2011年“学而思杯”初一数学试卷及答案
学而思初中数学试卷
1. 下列数中，是整数的有（）A. 0.1B. -2.5C. 3D. √42. 下列代数式中，含有未知数的是（）A. 2x + 5B. 3x^2 - 4x + 7C. 5x + 2x^2 + 3D. 23. 已知a = 2，b = -3，则a^2 + b^2的值为（）A. 13B. 1C. 7D. 94. 一个长方形的长是5cm，宽是3cm，它的周长是（）A. 14cmB. 15cmC. 16cmD. 17cm5. 下列图形中，面积最大的是（）A. 正方形B. 长方形C. 等腰三角形D. 平行四边形二、填空题（每题5分，共25分）1. 5的平方根是_________，它的立方是_________。
2. 若x - 3 = 0，则x的值为_________。
3. 3a - 5b + 2a = _________。
4. 下列图形中，轴对称图形是_________。
5. 一个等腰三角形的底边长是6cm，腰长是8cm，它的面积是_________平方厘米。
三、解答题（每题10分，共30分）1. 解下列方程：(1) 2x - 5 = 9(2) 5(x - 2) = 3x + 42. 已知长方形的面积是24cm^2，长是8cm，求它的宽。
3. 小明骑自行车去图书馆，他骑了3小时，每小时骑行10km，求小明骑行的总路程。
1. 小华有一块长方形的地毯，长是4m，宽是3m。
她打算用一些边长为1m的正方形瓷砖来铺满这块地毯。
请问，至少需要多少块瓷砖？2. 某商场举行促销活动，购买每件商品可以享受8折优惠。
小王想买一件标价为800元的商品，请问，他实际需要支付多少元？答案一、选择题：1. C2. A3. A4. A5. A二、填空题：1. ±√5，252. 33. 5a - 5b4. 等腰三角形5. 12三、解答题：1. (1) x = 7 (2) x = 202. 宽 = 3cm3. 总路程 = 30km四、应用题：1. 至少需要12块瓷砖。
2011年“学而思杯”中学生理科能力大赛初二数学试卷
2011年“学而思杯”中学生理科能力大赛初二数学试卷一、填空题（本题满分60分，每小题5分）1．（5分）点（1﹣x，﹣x）不可能在第象限．2．（5分）函数y=中，自变量x的取值范围是．3．（5分）已知（x﹣y+2）的算术平方根和（x+y﹣1）2互为相反数，则的平方根为．4．（5分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，∠BAE=30°，AE=2，则矩形ABCD的面积为．5．（5分）已知，函数y=kx+m和y=ax+b的图象交于点P，则根据图象可得不等式组的解集为．6．（5分）如图，直线y=﹣x﹣1，交两坐标轴于A、B两点，平移线段AB到CD，使两点都落在反比例函数y=（x＞0）的图象上，DM⊥y轴于点M，DN⊥x轴于点N，则DM﹣DN=．7．（5分）如果实数a，b满足a2﹣8a﹣4=0，b2﹣8b﹣4=0，则的值为．8．（5分）已知x、y、a都是实数，且|x|=1﹣a，y2=（1﹣a）（a﹣1﹣a2），则x+y+a3+1的值为．9．（5分）设实数a，b，c满足2a+b+c+14=2，那么的值为．10．（5分）如图，Rt△ABC中，E、D、F分别在AB、BC、AC上，且四边形AEDF 是正方形．已知CD=8，BD=12，则阴影部分的面积为．11．（5分）若实数x、y满足，，则x+y=．12．（5分）已知正方形ABCD所在平面内的直线满足：（1）正方形四个顶点到这条直线的距离只有两种；（2）两种距离中，较大的是较小的三倍．那么，符合上述条件的直线一共有条．二、简答题（）13．（10分）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，CD=AB，4BC2=5AD2，（1）求证：AD=AB．（2）AC、BD交于点E，AO⊥BD交BD于O，交BC于F，求证：CE=CF．（3）作点F交于点O的对称点H，试判断BH与AE的关系，并证明你的结论．14．（10分）如图1，已知直线y=﹣x+m与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A、B两点（点A在点B的左侧），分别与x、y轴交于点C、D，AE⊥x轴于E．（1）若OE•CE=12，求k的值．（2）如图2，作BF⊥y轴于F，求证：EF∥CD．（3）在（1）（2）的条件下，EF=，AB=2，P是x轴正半轴上的一点，且△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求P点的坐标．15．（10分）如图，D为△ABC中线AM的中点，过M作AB、AC边的垂线，垂足分别为P、Q，过P、Q分别作DP、DQ的垂线交于点N．（1）求证：PN=QN；（2）求证：MN⊥BC．16．（10分）若x，y，z满足x+y+z=1，x2+y2+z2=2，x3+y3+z3=，求x4+y4+z4的值．2011年“学而思杯”中学生理科能力大赛初二数学试卷参考答案一、填空题（本题满分60分，每小题5分）1．二；2．x≤﹣2且x≠﹣4；3．±；4．；5．﹣2＜x＜﹣1；6．1；7．2或﹣18；8．2；9．；10．48；11．432；12．16；二、简答题（）13．；14．；15．；16．；。
学而思数学初中测试题1答案
初一年级第一学期期中测试题一答案第Ⅰ卷一 选择题（每小题3分 共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABBDDCBCBA二 填空题（每小题3分 共18分） 题号 11 12 13 14 15 16答案-312658-5或-17781 第15题 只写一个答案2分 三 解答题17 （1） ()()42025-÷+⨯-解：原式()510-+-= ----------4分（此步前后计算各2分） 15-= ----------6分（2） ()7221543-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-÷-解：原式()728154-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-= ----------2分()()14404-+--= ----------4分（此步两个计算各1分） 30= ---------6分18 （1）5423--+a a解：原式5243-+-=a a ----------2分3--=a ----------6分（此步两个计算各2分） （2） ()()22532x x --+解：原式22562x x +-+= ----------4分（此步两个计算各2分） 56222-++=x x ----------5分 132+=x ----------6分 19 （1） x x 23163-=+解： 63123-=+x x ----------2分 255=x ----------4分 5=x ----------6分 （2）174333x x -=+ 解： 433731+=-x x ----------2分 72=-x ----------4分 27-=x ----------6分 或： 1279x x -=+----------2分7129x x -=+----------3分621x -=----------4分27-=x ----------6分 20 解：原式y x xy y x xy y x 22243322-+-+= ----------2分 xy xy y x y x y x 32432222++--= ----------3分 xy y x 552+-= ----------4分 当1x =-，1y =时，原式()()1151152⨯-⨯+⨯-⨯-= ----------5分()55-+-= ----------7分10-= ----------8分21 解：（1）（标识正确一个点得1分，本小题共3分）（2）小明家与小刚家相距：()()千米734=-- ----------5分 （3）这辆货车此次送货共耗油：()()升5.255.135.85.14=⨯+++ ----------7分答：小明家与小刚家相距7千米，这辆货车此次送货共耗油25.5升。
2010年“学而思杯”初一数学A卷试题(含答案)
2010年“学而思杯中学生理科能力展示大赛”初一数学（A卷）姓名区学校准考证号Ⅰ卷一、选择题：（本题共15小题，每小题4分，共60分）1.已知a是正数，且21aa-=，则224aa-等于_________.2.已知223,2x xy xy y+=+=-,则2223x xy y--=.3.观察按下列规则排成的一列数：1 1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，33，42，51，16，……在上式中，从左起第个数记为()G m，当2()2010G m=时,则m的值为________,这m个数的积为___________.4.若n满足22(2004)(2005)1n n-+-=，则(2004)(2005)n n--等于_____________.5.设x、y、z均为正实数，且满足222222z x y x y z y x zx y y z z x++++++<<+++，则x y z、、三个数的大小关系是_________.6.将一长方形切去一角后得一边长分别是13、19、20、25和31的五边形（顺序不一定按此）.则此五边形的面积为__________.7.水果市场有甲、乙、丙三种水果，如果买甲2千克，乙1千克，丙4千克，共付钱6元；如果买甲4千克，乙2千克，丙2千克，共付钱4元；今要买甲4千克，乙2 千克，丙5千克，则共应付钱____________.8. 已知,p q 均为质数，且满足27379p q +=，则p = ，q =_________.9. 若干名游客要乘坐汽车，要求每辆汽车坐的人数相等，如果每辆汽车乘坐30人，那么有一人未能上车；如果少一辆汽车，那么，所有游客正好能平均分到各辆汽车上，已知每辆汽车最多容纳40人，则有游客 人.10. 方程2311x y x y --+++=的整数解的个数是 .11. 如图，矩形ABCD 中，点,,,E F G H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点P 在矩形ABCD 内．若4cm AB =，6cm BC =，3cm AE CG ==，4cm BF DH ==，四边形AEPH 的面积为25cm ，则四边形PFCG 的面积为_________2cm ．12. 设22211148()34441004A =⨯++---，则A 的整数部分是__________.13. 已知2226,12a b c a b c ++=++=，则201020102010a b c -+=_____________.14. 已知：m 为非零实数，且1122x x m -+=，则21x x+=__________.15. 对于一个自然数n ，如果能找到自然数(0)a a ＞和(0)b b ＞，使1n a b ab -=++,则称n 为一个“十字相乘数”，例如:411111-=++⨯，则4是一个“十字相乘数”，在1～20这20个自然数中，“十字相乘数”共有_________个.Ⅱ卷二、解答题（每题10分，共40分）16. 观察：2123415⋅⋅⋅+=，22345111⋅⋅⋅+=，23456119⋅⋅⋅+=，………… (1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明．(2)根据(1)，计算20002001200220031⋅⋅⋅+的结果(用一个最简式子表示)．17. 若x y m n +=+，且2222x y m n +=+．求证：2010201020102010x y m n +=+．18. 设1232010,,,,x x x x 是整数，且满足下列条件：① 12n x -≤≤，1,2,3,,2010n =；②1232010200x x x x ++++=；③222212320102010x x x x ++++=．求 33331232010x x x x ++++的最小值和最大值．19. 小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是多少？三、附加题（10分）20. 10张卡片上分别写有0到9这10个数，先将它们从左到右排成一排，再采用交换相邻两张卡片位置的方法对它们进行操作，规则如下：当相邻两张卡片左边卡片上的数比右边卡片上的数大时，交换它们的位置，否则不进行交换．若规定将相邻两张卡片交换一次位置称为1次操作，那么无论开始时这10张卡片的排列顺序如何，至多经过次操作，就能将它们按从小到大的顺序排列．2010年“学而思杯中学生理科能力展示大赛”初一数学（A卷答案）Ⅰ卷一、选择题：（本题共15小题，每小题4分，共60分） 1. 3.提示：224222()()a a a a aaaa-=+-=+2222()()8189a a a a+=-+=+=故23a a+=，2243a a-=.2. 12.提示：2222232()3()233(2)12x xy y x xy xy y --=+-+=⨯-⨯-=.3. 2021057;12021057.提示：分子分母和为2的数有1个,和为3的数有2,和为4的数有3,依次类推,和为2011的数有2010个,故前面一共有12010123..20102010201110052+++++=⨯=⨯个数,再加上12011,前面一共有 2021056个数,故22010是第2021057个数, 2021057m =,这些数的乘积为121201120102021057⨯=. 4. 0.提示：222(2004)(2005)1(20042005)n n n n -+-==-+-22(2004)(2005)2(2004)(2005)n n n n =-+-+-- 从而可知, (2004)(2005)0n n --=. 5. z x y <<.提示：由222222z x y x y z y x z x y y z z x ++++++<<+++可知，222z x yx y y z z x+<+<++++从而可知，z x y x y y z z x <<+++，x y y z z xz x y+++>>，111x y y z z x z x y ++++>+>+，即x y z y z x z x yz x y++++++>>. 故z x y <<.6. 745. 提示：画图可知，符合题意的情况如下：故此五边形的面积为131251257452⨯-⨯⨯=.7. 8.提示：设甲、乙、丙的价格分别为,,x y z ，则 2464224x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩可设425(24)(422)x y z A x y z B x y z ++=+++++，则有24412214252A B A A B B A B +=⎧=⎧⎪⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎪+=⎩⎩，故425628x y z ++=+=. 也可采用消元法，减少一个未知数，不再给出. 8. 2p =，17q =．提示：由奇偶性可知，,p q 中必有一个偶数2，若2p =，则17q =，符合题意； 若2q =，则p 不是整数，不合题意. 9. 961.提示：设汽车有x 辆，则有301(1)x k x +=-，其中40k ≤， 故 301313011x k x x +==+-- 故131x -=或11x -=时满足题意，此时32x =或2x =但2x =时，经检验可知，不合题意，故32x =，游客有30321961⨯+=人. 10. 2组提示：由题意可知，23110x y x y --=⎧⎨++=⎩，23110x y x y --=-⎧⎨++=⎩，23011x y x y --=⎧⎨++=⎩，23011x y x y --=⎧⎨++=-⎩解得整数解为01x y =⎧⎨=-⎩，11x y =⎧⎨=-⎩，故有2组.11. 8.提示：连结EF 、FG 、GH 、HE .易证AEH CGF ∆∆≌,DGH BEF ∆∆≌,四边形EFGH 是 平行四边形.易得平行四边形EFGH 的面积为14，PEH ∆的面积为2，故PFG ∆的面积为5.所以四边形PFCG 的面积为8. 12. 24提示：22211148()34441004A =⨯++---11148...(32)(32)(42)(42)(1002)(1002)⎡⎤=⨯+++⎢⎥+-+-+-⎣⎦111111148(...)43232424210021002=⨯⨯-+-++--+-+-+111111112(1...)5263798102=⨯-+-+-++- 111111112(1.........)2398567102=⨯++++---- 111111112(1)23499100101102=⨯+++---- 111111111264312()2512()9910010110299100101102=+++-⨯+++=-⨯+++ ∵41111401212()1211029910010110299<⨯<⨯+++<⨯< ∴2425A <<.故其整数部分为24. 13. 20102.提示：由6a b c ++=可知，2()36a b c ++=，即22222236a b c ab bc ca +++++= 又22212a b c ++=，故22224ab bc ca ++= 2222()(222)122240a b c ab bc ca ++-++=⨯-= 即222()()()0a b b c c a -+-+-=，故2a b c === 20102010201020102a b c -+=.14. 22m -. 提示：111222222212111()2()22x x x x x m x xx -+=+=+-=+-=-15. 7.提示：由1n a b ab -=++可知，1(1)(1)n a b ab a b =+++=++ 当a b =时，“十字相乘数”可取4，9，16这3个数； 当a b ≠时，不妨设a b ＞，则若2b =时，则2a ＞，且2017215333a a +⇒=≤≤，故3,4,5a =，此时“十字相乘数”为12,15,18；若3b =时，则3a ＞，且20144a a +⇒≤≤，故4a =，此时“十字相乘数”为20；若3b ＞，不合题意. 故符合题意的“十字相乘数”一共有7个. 二、解答题（每题10分，共40分）16. (1)结论：对于自然数n ，有22(1)(2)(3)1(31)n n n n n n ++++=++…………2分证明：22(1)(2)(3)1(3)(32)1n n n n n n n n ++++=++++ ………………4分 222(3)2(3)1n n n n =++++ ……………………6分22(31)n n =++ ………………………………………8分∴22(1)(2)(3)1(31)n n n n n n ++++=++(2)由(1)得2200020012002200314006001⨯⨯⨯+= …………………………10分17. 由x y m n +=+可得, 222222x y xy m n mn ++=++ …………………………2分又2222x y m n +=+,故22xy mn = ……………………………………………4分 从而222222x y xy m n mn +-=+-,即22()()x y m n -=-…………………………6分 故x y m n -=-或n m - …………………………………………………………8分 再结合x y m n +=+可知, x m y n =⎧⎨=⎩或x ny m =⎧⎨=⎩…………………………………10分于是2010201020102010x y m n +=+成立.18. 设1232010,,,,x x x x 中有r 个1-、s 个1、t 个2，则2200,42010.r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩……………………………………………2分 两式相加，得31105s t +=，故0368t ≤≤． ………………………………4分∵ 333123x x x +++ (3)20108x r s t +=-++ 6200t =+． ……………………………………………5分∴ 3333123201020063682002408x x x x ++++⨯+=≤≤． ……………………6分当0,1105,905t s r ===时，33331232010x x x x ++++取最小值200， …………8分当368,1,537t s r ===时，33331232010x x x x ++++取最大值2408． …………10分19. 设原来电话号码的六位数为abcdef ，则经过两次升位后电话号码的八位数为28a bcdef ．根据题意，有8128abcdef a bcdef ⨯= ……………………………………2分 记43210101010x b c d e f =⨯+⨯+⨯+⨯+………………………………………4分 于是5568110812081010a x a x ⨯⨯+=⨯+⨯+解得1250(20871)x a =⨯-． ………………………………………6分因为5010x ≤＜，所以501250(20871)10a ⨯-≤＜，故1282087171a ＜≤． ……8分 因为a 为整数，所以2a =．于是1250(208712)82500x =⨯-⨯=． ……10分 所以，小明家原来的电话号码为282500． 三、附加题（10分）20. 记2n ≥张卡片至多经过n a 次操作后，能将它们按从小到大顺序排列，则232431091;2;3;............9.a a a a a a a ==+=+=+所以10123.....945a =++++=.。
2010年学而思杯初一数学B卷试题及答案
2012年 初一数学 （B 卷）姓名 得分_______________Ⅰ卷一、选择题：（本题共15小题，每小题4分，共60分）1. 已知a 、b 为实数，且4ab =，设2424a b M a b =+++，1122N a b =+++，则M 、N 的大小关系是M _______N .（填“＞”、“＜”、“＝”其中一个）2. 如图，长方形ABCD 恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，如果小长方形的面积是3，则长方形ABCD 的周长是___________.3. 已知a ，b ，c 为整数，且2010a b +=，2009c a -=．若a b ＜，则a b c ++的最大值为 ．4. 观察下列算式：123456782=22=42=82=162=322=642=1282=256，，，，，，，,……通过观察，用你所发现的规律写出118的末位数字是__________.5. 已知0abc ≠，0a b c ++=，则111111()()()a b c b c c a a b+++++的值为_________.6. 如图，正方形的网格中，12∠+∠=_________.7. 三个正方形连成如下图形，求x ∠=____________.8. 若3210x x x +++=，则2010200920081220092010....1...x x x x x x x x ----++++++++++=____.9. 已知2220082007a =-，2220092008b =-，2220102009c =-，则,,a b c 的大小关系为________.10. 已知三角形的三边,,a b c 的长都是整数，且a b c ≤＜，如果5b =，则这样的三角形共有________个.11. 某人将2008看成了一个填数游戏式：2□□8，于是他在每个框中各填写了一个两位数ab 与cd ，结果所得到的六位数28abcd 恰是一个完全立方数，则ab cd +=________.12. 已知x y z 、、是三个非负实数，满足325x y z ++=，2x y z +-=，若2S x y z =+-，则S 的最大值与最小值的和为___________.13. 有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等(如图)，则白皮的块数是__________.14. 设四位数abcd 是一个完全平方数，且21ab cd =+，则这个四位数为________.15. 如果对于不小于8的自然数n ，当31n +是一个完全平方数时，1n +都能表示成k 个完全平方数的和，那么k 的最小值为___________.Ⅱ卷二、解答题（每题10分，共40分）16. 为进一步丰富市民的文化生活，海淀文化局计划把海淀影剧院进行改造．把原来的1000个座位改为现在的2004个座位．改建后的影剧院从第二排起后排都比前一排多一个座位，要求排数大于20．问有几种设计方案，如何设计?17. 将长为2n (n 为自然数且4n ≥)的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记(a ，b ，c )为三边长分别是a ，b ，c 且满足a b c <<的一个三角形，就6n =的情况，分别写出所有满足题意的(,,)a b c .18.将正整数1、2、3、4、5、6……按下列规律进行排列：首先将这些数从“1”开始每隔一数取出，形成一列数：1、3、5、7排成一行；然后在剩下的数2、4、6、8……中从第一个数“2”开始每隔一数取出，形成第二列数：2、6、10、……排成第二行；照此下去，第三排的数由剩下的4、8、12、16、……中从第一个数“4”开始每隔一数取出4、12、20、……；如此一直继续下去，我们可以排成一张表如下表所示.(1)问32、42、72分别在表中的第几行？(2)对于表中第3列第n行的数，请你用关于n的代数式表示出来；(3)176在这个表中的第几行第几列.1 3 5 7 ……2 6 10 14 ……4 12 20 28 ……8 24 40 56 ………………………………19.已知五位数abcde满足下列条件：(1)它的各位数字均不为零；(2)它是一个完全平方数；(3)它的万位上的数字a是一个完全平方数，千位和百位上的数字顺次构成的两位数bc以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数de也都是完全平方数．试求出满足上述条件的所有五位数．三、附加题（10分）20. 一只青蛙在平面直角坐标系上从点(1,1)开始，可以按照如下两种方式跳跃：①能从任意一点(,)a b ，跳到点(2,)a b 或(,2)a b ；②对于点(,)a b ，如果a b ＞，则能从(,)a b 跳到(,)a b b -；如果a b ＜，则能从(,)a b 跳到(,)a b a -． 例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点(3,1)，跳跃的一种路径为：(1,1)(2,1)(4,1)(3,1)→→→．请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点(1,1)出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由．⑴ (3,5)； ⑵ (12,60)； ⑶ (200,5)； ⑷ (200,6)．2010年“学而思杯中学生理科能力展示大赛”初一数学 （B 卷答案）Ⅰ卷一、选择题：（本题共15小题，每小题4分，共60分）1. 1124242222a b a b M N a b a ab b ab b a =+=+=+=++++++2. 设每个小长方形的长为x ，宽为y ，则有 23433234x y x x xy =⎧⇒=⇒=⎨=⎩，故32y = 从而ABCD 的周长为19.3. 201020094019a b c a a ++=++=+20102201010051004a b a a a a <=-⇒<⇒<⇒≤故4019401910045023a b c a ++=++=≤ 即其最大值为5023. 4. 11311338(2)2== 33481=⨯+ 故118的末尾数字为2.5. 111111()()()3a c a b b c a b c b c c a a b b c a++++++++=++=-.6. 此题完全是灵感闪现，不难，很巧，左图用在学生版，右图是辅助线，很明显答案为45度. 7. 31x =︒. 8. 1. 1x =-9. 2220082007(20082007)(20082007)20082007a =-=+-=+ 同理，20092008b =+，20102009c =+，故a b c ＜＜.10. 若三边能构成三角形则必有两小边之和大于第三边，即a b c +>.又b c ＜，则b c a b +＜＜又c b a b -＜≤，故15a ＜≤，从而2,3,4,5a =. 当2a =时，57c ＜＜，此时，6c =； 当3a =时，58c ＜＜，此时，6,7c =； 当4a =时，59c ＜＜，此时，6,7,8c =； 当5a =时，510c ＜＜，此时，6,7,8,9c =； 故一共有123410+++=个.11. 设328()abcd xy =，则据末位数字特征得2y =，进而确定xy ：因360216000=，370343000=，所以6070xy ＜＜，故只有，62xy =，而362238328=，则38ab =，32cd =，70ab cd +=. 12. 由325x y z ++=，2x y z +-=可得，13,41x z y z =-=+.由,,0x y z ≥可知，103z ≤≤.22(13)4133S x y z z z z z =+-=-++-=-，故3S 2≤≤，故应填5.13. 设白皮有x 块，则黑皮有32x -块，则黑皮共有的边为5(32)x - 因为黑皮与白皮有三条边重合，则黑皮共有的边还可以用3x 表示 故5(32)320x x x -=⇒=. 14. 5929.15. 设231n m +=，则231(1)(1)n m m m =-=+-，故1,1m m +-中必有一个是3的倍数 不妨设13m a -=，则231(1)(1)(32)3(32)n m m m a a n a a =-=+-=+⋅⇒=+22221(32)1321(1)n a a a a a a a +=++=++=+++故其最小值为3.Ⅱ卷二、解答题（每题10分，共40分） 16. 设第一排有x 个座位,共有y 排,则(1)....(1)2x x x y +++++-=,即3(21)400823167y x y +-==⨯⨯ 因为,x y 均为正整数,且20y ＞,故,21y x y +-,奇偶性不同,且21x y y +->,故 2116724x y y +-=⎧⎨=⎩,解得72x =.故满足题意的方案只有一种,即第一排的座位为72个,共24排. 17. 当6n =时, 12a b c ++=由a b c +>可知, 126c c c ->⇒<又a b c <<,故3a b c c ++<,即1234c c <⇒> 故46c <<,从而可知, 5c =.于是7a b +=,又由a b c <<可知, 3a a b c <++,故1243a <=,从而可知, 1,2,3a = 对应的, 6,5,4b =.又a b c <<,故满足题意的(,,)a b c 为(3,4,5).18. (1) 因为5322=,故32在第6行.142221221=⨯=⨯,故42在第2行. 3728929=⨯=⨯,故72在第4行. (2)152n -⨯(3)4176211=⨯,故176必在第5行,第6列. 19. 设2M abcde =，且2a m =（一位数），2bc n =（两位数），2de t =（两位数），则 224221010M m n t =⨯+⨯+，由题意可知，2222422(10)10210M m t m tm t =⨯+=⨯+⨯+ 故22n tm =，从而n 必然是2的倍数，故2n 必然是4的倍数，且是完全平方数. 故216,36,64n =.当216n =时，8mt =，由2t 为两位数可知，4,8t =，此时2,1m = 符合题意的数为11664或41616.当236n =时，18mt =，由2t 为两位数可知，6,9t =，此时3,2m =，符合题意的数 有43681或93636.当264n =时，32mt =，经验证没有符合题意的数. 三、附加题（10分）20. ⑴ 能到达点(3,5)和点(200,6)．从(1,1)出发到(3,5)的路径为：(1,1)(2,1)(4,1)(3,1)(3,2)(3,4)(3,8)(3,5)→→→→→→→．从(1,1)出发到(200,6)的路径为：(1,1)(1,2)(1,4)(1,3)(1,6)(2,6)(4,6)(8,6)(16,6)(10,6)(20,6)(40,6)(80,6)(160,6)(320,6)(206)(200,6).→→→→→→→→→→→→→→→→前面的数反复减次⑵ 不能到达点(12,60)和(200,5)．理由如下：∵ a 和b 的公共奇约数a =和2b 的公共奇约数2a =和b 的公共奇约数， ∴ 由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数．∵ 如果a b ＞，a 和b 的最大公约数()a b =-和b 的最大公约数， 如果a b ＜，a 和b 的最大公约数()b a =-和b 的最大公约数，∴ 由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数．从而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数．∵ 1和1的公共奇约数为1，12和60的公共奇约数为3，200和5的公共奇约数为5． ∴ 从(1,1)出发不可能到达给定点(12,60)和(200,5)．。
2010年“学而思杯”初一数学B卷试题(含答案)
2010年“学而思杯中学生理科能力展示大赛”初一数学 （B 卷）姓名 区 学校 准考证号Ⅰ卷一、选择题：（本题共15小题，每小题4分，共60分）1. 已知a 、b 为实数，且4ab =，设2424a b M a b =+++，1122N a b =+++，则M 、N 的大小关系是M _______N .（填“＞”、“＜”、“＝”其中一个）2. 如图，长方形ABCD 恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，如果小长方形的面积是3，则长方形ABCD 的周长是___________.3. 已知a ，b ，c 为整数，且2010a b +=，2009c a -=．若a b ＜，则a b c ++的最大值为 ．4. 观察下列算式：123456782=22=42=82=162=322=642=1282=256，，，，，，，,……通过观察，用你所发现的规律写出118的末位数字是__________.5. 已知0abc ≠，0a b c ++=，则111111()()()a b c b c c a a b +++++的值为_________.6. 如图，正方形的网格中，12∠+∠=_________.7. 三个正方形连成如下图形，求x ∠=____________.8. 若3210x x x +++=，则2010200920081220092010....1...x x x x x x x x ----++++++++++=____.9. 已知2220082007a =-，2220092008b =-，2220102009c =-，则,,a b c 的大小关系为________.10. 已知三角形的三边,,a b c 的长都是整数，且a b c ≤＜，如果5b =，则这样的三角形共有________个.11. 某人将2008看成了一个填数游戏式：2□□8，于是他在每个框中各填写了一个两位数ab 与cd ，结果所得到的六位数28abcd 恰是一个完全立方数，则ab cd +=________.12. 已知x y z 、、是三个非负实数，满足325x y z ++=，2x y z +-=，若2S x y z =+-，则S 的最大值与最小值的和为___________.13. 有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等(如图)，则白皮的块数是__________.14. 设四位数abcd 是一个完全平方数，且21ab cd =+，则这个四位数为________.15. 如果对于不小于8的自然数n ，当31n +是一个完全平方数时，1n +都能表示成k 个完全平方数的和，那么k 的最小值为___________.Ⅱ卷二、解答题（每题10分，共40分）16. 为进一步丰富市民的文化生活，海淀文化局计划把海淀影剧院进行改造．把原来的1000个座位改为现在的2004个座位．改建后的影剧院从第二排起后排都比前一排多一个座位，要求排数大于20．问有几种设计方案，如何设计?17. 将长为2n (n 为自然数且4n ≥)的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记(a ，b ，c )为三边长分别是a ，b ，c 且满足a b c <<的一个三角形，就6n =的情况，分别写出所有满足题意的(,,)a b c .18.将正整数1、2、3、4、5、6……按下列规律进行排列：首先将这些数从“1”开始每隔一数取出，形成一列数：1、3、5、7排成一行；然后在剩下的数2、4、6、8……中从第一个数“2”开始每隔一数取出，形成第二列数：2、6、10、……排成第二行；照此下去，第三排的数由剩下的4、8、12、16、……中从第一个数“4”开始每隔一数取出4、12、20、……；如此一直继续下去，我们可以排成一张表如下表所示.(1)问32、42、72分别在表中的第几行？(2)对于表中第3列第n行的数，请你用关于n的代数式表示出来；(3)176在这个表中的第几行第几列.19.已知五位数abcde满足下列条件：(1)它的各位数字均不为零；(2)它是一个完全平方数；(3)它的万位上的数字a是一个完全平方数，千位和百位上的数字顺次构成的两位数bc以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数de 也都是完全平方数．试求出满足上述 条件的所有五位数．三、附加题（10分）20. 一只青蛙在平面直角坐标系上从点(1,1)开始，可以按照如下两种方式跳跃：①能从任意一点(,)a b ，跳到点(2,)a b 或(,2)a b ；②对于点(,)a b ，如果a b ＞，则能从(,)a b 跳到(,)a b b -；如果a b ＜，则能从(,)a b 跳到(,)a b a -． 例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点(3,1)，跳跃的一种路径为：(1,1)(2,1)(4,1)(3,1)→→→．请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点(1,1)出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由．⑴ (3,5)； ⑵ (12,60)； ⑶ (200,5)； ⑷ (200,6)．2010年“学而思杯中学生理科能力展示大赛”初一数学 （B 卷答案）Ⅰ卷一、选择题：（本题共15小题，每小题4分，共60分）1. 1124242222a b a b M N a b a ab b ab b a=+=+=+=++++++ 2. 设每个小长方形的长为x ，宽为y ，则有 23433234x y x x xy =⎧⇒=⇒=⎨=⎩，故32y = 从而ABCD 的周长为19.3. 201020094019a b c a a ++=++=+20102201010051004a b a a a a <=-⇒<⇒<⇒≤ 故4019401910045023a b c a ++=++=≤ 即其最大值为5023. 4. 11311338(2)2== 33481=⨯+ 故118的末尾数字为2.5. 111111()()()3a c a b b ca b c b c c a a b b c a++++++++=++=-.6. 此题完全是灵感闪现，不难，很巧，左图用在学生版，右图是辅助线，很明显答案为45度. 7. 31x =︒. 8. 1. 1x =-9. 2220082007(20082007)(20082007)20082007a =-=+-=+ 同理，20092008b =+，20102009c =+，故a b c ＜＜.10. 若三边能构成三角形则必有两小边之和大于第三边，即a b c +>.又b c ＜，则b c a b +＜＜又c b a b -＜≤，故15a ＜≤，从而2,3,4,5a =. 当2a =时，57c ＜＜，此时，6c =；当3a =时，58c ＜＜，此时，6,7c =； 当4a =时，59c ＜＜，此时，6,7,8c =； 当5a =时，510c ＜＜，此时，6,7,8,9c =； 故一共有123410+++=个.11. 设328()abcd xy =，则据末位数字特征得2y =，进而确定xy ：因360216000=，370343000=，所以6070xy ＜＜，故只有，62xy =，而362238328=，则38ab =，32cd =，70ab cd +=.12. 由325x y z ++=，2x y z +-=可得，13,41x z y z =-=+.由,,0x y z ≥可知，103z ≤≤.22(13)4133S x y z z z z z =+-=-++-=-，故3S 2≤≤，故应填5.13. 设白皮有x 块，则黑皮有32x -块，则黑皮共有的边为5(32)x - 因为黑皮与白皮有三条边重合，则黑皮共有的边还可以用3x 表示 故5(32)320x x x -=⇒=. 14. 5929.15. 设231n m +=，则231(1)(1)n m m m =-=+-，故1,1m m +-中必有一个是3的倍数 不妨设13m a -=，则231(1)(1)(32)3(32)n m m m a a n a a =-=+-=+⋅⇒=+ 22221(32)1321(1)n a a a a a a a +=++=++=+++故其最小值为3.Ⅱ卷二、解答题（每题10分，共40分）16. 设第一排有x 个座位,共有y 排,则(1)....(1)2x x x y +++++-=,即3(21)400823167y x y +-==⨯⨯ 因为,x y 均为正整数,且20y ＞,故,21y x y +-,奇偶性不同,且21x y y +->,故 2116724x y y +-=⎧⎨=⎩,解得72x =.故满足题意的方案只有一种,即第一排的座位为72个,共24排. 17. 当6n =时, 12a b c ++= 由a b c +>可知, 126c c c ->⇒<又a b c <<,故3a b c c ++<,即1234c c <⇒> 故46c <<,从而可知, 5c =.于是7a b +=,又由a b c <<可知, 3a a b c <++,故1243a <=,从而可知, 1,2,3a = 对应的, 6,5,4b =.又a b c <<,故满足题意的(,,)a b c 为(3,4,5). 18. (1) 因为5322=,故32在第6行. 142221221=⨯=⨯,故42在第2行. 3728929=⨯=⨯,故72在第4行. (2)152n -⨯(3)4176211=⨯,故176必在第5行,第6列.19. 设2M abcde =，且2a m =（一位数），2bc n =（两位数），2de t =（两位数），则 224221010M m n t =⨯+⨯+，由题意可知，2222422(10)10210M m t m tm t =⨯+=⨯+⨯+ 故22n tm =，从而n 必然是2的倍数，故2n 必然是4的倍数，且是完全平方数. 故216,36,64n =.当216n =时，8mt =，由2t 为两位数可知，4,8t =，此时2,1m = 符合题意的数为11664或41616.当236n =时，18mt =，由2t 为两位数可知，6,9t =，此时3,2m =，符合题意的数 有43681或93636.当264n =时，32mt =，经验证没有符合题意的数.三、附加题（10分）20. ⑴ 能到达点(3,5)和点(200,6)．从(1,1)出发到(3,5)的路径为：(1,1)(2,1)(4,1)(3,1)(3,2)(3,4)(3,8)(3,5)→→→→→→→．从(1,1)出发到(200,6)的路径为：(1,1)(1,2)(1,4)(1,3)(1,6)(2,6)(4,6)(8,6)(16,6)(10,6)(20,6)(40,6)(80,6)(160,6)(320,6)(206)(200,6).→→→→→→→→→→→→→→→→前面的数反复减次⑵ 不能到达点(12,60)和(200,5)． 理由如下：∵ a 和b 的公共奇约数a =和2b 的公共奇约数2a =和b 的公共奇约数， ∴ 由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数．∵ 如果a b ＞，a 和b 的最大公约数()a b =-和b 的最大公约数， 如果a b ＜，a 和b 的最大公约数()b a =-和b 的最大公约数， ∴ 由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数．从而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数．∵ 1和1的公共奇约数为1，12和60的公共奇约数为3，200和5的公共奇约数为5． ∴ 从(1,1)出发不可能到达给定点(12,60)和(200,5)．。
2011年学而思杯三年级A卷解析
绝密★启用前2011年首届全国学而思综合能力测评（学而思杯）数学试卷（三年级A卷）时间：13:30~14:50 满分：150分考生须知：1. 请在答题纸上认真填写考生信息；2. 所有答案请填写在答题纸上，否则成绩无效一．填空题（每题8分，共40分）1.（视听题）艾迪、大宽、薇儿今天想要从北京去天津旅游.从北京到天津，可以乘火车，也可以坐大巴。
如果乘火车，那么一天有23趟火车；如果坐大巴，一天有12辆大巴。
那么宫宝今天去天津，不同的走法共有______种.2.（视听题）大宽出门前要选一套衣服。
他共有5件不同的上衣，3条不同的裤子。
那么大宽有______种不同的搭配方法.3.（视听题）薇儿出门之前也要选一身衣服.她共有10件不同的上衣，4条不同的裤子，6条不同的裙子（当然，裤子、裙子不能一起穿的）.那么薇儿有______种不同的搭配方法.⨯+⨯⨯=______.4.计算：6172383【答案】600【分析】6(1783)600⨯+=5.在5×7的长方形中最多能放入_____个由3个1×1的正方形组成的“角形”(形如)？（“角形”可以转动和翻转，但不能一个叠放在另一个上.）【答案】11个【分析】每个“角形”面积等于3，而长方形面积是35，所以在长方形中不能放12个“角形”.如图所示，是最多放入11个“角形”的一种方法.二． 填空题（每题10分，共50分）1. 下图是一个由火柴棍拼成的2011，每根火柴棍的长度是1厘米，那么所有的火柴混的长度之和是______厘米.【分析】共84根火柴，就是84厘米。
2. 学而思学校为取得优异成绩的学员准备了学而思金币换礼品活动，如果每个优秀学员发10个学而思金币，就余下1000个。
如果把优秀学员的人数变为原来的2倍（每人发的金币保持不变），就缺少了200个。
那么准备发的学而思金币有______个.【答案】120名，代金币有2200个。
【分析】 每人10个 余下1000个每人10220⨯=个 缺少200个总人数是(1000200)10120+÷=人。
2011年学而思杯一年级A卷解析
绝密★启用前2011年首届全国学而思综合能力测评（学而思杯）数学试卷（一年级A 卷）时间：13:30~14:50 满分：150分考生须知： 1. 请在答题纸上认真填写考生信息；2. 所有答案请填写在答题纸上，否则成绩无效一． 填空题（每题8分，共40分）1. （视听题）824718-+=2. （视听题）987654321++++++++=3. （视听题）2个小朋友互相传球。
开始从A 传到B ，再从B 传到A ，传2011次后，球在哪个小朋友手里？4. （视听题）把小动物放在篮子里，篮子上面栓气球，让它们飞起来。
1只猫1只狗->5个气球2只猫->4个气球1只狗->几个气球5. （视听题）下面两个图形，可以分割成4个大小相等，形状相同的图形。
下面A 、B 、C 、D 四个选项中的哪个图形？（D ）（C ）（B ）（A ）二． 填空题（每题10分，共50分）1. 找出数列的规律并填空.2、5、11、20、 、47、65【分析】2 5 11 20 47 65+3 +6 +9 +12 +15 +18+3 +3 +3 +3 +3<考点> 找规律填数2. 在下面的图中，一共有 个三角形．【分析】 分类数，最小的有8个，中等的有8个，最大的有2个，所以一共有18个．<考点> 平面图形计数3. 有个密码锁，顺时针或逆时针旋转内圈，当内圈的数和外圈的数对齐后相减的差完全一样时，可以打开锁，请问11和 对齐锁才能打开.【分析】114158169125147-=-=-=-=-所以11和4对齐锁才能打开． <考点> 计算与方向4. 下图中有 个正方体.【分析】分层数，最上面的第一层有1个，第二层有4个，第三层有5个，第四层有9个，所以一共有19个．<考点> 立体图形计数5.把27个桃子分给5只猴子，每只猴子分到的数量都不同，而且分得的都是单数个，分得最多的那只猴子能分到个桃子．【分析】将27拆成5个不同的单数，其中四个最小的，和一个最大的分别是：1，3，5，7，11．<考点> 计算及数的拆分三．填空题（每题12分，共60分）1.动物园里的18只小动物排成一队做游戏，从左往右数小兔站在第10个，从右往左数，小狗站在第12个，有只小动物在小兔和小狗之间？【分析】10121822+--=（只）．<考点> 排队问题2.有两个盒子里面都装有一些糖，从第一个盒子里拿2块糖放入第二个盒子里之后，现在第二个盒子里的糖还比第一个盒子里的糖少3块．问原来第一个盒子比第二个盒子里的糖多块．【分析】2237++=（块）．<考点> 移多补少问题3.一个正方体的小木块，1与6、2与5、3与4分别是是相对面，如照下图这样方置，并按图中箭头指示的方向翻动国，则木块翻动到第5格时，木块正上方那一面的数字是？【分析】3.<考点> 空间想象4.动物园的管理员给小猴们发桃子，每只小猴发2个还多5个，每只小猴发3个还少2个，动物园里一共有只小猴．【分析】由题意可知，每只小猴发2个还多5个，把这多的5个再给每只小猴发一个就变成每只小猴发3个了，但还少2个，说明5个再加2个正好再发给每只小猴1个，所以一共有7只小猴.<考点> 应用题．5.甲、乙、丙、丁4只小动物站成一排，已知甲在丙左边5米处，丁在乙左边3米处，丙在丁右边2米处，问最左边和最右边的两只小动物之距离米．【分析】丙在丁右边2米处．也就是丁在丙左边2米处，并且甲也在丙左边，是5米处，可知甲在丁左边3米处，又知丁在乙左边3米处，同时丁也在丙左边2米处，所以可知丙在乙左边1米处，四人的顺序是甲、丁、丙、乙，距离分别是3米、2米、1米，所以最左边和最右边的两只小动物距离为3216++=<考点> 简单的推理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1页 （共6页）
2011年“学而思杯”中学生理科能力大赛
初 一 数 学 试 卷
学校______________ 姓名_________ 准考证号________ 成绩_________
考
生
须
知
1．本试卷共4页，两道大题，16道小题，满分100分。考试时间60分钟。
2．答题前，请考生务必用蓝、黑色字迹的圆珠笔、签字笔或钢笔准确填写学校名称、
姓名和准考证号。
3．请将所有题目的答案全部写在对应题目的后面。除画图外，请不要用铅笔答题。
4．考试结束，将本试卷和草稿纸一并交回。
一、填空题（本题共60分，每小题5分）
1. 计算：3179111315231220304256 _________．
2. 如图，MNPQ∥，AB、分别在MNPQ、上，70ABP，
BC平分ABP，且20CAM，则C
的度数为______________．
3. 当2x时，代数式31axbx的值等于17，那么当1x时，代数式31235axbx的值
等于__________．
4. 已知关于x的方程3243axxx和3151128xax有相同的解，那么这个解是x_______．
5. 已知ABC△中，90BAC，ADBC，BEAC，且ADBE、交于点H，连接CH，
则ACHBAE_______．
6. abc、、三个有理数满足0abc，且1abc，bcMa，acNb，abPc，
则MNP、、之间的大小关系是________________．
7. 如图，ABC△中，D在AC上，E在AB上，且BDCE、相交于O，
OBOD，2OCOE
，若2BOCS△，则ABCS△__________．
C
B
A
Q
P
N
M
O
E
D
C
B
A
第2页 （共6页）
8. 平面直角坐标系xOy中有两个点44A，，62B，，则AOB△的面积为___________．
9. 若关于x的方程42axbbxa有无穷多个解，则323ab的值为__________．
10. 如图，ABC△中，90C，ABC和EAC的平分线交于点D，
ABD和BAD的平分线交于点F
，则AFB的度数为_________．
11. 若21234mm，则m的取值范围是_____________
12. 已知ABC△中，ABAC，D为BC边上一点，若ACD△和ABD△都是等腰三角形，
则C的度数为_______________．
二、解答题（本题共40分，每小题10分）
13. 如图，MN、为四边形ABCD的边ADBC、的中点，ANBM、交于P点，CMDN、交于Q点．
若四边形ABCD的面积为150，四边形MPNQ的面积为50，求阴影部分的面积之和．
Q
P
N
M
D
CB
A
F
E
D
C
B
A
第3页 （共6页）
14. 数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想，利用这种思想，可以将代数问题转化为几何问题，
也可以将几何问题转化为代数问题。通过数形结合将代数与几何完美的结合在一起，可以大大降低
解题的难度，提高效率和正确率，甚至还可以达到令人意想不到的效果。教科书中利用几何图形证
明乘法公式2222abaabb的做法，就是一个非常典型的例子：
如图，ab、分别表示一条线段的长度，则ab可以表示两条线段之和，那么
2
ab
就可以表示正方形的面积。同样，22aabb、、也可以表示相应部分的
面积，那么利用这种方法，就可以证明公式的正确性。
⑴ 请你根据上述材料推导乘法公式2abc的展开结果．
⑵ 12121212aabbccdd、、、、、、、均为正数，且12121212aabbccddk，
求证：221212121abbccddak≤，并写出等号成立的条件．
a
b
a
b
a
b
b
a
第4页 （共6页）
15. 已知1x、2x、3x、4x、5x是非负实数，且123452011xxxxx．M是12xx、23xx、34xx、
45
xx
的最大值，求M的最小值m．
16. 定义：x表示不超过x的最大整数，x表示数x的小数部分，即xxx．
假设0a，且21aa，223a，求6421225aaaaa的值．
2011年“学而思杯”中学生理科能力大赛
初一数学答案
一、填空题（每小题5分，答对得5分，答错、不答或答不全均不得分）
题号 答案 题号 答案
1 1 7 12
2 15 8 16
3 22 9 30
4 2728x 10
112.5
5 90 11
12m≥或3
2
m
≤
6 MPN 12 45或36
二、解答题（每小题10分，按解题过程分步给分，若只有答案且正确，给2分）
第5页 （共6页）
13. 解法一：连接BD
∵MN、是ADBC、中点，∴ABMBDMSS△△，BDNCDNSS△△，
∴12BMDNABCDSS．……………………………………4分
同理，12ANCMABCDSS，………………………………6分
∴ANCMBMDNABCDSSS，∴MPNQABPCDQSSS△△……8分
∴=15050250S阴影．………………………………10分
解法二：分别过BNC、、作AD的垂线，
设垂线段的长分别为123hhh，，
112ABMSAMh△，212ANDSADh△，312CDMSDMh△
，……2分
∵MN、是ADBC、中点，∴12AMDMAD，
213
1
2
hhh
，……………………………………………………4分
∴AMBCMDANDSSS△△△，…………………………………………6分
∴MPNQABPCDQSSS△△，…………………………………………8分
∴15050250S阴影．…………………………………………10分
14. ⑴ 如图
abcabcabccba……………………………………………………………………3分
由图可得：2222222abcabcabbcca．………………………………5分
⑵ 由题意，可以构造边长为k的正方形，
a2b2c2d2d1c1b1a1………………………………………………………………8分
由图可得：21212121abbccdda，，，表示4个矩形的面积，它们之和小于正方形的面积，
∴221212121abbccddak≤，当12121212aabbccdd时等号成立．……10分
15. 1234453Mxxxxxx≥，…………………………………………………………5分
∴42011133Mx≥，……………………………………………………………………………7分
A
BC
D
M
N
P
Q
h
3
h
2
h
1
A
B
C
D
M
N
P
Q
第6页 （共6页）
因此，当240xx，135xxx20113时，M取最小值20113．…………………………10分
16. 由题意有212aa，…………………………………………………………………………5
分
于是
3
210aa
则
642
1
225aaaaa
33322
212124aaaaaaa
…………………………………………8分
6
．……………………………………………………………………………………10分