《思考一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+》
2022年《二次函数》教学反思
2022年《二次函数》教学反思2022年《二次函数》教学反思19月23日，我在九年级三班讲授了二次函数y=ax2+k、y=a （x-h）2的图象和性质。
先从复习二次函数y=ax2入手，通过检测学生对于二次函数y=ax2的性质掌握较好。
然后结合图象让学生理解二次函数y=ax2+k的图象与二次函数y=ax2的图象的关系，通过观察图象学生很容易地理解了二者之间的关系，在做对应练习时效果也较好。
在学习二次函数y=a（x-h）2的图象和二次函数y=ax2的图象的关系时，由于涉及向左或向右平移引出了加减问题，学生在此容易混淆，尽管让学生结合图象明确地看到在x后面如果是加就是向左平移的，反之就是向右平移，再就是在看如何平移时关键是看顶点的平移，顶点如何平移那么图象就如何平移。
先由解析式求出顶点从标，再看平移的问题。
但是还是有一部分同学混淆了。
这一部分内容学习得不够理想。
反思这一节课整个过程中的成功和不足之处，我觉得需要改进的有如下几点：1、灵活处理教材。
教材上是一节课学习两种类型的函数，但是根据学生作图的速度和理解能力，一节课完成两种类型的函数有一定的困难。
虽然也想过适当处理，但是想到教材是一节课完成两种函数，所以还是决定两种函数在一节课完成，事实证明一节课完成两种函数效果不是很好。
由此可见有时教材上的安排不一定是科学的，所以要根据学生的实际情况进行灵活处理。
2、认真考虑每一个细节。
考虑到一节课上学习两种类型的函数时间有些紧张，所以我让学生提前画好了图象，这样在课堂上可以节省时间，由于默认学生已经画好了图象，所以我也没有在黑板上再画出图象，这样让学生在看图象时，有的学生没有画出，有的同学画错了，这样就给学习新知识带来了困难，这是我没有想到的。
所以以后要充分考虑到每一个细节，要想到学生可能会出现什么情况。
3、小组评价要掌握好度。
在课堂上我运用了小组评价，学生回答问题非常积极，可是我感到小组评价还有需要改进的地方。
备《一元二次方程的实根分布问题》
想一想,怎样求函数的零点呢？
求函数的零点有两种方法： ①代数法:求方程f(x)=0的实数根； ②几何法:将它与函数y=f(x)的图象联
系起来,并利用函数的性质找出零点。
连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间 (a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得 f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
如右图知
O 24 x
f f
(2) (4)
3m 5m
2 4
0 0
m
4 5
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件8：若方程有一个正根，一个负根且正根 的绝对值较大。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
O
x
f
(0) m m3
2
0
0
m0
小结
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
如右图知
(m 3)24m 0
0
m
3
2
2
f (0) m 0
f (2) 3m 2 0
O
2 m1 3
2x
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。 条件5：若方程的两个根有且仅有一个在( 0，2)内。
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
例1、若关于x的方程3kx2-2x-4k-2=0的两根一个小于1，另一根
大于1，试求实数k 的取值范围。
《利用二次函数求方程的近似根》人教版九年级数学(下册)
B. 3.23 < x < 3.24 D. 3.25 <x< 3.26
2.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求
得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．4.4
B．3.4
C．2.4 D D．1.4
3.用图象法求一元二次方程
x2 的x 近1似根0（精确到0.1）.
解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个 实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器 进行探索，见下表：
x
…
-0.4
-0.5
…
y
…
-0.04
0.25
…
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这 时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.
＋bx＋c＝0的近似根为( )
B
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而
对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称
轴为x＝－1，则
y=ax2+bx+c的图象与 x轴有____ 个交点，坐标是______.方1程
ax2+bx+c=0的根是__(2_,_0_)_.
《二次函数与一元二次方程》教学反思(最新)
《二次函数与一元二次方程》教学反思本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。
教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系，然后介绍了用图象法求一元二次方程近似解的过程。
这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。
由于九年级学生已经具备一定的抽象思维能力，再者，在八年级时已经学习了一次函数与一元一次方程的关系，因而，采用类比的方法在学生预习自学的基础上放手让学生大胆地猜想、交流，分组合作，同时设定一定的问题环境来引导学生的探究过程，最后在老师的释疑、归纳、拓展、总结的过程中结束本节课的教学。
在知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。
本节课的知识障碍，本节课的主要目的在于建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想，而不仅仅是利用函数的图象求一元二次方程的近似解。
总之，在教学过程中，我始终遵循着“有效的数学学习活动不能单独地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。
”这一《新课程标准》的精神，注意发挥学生的主体作用，让学生通过自主探究、合作学习来主动发现问题、提出问题、解决问题，实现师生互动，通过这样的教学实践取得了一定的教学效果，我再次认识到教师不仅要教给学生知识，更要培养学生良好的数学素养和学习习惯，让学生学会学习，使他们能够在独立思考与合作学习交流中解决学习中的问题。
教学目标的设定：一、教学知识点：(1)、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.（2）、理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.（3）、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h 交点的横坐标.二、能力训练要求：（1）、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神。
高考数学《一元二次不等式及解法》专项复习
一元二次不等式及其解法【课标要求】熟练运用转化与化归的思想，反复思考一元二次不等式与二次函数的关系.【学习目标】（1）．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．（2）．掌握图象法解一元二次不等式的方法．（3）．培养数形结合、分类讨论思想方法．【重难点】一元二次不等式的解法.【知识回顾】1、二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)在Δ＝b2－4ac>0时，有两不等实根，此时对应的二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个公共点，Δ＝0时，有两相等实根，此时，对应二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴有一个公共点；当Δ<0时，没有实数根，此时，对应二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点.2、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．“元”是未知数，“一元”就是含有一个未知数注意：(1)在一元二次不等式的表达式中，一定有条件a≠0，即二次项的系数不为零．(2)对于ax2＋bx＋c>0(或<0)的形式，如果不指明是二次不等式，那么它也可能是一次不等式，应特别注意分类讨论.3、利用二次函数图像解一元二次不等式设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两个不等实根分别为x1，x2(x1<x2)，则不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|x<x1或x>x2}，不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}．当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的判别式Δ<0时，此方程无实数根，y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴上方，所以ax2＋bx＋c>0的解集是R，而ax2＋bx＋c<0的解集是∅.注意：(1)上述给出的解集形式是在a>0的情况下的解集形式．若a<0，应将不等式两边同时乘－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式再解．(2)若ax2＋bx＋c＝0(a>0)的判别式Δ＝0，则方程有两个相等的实根，此时不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|x≠－b2a}，ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为∅.一元二次不等式的解集、二次方程的根与二次函数的图象之间的关系见下表：x1,2＝－b±Δ2ax1＝x2＝－b2a没有实数根|x<x或x>x{x|x≠－b2a}R4、解一元二次不等式的一般步骤：[方法规律总结]第一步，将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．第二步，求出相应二次方程的根，或判断出方程没有实根．第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．第四步，观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．5、含参一元二次不等式的解法解答含参数的不等式时，一般需对参数进行讨论，常见的有以下几种情况：(1)二次项系数含参数时，根据二次不等式化标准形式需要化二次项系数为正，所以要对参数符号进行讨论．(2)解“Δ”的过程中，若“Δ”表达式含有参数且参数的取值影响“Δ”符号，这时根据“Δ”符号确定的需要，要对参数进行讨论．(3)方程的两根表达式中如果有参数，必须对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进行讨论．总之，参数讨论有三个方面：①二次项系数；②“Δ”；③根．但未必在这三个地方都进行讨论，是否讨论要根据需要而定．6、穿根法解高阶不等式解法：穿根法解高次不等式的步骤①将f(x)最高次项系数化为正数；②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集．7、分式不等式等）（或00<>++dcx bax 的解法 [方法规律总结]1.对于不等号一端为0的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项、通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 8、一元二次不等式恒成立问题 [方法规律总结](1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ<0；(2)ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎨⎧ a >0Δ≤0；(3)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ<0；(4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎨⎧a <0Δ≤0.2．不等式有解问题(1)若ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)有解，则a >0或⎩⎨⎧a <0，Δ>0.(2)若ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)有解，则a >0，或⎩⎨⎧a <0，Δ≥0.【随堂练习一】1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A ．{x |x ≠－13}B ．{x |－13≤x ≤13}C ．∅D ．{－13} 2．不等式3x 2－x ＋2＜0的解集为( )A ．∅B ．RC ．{x |－13＜x ＜12}D ．{x ∈R |x ≠16} 3．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是( ) A ．{x |x ＜－4，或x ＞3} B ．{x |－4＜x ＜3} C ．{x |x ≤－4，或x ≥3}D ．{x |－4≤x ≤3}4．(2015·东北三校二模)设集合M＝{x|x2－2x－3<0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为()A．8 B．7 C．4 D．3 5．不等式x2－4x－5>0的解集是()A．{x|x≥5或x≤－1} B．{x|x>5或x<－1}C．{x|－1<x<5} D．{x|－1≤x≤5}6．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，则下图阴影部分表示的集合是()A．[－1,1)B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)7．不等式2x2＋mx＋n>0的解集是{x|x>3或x<－2}，则m、n的值分别是() A．2,12 B．2，－2 C．2，－12 D．－2，－128．函数y＝log 12(x2－1)的定义域是()A．[－2，－1)∪(1，2]B．[－2，－1)∪(1，2)C．[－2，－1)∪(1,2]D．(－2，－1)∪(1,2)9．已知集合A＝{x|3x－2－x2＜0}，B＝{x|x－a＜0}且B A，则a的取值范围是()A．a≤1 B．1＜a≤2 C．a＞2 D．a≤2 10．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|log2(x＋1)<1}，则A∩B等于() A．(－∞，0) B．(2，＋∞) C．(0,1) D．(－1,0)11、不等式x2＋x－2<0的解集为________．12、不等式x2－4x＋5＜0的解集为________．13、不等式0≤x2－2x－3＜5的解集为________【随堂练习二】1、若0＜t＜1，则不等式x2－(t＋1t)x＋1＜0的解集是()A ．{x |1t ＜x ＜t }B ．{x |x ＞1t 或x ＜t }C ．{x |x ＜1t 或x ＞t }D ．{x |t ＜x ＜1t } 2．已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1,0} B ．{0,1} C ．{－1,0,1} D ．{0,1,2} 3．若a ＜0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＞0的解是( )A ．x ＞5a 或x ＜－aB ．x ＞－a 或x ＜5aC ．5a ＜x ＜－aD ．－a ＜x ＜5a4．不等式(x －2)2(x －3)x ＋1<0的解集为( )A ．{x |－1<x <2或2<x <3}B ．{x |1<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |－1<x <3}5．若{x |2<x <3}为x 2＋ax ＋b <0的解集，则bx 2＋ax ＋1>0的解集为( ) A ．{x |x <2或x >3} B ．{x |2<x <3} C ．{x |13<x <12} D ．{x |x <13或x >12}6．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4＜a ＜4 C ．a ≤－4或a ≥4 D ．a ＜－4或a ＞47．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜－2或m ＞2 B ．－2＜m ＜2 C ．m ≠±2 D ．1＜m ＜38．已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则有( ) A ．m ≤－3 B ．m ≥－3 C ．－3≤m <0 D ．m ≥－4 9．函数y ＝－x 2－3x ＋4x 的定义域为( )A ．[－4,1]B ．[－4,0)C ．(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1]10．如果不等式2x 2＋2mx ＋m4x 2＋6x ＋3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，3)C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)11、解不等式：(1)2x－13x＋1>0；(2)axx＋1<0.12．当a为何值时，不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0的解集是R?13、解关于x的不等式：x2＋2x－3－x2＋x＋6<0。
关于二次函数的知识点总结
关于二次函数的知识点总结导语：二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
下面是由小编整理的关于二次函数的知识点总结。
欢迎阅读！1、二次函数及其图像二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(x)=ax^2bxc(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax∧2；bxc(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a)；顶点式y=a(xm)∧2k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用*法把一般式化成顶点式；交点式y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线]；重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
牛顿*值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。
由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2)(y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)求根的方法还有因式分解法和*法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
《二次函数》教学反思范文（通用10篇）
《二次函数》教学反思《二次函数》教学反思范文（通用10篇）《二次函数》教学反思篇1二次函数是初中阶段的重要知识点，如何让学生学得好，也是困扰我很久的问题。
通过画图，在观察图形中总结出图形的性质，对学生来说不是难点。
重点和难点在准确灵活地应用性质。
但是要想准确应用，熟记图形与性质是前提，于是我重点放在对“性质的记忆”和“对学生高要求上”。
强化记忆，功夫在平时。
每节课上课一开始，我在黑板上板书上节学过的有代表性的函数，为防止出错，开始以小组或者同为相互检查快速说性质：包括图形、对称轴、顶点坐标、增减性、最值六个方面。
每节课都将前几节课学过的函数式板书，学生自然形成习惯。
直到学习顶点式的一般形式这节课，共出示六个代表性的函数，尽管多，但是在前几节课的基础上，学生已经达到熟练快速准确。
我和学生开玩笑说，必须将函数性质记忆到说梦话都说函数性质的地步。
深化理解。
学生对着自己曾经画过函数说性质，不知不觉中将图像和性质有机的结合在了一起。
并逐步的将说具体函数的性质过渡到说一般表达式的函数性质。
y=ax2y=ax2+k，y=a（x—h）2+k。
提高要求。
因为手中没有合适的材料供学生练习使用，因此我们每节课印制了两份随堂练习，因为刚学完性质，对学生来说训练题难度不大，开始对学生的要求是最多错一个题，结果发现学生的错误很少，后期发现自己的要求低了，于是我改变要求，必须一个不错方可得A等级。
结果发现，学生自然对自己的要求也提高了。
当发现自己错一个时，就会反思自己那里没学好。
一班的学生平时反映灵活，但是缺少深入细致，必须提高要求，方可让他们耐下心来认真学习。
同时从学生的答题中，及时发现学生存在的问题，及时提醒学生反思改进。
上节课讲过的下次再考照样错，如：李萌。
在她的反思中，分析到自己不是智力问题，而是心态和习惯问题，遇到问题不深入细致，导致基础知识的应用出问题。
他月考和期中检测均是等级B。
“就按这样的习惯学下去，不能考A”“老师，下次我一定考A”我试图在平时的学习中发现她的问题，多么希望她保持好的等级。
一元二次方程根与系数的关系——初中数学第四册教案
一元二次方程根与系数的关系——初中数学第四册教案一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。
教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、2= 得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。
然后是通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。
例如，求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等等。
根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家）。
韦达定理是初中代数中的一个重要定理。
这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。
通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。
出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。
通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。
（二）重点、难点一元二次方程根与系数的关系是重点，让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。
（三）教学目标1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。
2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
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相等的实数根。
－6
2(1) f(x)= －x3－3x+5
2(1)解：作出函数的图象，如下：
因为f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0, 所以f(x)= －x3－3x+5在区间(1, 1.5) 上有零点。又因为f(x)是(－∞,＋∞） 上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有 且只有一个零点。
y.
2
1.
－1 0
12
. －1
－2
. －3
－4
3 4x
2(4) f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x
2(4)解：作出函数的图象，如下：
因为f(－4)＝－4<0,f(－ 3)＝15>0,
f(－2)＝－2<0,f(2)＝－70<0, f(3)＝3>0,
所以f(x)= 3(x+2)(x － 3)(x+4)+x 在区间
（A）函数y=x+1有零点x=-1； （B）函数y=x2-2x-3的零点是(-1,0),(3,0) ； （C）函数y=x2-2x-3的零点是-1和3； （D）函数 y 1 没有零点。
x
定义：
对于函数y=f(x)，把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数的零点．
函数y=f (x) 有零点．
方程f (x)=0 有实数根
对了，你真棒！
1(4)解：5x2 +2x＝3x2 +5可化为
y
2x2 ＋2x－5＝0，令f(x)=2x2＋
4 3
2x－5 , 作出函数f(x)的图象，
. 2. 1
如下：
. . －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 －1
x
它与x轴有两个交点，所以
－2 －3
方程5x2 +2x＝3x2 +5有两个不
－4
所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。
.
y
.
2
1
x 0 1 2 3 4 5
－1
-2 -3
.
.
2(3) f(x)=ex－1+4x－4
2(3)解：作出函数的图象 如下：
因为f(0)≈－3.63<0,f(1) －2
＝1>0,所以f(x)= ex－1+4x－4 在区间(0,1)上有零点。又因 为f(x) = ex－1+4x－4是(－∞ ， ＋∞）上的增函数，所以在 区间(0,1)上有且只有一个零 点。
1(2) 2x(x－2)＝－3
对了，你真棒！
1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为 2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x
.y . 5
＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下： 3 . 4 .
它与x轴没有交点，所以方程
2 1
.
2x(x－2)＝－3无实数根。
x －1 0 1 2 3
1(3) x2 ＝4x－4
f (a) ·f(b)_<__0（< 或 > 或 =） ②在区间[b，c]上_有__(有/无)零点；
f (b) ·f(c)_<__0（< 或 > 或 =）
定理：
如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一 条曲线,并且有f(a)·f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区间(a, b)内 有零点, 即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c也就是方程f(x) = 0 的根．
图象与x轴交点的横坐标。
再推广：方程f(x)=0的根和相应函数y=f(x)的图象与x 轴的交点有何关系呢？
结论: 方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)
的图象与x轴的交点的横坐标。
函数零点的定义：
对于函数y=f(x)，把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数的零点．
辨析练习：判断下列说法的正误：
推广:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与相应二 次函数y=ax2+bx+c (a≠0)与x轴的交点有何关系?
∆=b2-4ac ax2+bx+c=0的实根 y=ax2+bx+c图象与x轴的交点
∆>0
x1，x2
∆=0
x1=x2
∆<0
无实数根
(x1,0)、(x2,0) (x1,0)
没有交点
结论: 一元二次方程的实数根就是相应二次函数
(－4,－3 )、 (－3，－2,)、 (2,3 )上各有
一个零点。
y
40
.
20
. . －4 －2
－5
－3 －1 0
－20
. －40
. .
1 2 34 5
.
x
.
.－60 .
. －80
x f(x)
1234567
-4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459
由以上表格和图像可知，
y
f (2)<0，f (3)>0，即f (2)·f (3)<0， 14 12
说明这个函数在区间(2,3)内有 10
零点。
8 6
. . . . .
由于函数f (x)在定义域(0,+∞) 4 2
.y .
5
.4
3
2.
1
x 0 1 2 3
－1
.
2(2) f(x)=2x ·ln(x－2)－3
2(2)解：作出函数的图象，如下：
因为f(3)＝－3<0,f(4)≈2.545>0,所以f(x)=
2x ·ln(x－2)－3在区间(3,4)上有零点。又因为
f(x) =2x ·ln(x－2)－3是(2，＋∞）上的增函数，
f (-2) ·f(1)_<__0（< 或 > 或 =） ② 在区间[2，4]上有零点___3____；
f (2) ·f(4)_<__0（< 或 > 或 =）
.y
.
2
.1
.
x －2 －1 0 1 2 3 4 －1
－2 －3
. －4
观察函数 y = f (x)的图象: ①在区间[a，b]上_有__(有/无)零点；
总结：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线：
（1）f (a)·f (b)<0
函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点；
（2）函数y=f (x)在区间(a,b)内有零点
f(a)·f(b)<0。
y
..
y
.
a0 b x
0 a.
bx
范例解析
例1：判断函数f (x)=lnx+2x-6是否存在零点． 解：用计算器或计算机作出x、f (x)的对应值表和图象：
作业：
92页 习题3.1 A组：2； 同步导练：3.1节 第一课时
1(1) －x2＋3x＋5＝0
对了，你真棒！
1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5, 作出函数f(x)的图象，如下：
它与x轴有两个交点，所以
y 8.
6.
.
4
方程－x2＋3x＋5＝0有两个不
2
相等的实数根。
.
.
x －2 －1 0 1 2 3 4
..
内是增函数，所以它仅有一个 零点。
. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . －2
－4
x
－6
练习：判断函数f(x)=2x+x-4的零点个数， 并指出 其零点所在的大致区间.
内容回顾
1．函数零点的定义 2．三个等价关系 3．函数y=f(x)的零点存在性的判定。
练习：
88页 练习：1；2（选做）
思考：一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
问题1：填写下表，探究一元二次方程的根与相 应二次函数与x轴的交点的关系？
一元二次 方程
x2-2x-3=0
方程的根 二次函数 函数的图象
x1= -1， y＝x2-2x-3 x2=3
y
-1 o 3 x
函数y=f (x)的图 象与x轴有交点
思考：你能用哪些方法求零点？ （1）解方程 （2）作图
巩固练习
练习：求下列函数的零点． (1)f(x)=2x-6; (2)f(x)=x2-x-6; (3) f(x)=2x-2； (4)f(x)=lnx.
观察二次函数f (x)=x2 - 2x - 3的图象:
① 在区间[-2，1]上有零点___-_1___； f (-2)=___5__，f (1)=_-__4__，
对了，你真棒！
1(3)解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x
y
＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出 . 6
.
函数f(x)的图象，如下：
5Leabharlann .4.它与x轴只有一个交点，所以 方程x2 ＝4x－4有两个相等的实 数根。
3 2
1
. x －1 0 1 2 3 4
1(4) 5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5
图象与x
轴的交点
(-1,0)
(3,0)
y
x2-2x+1=0 x1=x2=1 y＝x2-2x+1
o1 x
(1,0)
x2-2x+3=0 无实数根 y＝x2-2x+3
y
ox
没有交点
结论：上述方程的根是函数图象与x轴交点的横坐标。
特殊的一元二次方程与相应二次函数： 方程的实根是函数图象与x轴交点的横坐标。