顶点都在同一球面上，求此球的体积。
2
8-
所以某不规则几何体的体积是 以8-π立方厘米
设有底面积都等于S，高都等于h的两 个锥体（如图：一个棱锥和一个圆锥）， 使它们的下底面在同一平面内。你能得 到什么结论？
如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？
结论：对于一个任意的锥体，设它的
底面积为S，高为h，那么它的体积应等
于一个底面积为S，高为h的三棱锥的体
祖暅原理
祖冲之父子是 我们中华民族的
骄傲和自豪
祖暅原理的提出要比其他国家的 数学家早一千多年。在欧洲直到17世 纪，才有意大利数学家卡瓦列里提出 上述结论。
祖暅原理 “幂势既同，则积不容异”
设有底面积都等于S，高都等于h 的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长 方体，使它们的下底面在同一平面内。 你能得到什么结论？
课堂练习 某几何体 3
(图中所给数字3单位为厘米)
168 3
3
所以该几何体的体积是 16 8 3
3
课堂小结 总结一下你在本节课中 获得的知识和学习心得 祖暅原理 柱、锥、球的体积公式
布置作业
例：三棱锥P-ABC三条侧棱两两互相垂直， 且PA=1,PB=2,PC=3,求它外接球的体积。
2、三棱锥P-ABC中侧棱PA长为3且垂直于 底面ABC，底面是边长为2的正三角形，求 这个三棱锥外接球的体积。
课后探究 利用祖暅原理探究台体的体积公式。 球、柱、台、锥体体积之间的关系。
在没找到重新开始的理由前，别给自己太多退却的借口。就在那一瞬间，我仿佛听见了全世界崩溃的声音。因为穷人很多，并且穷人没有钱，所以，他们才会在网络上聊 了答应自己要做的事情，别忘了答应自己要去的地方，无论有多难，有多远。分手后不可以做朋友，因为彼此伤害过；不可以做敌人，因为彼此深爱过，所以只好成了最 只有站在足够的高度才有资格被仰望。渐渐淡忘那些过去，不要把自己弄的那么压抑。往往原谅的人比道歉的人还需要勇气。因为爱，割舍爱，这种静默才是最深情的告 时光已成过往，是我再也回不去的远方。不要把自己的伤口揭开给别人看，世界上多的不是医师，多的是撒盐的人。这世界，比你不幸的人远远多过比你幸运的人，路要 的那一步很激动人心，但大部分的脚步是平凡甚至枯燥的，但没有这些脚步，或者耐不住这些平凡枯燥，你终归是无法迎来最后的'那些激动人心。一个人害怕的事，往往 都会有乐观的心态，每个人也会有悲观的现状，可事实往往我们只能看到乐观的一面，却又无视于悲观的真实。从来没有人喜欢过悲观，也没有人能够忍受悲观，这就是 就会缅怀过去，无论是幸福或是悲伤，苍白或是绚烂，都会咀嚼出新的滋味。要让事情改变，先改变我自己；要让事情变得更好，先让自己变得更好。当日子成为照片当 背对背行走的路人，沿着不同的方向，固执的一步步远离，再也没有回去的路。想要别人尊重你，首先就要学会尊重别人。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是 与失去自己的失败比起来，更是微不足道。生命不在于活得长与短，而在于顿悟的早与晚。既不回头，何必不忘。既然无缘，何须誓言。感谢上天我所拥有的，感谢上天 千万条，成功的人生也有千万种，选对适合自己的那条路，走好自己的每段人生路，你一定会是下一个幸福宠儿。活在别人的掌声中，是禁不起考验的人。每一次轻易的 笔。什么时候也不要放弃希望，越是险恶的环境越要燃起希望的意志。现实会告诉你，没有比记忆中更好的风景，所以最好的不要故地重游。有些记忆就算是忘不掉，也 满，现实很骨感。我落日般的忧伤就像惆怅的飞鸟，惆怅的飞鸟飞成我落日般的忧伤。舞台上要尽情表演，赛场上要尽力拼搏，工作中要任劳任怨，事业上要尽职尽责。 乐，今天的抗争为了明天的收获！积德为产业，强胜于美宅良田。爱情永远比婚姻圣洁，婚姻永远比爱情实惠。爱有两种，一种是抓住，你紧张他也紧张；一种是轻松拖 人无忧，智者常乐。并不是因为所爱的一切他都拥有了，而是所拥有的一切他都爱。原来爱情不是看见才相信，而是相信才看得见。磨难是化了妆的幸福。如果你明明知 者选择说出来，或者装作不知道，万不要欲言又止。有时候留给别人的伤害，选择沉默比选择坦白要痛多了。我爱自己的内心，慢慢通过它，慢慢抵达世界，或者，抵达 我忘记一切，时间不会改变痛，只会让我适应痛。人生不容许你任性，接受现实，好好努力。曾经以为爱情是甜蜜，幸福的，不知道它也会伤人，而且伤的很痛，很痛。 出的代价却是好些年的失败。时间几乎会愈合所有事情，请给时间一点时间。蚁穴虽小，溃之千里。多少人要离开这个世间时，都会说出同一句话，这世界真是无奈与凄 孵出来的却是失败。太完美的爱情，我不相信，途中聚聚散散难舍难分，终有一天会雨过天晴。我分不清东南西北，却依然固执的喜欢乱走。若是得手，便是随手可丢； 爱情不是寻找共同点，而是学会尊重不同点。总有一天我会从你身边默默地走开，不带任何声响。我错过了狠多，我总是一个人难过,3、戏路如流水，从始至终，点滴不 未变，终归大海。一步一戏，一转身一变脸，扑朔迷离。真心自然流露，举手投足都是风流戏。一旦天幕拉开，地上再无演员。 相信自己有福气，但不要刻意拥有；相信 绝眼泪；相信世上有好人，但一定要防范坏人；相信金钱能带来幸福，但不要倾其一生；相信真诚，但不要指责所有虚伪；相信成功，但不要逃避失败；相信缘分，但不 但不要求全责备；相信上帝，但别忘了锁上门。 一个人总要走陌生的路，看陌生的风景，听陌生的歌。最后你会发现，原本费尽心机想要忘记的事情真的就那么忘记了明 每次却总是不自觉的想起那个给与温暖的人；每每又总是在微笑沉醉时看到了现实，想到了伤痛，然后，冷的感觉再也暖和不起来了，如此反复，心，终于累了，现实就 又最终醒来，我正在行走，却找不到方向。 有些人，注定是等待别人的，有些人，注定是被人等的。一件事，再美好，你做不到，也要放弃；一个人，再留恋，不属于你 生命都免不了缺憾，最真的幸福，莫过于一杯水、一块面包、一张床，还有一双无论风雨，都和你十指相扣的手。 有些伤痕，划在手上，愈合后就成了往事；有些伤痕， 轻，也会留驻于心；有些人，近在咫尺，却是一生无缘的生命中，似乎总有一种承受不住的痛；有些遗憾，注定了要背负一辈子。生命中，总有一些精美的情感在我们身 留在了岁暮回首的刹那。 这世界并不是所有的东西都符合想象，有些时候，山是水的故事，云是风的故事；也有些时候，星不是夜的故事，情不是爱的故事，许多人走着 着看着就淡了，许多梦做着做着就断了，许多泪流着流着就干了。人生，原本就是风尘中的沧海桑田，只是，回眸处，世态炎凉演绎成了苦辣酸甜。 正所谓“独乐乐不如众 离开了原主人的手里，并实现了更有意义的价值。此刻，送人玫瑰这定是开心的，得玫瑰者亦如此。即使，手中已没了那朵玫瑰，但是，那份淡淡的清香仍留在我的手中 的，精神却是需要发扬光大的。正悟人生戏，邪悟戏人生。水里火里的舞台，挣扎煎熬的表演。你方唱罢我登台，延续千万年，天地一舞台。人类是主角，万物为道具。 面目。辛辛苦苦，轮回演出，期望完美谢幕。 人最悲哀的，并不是昨天失去得太多，而是沉浸于昨天的悲哀之中。人最愚蠢的，并不是没有发现眼前的陷阱，而是第二次 的，并不是想等的��